浙江大学城市学院2004——2005学年第二学期期末试卷
课程名称：微积分B 考试形式： 闭 卷 考试时间：2小时
6分，共18分）
1． 设→
→
→
→
++=k j i a 2，→
→
→
→
++=k j i b 4，求→
→
→
?+b b a )2(。
2． 求过点)2,0,1(-且与平面012=-+y x 及平面0324=-+-z y x 都平行的直线方程。
3． 求直线
=+33x =-+22y 1
z
与平面0622=+++z y x 的交点的坐标。
二． 求解下列各题（每小题6分，共18分）
1． 设),(y x z z =由方程3
3
3a xyz z =-所确定（a 是常数），求
x
z ??，y z ??。
2．设(
)
y x xy x f z 2
22,-=，求x z ??，y
z
??。
3．设()sin y
z x y =+，求dz 。
三．求解下列各题（每小题6分，共18分） 1．求二重积分??D
xydxdy ，其中D 是由直线x y -=2，x y =及0=x 所围成的平面区域。
2． 求二重积分
??
+D
d y x σ22，其中{}
0,4),(22≥≤+=y y x y x D 。
3．求三重积分???Ω
xdv ，其中Ω是平面12=++z y x 与三个坐标平面所围的空间区域。
四．求解下列各题（每小题6分，共18分） 1．判定级数∑
∞
=1
2)sin(n n
n n 的敛散性，并给出理由（若是收敛，要说明是条件收敛还是绝对收
敛）。
2．证明级数∑∞
=--1
1
ln )1(n n n
n
收敛。
3． 求幂级数∑∞
=-1
1
n n nx
的收敛半径、收敛区间（包括端点）及和函数。
五．求解下列各题（每小题6分，共12分） 1．计算第一类曲线积分?
l
dl y 2，其中l 是上半圆周222a y x =+，0≥y 。
2．计算第二类曲线积分 ?
Γ+OA
ydy x dx xy 22，其中OA Γ是抛物线2x y =自点)0,0(至点(3,9)的有向弧。
六． 求解下列各题（第1、2小题每小题5分，第3小题6分，共16分）
1．求解初值问题2
11,5.
4x y y x x y =?'+=??
??=??
2．求方程02)1(2
='-''+y x y x 的通解。
3．设有一平面过三点)0,0,(a ，)0,,0(b ，),0,0(c ，其中0,0,0>>>c b a 。
（1） 写出该平面的方程式。 （2） 试求该平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积。
（3） 设该平面过点)2,3,1(M ，试求当c b a ,,为何值时，该平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小。