《常微分方程》测试题1
一、填空题30%
1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分
别为x.y的连续函数。
2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里
的连续函数.n
3、如果存在常数-对于所有
函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里
5、设的某一解，则它的任一解
- 。
二、计算题40%
1、求方程
2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程
三、证明题30%
1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证
明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>
《常微分方程》测试题 2
一、填空题：（30%）
1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的
微分方程是.
2、方程的通解中含有任意常数的个数为.
3、方程有积分因子的充要条件为.
4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．
5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．
6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它
们(有或无)共同零点．
7、设是方程的通解，则.
8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线
性无关的另一解 .
9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性
无关解是 .
10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件
是 .
二、求下列微分方程的通解：（40%）
1、
2、
3、
4、
5、求解方程．
三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解
的存在区间的误差估计.（10分）
四、求解微分方程组
满足初始条件的解.（10%）
五、证明题：（10%）
设，是方程
的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C
《常微分方程》测试题3
1．辨别题
指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
2、填空题(8%)
（1）．方程的所有常数解是___________.
（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.
（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是
________________.
（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.
3、单选题(14%)
（1）．方程是（）.
(A)可分离变量方程（B）线性方程
(C)全微分方程（D）贝努利方程
（2）．方程，过点（0，0）有（）.
(A) 一个解（B）两个解
(C) 无数个解（D）三个解
（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.
(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1
(C) x=±1 (D) y=1, x=1
（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).
(A)(B) (C)2 (D) e
（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．
（A）维（B）维（C）维（D）维
（6）.方程（）奇解．
（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个
（7）．方程过点（）．
（A）有无数个解（B）只有三个解
（C）只有解（D）只有两个解
4.计算题(40%)
求下列方程的通解或通积分：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
5. 计算题(10%)
求方程的通解．
6．证明题（16%）
设在整个平面上连续可微，且．求证：方程
的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>
《常微分方程》测试题4
1．辨别题
指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
2、填空题(8%)
（1）．方程的所有常数解是___________.
（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.
（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是
________________.
（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________
3、单选题(14%)
（1）．方程是（）.
(A)可分离变量方程（B）线性方程
(C)全微分方程（D）贝努利方程
（2）．方程，过点（0，0）有（）.
(A) 一个解（B）两个解
(C) 无数个解（D）三个解
（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.
(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1
(C) x=±1 (D) y=1, x=1
（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).
(A)(B) (C)2 (D) e
（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．
（A）维（B）维（C）维（D）维
（6）.方程（）奇解．
（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个
（7）．方程过点（）．
（A）有无数个解（B）只有三个解
（C）只有解（D）只有两个解
4.计算题(40%)
求下列方程的通解或通积分：
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
5. 计算题(10%)
求方程的通解．
6．证明题（16%）
设在整个平面上连续可微，且．求证：方程
的非常数解，当时，有，那么必为或
《常微分方程》测试题5
一、填空题（30%）
1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．
2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．
3．连续是保证方程初值唯一的条件．
一条积分曲线.
4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于
个，其中，．
5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件
是．
6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域
是．
7．方程的所有常数解是．
8．方程所有常数解是．
9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组
的条件是它们的朗斯基行列式．
10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个
二、计算题（40%）
求下列方程的通解或通积分：
1.
2．
3．
4．
5．
三、证明题（30%）
1．试证明：对任意及满足条件的，方程
的满足条件的解在上存在．
2．设在上连续，且，求证：方程的任意解
均有．
3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．
《常微分方程》测试题6
一、填空题（20%)
1．方程的所有常数解是．
2．方程的常数解
是．
3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．
4．方程的基本解组是．
二、选择题(25%)
1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．
（A）（B）-1 （C）
+1 （D）+2
2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．
（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分
3. 方程过点共有（）个解．
（A）一（B）无数（C）两（D）三
4．方程（）奇解．
（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个
5．方程的奇解是（）．
（A）（B）（C）（D）
三、计算题(25%)
1.x=+y
2.tgydx-ctydy=0
3.
4.
5.
四、求下列方程的通解或通积分(30%)
1.
2.
3.
《常微分方程》测试题7
一. 解下列方程(80%)
1.x=+y
2.tgydx-ctydy=0
3.{y-x(+)}dx-xdy=0
4.2xylnydx+{+}dy=0
5. =6-x
6. =2
7. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质
的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速
度与时间的关系。
二．证明题(20%)
1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求
得它的通解。
2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且
xM+yN0,则是该方程的一个积分因子
《常微分方程》测试题8
计算题.求下列方程的通解或通积分（70%）
1.
2.
3.
4.
5．
6．
7．
证明题（30%）
8.在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为
9.设在区间上连续．试证明方程
的所有解的存在区间必为
10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有<成立
《常微分方程》测试题9
一、填空题（30%）
1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是
_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）
1、
２、
３、若试求方程组的解并求expAt
４、
５、求方程经过（0，0）的第三次近似解
6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。
《常微分方程》测试题10
一、选择题（30%）
1 微分方程的阶数是____________
2 若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程
有只与有关的积分因子的充要条件是
_________________________
3 _________________________________________ 称为齐次方程.
4 如果 ___________________________________________ ,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件 ,其中
_______________________ .
5 对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数
使 ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.
6 方程定义在矩形区域:上 ,则经过点的解的存在区间是 ___________________
7 若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 ___________________________________
8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________
9若为毕卡逼近序列的极限，则有__________________
10_________________________________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．
二求下列方程的解（35%）
１
２求方程经过的第三次近似解
３讨论方程，的解的存在区间
4 求方程的奇解
5
6
7
三证明题（35%）
1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解
2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当
, 在上连续时,其解存在唯一
<%建设目标%>
《常微分方程》测试题 11
一．填空题（30%）。
1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全
微分方程。
2、________________称为齐次方程。
3、求 =f(x,y)满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的
解 y=作为的函数在它的存在范围内是__________。
5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是
__________________________________________。
6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。
7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =____________
8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点
9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定
的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（60%）
1、求解方程：=
2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一
切解
4、求解常系数线性方程：
5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算
6、试讨论方程组（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。
三、证明题（10%）。
试证：如果满足初始条件的解，那么
《常微分方程》测试题 13
一、判断题（10%）
1．方程是恰当方程。（）
2．是三阶微分方程。（）
3．是方程的通解。（）
4．函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零。（）
常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程． 二求下列方程的解 １ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 ３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012 =++λλ， 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分） 凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2
一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）
四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.
常微分方程期末考试试卷 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （30分） 1．)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60分） 10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
常微分方程习题集（3） （三）、计算题 1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ； 2. 解方程： 024=++xy xy dx dy ； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：； 6. 解方程： x y x y y x tan =-'； 7. 解方程： ； 8. 解方程：y y x e y ' ='； 9. 解方程：xy x y y x dx dy 3225423++-=； 10. 解方程：y x y y xy dx dy 22 ++-=； 11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='； 13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程： x x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3 432842y xy x y y x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程： ； 18. 解方程：04)4(=+x x ； 19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程： ； 22. 解方程：6244x y y x =+' ； 23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程： ； 25. 解方程：021 212 2=++'x y y ； 26. 解方程：04)3() 5(=-x x ；
常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（A ） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y ' 连续是保证方程 ),(d d y x f x y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2 1y y x y '+ '=的通解是221 C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()() x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --
二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）? =x x p d )(e μ （B ）? =x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-= 'x y y （ D ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=,12 15．求方程 0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 解：取()()x y y x N x y y x M ln ,,,3 +== 则()()x y x N y x M x y 1 ,,==，于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1 3 1
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，
计 算 题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+ -=的通解 4、求方程组dx dt y dy dt x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程 '24y xy x += 6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程 ''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程 x y y e x (')-= 14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解
17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解 18、解微分方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式： 1 0|()()|(1)! n n n ML x x x x n ??+-≤-+。 22、求初值问题 22,(1)0dy x y y dx =--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义 区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。 23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ??-+= ??? 24、2 221dy y dx x y ??+= ?+-?? 25、 21210dy x y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x = +- 28、22dy y x dx xy -=
13级常微分方程期中考试试卷 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________， 则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。
《常微分方程》第二阶段试题 一. 单选题 1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（ ） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ； )sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。 2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是（ ） （A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式为零 （C ）12()=() x C x ??（常数） （D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=不是基本解组的充要条件是（ ） （A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式不为零 （C ）12()() x C x ??≠（常数） （ ）线性相关 4.线性齐次微分方程组()dx A t x dt =的一个基本解组的个数不能多于（ ） （A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（ ）个． （A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n 6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1，则此方程通解为（ ） （A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-； （B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-； （C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-； （D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=- 7.方程x xe y y 2'2"=-的特解具有形式（ ）。 （A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=; （C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。 8.微分方程x x y y 2sin =+''的一个特解应具有形式（ ） （A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+ （C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）()cos Ax B x +2 9.微分方程210y y '''++=的通解是（ ） （A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21； （C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 2 1sin cos 21-+=。 10.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中C C 12,为任意常数）（ ） （A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin （C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin 11.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( ) （A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x + 12.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( ) （A ）A x sin （B ）A x cos （C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+
《常微分方程》期末 模拟试题
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的 解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的 特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35 323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 21d d y x y -=)1,2 (π x x y x y +-=d d y x y =d d
12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方 程组 45?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设1342A ??=????，则线性微分方程组dX AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--?? =??-?? t t t t e e t e e 。 二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、 答案：方程化为 令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为 2、 答案：特征方程为 即。 特征根为 ， 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 ∴ 原方程组的通解为 。 0d d )2(=-+y x x y x x y x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u x u x +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2 ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 014 11=--= -λ λλE A 0322=--λλ31=λ12-=λ? ?? ???=????????????--0031413111b a ??????=??????2111b a 12-=λ??? ???-=??????2122b a ?? ????-+??????=??? ???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331