关于传送带传送物体的结论总结
1. 基本道具：传送带（分水平和倾斜两种情形）、物件（分有无初速度两种情形）
2. 问题基本特点：判断能否送达、离开速度大小、历时、留下痕迹长度等等。
3. 基本思路：分析各阶段物体的受力情况，并确定物件的运动性质（由合外力和初速度共同决定，即动力学观点）
4. 典型事例： 一、水平传送带
例1：如图所示，设两半径均为R 的皮带轮轴心间距离为L ,物块与传送带间的动摩擦因素为μ.物块（可视为质点）质量为m ，从水平以初速度v 0滑上传送带左端。试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色） （一） 若传送带静止不动，则可能出现： 1、v 0=gL μ2,恰好到达右端，v t =0，历时t =g
v μ0
， 留下痕迹△S=L
2、v 0﹥gL μ2，从右端滑离，v t =L v g 220
μ-,历时t =
g
gL
μμ2v v 2
00--，留下痕迹
△S=L
3、v 0＜gL μ2，只能滑至离左端S =g v μ220处停下，v t =0，历时t =g
v μ0
，留下痕迹△S=S =g v μ220
（二） 若传送带逆时针以速度匀速运动，可能出现： 1、v 0=gL μ2恰好能（或恰好不能）到达右端，v t =0，历时t =
g
v μ0
，留下痕迹长△S 有两种情形：（1）当v ＜
0)2(v g R L μπ+时，△S=vt+L =g
v v μ0?+L ;(2)当v ≥0)2(v g
R L μπ+时，
△S =2（L +πR _）{注意：痕迹长至多等于周长，不能重复计算}。
2、v 0﹥gL μ2，从右端滑出，v t =L v g 22
0μ-，历时t =
g
gL
μμ2v v 2
00--，留下的痕迹
长△S 也有两种情形：（1）当v ＜
t
R
L π2+时，△S =vt +L ；（2）当 v ≥t R L π2+时，
△S =2（L +πR ）
3、v 0＜gL μ2，物块先向右匀减速至离左端S =g v μ22
0处，速度减为零，历时t 1=g
v
μ0，之
后，
（1）如果v 0≤v ，物块将一直向左匀加速运动，最终从左端滑落，v t =v 0，又历时t 2=t 1，留下的痕迹长△S =2vt 1（但至多不超过2L +2πR ）。
（2）如果v 0＞v ,物块将先向左匀加速运动一段时间t 2=
g
v
μ，再随传送带一起向左匀速运动一段时间t 3=gv v v μ2)(220-，最终从左端滑落；v t =v ，留下的痕迹长△S =v （t 1+t 2）+2
0v
（t 1-t 2）
（但最多不超过2L +2πR ）.
(三)若传送带顺时针以速度v 匀速运动，可能出现
1.0≤v 0≤gL v μ22-，物块一直做匀加速运动，从右端滑出，v t =gL v μ22
0+，历时
t =
g
v gL v μμ0
2
02-+，留下的痕迹长△S =（vt －L ）(但最多不超过2L +2πR )
2. gL v μ22-＜v 0＜v ,物块先向右做匀加速，历时t 1=
g
v v μ0
-，后随传送带一块以速度v 匀速运动，历时t 2=gv v gL v μμ22220-+，v t =v ，留下的痕迹长△S =g
v v μ2)(2
0-（但此时必有△S
＜L ）
3．v 0=v ，物块始终随传送带一块向右匀速运动，历时t =0
v L
，v t =v ，△S =0 二、倾斜传送带:
例2：如图所示。传送带倾角为θ,两轮半径均为R,轴心间距离为L 。物块的质量为m （可视为质点）。与传送带间的动摩擦
因数为μ,试讨论物体在传送带上留下的痕迹（假设物块为深色，传送带为浅色）：
(一)传送带顺时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最低端，可能出现：
1. μ≤tanθ,即mgsinθ≥mgcosθ ,无论V 多大物块无法被传递到顶端;
2. μ＞tanθ,即mgsinθ<μmgcosθ，说明物块放上后将向上匀加速运动（受力如图），加速度a =g (μcosθ－sinθ) (1) 如果v ≥
L g )sin cos (2θθμ- ，则物块一直向上做匀加速运动，至顶端
v t =L g )sin cos (2θθμ-,历时 t =
a L 2=)
sin cos (2θθμ-g L , 留下的痕迹长△S = v t －L (但至多不超过2πR +2L )。 (2) 如果v ＜
L g )sin cos (2θθμ-，则物块先向上匀加速运动至离底端
S 1=)sin cos (22θθμ-g v ，历时t 1=)
sin cos (θθμ-g v
;之后，∵mgsinθ<μmgcosθ，滑动
摩擦力突变为静摩擦力，大小f ’=mgsinθ，物块随传送带一起以速度v 向上匀速运动，直至从顶端滑离；v t = v ，又历时t 2=
v L
－)
sin cos (2θθμ-g v ; 留下的痕迹长△S =)
sin cos (22
θθμ-g v = S 1＜L 。
（二）传送带顺时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现： 1．μ≥tanθ,即mgsinθ≤μmgcosθ，无论v 多大，物块无法被传递到底端；
2．μ＜tanθ,即mgsinθ＞μmgcosθ，物体将匀加速下滑，加速度a =g (sinθ－μcosθ), 从底端滑离；v t =)cos (sin 2θθ-gl ，历时t =
)
cos (sin 2θθ-g L
,
留下的痕迹长△S = vt +L （但至多不超过2πR +2L ）。
(三) 传送带逆时针以速度v 匀速运动，而物块轻放于最顶端，可能出现：
1. v ≥L g )sin cos (2θθμ+，物块一直向下匀加速运动，a =g (sinθ+μcosθ),从底端滑离；v t =L g )sin cos (2θθμ+，留下痕迹长△S =vt －L (但至多不超过2πR +2L )。
2. v ＜L g )sin cos (2θθμ+，物块先向下以加速度a 1=g (sinθ+μcosθ)做匀加速运动，
至距顶端S 1=)sin cos (22θθμ+g v 处，速度达到v ，历时t 1=)
sin cos (2θθμ+g v
,此后，
（1）如果μ＜tanθ，则继续以a 1=g (sinθ－μcosθ)向下做加速运动，从底端滑离时
v t =)(2122S L a v -+,又历时t 2=
2
a v
v t -，整个过程中留下痕迹长为△S ，①当v t ≤3 v 时， △S =)
sin cos (22
θθμ+g v = S 1；②当v t ＞3 v 时，△S =2)(2t v v t -
(2) 如果μ≥tanθ，则物块将随传送带以速度v 一起向下匀速运动(这期间滑动摩擦力变为沿斜面向上的静摩擦力)，直至从底端滑离；v t = v ，又历时t 2=
v
S L 1
-,整个过程中，留下的痕迹长△S=)
sin cos (22
θθμ+g v = S 1。
（四）设传送带足够长，且μ≥tanθ，开始时，传送带静止，物块轻放于最顶端。现让传送带以恒定的加速度a 0逆时针开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，物块在传送带上面留下了一段痕迹，物块相对于传送带不再滑动。求此痕迹的长度△S 。
【分析】依题意可知，物块能在传送带上留下一段痕迹，现设传送带匀加速运动时的加速度a 0＞g (sinθ+μcosθ).如果a 0≤g (sinθ+μcosθ)，则物块将随着传送带一起运动，并始
终保持相对静止，不会留下一段痕迹，这与题设条件不符。
设传送带匀加速运动时间t 1,自开始至物块速度也达v 0共历时t ，则 v 0= a 0t 1=at ①
物块速度达到v 0之前，受力如图甲，加速度a = g (sinθ+μcosθ). ② 物块在传送带上留下的痕迹长△S = a 0t 12
+ v 0（t －t 1）－
2
1at 2
③ 物块速度达到v 0时，∵mgsinθ≤μmgcosθ ,滑动摩擦力（沿斜面向下）
突变为静摩擦力
F 静= mgsinθ（方向沿斜面向上），之后，相对传送带静止随传送带一起以v 0向下匀速运动。受力如图乙所示。联立① ② ③可得;
△S=)
cos (sin 2)]cos (sin [002
0θμθθμθ++-g a g a v
巩固练习
1．如图所示,一水平方向足够长的传送带以恒定的速度v 1沿顺时针方向运动，传送带右端有一与传送带等高的光滑水平面，物体以恒定的速率v 2沿直线向左滑上传送带后，经过一段时间又返回′光滑水平面上，这时速率为v 2A 、若v 1
C 、不管v 2多大，总有v 2′=v 2
D 、只有v 1=v 2时，才有v 2′=v 1
2．已知一足够长的传送带与水平面的倾角为θ，以一定的速度匀速运动。某时刻在传送带适中的位置冲上一定初速度的物块（如图a ），以此时为t =0时刻记录了小物块之后在传送带上运动速度随时间的变化关系，如图b 所示（图中取沿斜面向上的运动方向为正方向，其中两坐标大小v 1＞v 2）。已知传送带的速度保持不变，物块与
传送带间的μ＞tan θ（g 取10 m/s 2
），则（ ） A ．0～t 1，物块向上做匀减速运动 B ．t 1～t 2，物块向上做匀加速运动
C ．0～t 2，传送带对物块的摩擦力始终沿斜面向下
D ．t 2以后物块随传送带一起向上做匀速运动不受摩擦力作用 3．将一个粉笔头轻放在以2m/s 的恒定速度运动在足够长的水平传送带上后，传送带上留下一条长度为4m 的划线。若使该传送带仍以2m/s 的初速改做匀减速运动，加速度大小恒为
1.5m/s 2
，且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一粉笔头（与传送带的动摩擦因数和第一个相同）轻放在传送带上，该粉笔头在传送带上能留下一条多长的划线？
3．解析：在同一v －t 坐标图上作出两次划线粉笔头及传送
带的速度图象，如图所示。第一次划线。传送带匀速，粉笔头
匀加速运动，AB 和OB 分别代表它们的速度图线。速度相等时（B 点），划线结束，图中 的面积代表第一次划线长度
，即B 点坐v 2
v 1
t v v 0
v 1
传送带
粉笔头 f
N a 图甲
mg
F 静N
v 0mg
图乙
标为（4，2），粉笔头的加速度 。
第二次划线分两个AE 代表传送带的速度图线，它的加速度为 可算出E 点坐标为（4/3，0）。
OC 代表第一阶段粉笔头的速度图线，C 点表示二者速度相同，
即C 点坐标为（1，0.5）该阶段粉笔头相对传送带向后划线，划线长度 。等速后，粉笔头超前，所受滑动摩擦力反向，开
始减速运动， 由于传送带先减速到0，所以后来粉笔头一直匀减速至静止。CF 代表它在第
二阶段的速度图线。可求出F 点坐标为（2，0）此阶段粉笔头相对传送带向前划线，长度 。
可见粉笔头相对传送带先向后划线1m ，又折回向前划线1/6m ，所以粉笔头在传送带动能留
下1m 长的划线。
4．如图所示，传送带与地面倾角θ=37°，AB 长为16m ，传送带以10m/s 的速度匀速运动。在传送带上端A 无初速地释放一个质量为0.5kg 的有
色物体，它与传送带之间的动摩擦系数为μ=0.5，（g =10m/s 2
） 求：物体从A 运动到B 的过程中，有色物体在传送带上留下的痕迹？ 4． 提示：ΔS 1= s 1′- s 1=5m 超前 ΔS 2= s 2- s 2′=1m 落后 ΔS 1>ΔS 2 痕迹L=5m
5．如图所示，传送带始终保持v =4m/s 的速度顺时针方向运动，一个质量为m =1.0kg ，初速度为零的小物体放在传送带的左端a 处，若物体与传送带之间的动摩擦因素μ=0.2，传送带左右两端ab 的距离为s =8m 。求物体从左端a 处运动到右端b
处的时间; 5． t = 3s
6．如图所示，电动机带着绷紧的传送皮带始终以υ0＝2m ／s 的速度运动，传送带与水平面的夹角为30°，现把某一工件轻
轻地放在皮带的底端，经过一段时间后，工件被送到高h ＝2m 的平台上，已知工件与皮带间的动摩擦因数μ=3/2，2
=10m/s g ,求： (1) 工件从传送皮带底端运动到顶端所用的时间； (2) 在此过程中工件在传送带上留下多长的划痕。 6．解：（1）工件刚开始运动时与传送皮带之间有相对滑动，
工件刚开始沿传送皮带向上匀加速运动.斜面长度
m 430sin =?
=h
L
工件匀加速运动时ma mg mg =?-?30sin 30cos μ 工件的加速度2
m /s 5.230sin 30cos =?-?=g g a μ 工件达到速度υ0＝2m/s 所需时间s 8.00
1==
a
v t 此过程工件沿传送皮带向上运动的位移
A B s m
b ω
30
h
2111
0.8m 2
x at =
=﹤L 在此之后由于工件与传送皮带相对静止，工件以υ0＝2m/s 的速度匀速直线运动
工件匀速运动经历1
20
1.6s L x t v -==
工件从传送皮带底端运动到顶端所用的时间s 4.221=+=t t t
（2）在工件匀加速运动过程中传送皮带运动的距离为201 1.6m x v t == 此过程中的相对位移大小（即划痕）为21-0.8m x x x ?==
7. (06高考题)一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ.初始时，传送带与煤块都是静止的.现让传送带以恒定的加速度a 0开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动.经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动.求此黑色痕迹的长度.
7．解：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a 小于传送带的加速度a 0。根据牛顿定律，可得 a =μg
设经历时间t ，传送带由静止开始加速到速度等于v 0，煤块则由静止加速到v ，有
v 0=a 0t v =at