功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。
但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。
这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。matlab中，welch法用函数psd实现。调用格式如下：
[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)
X：输入样本数据
NFFT：FFT点数
Fs:采样率
WINDOW：窗类型
NOVERLAP，重叠长度
现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。由于涉及的问题太多，这里不再详述，可以参考有关资料。
matlab中，现代谱估计的很多方法都可以实现。music方法用pmusic命令实现；pburg函数利用burg法实现功率谱估计；pyulear函数利用yule-walker算法实现功率谱估计等等。
另外，sptool工具箱也具有功率谱估计的功能。窗口化的操作界面很方便，而且有多种方法可以选择。
t=linspace(0,1,1000);
signal=4*sin(2*pi*50*t)+5*sin(2*pi*200*t);
noise=randn(size(t));
symbol=signal+noise;
Y=fft(symbol,128);
f=1000*(0:64)/128;
P1=Y.*conj(Y)/128; %直接法
subplot(1,3,1);
plot(f,10*log10(P1(1:65)));
xlabel('frequency')
ylabel('power')
title('直接法')
直接法：
直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。
Matlab代码示例：
clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
window=boxcar(length(xn)); %矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法
plot(f,10*log10(Pxx));
%间接法
cxn=xcorr(symbol,'unbiased'); %计算序列的自相关函数
P2=fft(cxn,128);
subplot(1,3,2);
plot(f,10*log10(P2(1:65)));
xlabel('frequency')
ylabel('power')
title('间接法')
%加窗法
window2=blackman(100); %blackman窗
noverlap=20; %数据无重叠
range='onesided'; %频率间隔为[0 1000/2]，只计算一半的频率
[P3(1:65),f]=pwelch(symbol,window2,noverlap,128,1000,range);
plot_P3=10*log10(P3(1:65));
subplot(1,3,3);
plot(f,plot_P3(1:65));
xlabel('frequency')
ylabel('power')
title('加窗法')
间接法：
间接法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，然后对R(n)进行傅立叶变换，便得到x(n)的功率谱估计。
Matlab代码示例：
clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算序列的自相关函数
CXk=fft(cxn,nfft);
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot(k,plot_Pxx);
改进的直接法：
对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。
1. Bartlett法
Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。
Matlab代码示例：
clear；
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(length(n)); %矩形窗
noverlap=0; %数据无重叠
p=0.9; %置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));
figure(1)
plot(k,plot_Pxx);
pause;
figure(2)
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);
2. Welch法
Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。
Matlab代码示例：
clear;
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(100); %矩形窗
window1=hamming(100); %海明窗
window2=blackman(100); %blackman窗
noverlap=20; %数据无重叠
range='half'; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率
[Pxx,f]=pwelch(x
n,window,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);
plot_Pxx=10*log10(Pxx);
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);
figure(1)
plot(f,plot_Pxx);
pause;
figure(2)
plot(f,plot_Pxx1);
pause;
figure(3)
plot(f,plot_Pxx2);
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
fs=1000;
y=hilbert(signal);
ydata=abs(y);
y=y-mean(y);
nfft=800;
p=abs(fft(ydata,nfft));
figure(1);
plot((0:nfft/2-1)/nfft*fs,p(1:nfft/2));
t=0:0.001:0.302; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=s405
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f); %画出原始信号的波形图
ylabel('幅值(V)');
xlabel('时间(s)');
title('原始信号');
y=fft(f,302); %对原始信号进行离散傅里叶变换，参加DFT采样点的个数为700，原始信号的采样点数
subplot(2,1,2);
m=abs(y);
f1=(0:length(y)/2-1)'*1000/length(y);%计算变换后不同点对应的幅值
plot(f1,m(1:length(y)/2));
ylabel('幅值的模');
xlabel('时间(s)');
title('原始信号傅里叶变换');
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/302; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:150)/302; %计算变换后不同点对应的频率值
figure(2);
plot(ff,p(1:151));
ylabel('幅值');
xlabel('频率(Hz)');
title('功率谱密度（周期图法）');
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=s1001
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('原始信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=D1
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第一层细节信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=D2
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第二层细节信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=D3
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第三层细节信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=D4
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第四层细节信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=D5
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第五层细节信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:1.5; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=D6
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第六层细节信号');
y=fft(f,1430);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/1430; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:714)/1430; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:715));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');
t=0:0.001:0.3; %时间间隔为0.001，说明采样频率为1000Hz,原始信号的采样频率
x=s1
f=x;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(f);
ylabel('速度(m/s)');
xlabel('采样点');
title('第七层细节信号');
y=fft(f,302);
subplot(2,1,2);
%用周期图法估计功率谱密度
p=y.*conj(y)/302; %计算功率谱密度
ff=1000*(0:155)/302; %计算变换后不同点对应的频率值
plot(ff,p(1:156));
ylabel('功率谱密度');
xlabel('频率(Hz)');