2020年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷（三）
一．选择题（共10小题）
1．﹣的倒数是（）
A．﹣2020B．﹣C．D．2020
2．下面的计算正确的是（）
A．a2×a3＝a6B．（a2）3＝a5C．3a+2a＝5a D．a6÷a3＝a2 3．2019年10月1日在北京天安门广场举行隆重的国庆70周年庆祝活动，在阅兵和群众游行活动中，共有约15万人参加．则15万用科学记数法表示为（）
A．1.5×10B．15×104C．1.5×105D．1.5×106
4．如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
5．一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（）
A．B．C．D．
6．若代数式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1且x≠2B．x≥1C．x≠2D．x≥1且x≠2 7．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
8．某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如表，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）
锻炼时间/h5678
人数615104
A．6h，6h B．6h，15h C．6.5h，6h D．6.5h，15h
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交
于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（）
A．7B．14C．17D．20
10．如图，在△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（）
A．（+1，0）B．（﹣1，0）C．（+1，0）D．（3，0）
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：mn2+6mn+9m＝．
12．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为．13．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图2中，当y＝﹣2时，n的值为．
14．如图，?ABCD，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为．
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是．
16．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上．（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的性质；
（2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为．
三．解答题
17.计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+．
18.解不等式组：
20.垃圾分类问题受到全社会的广泛关注，我区某校学生会向全校2100名学生发起了“垃圾
要回家，请你帮助它”的捐款活动，用于购买垃圾分类桶．为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图1中m的值是；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为5元的学生人数．
21.如图，以?ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过
点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．
22.某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000
元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
23.对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a为常数），
那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a≤3时，
①在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的特征点为A，C；
②⊙W的圆心为W（m，0），半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画
出示意图，并直接写出m的取值范围；
（2）已知函数Z＝+x（x＞0），请利用特征点求出该函数的最小值．
24.如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝6，AC＝8，点D是AC的中点，点P为AB边
上的动点，AP＝t（t≥0），PH⊥AC于点H，连结DP并延长至点E，使得PE＝PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH．
（1）当点P与点A重合时，求证：△DEF∽△ABC；
（2）连结PF，若DH＝AD，求线段PF的长；
（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以D、F、H为顶点的三角形是等腰三角形？若存在请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
2020年浙江省金华市婺城区中考数学模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣的倒数是（）
A．﹣2020B．﹣C．D．2020
【分析】根据倒数之积等于1可得答案．
【解答】解：﹣的倒数是﹣2020，
故选：A．
2．下面的计算正确的是（）
A．a2×a3＝a6B．（a2）3＝a5C．3a+2a＝5a D．a6÷a3＝a2
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
C.3a+2a＝5a，故本选项符合题意；
D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意．
故选：C．
3．2019年10月1日在北京天安门广场举行隆重的国庆70周年庆祝活动，在阅兵和群众游行活动中，共有约15万人参加．则15万用科学记数法表示为（）
A．1.5×10B．15×104C．1.5×105D．1.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15万用科学记数法表示为1.5×105．
故选：C．
4．如果∠α＝60°，那么∠α的余角的度数是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】本题考查角互余的概念：和为90度的两个角互为余角．
【解答】解：根据定义∠α的余角度数是90°﹣60°＝30°．
故选：A．
5．一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（）
A．B．C．D．
【分析】利用待定系数法即可求解．
【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．
根据题意得：2k＝﹣3．
解得：k＝﹣．
故函数的解析式是：y＝﹣x．
故选：A．
6．若代数式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1且x≠2B．x≥1C．x≠2D．x≥1且x≠2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由分式及二次根式有意义的条件可得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故选：D．
7．如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于（）
A．60°B．90°C．120°D．150°
【分析】根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：∵P A是圆的切线．
∴∠OAP＝90°
同理∠OBP＝90°
根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°
故选：C．
8．某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如表，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为（）
锻炼时间/h5678
人数615104
A．6h，6h B．6h，15h C．6.5h，6h D．6.5h，15h
【分析】直接利用中位数和众数的概念求解可得．
【解答】解：这组数据的中位数为第18个数据，即中位数为6h；6出现次数最多，众数为6h．
故选：A．
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（）
A．7B．14C．17D．20
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，即可得AD＝BD，又由△ADC的周长为10，求得AC+BC的长，则可求得△ABC的周长．
【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+7＝17．
故选：C．
10．如图，在△OAP、△ABQ均是等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为（）
A．（+1，0）B．（﹣1，0）C．（+1，0）D．（3，0）
【分析】若△OAP是等腰直角三角形，那么∠POA＝45°，即直线OP：y＝x，联立双曲线解析式可求得P（2，2），即A（2，0），然后结合直线OP求得直线AQ的解析式，联立反比例函数解析式即可得到点Q点坐标，由于B、Q的横坐标相同，即可得解．【解答】解：∵△OAP是等腰直角三角形，
∴直线OP：y＝x，联立y＝（x＞0）可得P（2，2），
∴A（2，0），
由于直线OP∥AQ，可设直线AQ：y＝x+h，则有：
2+h＝0，h＝﹣2；
∴直线AQ：y＝x﹣2；
联立y＝（x＞0）可得Q（1+，﹣1），即B（1+，0）．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：mn2+6mn+9m＝m（n+3）2．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：mn2+6mn+9m
＝m（n2+6n+9）
＝m（n+3）2．
故答案为：m（n+3）2．
12．关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．
【解答】解：
由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0
得m＝4
故答案为4
13．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．例如，在图1中，即4+3＝7．则在图2中，当y＝﹣2时，n的值为1．
【分析】根据图形，可以用含x的式子表示出m、n；再用x的代数式表示出y，从而可以求得x的值，进而得到n的值．
【解答】解：由图可得，m＝x+2x＝3x，n＝2x+3
∴y＝m+n
＝（x+2x）+（2x+3）
＝3x+2x+3
＝5x+3，
∵y＝﹣2，
∴5x+3＝﹣2，
解得，x＝﹣1，
∴n＝2x+3＝2×（﹣1）+3＝﹣2+3＝1，
故答案为：1．
14．如图，?ABCD，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为6．
【分析】平行四边形的对边平行，AD∥BC，AB＝AE，所以BC＝2AF，若CF平分∠BCD，可证明AE＝AF，从而可求出结果．
【解答】解：∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DFC，
∴∠BCE＝∠EF A，
∵BE∥CD，
∴∠E＝∠DCF，
∴∠E＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠EF A，
∴∠E＝∠EF A，
∴AE＝AF＝AB＝3，
∵AB＝AE，AF∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴＝＝＝，
∴BC＝2AF＝6．
故答案为：6．
15．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），
半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是．
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF＝x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∴DE2＝EF?OE，
∵CF＝1，
∴DE＝，
∵△CDE∽△AOE，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
S△ABE＝＝＝．
故答案为：
16．如图1，剪刀式升降平台由三个边长为4m的菱形和两个腰长为4m的等腰三角形组成，其中，AM∥A0N，B，B0在AM和A0N上可以滑动，A1、C1、B0始终在同一条直线上．（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的不稳定性性质；
（2）如图2是一个抛物线型的拱状建筑物，其底部最大跨度为8米，顶部的最大高度为24米．如图3，当该平台在完成挂横幅作业时，其顶部A，M两点恰好同时抵住抛物线，且AM＝8米，则此时∠B1的度数为90°．
【分析】（1）根据四边形具有不稳定性，可以解答本题；
（2）根据题意，画出合适的平面直角坐标系，然后利用二次函数的性质、菱形的性质和勾股定理的逆定理，即可得到∠B1的度数．
【解答】解：（1）这种升降平台设计原理利用了四边形的具有不稳定性．
故答案为：不稳定性；
（2）以地面为x轴，顶部所在垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设y＝ax2+24，
∵点（4，0）在该抛物线上，
∴0＝a×（4）2+24，
解得，a＝，
∴y＝﹣x2+24，
当x＝﹣4时，y＝﹣×（﹣4）2+24＝16，
∴菱形竖直的对角线长为16÷4＝4，
又∵菱形的边长为4，42+42＝（4）2，
∴∠B1＝90°，
故答案为：90°．
三．解答题
17.计算：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+．
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（）﹣1+（π+1）0﹣2cos60°+
＝2+1﹣2×+3
＝3﹣1+3
＝5
18.解不等式组：
【分析】分别解两个不等式得到x＞2和x＞﹣3，然后根据同大取大确定不等式组的解集．【解答】解：解①得x＞2，
解②得x＞﹣3，
所以不等式组的解集为x＞2．
19.如图，在小正方形的边长均为l的方格纸中，有线段AB，BC．点A，B，C均在小正方
形的顶点上．
（1）在图1中画出四边形ABCD，四边形ABCD是轴对称图形，点D在小正方形的顶点上：
（2）在图2中画四边形ABCE，四边形ABCE不是轴对称图形，点E在小正方形的顶点上，∠AEC＝90°，EC＞EA；直接写出四边形ABCE的面积为7．
【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求；
（2）如图2，四边形ABCE即为所求，S四边形ABCE＝3×4﹣×1×1﹣×3×3＝12﹣﹣＝7．
故答案为：7．
20.垃圾分类问题受到全社会的广泛关注，我区某校学生会向全校2100名学生发起了“垃圾
要回家，请你帮助它”的捐款活动，用于购买垃圾分类桶．为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图1中m的值是；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为5元的学生人数．
【分析】（1）根据条形图可得接受随机抽样调查的学生人数，用5元的人数除以总数可得m%，进而可得m的值；
（2）根据平均数、众数和中位数定义进行计算即可；
（3）利用样本估计总体的方法进行计算．
【解答】解：（1）接受随机抽样调查的学生人数为：4+12+16+10+8＝50（人），
m%＝×100%＝32%，
则m＝32，
故答案为：50；32；
（2）平均数：（4×1+12×2+16×5+10×10+15×8）÷50＝6.56（元），
众数：5元；
中位数：5元；
（3）2100×32%＝672（人）
答：该校本次活动捐款金额为5元的学生人数为672人．
21.如图，以?ABCD的边BC为直径的⊙O交对角线AC于点E，交CD于点F．连结BF．过
点E作EG⊥CD于点G，EG是⊙O的切线．
（1）求证：?ABCD是菱形；
（2）已知EG＝2，DG＝1．求CF的长．
【分析】（1）如图，连接OE，根据切线的性质得到OE⊥EG，根据平行四边形的性质得到OE∥CD∥AB，推出AB＝BC，于是得到结论；
（2）如图，连接BD，由（1）得，CE：AC＝1：2，得到点E是AC的中点，根据圆周角定理得到BF⊥CD，根据相似三角形的性质得到DF＝2，BF＝4，由勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵EG⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE∥CD∥AB，
∴∠CEO＝∠CAB，
∵OC＝OE，
∴∠CEO＝∠ECO，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴AB＝BC，
∴?ABCD是菱形；
（2）如图，连接BD，
由（1）得，OE∥CD，OC＝OB，
∴AE＝CE，
∴CE：AC＝1：2，
∴点E是AC的中点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD经过点E，
∵BC是⊙O的直径，
∴BF⊥CD，
∵EG⊥CD，
∴EG∥BF，
∴△DGE∽△DFB，
∴DG：DF＝GE：BF＝DE：BD＝1：2，
∴DF＝2，BF＝4，
在Rt△BFC中，设CF＝x，则BC＝x+2，
由勾股定理得，x2+42＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴CF＝3．
22.某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000
元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据题意得：3?＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是分式方程的解．
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为m元，
根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，
解得：m≥11．
答：销售单价至少为11元．
23.对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a为常数），
那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a≤3时，
①在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的特征点为A，C；
②⊙W的圆心为W（m，0），半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画
出示意图，并直接写出m的取值范围；
（2）已知函数Z＝+x（x＞0），请利用特征点求出该函数的最小值．
【分析】（1）①根据“特征点”的定义判断即可．
②如图2中，当⊙W1与直线y＝﹣x+2相切时，W1（2﹣，0），当⊙W2与直线y＝﹣
3相切时，W2（3+，0），结合图象，⊙W与图中阴影部分有交点时，⊙W上存在满足条件的特征点．
（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，x+的值最小（如图3中）．
【解答】解：（1）①∵1+2＝3，1+3＝4，2.5+0＝2.5，
又∵2≤a≤3，
∴A，C是特征点．
故答案为：A，C．
②如图2中，
当⊙W1与直线y＝﹣x+2相切时，W1（2﹣，0），
当⊙W2与直线y＝﹣3相切时，W2（3+，0），
观察图象可知满足条件的m取值范围为：2﹣≤m≤3+．
（2）∵x＞0，
∴y＝的图象在第一象限，这个图象上的点的坐标为（x，），
∵特征点满足x+y＝a（x≥0，a为常数），
∴x+＝a，特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，x+的值最小（如图3中），
此时交点的坐标为（1，1），
∴Z＝x+的值最小，最小值为2．
24.如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，BC＝6，AC＝8，点D是AC的中点，点P为AB边
上的动点，AP＝t（t≥0），PH⊥AC于点H，连结DP并延长至点E，使得PE＝PD，作点E关于AB的对称点F，连结FH．
（1）当点P与点A重合时，求证：△DEF∽△ABC；