一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米
【解析】
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．
∴DC=BC?cos30°=3
=?=米，
639
2
∵CF=1米，
∴DC=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGF中，
BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高
2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）∠BPQ=30°；
（2）该电线杆PQ的高度约为9m．
【解析】
试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，33
米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-
3
3
x=6，
解得：3
则BE=（3）米．
在直角△BEQ中，QE=
3
3
BE=
3
3
（3+3）=（3）米．
∴3（3）3（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
3．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点
F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin
31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【答案】2.5m.
【解析】
试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得
AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．
试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，
∴CF=tan·DF=，
又∵CB=4，
∴BF=4－，
∵AB=6，DE=1，BM= DF=，
∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，
在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，
tan==0．60，
解得=2．5，
答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．
考点：解直角三角形．
4．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.
特殊发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)记AC
BC
＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时，CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有
EM FP
MC PB
=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．
（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC
BC
=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴
EM FP
MC PB
=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
（2）PC=PE 成立，理由如下：
如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中
，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，
∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴
DM FP
MC PB
=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；
（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
AC k BC =，AC
BC
=tan30°， ∴k=tan30°=3
∴当k 为
3
3
时，△CPE 总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
5．如图，已知，在
O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且AC BD =.
（1）求证：AB CD =；
（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；
（3）如图，在（2）的条件下，点P 在CG 上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若
AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ?的面积为2，求O 的半径的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O 10.
【解析】 【分析】
(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；
（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明
AOJ DOQ ???得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；
（3）如图，延长GM 交
O 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使
HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，求出22FL =，设HM n =，则有
2LK KG n ==
，222FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，
KG HF
FK HM
=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10． 【详解】
解：（1）证明：∵AC BD =，∴AC CB BD CB +=+， ∴AB CD =， ∴AB CD =.
（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，
∴90AJO DQO ∠=∠=?，11
22
AJ AB CD DQ ===， 又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ???， ∴OJ OQ =，
又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.
（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=?，
由（2）知，1
452
AEF AED ∠=
∠=?， 如图，延长GM 交O 于点H ，连接HF ，
∵FG 为直径，∴90H ∠=?，1
22
MFG S MG FH ?=??=， ∵2MG =，∴2FH =，
在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O 于点K ，连接KG ，
∴45HFL HLF ∠=∠=?，45KLG HLF ∠=∠=?， ∵FG 为直径，∴90K ∠=?，
∴9045KGL KLG KLG ∠=?-∠=?=∠，∴LK KG =， 在Rt FHL ?中，222FL FH HL =+，22FL = 设HM n =，2HL MG ==，
∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==， 在Rt LGK ?中，222LG LK KG =+，22
LK KG ==
，2
22FK FL LK =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1
452
AEF AED ∠=
∠=?， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=?，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=?， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，
∴
KG HF
FK HM
=，∴22
22222
n
n =
+
，4n =， ∴6HG HM MG =+=，
在Rt HFG ?中，222FG FH HG =+，210FG =10FO = 即
O 10
【点睛】
考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添
加辅助线是解题的关键．
6．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数≈≈）．
据：2 1.414,3 1.73
【答案】
【小题1】73.2
【小题2】超过限制速度．
【解析】
AB=-73.2 (米)．…6分
解：（1）100(31)
(2) 此车制速度v==18.3米/秒
7．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用
BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
=
tan30
x
= 3x
在Rt△BCD中，BD=CD?tan68°，
∴325+x=3x?tan68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频
8．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形
（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP
试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC
∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF
∵AD//BC
∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF
∴AB=BE AB=AF
∴AF=AB=BE
∵AD//BC
∴ABEF为平行四边形
又AB=BE
∴ABEF为菱形
（2）作PH⊥AD于H
由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5
∴tan∠ADP=
考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数
9．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时
tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或
3
3
. 【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形；
（2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ；
②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ， ∵PF ∥BC ， ∴∠DFP=∠ADF ， ∴∠DFQ=∠ADF ， ∴△DEF 是等腰三角形；
（2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF ，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ， ∴∠P′DC=∠F′DB ，
由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ， ∵PF ∥BC ， ∴△DPF ∽△DCB ， ∴△DP′F′∽△DCB ∴
'
'
DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；
②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1
2
BD ， ∴
'1
2
DF BD =， ∴tan ∠DBF′=
'1
2
DF BD =；
当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意； 当∠DF′B=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=1
2
BD ， ∴∠DBF′=30°，
∴tan ∠DBF′=
33
.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
10．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35
时，求BF CF 的值；
(2)如图2,当tan ∠ABC=
1
2
时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ?的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =?时,求矩形BCDE 的面积
【答案】(1)1
7
；（2）80；（3）100. 【解析】 【分析】
(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=
35得出
3
5
FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故1
7
BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.
【详解】
解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K , ∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35
, ∴
35
FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,
∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a , ∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴
1
7
BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ， ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴
EH ED
EG EA
=， ∴·EH EA EG ED ?=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝
12
， cos ∠ABC
∴BA ＝BC · cos ∠ABC
BK= BA·cos ∠ABC 8
= ∴EG =8,
另一方面：ED =BC =10, ∴EH ·EA =80
(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG KE AE ED
==， ∴
BF KE FG DE =，同理：FG ED
CG DT
= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG
FG CG =， ∴ED 2= KE ·DT ∴
KE ED
DE DT
= ，
又∵△KEB ∽△CDT ,∴
KE CD
BE DT
=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2 ∴ BE =ED
∴1010100BCDE S =?=矩形
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.