初中数学《数轴动态问题》专题练习
1．如图，已知数轴上有A 、B 、C 三个点，它们表示的数分别是﹣24，﹣10，10． （1）填空：AB =______，BC =______；
（2）若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．试探索：BC ﹣AB 的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
2．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．
（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．
（2）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒1
2个单位长度，点Q 的速度是
每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 可以追上点P ？ （3）在数轴上找一点M ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M 对应的数．（不必说明理由）．
3．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A 、B 是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．
（1）如果点A 表示数﹣3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是______，A 、B 两点间的距离是______；
（2）如果点A 表示数3，将A 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是______，A 、B 两点间的距离为______；
（3）如果点A 表示数﹣4，将A 点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B 表示的数是______，A 、B 两点间的距离是______；
（4）一般地，如果A 点表示的数为m ，将A 点向右移动n 个单位长度，再向左移动p 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示什么数？A 、B 两点间的距离为多少？ 4．【阅读思考】，小聪在复习过程中，发现可以用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”．探索过程如下：结合数轴，解答下面的问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是______，
【尝试应用】：
（2）把一条数轴在数m处对折，使表示﹣14和2014两数的点恰好互相重合，则m=______．
【问题解决】：
（3）请你借助“数轴上的距离”帮助小红解决下列问题：
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在______岁．
5．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n+1）（n为正整数）个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
（1）当n=1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为正数．
①数轴上原点的位置可能（）
A、在点A左侧或在A、B两点之间
B、在点C右侧或在A、B两点之间
C、在点A左侧或在B、C两点之间
D、在点C右侧或在B、C两点之间
②若这三个数的和与其中的一个数相等，则a=______．
（2）将点C向右移动（n+2）个单位得到点D，点D表示有理数d，a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，100时，对应的a的值分别为a1，a2，a3，…a100，则a1+a2+a3+…+a100=______．
6．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．
（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则a=______；
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是______ （用含n的代数式表示）．
7．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是______，点P表示的数是______（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
8．如图，已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为﹣2和8． （1）线段AB 长是______；
（2）若P 为线段AB 上的一点（点P 不与A 、B 两点重合），M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，请你画出图形，求MN 的长；
（3）若P 为数轴上的一点（点P 不与A 、B 两点重合，M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，当点P 在数轴上运动时；MN 的长度是否发生改变？请你画出图形说明，直接写出你的结论．
9．已知在数轴上A ，B 两点对应数分别为﹣4，20． （1）若P 点为线段AB 的中点，求P 点对应的数．
（2）若点A 、点B 同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M （M 点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．几秒后点M 到点A 、点B 的距离相等？求此时M 对应的数．
（3）在（2）的条件下，是否存在M 点，使3MA =2MB ？若存在，求出点M 对应的数；若不存在，请说明理由．
10．已知数轴上有A 、B 、C 三个点，它们表示的数是﹣24，﹣10，10． （1）填空：AB =______，BC =______；
（2）若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t 秒，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，用含t 的代数式表示BC 和AB 的长，并探索：BC ﹣AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？请说明理由．
11．如图，在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C 是AB 的中点，且a 、b 满足|a +3|+（b +3a ）2=0． （1）求点C 表示的数；
（2）点P 从A 点以3个单位每秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒向左运动，若AP +BQ =2PQ ，求时间t ；
（3）若点P 从A 向右运动，点M 为AP 中点，在P 点到达点B 之前：①P A ＋PB
PC 的值不变；②2BM ﹣BP
的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．
12．A、B、C三点在数轴上，点A表示的数是﹣6，点B在原点的右边且与点A相距15个单位长度．（1）求出点B表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点A和点B；
（2）若此数轴在一张纸上，将纸沿某一条直线对折，此时B点与表示数﹣1的点刚好重合，折痕与数轴有一个交点D，求点D表示的数的相反数；
（3）在数轴上有一点E，点E到点A和点B的距离之和为30，求点E所表示的数；
（4）A、B从初始位置分别以1单位长度/s和2单位长度/s同时向左运动，是否存在t的值，使t秒后点B 到原点的距离是点A到原点距离相等？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且|a+24|+|b+10|=0，又b，c互为相反数．（1）求a，b，c的值．
（2）若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点m表示的数．
（3）若电子蚂蚁丙从A点出发以4个单位/秒的速度向右爬行，问多少秒后蚂蚁丙到A，B，C的距离和为40个单位？
14．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一块一慢两列火车，快车长AB=2（单位长度），慢车长CD=4（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是b．若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且|a+8|与（b﹣16）2互为相反数．
（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度？
（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度？
（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即P A+PC+PB+PD为定值）．你认为学生P发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由．
15．思考下列问题并在横线上填上答案．
（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距______个单位．
（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是______．（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是______．
（4）若|a﹣3|=2，|b+2|=1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是______．
（5）数轴上点A表示8，点B表示﹣8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过______秒三个点聚于一点，这一点表示的数是______，点C在整个运动过程中，移动了______个单位．
16．如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答： （1）若将点B 向左移动3个单位后，三个点所表示的数中，最小的数是______； （2）若使点B 所表示的数最大，则需将点C 至少向______移动______个单位；
（3）若使C 、B 两点的距离与A 、B 两点的距离相等，则需将点C 向左移动______个单位；
（4）若移动A 、B 、C 三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有______种，其中移动所走的距离和最少的是______个单位；
（5）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第101次时，应跳______步，落脚点表示的数是______；跳了第n 次（n 是正整数）时，落脚点表示的数是______．
17．已知数轴上A 、B 两点对应数为﹣2、4，P 为数轴上一动点，对应的数为x ．
（1）若P 为线段AB 的中点，求P 对应的数．
（2）数轴上是否存在P ，使P 到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x ；若不存在，说明理由． （3）在（1）的情况下，A 点、B 点和P 点（P 在AB 的中点）分别以速度比1，4，5（单位长度/分），向右运动几分钟时，P 为AB 的三等分点．
18．已知：如图所示，点A 、B 分别为数轴上的两点，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a 、b 满足：|a +5|+（b ﹣10）2=0． （1）求线段AB 的长；
（2）动点C 从点A 出发沿着数轴正方向移动，M 为AC 的中点，点N 在数轴上点C 的左侧，且满足CN =
1
2AB ，试猜想线段MN 、CB 的数量关系，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当MN =1
5
AB 时，求此时点N 表示的数．
参考答案
1．【解答】解：（1）由图象可知AB =（﹣10）﹣（﹣24）=14，BC =10﹣（﹣10）=20． 故答案为14、20．
（2）设运动时间为t 秒．
∵BC ﹣AB =（20+7t ﹣3t ）﹣（14+t +3t ）=20+4t ﹣14﹣4t =6 ∴BC ﹣AB 的值与时间t 无关
∴BC ﹣AB 的值不随时间的变化而变化． 2．【解答】解：（1）∵a 是最大的负整数， ∴a =﹣1，
∵b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数， ∴b =3+2=5，
∵c 是单项式﹣2xy 2的系数， ∴c =﹣2， 如图所示：
评分细则：描对一个点或两个点均不给分．
（2）∵动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒1
2个单位长度，点Q 的速度是
每秒2个单位长度，
∴AB =6，两点速度差为：2﹣1
2，
∴6÷（2－1
2
）＝4，
答：运动4秒后，点Q 可以追上点P ．
（3）存在点M ，使P 到A 、B 、C 的距离和等于10， M 对应的数是2或者－22
3
（只写对一个给1分）．
3．【解答】解：（1）如果点A 表示数﹣3，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是4，A 、B 两点间的距离是7；
（2）如果点A 表示数3，将A 点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是1，A 、B 两点间的距离为2；
（3）如果点A 表示数﹣4，将A 点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B 表示的数是﹣13，A 、B 两点间的距离是9；
（4）一般地，如果A 点表示的数为m ，将A 点向右移动n 个单位长度，再向左移动p 个单位长度，那么请你猜想终点B 表示m +n ﹣p ，A 、B 两点间的距离为|n ﹣p |． 故答案为：（1）4，7；（2）1，2；（3）﹣13，9 4．【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是﹣2﹣（﹣5）=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，故答案为：3，4； （2）∵把一条数轴在数m 处对折，使表示﹣14和2014两数的点恰好互相重合，
∴m =1000，
故答案为：1000．
（3）设小红x 岁，爷爷y 岁，
根据题意得：y ﹣x =40+x ①；y ﹣x =125﹣y ②， 联立①②，解得：x =15，y =70， 则现在小红15岁，爷爷70岁． 故答案为：70． 5．【解答】解：（1）①把n =1代入即可得出AB =1，BC =2， ∵a 、b 、c 三个数的乘积为正数，
∴从而可得出在点A 左侧或在B 、C 两点之间； 故选C ；
②b =a +1，c =a +3
当a +a +1+a +3=a 时，a =﹣2 当a +a +1+a +3=a +1时，a =﹣3
2
当a +a +1+a +3=a +3时，a =﹣1
2
（舍去）
（2）依据题意得，b =a +1，c =b +n +1=a +n +2，d =c +n +2=a +2n +4．
∵a 、b 、c 、d 四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等， ∴a +c =0或b +c =0．∴a =﹣n ＋22或a =﹣n ＋3
2
；
∵a 为整数，∴当n 为奇数时，a =﹣n ＋32，当n 为偶数时，a =﹣n ＋2
2．
∴a 1=﹣2，a 2=﹣2，a 3=﹣3，a 4=﹣3，…，a 99=﹣51，a 100=﹣51，
∴a 1+a 2+a 3+…+a 100=﹣2650． 故答案为﹣2或﹣3
2
，﹣2650．
6．【解答】解：（1）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合， ∴圆周上数字a 与数轴上的数5对应时a =2；
（2）∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，
∴圆周上了数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组0、1、2，3、4、5，6、7、8，…分别对应，
∴数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n +1．
故答案为：a =2；3n +1． 7．【解答】解：（1）∵数轴上点A 表示的数为6， ∴OA =6，
则OB =AB ﹣OA =4， 点B 在原点左边，
∴数轴上点B 所表示的数为﹣4； 点P 运动t 秒的长度为6t ，
∵动点P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
（2）①点P 运动t 秒时追上点R ， 根据题意得6t =10+4t ， 解得t =5，
答：当点P 运动5秒时，点P 与点Q 相遇；
②设当点P 运动a 秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度， 当P 不超过Q ，则10+4a ﹣6a =8，解得a =1； 当P 超过Q ，则10+4a +8=6a ，解得a =9；
答：当点P 运动1或9秒时，点P 与点Q 间的距离为8个单位长度． 8．【解答】解：（1）AB =8﹣（﹣2）=lO ． （2）线段MN 的长度为5．如图甲，
∵M 为AP 中点，N 为BP 的中点， ∴MP =12AP ，NP =1
2BP ，
∵AB =10，
∴MN =MP +NP =12AP +12BP =1
2
AB =5
（3）线段MN 的长度不发生变化，其值为5．分下面三种情况：
①当点P 在A 、B 两点之间运动时（如图甲）．MN =MP +NP =12AP +12BP =1
2
AB =5
②当点P 在点A 的左侧运动时（如图乙）．MN =NP ﹣MP =12BP ﹣12AP =1
2
AB =5
③当点P 在点B 的右侧运动时（如图丙） MN =MP ﹣NP =12AP ﹣12BP =1
2
AB =5
综上所述，线段MN 的长度不发生变化，其值为5．
9．【解答】解：（1）P 点表示的数是－4＋20
2=8；
（2）如图，
AM =4t ﹣（﹣4+2t ）=2t +4，BM =20﹣2t ﹣4t =20﹣6t ， 则2t +4=20﹣6t ， 解得t =2，
M 表示2×4=8．
A 、
B 重合时，MA =BM ，此时t =6，此时M 表示24． （3）如图①，
AM =4t ﹣（﹣4+2t ）=2t +4，BM =20﹣2t ﹣4t =20﹣6t ， ∵3MA =2MB ，
∴3（2t +4）=2（20﹣6t ）， ∴t =149
，
∴点M 表示149×4=56
9；
如图②，
AM =4t ﹣（﹣4+2t ）=2t +4，BM =2t +4t ﹣20=6t ﹣20，
∵3MA =2MB ，
∴3（2t +4）=2（6t ﹣20）， ∴t =263
，
∴点M 表示263×4=104
3
．
10．【解答】解：（1）AB =﹣10﹣（﹣24）=14，BC =10﹣（﹣10）=20． 故答案为：14，20．
（2）①∵经过t 秒后，A 、B 、C 三点所对应的数分别是﹣24﹣t ，﹣10+3t ，10+7t ， ∴BC =（10+7t ）﹣（﹣10+3t ）=4t +20， AB =（﹣10+3t ）﹣（﹣24﹣t ）=4t +14， ②∵BC ﹣AB =（4t +20）﹣（4t +14）=6．
∴BC ﹣AB 的值不会随着时间t 的变化而改变． 11．【解答】解：（1）∵|a +3|+（b +3a ）2=0， ∴a +3=0，b +3a =0，解得a =﹣3，b =9， ∴
－3＋9
2
=3， ∴点C 表示的数是3；
（2）∵AB =9+3=12，点P 从A 点以3个单位每秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒向左运动， ∴AP =3t ，BQ =2t ，PQ =12﹣5t ． ∵AP +BQ =2PQ ，
∴3t +2t =24﹣10t ，解得t =8
5
；
还有一种情况，当P 运动到Q 的左边时，PQ =5t ﹣12，方程变为2t +3t =2（5t ﹣12），求得t =24/5 （3）∵P A +PB =AB 为定值，PC 先变小后变大， ∴
P A ＋PB
PC
的值是变化的， ∴①错误，②正确； ∵BM =PB +AP
2
，
∴2BM =2PB +AP ，
∴2BM ﹣BP =PB +AP =AB =12． 12．【解答】解：（1）﹣6+15=9，所以点B 表示的数为：9，将A 、B 两点标在数轴上如下图：
（2）（﹣1+9）÷2=4，
则折痕与数轴有一个交点D 表示的数为：4，4的相反数为﹣4； （3）∵AB =15，点E 到点A 和点B 的距离之和为30， ∴点E 应在线段AB 的外， 分两种情况：
①当E 点在A 点的左边，设E 点表示数为x ， ∵|EA |=|x ﹣（﹣6）|=﹣x ﹣6， |EB |=|x ﹣9|=9﹣x ，
∴（﹣x ﹣6）+（9﹣x ）=30， 解得：x =﹣13.5，
所以此时E 点所表示的数为：﹣13.5，
②当E 点在B 点的右边，设E 点表示数为x ， ∵|EA |=|x ﹣（﹣6）|=x +6， |EB |=|x ﹣9|=x ﹣9，
∴（x +6）+（x ﹣9）=30， 解得：x =16.5，
所以此时E 点所表示的数为：16.5，
故若点E 到点A 和点B 的距离之和为30，则点E 所表示的数为：﹣13.5或16.5； （4）存在．
理由：①t 秒时A 点运动了t 个单位长度，运动到﹣6﹣t 的位置， B 点运动了2t 个单位长度，运动到9﹣2t 的位置， 因为此时点B 到原点的距离和点A 到原点距离相等， 所以9﹣2t =6+t ， 解得：t =1s ，
②A 与B 两点重合时，此时有9﹣2t =6﹣t ； t =15s
所以当t =1或15s 时，点B 到原点的距离是点A 到原点距离相等． 13．【解答】解：（1）∵|a +24|+|b +10|=0， ∴a +24=0，b +10=0，解得a =﹣24，b =﹣10，
∴b+c=0．解得c=10，
（2）（24+10）÷（4+6）=3.4，
点m表示的数为：10﹣3.4×6=﹣10.4
（3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，
B点距A，C两点的距离为14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应为于AB或BC之间．
①AB之间时：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40
解得y=2；
②BC之间时：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40，
解得y=5．
14．【解答】解：（1）∵|a+8|与（b﹣16）2互为相反数，
∴|a+8|+（b﹣16）2=0，
∴a+8=0，b﹣16=0，
解得a=﹣8，b=16．
∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距16﹣（﹣8）=24单位长度；
（2）（24﹣8）÷（6+2）
=16÷8
=2（秒）．
答：再行驶2秒钟两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度；
（3）∵P A+PB=AB=2，
当P在CD之间时，PC+PD是定值4，
t=4÷（6+2）
=4÷8
=0.5（秒），
此时P A+PC+PB+PD=（P A+PB）+（PC+PD）=2+4=6（单位长度）．
故这个时间是0.5秒，定值是6单位长度．
15．【解答】解：（1）数轴上表示﹣3的点与表示4的点相距|﹣3﹣4|=7个单位．
（2）数轴上表示2的点先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，最后到达的点表示的数是2+2﹣5=﹣1．
（3）数轴上若点A表示的数是2，点B与点A的距离为3，则点B表示的数是2﹣3=﹣1，或2+3=5．（4）∵|a﹣3|=2，|b+2|=1，∴a为5或1，b为﹣1或﹣3，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2．
（5）数轴上点A表示8，点B表示﹣8，点C在点A与点B之间，A点以每秒0.5个单位的速度向左运动，点B以每秒1.5个单位的速度向右运动，点C以每秒3个单位的速度先向右运动碰到点A后立即返回向左运动，碰到点B后又立即返回向右运动，碰到点A后又立即返回向左运动…，三个点同时开始运动，经过8秒三个点聚于一点，这一点表示的数是4，点C在整个运动过程中，移动了24个单位．
故答案为：7；﹣1；﹣1或5；8，2；8，4，24．
16．【解答】解：（1）点B向左移动3个单位，表示的数是﹣5，根据图形，最小的数是﹣5；
（2）点B、C之间的距离是3﹣（﹣2）=3+2=5，
∴向左移动5个单位；
设点C 移动后表示的数是x ，则|﹣2﹣x |=2， ∴x +2=2或x +2=﹣2， 解得x =0或x =﹣4， 当x =0时，3﹣0=3，
当x =﹣4时，3﹣（﹣4）=7， ∴点C 向左移动3或7个单位；
（4）有①点A 、B 向点C 移动，②点B 、C 向点A 移动，③点A 、C 向点B 移动，三种情况， ①移动距离为：7+5=12， ②移动距离为：2+7=9， ③移动距离为：2+5=7，
∴所走距离之和最少的是A 、C 向点B 移动，为7； ∴移动方法有3种，最少距离之和为7；
（5）∵第1次跳1步，第2次跳3步，第3次跳5步，第4次跳7步， …
∴第n 次跳（2n ﹣1）步，
当n =101时，2×101﹣1=202﹣1=201，
此时，所表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣197+199﹣201， =（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣197+199）﹣201， =2×100
2
﹣201，
=100﹣201， =﹣101，
①当n 是偶数时，表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣（2n ﹣3）+（2n ﹣1）， =（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（2n ﹣3）+（2n ﹣1）]， =2×n
2
=n ，
②当n 是奇数时，表示的数是：﹣1+3﹣5+7﹣…﹣（2n ﹣5）+（2n ﹣3）﹣（2n ﹣1）， =（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（2n ﹣5）+（2n ﹣3）]﹣（2n ﹣1）， =2×n －12
﹣（2n ﹣1），
=n ﹣1﹣2n +1， =﹣n ，
∴跳了第n 次（n 是正整数）时，落脚点表示的数是（﹣1）n n ． 故答案为：（1）﹣5；（2）左，5；（3）3或7；（4）3，7；（5）201，﹣101，（﹣1）n n ． 17．【解答】解：（1）因数轴上A 、B 两点对应的数分别是﹣2和4，所以AB =6， 又因P 为线段AB 的中点， 所以 AP =6÷2=3，
所以P 点对应的数为1． （2）若P 在A 点左侧，则 ﹣2﹣x +4﹣x =10， x =﹣4，
若P 在A 点、B 中间，因AB =6，所以不存在这样的点P ，
x ﹣4+x +2=10， x =6，
（3）设第x 分钟时，P 为AB 的三等分点，则 （1+4x ）﹣（﹣2+x ）=2
3
[（4+5x ）﹣（﹣2+x ）]
解得：x =3
答：第3分钟时，P 为AB 的三等分点． 18．【解答】解：（1）∵a 、b 满足：|a +5|+（b ﹣10）2=0， ∵|a +5|≥0，（b ﹣10）2 ≥0， ∴：|a +5|=0，（b ﹣10）2=0， ∴a =﹣5，b =10，
∴AB =10﹣（﹣5）=15． 即：线段AB 的长15．
（2）猜想MN =1
2CB ．
理由：当点C 在AB 上时，
∵MN =CN ﹣CM =12AB ﹣12AC =12（AB ﹣AC ）=1
2BC ．
∴MN =1
2
BC ．
当点C 在AB 延长线上时，
∵MN =CM ﹣CN =12AC ﹣12AB =12（AC ﹣AB ）=1
2BC ．
∴MN =1
2
BC ．
综上所述，结论成立．
（3）当点C 在AB 上时， ∵MN =CN ﹣CM =12AB ﹣12AC =1
5AB ．
∴3AB =5AC ，
∴AC =9，CN =7.5，CN =3.5， ∴点N 表示﹣3.5．
当点C 在AB 延长线上时， ∵MN =CM ﹣CN =12AC ﹣12AB =1
5AB ，
∴5AC =7AB ，
∴AC =21， ∵CN =7.5， ∴ON =8.5，
∴点N 表示8.5．
综上所述，点N 表示﹣3.5或7.5．
人教版七年级数学上册精品练习题 七年级有理数 一、境空题（每空2分，共38分） 1、31-的倒数是____；3 21的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____. 3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____. 5、某旅游景点11月5日的最低气温为ο2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是ο 6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得4 12的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。 9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。 10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。 11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。 12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。 13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。 14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________． 二、选择题（每小题3分，共21分） 15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ） A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞0 16、下列各式中正确的是（ ） A ．22)(a a -= B ．33)(a a -=; C ．|| 22a a -=- D ．|| 33a a = 17、如果0a b +>，且0ab <，那么（ ） Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对 值较小 18、下列代数式中，值一定是正数的是( ) A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-343）×4可以化为（）
初中数学七年级上培优 练习册全集(人教版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学练习册七年级（上）人教版 目录： 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷（一） 期末模拟试卷（二） 期末模拟试卷（三） 有理数 第一章有理数一、全章知识结构 2
3 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类 定义：整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用： （1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小； （3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义； （4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x| 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： ?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数..
第 1 页 共 14 页 4e d c 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B
第 2 页 共 14 页 P C G F B Q A D E 经典难题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B
初一数学（上）应知应会的知识点 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式） 2.列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成2 3a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a 3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做 a-b 和b-a . 3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数） （1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ； （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数 是： n-1、n 、n+1 ； （4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正
七年级上册 第一章有理数 1.1 正数和负数 正数和负数的定义:大于零的数叫正数,正数前面加上负号叫负数. 正负数的实际应用背景:在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义. 阅读与思考用正负数表示加工允许误差 用正负数表示某个范围的实例 1.2 有理数 有理数的定义(两个整数的比值!!!),有理数的分类. 数轴和数轴的三要素:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. 用数轴表示数的方法:一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 关于原点对称:一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这两点关于原点对称. 相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.一般地,a和-a互为相反数.特别地,0的相反数仍是0. 绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 求绝对值的方法:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.这就说,当a是正数时,|a|=a;当a是负数时,|a|=-a;当a=0时,|a|=0. 比较有理数大小的方法:1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;2)两个负数,绝对值大的反而小.(总之,在数轴上右边的数大于左边的数!) 1.3 有理数的加减法 有理数加法法则:1)同号两数相加,取与加数相同的符号,并把绝对值相加.2)绝对值不相等的异号两数相对,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为两反数的两个数相加得0.3)一个数同0相加,仍得这个数. 加法操作顺序:先定符号,再算绝对值. 加法的运算律:加法交换律,加法结合律. 有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 加减混合运算:引入相反数后,加减混全运算可以统一为加法运算:a+b-c=a+b+(-c). 实验与探究填幻方 阅读与思考中国人最先使用负数 1.4 有理数的乘除法 有理数乘法法则:1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.2)任何数同0相乘得0. 倒数:乘积是1的两个数互为倒数.(小学学过) 连乘时的符号确定:几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数.
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y） 点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y） 点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定
最新初中数学数据分析经典测试题附答案 一、选择题 1．已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a﹣2，b﹣2，c﹣2的平均数和方差分别是.（） A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4 【答案】B 【解析】 试题分析：平均数为（a?2 + b?2 + c?2 ）=（3×5-6）=3；原来的方差： ；新的方差： ，故选 B. 考点：平均数；方差. 2．已知一组数据a、b、c的平均数为5，方差为4，那么数据a+2、b+2、c+2的平均数和方差分别为（） A．7，6 B．7，4 C．5，4 D．以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数据a，b，c的平均数为5可知a+b+c=5×3，据此可得出1 3 （-2+b-2+c-2）的值；再由 方差为4可得出数据a-2，b-2，c-2的方差． 【详解】 解：∵数据a，b，c的平均数为5，∴a+b+c=5×3=15， ∴1 3 （a-2+b-2+c-2）=3， ∴数据a-2，b-2，c-2的平均数是3；∵数据a，b，c的方差为4， ∴1 3 [（a-5）2+（b-5）2+（c-5）2]=4， ∴a-2，b-2，c-2的方差=1 3 [（a-2-3）2+（b-2-3）2+（c--2-3）2] = 1 3 [（a-5）2+（b-5）2+（c-5）2]=4， 故选B．【点睛】
本题考查了平均数、方差，熟练掌握平均数以及方差的计算公式是解题的关键. 3．对于一组统计数据：1，1，4，1，3，下列说法中错误的是（） A．中位数是1 B．众数是1 C．平均数是1.5 D．方差是1.6 【答案】C 【解析】 【分析】 将数据从小到大排列，再根据中位数、众数、平均数及方差的定义依次计算可得答案．【详解】 解：将数据重新排列为：1、1、1、3、4， 则这组数据的中位数1，A选项正确； 众数是1，B选项正确； 平均数为11134 5 ++++ ＝2，C选项错误； 方差为1 5 ×[（1﹣2）2×3+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝1.6，D选项正确； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查中位数、众数、平均数及方差，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义与计算公式． 4．2022年将在北京﹣﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校为此开设了相关的课程，下表记录了某校4名同学短道速滑成绩的平均数x和方差S2，根据表中数据，要选一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（） A．队员1 B．队员2 C．队员3 D．队员4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据方差的意义先比较出4名同学短道速滑成绩的稳定性，再根据平均数的意义即可求出答案．
提分数学七年级上知识清单 第一章 有理数 一．正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数： 比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。 3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。 二．有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 2. (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；
清华附中真题 + 首师附中真题（尖子班） 第一部分 清华附中历年真题展示 一、填空。 1、 有一块麦地和一块菜地，菜地的一半和麦地的3 1 合起来是13亩，麦地的一半和菜地的 3 1 合起来是12亩，那么菜地有 亩。 ﹝分析﹞解：设菜地有χ亩，麦地有y 亩。 2x ＋3y ＝13 3x ＋2 y ＝12 解得χ＝18，y ＝12 答：菜地有18亩。 2、―次考试，参加的学生中有 71得优，31得良，2 1 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有 人。 ﹝分析﹞学生的人数永远是整数。 根据题意可知，学生人数是7、2、3的公倍数，而[7，2，3] ＝42， 42小于50， 所以参加的学生总数为42人。 42×（1－ 71－31－2 1 ）＝1（人） 答：得差的学生有1人。 3、 有一城镇共5000户居民，每户的子女不超过2人，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，那么此城镇共有孩子 人。 ﹝分析﹞“一部分家庭有1个孩子，余下的家庭中一半每家有2个孩子，”那么，余下的家庭中另一半每家有0个孩子，于是，余下的家庭平均每户1个孩子，开始的一部分家庭每户1个孩子，所以整个城镇平均每户有1个孩子，共5000户居民，所以此城镇共有孩子： 1×5000＝5000（人） 答：此城镇共有孩子5000人。
4、科学家进行一次实验，每隔5小时作一次记录，他做第12次记录时，时钟正好九点整，问第一次作记录时，时钟是点。 ﹝分析﹞⑴第一次作记录和第12次作记录的时间差为5×（12－1）＝55小时。 ⑵“做第12次记录时钟正好九点整”，所以第一次作记录在55小时之前， 55÷24＝2（昼夜）……7（小时） 即往前推2昼夜再推7小时，所以第一次作记录时是9－7＝2点。 答：第一次作记录时，时钟显示2点。 5、一名学生在计算一道除数是两位数的没有余数的除法时，错把被除数百位上的3看成了8，结果得商383，余17，这商比正确的商大21，那么这道题的被除数是，除数是。﹝分析﹞⑴错误的商是383，比正确的商大21，正确的商是383－21＝362。被除数看错了，而除数没错，也就是除数没有变化。 ⑵设除数为χ。则正确的被除数是362χ，错误的被除数是362χ＋500或383χ＋17 （383－21）χ＋（8－3）×100＝383χ＋17 χ＝23 所以被除数＝23×(383－21) ＝8326 答：这道题的被除数是8326，除数是23 。 6、甲、乙两人背诵英语单词，甲比乙每天多背8个，乙因为生病，中途停止10天。40天后，乙背的单词正好是甲的一半，甲一共背单词个。 解：设乙每天背诵单词χ个，则甲每天背诵单词（χ＋8）个。 1 （40－10）χ＝40（χ＋8）× 2 30χ＝20（χ＋8） χ＝16 χ＋8＝24 40（χ＋8）＝960 答：甲一共背单词960个。 算术解法：⑴甲背40天，乙背40－10＝30天，乙背的单词正好是甲的一半。则乙30天
初中数学易错题及答案 （A ）2 （B （C ）2± （D ） 2，2 的平方根为2.若|x|=x ，则x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案：B （不要漏掉0） 3.当x_________时，|3-x|=x-3。答案：x-3≥0，则x3 4. 2 2___分数（填“是”或“不是”） 答案：2 2是无理数，不是分数。 5.16的算术平方根是______。 答案：16＝4，4的算术平方根＝2 6.当m=______时，2m -有意义 答案：2 m -≥0，并且2m ≥0，所以m=0 7分式 4 622--+x x x 的值为零，则x=__________。 答案： 226040 x x x ?+-=? ?-≠?? ∴122,32x x x ==-??≠±?∴3x =- 8.关于 x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=总有实数根．则K_______ 答案：[]2 20 2(1)4(2)(1)0 k k k k -≠???----+≥??∴3k ≤且2k ≠ 9.不等式组2, .x x a >-??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是． （A ）2a <-，（B ）2a =-，（C ）2a >-，（D ）2a ≥-． 答案：D 10.关于x 的不234 a ≤<等式40x a -≤的正整数解是1和2；则a 的取值范围是_________。 答案：234a ≤< 11.若对于任何实数 x ，分式 2 1 4x x c ++总有意义，则c 的值应满足______． 答案：分式总有意义，即分母不为0，所以分母240x x c ++=无解，∴C 〉4
第一章有理数教案 教学目标 1．知识与技能 ①通过生活实例，了解有理数等知识是生活的需要． ②理解并掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念． ③通过本章的学习，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算． 2．过程与方法 通过全章的学习，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力．3．情感、态度与价值观 ①通过生活实例的引入，通过教师、学生双边的教学活动，激励学生学习数学的兴趣，让学生真正体验到数学知识来源于生活并服务于生活． ②通过本章知识的学习，给学生渗透辩证唯物主义思想． 教学重点难点 重点：有理数的运算，这一章的主要学习目标都可以归结到有理数的运算上，诸如有理数的有关概念、运算法则、运算律、近似数与有效数字等内容的学习，直接目标都是落实到有理数的运算上．难点：负数概念的建立，对有理数中的有关概念以及有理数法则的理解，绝对值意义和运算中符号的确定． 课时分配 内容课时 1．1 正数和负数 1 1．2 有理数 4 1．3 有理数的加减法 5 1．4 有理数的乘除法 4 1．5 有理数的乘方 4 单元复习与验收 2 教学建议 教师在教学过程中注意从实际问题（即联系实际生活的典型例子）引入，让学生参与活动，在教师的引导和学生大胆尝试的过程中，使学生自觉地发现问题，分析问题以及解决问题，从而使学生自得知识，自觅规律．在这过程中，训练学生分析问题、解决问题的能力． 1．在进行有理数的有关概念的教学时： （1）注意从实际问题引入，使学生知道数学知识来源于生活．?如：从温度与海拔高度引入负数，从而得出有理数的概念；借助温度引出数轴，建立数（有理数）与形（数轴上的点）之间的联系．（2）注意利用数轴的直观性讲述相反数、绝对值，发挥字母表示数的优越性，?使学生对概念的认识能更深一步，并为今后学习整式、方程打下基础． 2．讲解有理数运算时，有理数加法及乘法法则的导出借助数轴更直观形象易理解，并且要着重在符号法则的基础上，进行基本运算训练，提高学生计算准确率． 1．1 正数和负数 教学目标 1．知识与技能 ①了解正数与负数是实际生活的需要． ②会判断一个数是正数还是负数． ③会用正负数表示互为相反意义的量． 2．过程与方法
1 1 1 1 1 1 1 1 11/2 1/2 1/2 1/2 2 1 §2-1数怎么又不够用了(1) 教学目标：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2、会用自己的语言说明一个数不是有理数。 教学重点：借助图形判断一条线段是否是有理数线段。 教学难点：寻找有理数线段的方法。 教学过程： 一、问题引入 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。 （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ （2）A可能是整数吗？说说你的理由。 （3）A可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。 教师应鼓励学生充分进行思考、交流，并适时给予引导：“12=1，22=4，32=9，...越 来越大，所以a不可能是整数”“ 2 1 ? 2 1 = 4 1 ， 9 4 3 2 3 2 = ?，…结果都为分数，所以a不可能是分数”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数“等。 结论：在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 二、做一做 （1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是 多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 数a、b确实存在，但都不是有理数。 进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教师可以引导学生自己举一些类似的无理数的例子。 三、随堂练习 1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h 分数吗？
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长。 A B A' ′ P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
新人教版八年级上册数学 知识点总结归纳 1 第十一章三角形 第十二章全等三角形 第十三章轴对称 第十四章整式乘法和因式分解 第十五章分式 第十一章三角形
1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形中的主要线段 （1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 （3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性： （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“?”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“?ABC”，读作“三角形ABC”。 5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。 6、三角形的三边关系定理及推论 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积=2 1 ×底×高 多边形知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 分类2： 多边形 非正多边形： 1、n 边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
武汉中考数学22题专题-二次函数应用 1．（2014?武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习 过的三种函数（即一次函数、反比例函数和二次函数）关系中的一种．下表记录了该工厂生产、销售该材料 板一些数据． 材料板的宽x（单位：cm ）24 30 42 54 成本c（单位：元）96 150 294 486 销售价格y（单位：元）780 900 1140 1380 （1）求一张材料板的销售价格y与其宽x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； （2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差． ①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围； ②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少． 2．（2001?安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的 效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是 原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表： x（十万元 ）0 1 2 y 1 1.5 1.8 （1）求y与x的函数关系式； （2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数 关系式）； （3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是 多少？ 3．（2014?合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制， 会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤ x≤12）之间变化关系如表： 日产量x（千件/台）… 5 6 7 8 9 … 次品数p（千件/台）…0.7 0.6 0.7 1 1.5 … 已知每生产1千件合格的元件可以盈利 1.6千元，但没生产1千件次品将亏损0.4千元．（利润=盈利﹣亏损）（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p （千件）与x（千件）的函数解析式； （2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量 x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？ 4．（2013?乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个） 的变化如下表： 价格x（元/个）…30 40 50 60 … 销售量y（万个）… 5 4 3 2 … 同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元． （1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写 出y（万个）与x（元/个）的函数解析式． （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为 多少元时净得利润最大，最大值是多少？ （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽 可能大，销售价格应定为多少元？ 5．（2013?沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了四组关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的数据，如表x 10 12 14 16 y 300 240 180 120 （1）如果在一次函数、二次函数和反比例函数这三个函数模型中，选择一个来描述日销售量与销售单价之间的关系，你觉得哪个合适？并写出y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） （2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销 售利润是多少？ （3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
初中数学七年级上册知识点汇总 第一章、有理数 （一）有理数 1、正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。特别指出：所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；因为小数可以化为分数，所以我们也把小数看成分数。 （二）数轴 概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 特点： （1）在直线上任取一个点表示0，这个点叫做原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，···，从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，···。 （三）相反数 概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 特点：a和-a互为相反数，0的相反数是0。 （四）绝对值 1、概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作｜a｜。 2、特点：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即： （1）如果a>0，那么｜a｜=a； （2）如果a=0，那么｜a｜=0； （3）如果a<0，那么｜a｜=－a。 数学中规定，在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 3、比较大小 （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小。 特别指出：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。 二、有理数的加减法 （一）有理数加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小
新人教版八年级上册数学教案 第11章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕www. 12999. com 1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线； 2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形； 3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心； 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识； 3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时 11.1.1三角形的边 [教学目标] 〔知识与技能〕 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 〔过程与方法〕 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 〔情感、态度与价值观〕
初中升学中考数学模拟试卷 一．选择题（共8小题） 1．﹣3的倒数是（） A．B． 3 C．﹣3 D．﹣ 2．下面四个几何体中，其左视图为圆的是（） A．B．C．D． 3．下面运算正确的是（） A． 7a2b﹣5a2b=2 B． x8÷x4=x2C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（2x2）3=8x6 4．宜宾今年5月某天各区县的最高气温如下表： 区县翠屏南溪长宁江安宜宾珙县高县兴文筠连屏山 最高气温 32 32 30 32 30 31 29 33 30 32 （℃） A．32，31.5 B．32，30 C．30，32 D．32，31 5．将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（） A．（x﹣3）2+11 B．（x+3）2﹣7 C．（x+3）2﹣11 D．（x+2）2+4 6．分式方程的解为（） A． 3 B．﹣3 C．无解D． 3或﹣3
7．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（） A．B．C．D． 8．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称 轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线y=0是抛物线y=x2的切线 ②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1） ③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1） ④若直线y=kx﹣2与抛物线y=x2相切，则实数k= 其中正确命题的是（） A．①②④B．①③C．②③D．①③④ 二．填空题（共8小题） 9．分解因式：3m2﹣6mn+3n2= ． 10．一元一次不等式组的解是． 11．如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= ． 12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△DEF，则点P的坐标 为．
北师大版七年级数学上册精品教案全集（共140页） 第一章丰富的图形世界 第一课时介绍 单元整体说明 本章在小学数学和中学数学的联系中起着承上启下的作用。编写本章的目的在于：（1）帮助学生梳理小学的数学知识和数学方法。（2）为学生学习中学数学作必要的准备。本章较充分地体现了课程标准的基本理论，学习本章将为其他各章的学习提供了一个示范。本章体现的数学思想方法、数学人文精神、数学应用意识、数学价值观等都应该在其他各章的学习中得到贯彻。 本章按照如下线索展开内容：数学伴我成长——人类离不开数学——人人都能学会数学——让我们来做数学贯穿于内容的始终。 课程内容标准 使学生初步认识到数学与现实世界的密切联系，懂得数学的价值，形成用数学的意识。 使学生初步体验到数学是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程。 使学生对数学产生一定的兴趣，获得学好数学的自信心。 使学生学会与他人合作，养成独立思考与合作交流的习惯。 使学生在数学活动中获得对数学良好的感性认识，初步体验到什么是“做数学”。 结构体系 单元教学建议 鉴于本章承上启下的特点，故教材内容只是给教师提供一个教学思路，教师可根据教学目标，结合学生的具体情况，补充适当的素材，灵活安排教学内容，调节课时数。 教学的总要求是以学生为主体，使学生在活动中主动构建对数学的认识，具体应注意以下几点： 1．适当补充一些能引起学生学习兴趣的素材。 2．注意引导学生通过实验得出结论。如第3页的练习第2题、第5页的练习第2题、习题1.1的第3题与第4题、第11页的练习第1题以及习题1.2的第6题都应该让学生通过实验，主动探索得出结论。 3．通过多媒体演示，帮助学生理解。如第3页的练习第2题、第5页的练习第2题、习题1.1的第3题与第4题以及第11页的练习第1题等都可以通过多媒体的演示来帮助学生理解。 4．给学生提供实地考察、调查的机会。有条件的话，应给让学生实地考察一些生产、生活中应用数学的例子。