中考数学动态几何与函数问题
【例1】
如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E.
（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积.
（2）当24
<<时，求S关于t的函数解析式.
t
【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M点是何含义，于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24
<<时，阴
t
影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。
【解】
（1）由图（2）知，M点的坐标是（2，8）
∴由此判断：24
，；
==
AB OA
∵N点的横坐标是4，N Q是平行于x轴的射线，
∴4
C O=
∴直角梯形O A B C 的面积为：()()11244122
2
AB O C O A +?=
+?=..... (3分)
（2）当24
t
<<时，
阴影部分的面积=直角梯形O A B C 的面积-O D E
?的面积 (基本上实际考试中碰到这
种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)
∴1122
S O D O E
=-? ∵
142O D O D t
O E
==-，
∴()24OE t =- . ∴()()()
2
1122441242
S t t t =-
?-?-=--
2
84
S t t =-+-.
【例2】
已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x
=
>的图象与AC 边交于点E ．
（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿E F 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE 和△FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K 。所以
直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个△EOF 的面积该怎么算，事实上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT △面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT △面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK.
【解析】
（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ， 由题意得11
k y x =
，22
k y x =
．
111112
2
S x y k ∴==
，222112
2
S x y k ==
．
12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．
（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33k
E ?? ???，，44k
F ?? ???
，， (想不到这样设点也可以直接用X 去代入,麻烦一点而已)
1111432
234EC F S EC C F k k ????
∴=
=
-- ? ?????
△， 11121222
EO F AO E BO F EC F EC F EC F
AO BC S S S S S k k S k S ∴=---=-
-
-=--△△△△△△矩形
11112212243234O EF EC F EC F S S S k S k k k ????
∴=-=--=--?
-- ? ?????
△△△ 2
112
S k k ∴=-+．
当
16
1212k =-
=??
?- ?
??
时，S 有最大值．
13
1412S -=
=???- ?
??
最大值．
（3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿E F 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．
由题意得：3EN AO ==，143
E M E C k ==-
，134M F C F k ==-
，
90EM N FM B FM B M FB ∠+∠=∠+∠=
，EMN MFB ∴∠=∠．
又90EN M M BF ∠=∠= ，
ENM MBF ∴△∽△．(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中)
E N E M M B M
F ∴=，11
414312311331412k k M B k k ?
?--
???∴==??-- ?
??
，
94
M B ∴=
．
22
2
M B BF
M F += ，2
2
2
913444k k ??????∴+=- ? ? ?
?????
?，解得218k =． 214
32
k B F ∴==
．
∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432??
???
，．
【例3】
如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。
（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
D
图1
【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些量没有变化。对于该题来说，当P,Q 运动时，△BPQ 的高的长度始终不变，即为CD 长，所以只需关注变化的底边BQ 即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量—高，过Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明△PEQ 和△BCD 是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有PE 是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和它休戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。
【解析】
解： （1）如图1，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。 ∴PM ＝DC ＝12 ∵QB ＝16－t ，∴S ＝
12
×12×(16－t)＝96－t
（2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。热以B 、P 、Q 三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。
①若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，22212PQ t =+，由PQ2＝BQ2 得 22212(16)t t +=-，解得t ＝
72
；
②若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，222(162)12BP t =-+。由BP2＝BQ2 得：
222
(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。
由于Δ＝－704＜0
∴23321440t t -+=无解，∴PB ≠BQ …
③若PB ＝PQ 。由PB2＝PQ2，得222212(162)12t t +=-+ 整理，得23642560t t -+=。解得1216163
t t ==，（舍）（想想看为什么要舍？函数
自变量的取值范围是多少？）
综合上面的讨论可知：当t ＝7
1623
t =
秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等
腰三角形。
（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图2，过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，
得
D C P
E BC
EQ
=，即
1216
12
t =
。解得t ＝9
所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。 【例4】
在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；
（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）
（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．
【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作，所以加大了思考的难度,但是这个条件基本不影响做题,不需要太专注于其上。首先应当注意到的是在运动过程中DE 保持垂直平分PQ 这一条件，然后判断t 可能的范围.因为给出了AC 和CB 的长度,据此估计出运动可能呈现的状态.第一问简单不用多说,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数.第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式.DE//QB 和PQ//BC 都要分情况讨论.最后一问则可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ 的等量关系去求解.
解：（1）1，8
5；
（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP= t ，∴3AP t
=-由△AQF ∽△ABC ，4BC ==， 得
4
5
Q F t =．∴45
Q F
t
=
．
图2
A P
图3
A
P
∴14(3)2
5S t t
=
-?，
即2
265
5
S
t t
=-+
．
（3）能．
①当DE ∥QB 时，如图4．
∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC ，得A Q A P A C
A B
=，
即
335
t t -=． 解得98
t
=
．
②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED
此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 A
Q A P A B
A C
=，
即
353
t t
-=． 解得158
t =
．
（4）52
t
=
或4514
t
=．
【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．
PC t
=，2
22
Q C
Q G C G
=+2
2
3
4
[(5)][4(5)]
55
t t =-+--．
由22
P C
Q C
=，得222
34[(5)][4(5)]
55
t t t =-+--，解得52
t =
．
方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得
B BCQ
∠=∠，得CQ BQ =，∴52
AQ
BQ ==
．∴52
t
=
．
②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．
2
2
2
3
4
(6)[(5)][4(5)]
55
t t t -=-+--，4514
t
=
【例5】
如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿D E 方向运动，过点P 作P Q B C ⊥于Q ，过点Q 作Q R B A ∥交
AC 于
A
P 图4
A
P
图5
A A
R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设B Q x =，Q R y =．
（1）求点D 到BC 的距离D H 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P ，使P Q R △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算DH 的长度实际上就是后面PQ 的长度，在构建等腰三角形中发挥重要作用。算DH 的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到y(QR)和x(BQ)要通过哪些量练联系在一起.我们发现RQ 和QC 所在的△QRC 和△BAC 是相似的,于是建立起比例关系得出结果.第三问依然是要分类讨论,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下.不同类之间的解法也有所不同,需要注意一下.
解：（1） Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．
点D 为A B 中点，132
B D A B ∴=
=．
90D H B A ∠=∠=
，B B ∠=∠．
BHD BAC ∴△∽△，
D H B D A C
B C
∴=，312810
5
BD D H AC BC
∴=
=
?=
．
（2）Q R A B ∥，90Q RC A ∴∠=∠= ． C C ∠=∠ ，RQ C ABC ∴△∽△，
R Q Q C A B
B C
∴=，106
10
y x -∴
=
，
即y 关于x 的函数关系式为：365
y x =-+．
（3）存在，分三种情况：
①当PQ PR =时，过点P 作PM Q R ⊥于M ，则Q M RM =．
A
A B
C
D E
R P
H Q
1290∠+∠= ，290C ∠+∠=
，
1C ∴∠=∠．
84cos 1cos 10
5
C ∴∠==
=，45
Q M Q P
∴
=
，
136425125
5
x ??-+ ???∴=
，185x ∴=． ②当P Q R Q =时，31265
5
x -+=
，
6x ∴=．
③当P R Q R =时，则R 为P Q 中垂线上的点， 于是点R 为EC 的中点，
11
224C R C E AC ∴=
==．
tan Q R BA C C R
C A
=
=
，
3665
2
8
x -+∴
=
，152
x ∴=．
综上所述，当x 为185
或6或152
时，P Q R △为等腰三角形．
【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。
第二部分 发散思考
H
A B
C
D E R P
H
Q
【思考1】
如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：
（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒；
（3）求y 与x 之间的函数关系式．
【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将
x 运动分成三个阶段,第一个阶段是0≤X ≤3，到3时刚好Q 到B.第二阶段是3≤X ≤6，
Q 从B 返回来.第三阶段则是再折回去.根据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可.
【思考2】
已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q 分别从A,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.
(1)填空：菱形ABCD 的边长是 、面积是 、 高BE 的长是 ； (2)探究下列问题：
①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；
②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k 的值.
【思路分析】依然是面积和时间的函数关系，依然是先做垂线，然后利用三角形的比例关系去列函数式。注意这里这个函数式的自变量取值范围是要去求的，然后在范围中去求得S 的最大值。最后一问翻折后若要构成菱形，则需三角形APQ 为等腰三角形即可，于是继续分情况去讨论就行了。
【思考3】
已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边A B 上沿A B 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作A B 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．
（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形M N Q P 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形M N Q P 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形M N Q P 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
O
x
y A
B
C D
E
C P
Q
【思路分析】 第一问就是看运动到特殊图形那一瞬间的静止状态，当成正常的几何题去求解。因为要成为矩形只有一种情况就是PM=QN ，所以此时MN 刚好被三角形的高线垂直平分，不难。第二问也是较为明显的分段函数问题。首先是N 过AB 中点之前，其次是N 过中点之后同时M 没有过中点，最后是M,N 都过了中点，按照这三种情况去分解题目讨论。需要注意的就是四边形始终是个梯形，且高MN 是不变的，所以PM 和QN 的长度就成为了求面积S 中变化的部分。
这一类题目计算繁琐，思路多样，所以希望大家仔细琢磨这8个经典题型就可以了，中考中总逃不出这些题型的。只要研究透了，面对它们的时候思路上来的就快，做题自然不在话下了。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】 解：（1）6． （2）8．
（3）①当03x <≤时，
11
1sin 60222AP Q y S AP AQ x x ==
?=13△1·····②当3x <≤6时，
12222
2212
1sin 6021(12-2)
2
2
A P Q y S A P P Q A P C Q x x ==?=△= ····
=2
.2
x -
+
③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)
Q1
B
C
D
Q3
过3Q 作3,Q E CB ∥则3C Q E △为等边三角形．
33333
212..Q E C E C Q x Q E C B C O P EO Q ∴===-∴ ∥△∽△
3361,
2122
11(212),
3
3
C P O C x O E
EQ x O C C E x -∴
=
=
=
-∴==-
3
333311sin 60sin 6022
AQ P AC P C O P y S S C P AC O C C P ===-
△△△-S ··°··°
111(6)(212)(6)2
2
2
3
2
x x x =-?-
?--?
·6．
2
6
2
x x =-
+
-
（解法二）
如右图，过点O 作3O F C P ⊥于点F ，3O G C Q ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交D C 延长线于点H ．
,.
ACB ACD OF OG ∠=∠∴=
又33,6,2122(6),C P x C Q x x =-=-=-
3312C Q P C O Q S S ∴=
△△
333332
1,
3
11
3211(212)(6)3
2
2
(6).
6C O P C P Q S S C Q P H x x x ∴==?=?--=-△△···
P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H F
又331sin 602
AC P S C P AC =
△··°
1(6)62
2
(6).
2
x x =-??=-
3A O P y S ∴=△
332
6)6)
26
AC P O C P S S x x =-=--
-△△
2
6
2
x x =-+
-
【思考2解析】 解：（1）5 , 24,
5
24
（2）①由题意，得AP=t ，AQ=10-2t.
如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得 △AQG ∽△ABE,∴BA
QA BE
QG =,
∴QG=25
48548t -, …………………………1分
∴t t QG AP S 5
2425242
12
+
-
=?=
(
2
5≤t ≤5).
……1分 ∵6)25(25242
+-
-=t S (
2
5≤t ≤5).（这个自变量的范围很重
要）
∴当t=
2
5时，S 最大值为6.
② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组
成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t=4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP=4. 以下分两种情况讨论:
第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE>PA ，∴只存在点Q1,使
Q1A=Q1P.
如图2,过点Q1作Q1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q1M 交AC 于点 F,则AM=
122
A P =.由△AMF ∽△AOD ∽△CQ1F,得
4
31
1=
==
AO
OD CQ F Q AM
FM , ∴2
3=
FM ,
∴10
3311=-=FM MQ F Q .
∴CQ1=QF 34
=
225
.则
1
1CQ AP t
k t =??, ∴11110
C Q k A P
=
=
.
第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.
①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6. 则
2
1BQ
CB AP t
k t +=
??,∴2
32
C B B Q k A P
+=
=
.
②若PA=PQ3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ， 由△ANP ∽△AEB,得AB
AP AE AN =
.
∵AE=5
72
2
=
-BE AB , ∴AN ＝2825
.
∴AQ3=2AN=5625
, ∴BC+BQ3=10-25
19425
56=
则3
1BQ
CB AP t
k t +=
??.∴50
973
=
+=
AP
BQ CB k .
综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为10
11或
2
3或
50
97.
【思考3解析】
过点A '作A N AB '⊥垂足为N 点， 在Rt H CD '△中， 若H D H '∠不小于60°，
则
sin 602
H C H D
'?=
'≥
D
即2
H C D ''=≥
B M H
C ''= ≥ Rt Rt A NP B MP '' △∽△
A N A P
B M
B P
''∴=''
3.5cm 12
A P
B M A N B P
'''∴=
='·≥
∴踏板A B 离地面的高度至少等于3.5cm ．
26．（10分）
（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2A D =，
当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形M N Q P 是矩形， 即32
A M =
时，四边形M N Q P 是矩形，
32
t ∴=
秒时，四边形M N Q P 是矩形．
tan 60PM AM = °=
M N Q P S ∴=
四边形
（2）1°当01t <<时，
1()2
M N Q P S P M Q N M N =+四边形·
11)2t ?=+
+?
2
=
+
2°当12t ≤≤时
1()2
M N Q P S P M Q N M N =+四边形·
1
)12t ?=+-?
·
= 3°当23t <<时，
C P
Q
B
A
M D N
C P
Q
B
A M N C
P
Q
A M N
1()2
M N Q P S P M Q N M N =+四边形·
1
))2t t ?=-+-?
=+
C
P
Q
B
A
M
N
中考专题复习------动态几何 图形的运动变化问题。 【典型例题】 例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ? 的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ，求CD 的长。 分析：连接OM 交CD 于E ， ∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ? 中点 ∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC = 3 ∴ CE CD = =3 23， 例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。 （1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的
过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E DC 为⊙O 切线 （2）若∠ABC 为直角 则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BC DC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线 DC AB BE = =1212 例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。 （1）求△ABC 中AB 边上的高h ； （2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ 分析：（1）∵AB 为半圆直径 ∴∠ACB ＝90° ∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10 ∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝x
[导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的，解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流． 随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试
动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.
中考压轴题系列动态几何之面动形成的函数关 系问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题 专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题。 面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究 在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1.如图，点G、E、A、B在一条直线上，等腰直角△EFG从如图所示是位置出发，沿直线AB以1单位/秒向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动。已知AD=1，AB=2，设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S平方单位，运动时间为t秒，则S与t的函数关系 是。 【答案】 () () () 2 2 1 t t0t1 2 1 S1 中考数学动态几何与函数问题 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()11 2441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1 122 S OD OE =-? ∵ 1 42 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()2 1122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x = >的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少 （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上△AOE 和△FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数K 。所以直 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度， 点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四 边形的第四个顶点M的坐标． 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 专题三：中考动态几何问题（第1课时） 课程解读 一、学习目标： 了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法． 二、考点分析： 近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容，有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性． 知识梳理 几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法． 典型例题 知识点一：动点问题 例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点 N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（） 思路分析： 1）题意分析：本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等． 解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD 是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y，再根据y与t之间的关系式确定函数图象． 2、如图所示，已知直线 3 1 y x =-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB 为直角边在第一限象内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点。 2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得 中考数学重难点专题讲座动态几何与函数问题 含答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学重难点专题讲座 第八讲动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l.将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E. （1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. （2）当24 t<<时，求S关于t的函数解析式. 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问 题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。本专题原创编写线动点形成的函数关系问题模拟题。 线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。 在中考压轴题中，线动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。 原创模拟预测题1. 如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC= 线l 垂直于BC ，且从经过点B 的位置向右平移，直至经过点C 的位置停止，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数关系式是 ▲ 。 【答案】。 【考点】动线问题的函数图象，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。 【分析】如图1，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ， ()()()2 21x 0x 22S 2x 22x 41 x 6x 104x 62 ?≤≤??? =-≤???-+-≤??＜＜ 中考数学专题3 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形． A B M C N E D ∵AB DE ∥，AB MN ∥． ∴DE MN ∥． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN 放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴MC NC EC CD =． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ∴ 1021035t t -=-．解得5017t = ． 【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC 即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （2）分三种情况讨论： 动态几何问题 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题． 在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法． 原创模拟预测题1．如图，已知直线3 34y x = -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB ．则△PAB 面积的最大值是（ ） A ．8 B ．12 C ．21 2 D ．172 【答案】C ． 【解析】 试题分析：∵直线334y x = -与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，﹣3），34120x y --=，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，∴ 点C （0，1）到直线34120x y --=223041234?-?-+16 5，∴圆C 上点到直线 334y x =-的最大距离是1615+=215，∴△PAB 面积的最大值是121525??=212，故选C ． 考点：圆的综合题；最值问题；动点型． 原创模拟预测题2．菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ． 【答案】（233-，23-）． 【解析】 考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题． 原创模拟预测题3．如图，已知抛物线 2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线1x =-，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ． （1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标； （3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 中考专题复习：动态问题（1） 复习目标： 1.了解动态问题的主要形式：点动、线动、图动； 2. 掌握动态问题的解题策略：化动为静； 3.学会运用数形结合、分类讨论、转化等思想方法解决问题。 复习过程： 【活动一】：进入情境，感受动态 如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是（ ） 【活动二】：掌控动态，化动为静 问题1（点动型）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出 发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动． （1）求AC 、BC 的长； （2）设点P 的运动时间为x （秒），△PBQ 的面积为y （cm2），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； y O x A y O x B y O x C y O x D 备用图 B A C 备用图 B A C 先独立思考后小组交流： 1.点P 、Q 的运动路线？谁先到达终点？ 2.你能用含有t 的式子表示出那些线段? 3.找出运动过程中的关键点（如起点、终点、转折点），分别画出各阶段的图形，并写出相应的t 的取值范围。 问题2（线动型）如图，直线y =-x 43- +6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线y =x 4 5与AB 交 于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ．设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）． （1）直接写出点的坐标A 、C 的坐标．并用含t 的式子表示点E 、P 、Q 的坐标。 （2）当．0．＜．t ．＜．5．时．，求S 与t 之间的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围. 先独立思考后小组交流： D C B A O x y D C B A O x y 中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图 二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()11 2441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1 122 S OD OE =-? ∵ 1 42 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()2 1122441242S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x = >的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； 中考数学中的探究性问 题动态几何 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 中考数学中的《探究性问题——动态几何》 动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查 学生的综合分析和解决问题的能力。 有关动态几何的概念，在很多资料上有说明，但是没有一个统一的定义，在这里就不在赘述了。本人只是用2005 年的部分中考数学试题加以说明。 一、知识网络 《动态几何》涉及的几种情况动点问题? 动线问题动形问题? ? 二、例题经典 1.【05 重庆课改】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2 个单位长度的速度向点A 移动,设点P、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； y (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似 24 A (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为 个平方单位 5 P Q 【解】（１）设直线AB 的解析式为y＝k x＋b 由题意，得b＝6 8k＋b＝0 3 解得k＝－b＝6 4 3 所以，直线AB 的解析式为y＝－x＋6． 4 （２）由AO＝6，BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1°当∠APQ＝∠AOB 时，△APQ∽△AOB． t 10 2t 30 所以＝解得t＝ (秒) 6 10 11 2°当∠AQP＝∠AOB 时，△AQP∽△AOB． t 10 2t 50 所以＝解得t＝ 10 6 13 (秒) （３）过点Q 作QE 垂直AO 于点E． BO 4 在Rt△AOB 中，Sin∠BAO＝ ＝ AB 5 O y y A P Q O A Q y B B B x x x 2011中考冲刺数学专题9——动态几何问题 【备考点睛】 动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中。 动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。 【经典例题】 类型一、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程。 例题1 如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 解答： （1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点，∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米，∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠， 则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒 ，∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． 龙文教育个性化辅导教案提纲 学生: 日期: 年 月 日 星期: 时段: 中考数学专题8 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 第一部分 真题精讲 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 B 图 B 图动点问题 题型方法归纳 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的 平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o． （1）求⊙O 的直径； （2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((< 中考压轴题动态几何之其他问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何之其他问题（平面几何）是除前述动态几何问题以外的平面几何问题，本专题原创编写动态几何之其他问题（平面几何）模拟题． 在中考压轴题中，其他问题（平面几何）的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究． 原创模拟预测题1．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发．按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（） A．B．C．D． 【答案】D． 考点：动点问题的函数图象；压轴题；动点型；分段函数． 原创模拟预测题2．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（） A．B．C．D． 【答案】B． 考点：动点问题的函数图象；分段函数． 原创模拟预测题3．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（）学科网 A．B．C．D． 【答案】C． 考点：动点问题的函数图象． 原创模拟预测题4．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（） 中考数学动态几何专题复习 图形的运动变化问题。 【典型例题】 例1. 已知；⊙O 的半径为2,∠AOB ＝60°，M 为AB ? 的中点，MC ⊥AO 于C,MD ⊥OB 于D ，求CD 的长。 分析：连接OM 交CD 于E ， ∵∠AOB ＝60°，且M 为AB ? 中点 ∴∠AOM ＝30°，又∵OM ＝OA ＝2 ∴OC = 3 ∴ CE CD = =3 23， 例2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，⊙O 过AE 的中点D ，DC ⊥BC ，垂足为C 。 （1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的 过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若∠ABC 为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1）） 分析：（1）AB ＝BE DC ＝CE ∠A ＝∠E DC 为⊙O 切线 （2）若∠ABC 为直角 则∠A ＝∠E ＝45°，DC ＝BC DC ∥AB ，DC ＝CE ，BE 为⊙O 的切线 DC AB BE = =1212 例3. 在直径为AB 的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图的设计方案是AC ＝8，BC ＝6。 （1）求△ABC 中AB 边上的高h ； （2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？ 分析：（1）∵AB 为半圆直径 ∴∠ACB ＝90° ∵AC ＝8，BC ＝6 ∴AB ＝10 ∴△ABC 中AB 边上高h ＝4.8m （2）设DN ＝x ，CM ＝h ＝4.8 则MP ＝x中考动态几何与函数问题
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