广东省普宁市第一中学2017届高三数学上学期期末考试试题 理
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。
2.用2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的. 1．已知复数1i
z i
=
-（其中i 为虚数单位），则z z ?=（ ）
A ．1
B ．
34 C.2
． D ．1
2 2．设非空集合P Q 、满足P
Q P =，则（ ）
A ．x Q ?∈，有x P ∈
B ．x Q ??，有x P ?
C ．0x Q ??，使得0x P ∈
D ．0x P ?∈，使得0x Q ? 3．已知22cos ,sin
,,3
3a OA a b OB a b ππ?
?
==-=+ ??
?
，若OAB ?是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB ?的面积等于（ ） A ．1 B ．
12 C ．2 D ．32
4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（ ）年（精确到0.1，已知lg 20.3010,lg30.4771==）． A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3
5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4
23S S =，则64
S S =（ ） A ．2 B ．
7
3
C ．310
D ．1或2
6．已知函数()sin 26f x x m π?
?
=-- ??
?在0,2π??????
上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12??
??? B ．1,12??
???? C ．1,12??
-????
D ．1,12??
-
???
7．几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（ ）
A ．3
B ．2
C ．6
D ．3
8．已知变量,x y 满足1311
x y x y ≤+≤??-≤-≤?，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则122a
x ??+- ???的展
开式中2
x 的系数为（ ）
A ．-144
B ．-120
C ．-80
D ．-60
9．椭圆()2
2
211y x b b
+=<的左焦点为,F A 为上顶点，B 为长轴上任意一点，且B 在原点O 的右
侧，若FAB ?的外接圆圆心为(),P m n ，且0m n +>，椭圆离心率的范围为（ ）
A ．20,2?? ? ???
B ．10,2?? ???
C ．1,12??
??? D ．2,12?? ? ??? 10．在直角坐标系xOy 中, 设P 是曲线():10C xy x =>上任意一点,l 是曲线C 在点P 处的切线, 且l 交坐标轴于,A B 两点, 则以下结论正确的是（ ）
A ．OA
B ?的面积为定值2 B ．OAB ?的面积有最小值为3
C ．OAB ?的面积有最大值为4
D ．OAB ?的面积的取值范围是[]3,4 11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 对任意x R ∈,都有()()4f x f x =+,且当[]
2,0x ∈-时,()112x
f x ??
=- ???
, 若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有三个不
同的实数根, 则a 的取值范围是（ ） A ．
(
)3,0 B ．
(
)3
4,2 C ．)
3
4,2?? D ．34,2????
12．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足22
2'(1)()2(0)2
x f f x e x f x -=
?+-?，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）
A.(2)(2015)(2017)f g g ?<
B.(2)(2015)(2017)f g g ?>
C.(2015)(2)(2017)g f g
D.(2015)(2)(2017)g f g >?
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分 13．设a>0,b>0.若a+b=1,则
的最小值是 .
14．在5
(1)(2)x x ++的展开式中，3x 的系数为_________（用数字作答）．
15.在矩形ABCD 中，AB=4,BC=2,E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则→
→
?AF AE 的最大值为_______
16.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n+1-a n =sin
,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 017= .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分12分）已知函数f (x )=cos x (sin x+cos x )-.
(1)若0<α<,且sin α=,求f (α)的值; (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.
18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足3420n n S a -+=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令2log n n b a =，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：++
T
T
2
1
1
1
……
T
n
1
2<
19.（本小题满分12分）如图，已知D 是ABC ?边BC 上一点.
（1）若
45=B ，且1==
DC AB ，求ADC ?的面积；
（2）当
90=∠BAC 时，若3:1:2::=AC DC BD
，且24=AD ，求DC 的长.
20．(本小题满分12分）
如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面ABB 1A 1为矩形,AB=1,AA 1=,D 是AA 1的中点,BD 与AB 1
交于点O ,且CO ⊥平面ABB 1A 1.
(1)证明BC ⊥AB 1; (2)若OC=OA ,求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.
21. （本小题满分12分）已知a 是实常数,函数f(x)=xln x+ax 2.
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0,-2),求实数a 的值; (2)若f(x)有两个极值点x 1,x 2(x 1
22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程是2cos sin x y θ
θ
=??=?（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为(2,)A π，4(2,
)3
B π
． （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M 为曲线C 上的动点，求点M 到直线AB 距离的最大值．
普宁一中高三级理科数学参考答案 1-5DBBBB 6-10 BDBAA 11-12 BD 13. 4 14. 120 15.18 16. 1009 17 .（本小题满分12分）
（1）解:(方法一)(1)因为0<α<,sin α=,所以cos α=.---------------2分
所以f (α)=.-------------------------------------------5分
(2)因为f (x )=sin x cos x+cos 2x-
=sin 2x+---------------------------------------6分
=sin 2x+cos 2x=sin ,----------------------7分
所以T==π.-----------------------------------------------9分
由2k π-≤2x+≤2k π+,k ∈Z,
得k π-≤x ≤k π+,k ∈Z .------------------------------------ -------11分
所以f (x )的单调递增区间为,k ∈Z .-------------12分
（其它解法酌情给分） 18（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由3420n n S a -+=，令1n =，可得：12a =； ---------------2分 当2n ≥时，可得11(342)(342)0n n n n S a S a ---+--+=14n n a a -?=-----4分 所以数列{}n a 是首项为12a =，公比为4的等比数列，
故：124n n a -=?=212n -----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）212log 221n n b n -==-，13(21)n T n =++
+-=2n ----------------8分 22
2
1
1
11112n
k k
T
n ==
+++
∑≤
11
1
11223(1)n n
++++
??-?--------11分
=1
1111
1(1)()(
)223
1n n
+-+-+
+--=12n -2<---------------------12分
19. （本小题满分12
分）过
A
点作
AE BD ⊥
求得AE=
2
2
则4
2AE.DC 21的面积==
?ADC ---------------------------------6分 （2）3
3
cos 中BC 在,3,2BD 则,DC 设==
∠?=
==BC AC ACB A a AC a a --9分 在4中由余弦定理可得
=?DC ADC -------------------------------------12分 （其它解法酌情给分） 20. （本小题满分12分）
解:(1)证明:由题意,因为四边形ABB 1A 1是矩形,
D 为AA 1中点,AB=1,AA 1=,AD=,所以在直角三角形ABB 1中,tan ∠AB 1B=,
在直角三角形ABD 中,tan ∠ABD=,所以∠AB 1B=∠ABD.
又∠BAB 1+∠AB 1B=90°,∠BAB 1+∠ABD=90°,
所以在三角形ABO 中,∠BOA=90°,即BD ⊥AB 1.-------------------------------4分 又因为CO ⊥平面ABB 1A 1,AB 1?平面ABB 1A 1, 所以CO ⊥AB 1.所以AB 1⊥面BCD ,
因为BC ?面BCD ,所以BC ⊥AB 1. -------------------------6分
(2)如图,分别以OD,OB1,OC所在的直线为x,y,z轴,以O为原点,建立空间直角坐标系,则A,B,C,B1,D,----------------------------7分又因为=2,所以C1.
所以.
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则根据可得n=(1,,-)是平面ABC的一个法向量,----------10分设直线CD与平面ABC所成角为α,则sin α=,
所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为.-----------------------------------12分21（本小题满分12分）
(1)解:由已知可得,f'(x)=ln x+1+2ax(x>0),切点P(1,a),---------------1分
f(x)在x=1处的切线斜率为k=1+2a,
切线方程:y-a=(2a+1)(x-1),---------------------------------------3分
把(0,-2)代入得a=1.---------------------------------------------4分
(2)证明:①依题意:f'(x)=0有两个不等实根x1,x2(x1 设g(x)=ln x+2ax+1,则g'(x)=+2a(x>0). 当a≥0时,有g'(x)>0,所以g(x)是增函数,不符合题意;---------5分 当a<0时,g'(x) =0,得x=->0,
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