八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

八年级数学上册 压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

一、压轴题

1．对于实数x ，若231a x ≤+，则符合条件的a 中最大的正数为X 的內数，例如：8的内数是5；7的内数是4．

（1）1的内数是______，20的內数是______，6的內数是______； （2）若3是x 的內数，求x 的取值范围；

（3）一动点从原点出发，以3个单位/秒的速度按如图1所示的方向前进，经过t 秒后，动点经过的格点（横，纵坐标均为整数的点）中能围成的最大实心正方形的格点数（包括正方形边界与内部的格点）为n ，例如当1t =时，4n =，如图2①……；当4t =时，

9n =，如图2②，③；…… ①用n 表示t 的內数；

②当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有多少个，在这些实心正方形的格点中，直接写出离原点最远的格点的坐标．（若有多点并列最远，全部写出）

2．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=

1

2

x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；

（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．

①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式； ②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；

③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

3．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．

（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上

由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

4．（1）在等边三角形ABC 中，

①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；

②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；

（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．

5．（1）问题发现．

如图1，ACB ?和DCE ?均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．

①求证：ADC BEC ??≌． ②求AEB ∠的度数．

③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．

如图2，ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=?，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ?中DE 边上的高，连接BE ．

①请判断AEB ∠的度数为____________．

②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明） 6．观察下列两个等式：55

32321,44133

+=?-+

=?-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3??

???

都是“白马有理数对”．

（1）数对3(2,1),5,

2??

- ??

?

中是“白马有理数对”的是_________； （2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；

（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复）

7．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． （初步思考）

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． （深入探究）

第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．

（1）如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据______，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．

第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．

（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．

第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．

（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A (

3，3

2)和B (23，0)，且与y 轴交于点D ，直线OC 与AB 交于点C ，且点C 的横坐标为3． (1)求直线AB 的解析式；

(2)连接OA ，试判断△AOD 的形状；

(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．

9．如图已知ABC 中，,8B C AB AC ∠=∠==厘米，6BC =厘来，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段

CA 上由C 点向A 点运动，设运动时间为t (秒)．

（1）用含t 的代数式表示线段PC 的长度；

（2）若点,P Q 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点,P Q 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与

CQP 全等？

（4）若点Q 以（3）中的运动速度从点C 出发，点v 以原来的运动速度从点B 同时出发，都顺时针沿三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？

10．在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，30A ∠=?，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E .

（1）如图1，连接EC ，求证：EBC 是等边三角形；

（2）如图2，点M 是线段CD 上的一点（不与点,C D 重合），以BM 为一边，在BM 下方作60BMG ∠=?，MG 交DE 延长线于点G .求证：AD DG MD =+；

（3）如图3，点N 是线段AD 上的点，以BN 为一边，在BN 的下方作60BNG ∠=?，

NG 交DE 延长线于点G .直接写出ND ，DG 与AD 数量之间的关系.

11．在Rt ABC 中，ACB =∠90°，30A ∠=?，点D 是AB 的中点，连结CD ．

（1）如图①，BC 与BD 之间的数量关系是_________，请写出理由；

（2）如图②，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连结DP ，将线段

DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，请猜想BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出BF ，BP ，BD 三者之间的数量关系．

12．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y ＝5

3

x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．

（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；

（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于27

2

？请求出点Q 的坐标；

（3）在y 轴上是否存在点P 使△PAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）2，7，4；（2）8

3

x ≥

；（3）①t 的内数n =有2个，离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±． 【解析】 【分析】

（1）根据内数的定义即可求解；

（2）根据内数的定义可列不等式2331x ≤+，求解即可；

（3）①分析可得当1t =时，即t 的内数为2时，4n =；当4t =时，即t 的内数为3时，

9n =，当5t =时，即t 的内数为4时，16n =……归纳可得结论；②分析可得当t 的内数

为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；且最大实心正方形的边长为：t 的內数－1，即可求解．

【详解】

解：（1）22311=?+，所以1的内数是2； 232017?+>，所以20的内数是7； 23614?+>，所以6的内数是4；

（2）∵3是x 的內数， ∴2331x ≤+， 解得83

x ≥

； （3）①当1t =时，即t 的内数为2时，4n =； 当4t =时，即t 的内数为3时，9n =， 当5t =时，即t 的内数为4时，16n =， ……

∴t 的内数=

②当t 的内数为2时，最大实心正方形有1个； 当t 的内数为3时，最大实心正方形有2个， 当t 的内数为4时，最大实心正方形有1个， ……

即当t 的内数为奇数时，最大实心正方形有2个；当t 的内数为偶数时，最大实心正方形有1个；

∴当t 的內数为9时，符合条件的最大实心正方形有2个， 由前几个例子推理可得最大实心正方形的边长为：t 的內数－1， ∴此时最大实心正方形的边长为8，

离原点最远的格点的坐标有两个，为()8,4-±． 【点睛】

本题考查图形类规律探究，明确题干中内数的定义是解题的关键． 2．（1）b=

72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32

t ﹣27

2

；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】

分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；

（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据

1

2

P S AQ y =

?即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22

t -<即可求得7

种情况：当PQ =PA 时,则()()()222

2(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()2

2

2(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．

详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=?m +2，解得m =?1， ∴点P 的坐标为(?1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1

312

b =?-+， 解得7

2b =； (2)∵72

b =

； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(?7,0)，

①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)， ∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7?t =9?t ，

∴11273(9)32222S AQ yP t t =?=?-?=-； 当Q 在A 的右边时，AQ =t ?9，

∴11327(9)32222

S AQ yP t t ；=

?=?-?=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327

.22

S t =- ②∵S <3，

∴273322t -<或327

3.22t -< 解得7

③存在； 设Q (t ?7,0)，

当PQ =PA 时,则()()()222

2(71)032103,t -++-=++-

∴22

(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，

当AQ =PA 时,则()()22

2(72)2103,t --=++-

∴2

(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--，

∴22

(6)9(9)t t -+=-，

解得t =6.

故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．

点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键. 3．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为

12

5

cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇． 【解析】 【分析】

（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；

②由全等三角形的性质可得BP=PC=1

2

BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解． 【详解】

解：（1）①△BPD 与△CQP 全等， 理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ， ∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ， ∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ， ∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ， 在△BPD 和△CQP 中，

BD CP B C BP CQ =??

∠=∠??=?

， ∴△BPD ≌△CQP （SAS ），

②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∴BP ≠CQ ，

∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ， ∴BP =PC =1

2

BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =

52

， ∴点Q 的运动速度=612552

=

cm /s ，

∴当点Q 的运动速度为

12

5

cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：

12

5

x ﹣2x =36， 解得：x =90，

点P沿△ABC跑一圈需要181810

23

2

++

=（s）

∴90﹣23×3=21（s），

∴经过90s点P与点Q第一次相遇在线段AB上相遇．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．

4．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．

【解析】

【分析】

（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得

∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；

（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．

【详解】

（1）如图①中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD，

∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．

故答案为60．

（2）如图②中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∴∠CAE=∠BCD=′120° ∵AE=CD ， ∴△ACE ≌△CBD ， ∴∠ACE=∠CBD=∠DCF ，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°． 故答案为60． （3）如图③中，

∵点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点， ∴OC=OA ， ∴∠EAC=∠DCB=α， ∵AC=BC ，AE=CD ， ∴△AEC ≌△CDB ， ∴∠E=∠D ，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α． 【点睛】

本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.

5．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+ 【解析】 【分析】

（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；

（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题． 【详解】

解：（1）①证明：∵ACB ?和DCE ?均为等边三角形， ∴AC CB =，CD CE =，

又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=?， ∴ACD ECB ∠=∠， ∴()ADC BEC SAS ??≌． ②∵CDE ?为等边三角形，

∴60CDE ∠=?．

∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180120ADC CDE ∠=?-∠=?， 又∵ADC BEC ??≌， ∴120ADC BEC ∠=∠=?， ∴1206060AEB ∠=?-?=?． ③AD BE =

ADC BEC ??≌， ∴AD BE =． 故填：AD BE =；

（2）①∵ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形， ∴AC CB =，CD CE =， 又∵90ACB DCE ∠=∠=?，

∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠， ∴ACD ECB ∠=∠， 在ACD ?和BCE ?中， AC CB ACD ECB CD CE =??

∠=∠??=?

， ∴E ACD BC ??≌，

∴

ADC BEC ∠∠=．

∵点A 、D 、E 在同一直线上，

∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=?-∠=?-?=?， ∴1351354590AEB CED ∠=?-∠=?-?=?． ②∵CDA CEB ??≌， ∴

BE AD =．

∵CD CE =，CM DE ⊥，

∴DM ME =． 又∵90DCE ∠=?， ∴2DE CM =，

∴2AE AD DE BE CM =+=+． 故填：①90°；②2AE BE CM =+． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．

6．（1）35,2?? ???

；（2）2；（3）不是；（4）（6，7

5）

【解析】

【分析】

（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对

3

(2,1),5,

2

??

- ?

??

分别代入1

a b ab

+=-计算即

可判断；

（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；

（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．

【详解】

（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，

∴-2+1≠-3，

∴（-2，1）不是“白马有理数对”，

∵5+3

2

=

13

2

，5×

3

2

-1=

13

2

，

∴5+3

2

=5×

3

2

-1，

∴

3

5,

2

??

?

??

是“白马有理数对”，

故答案为：

3 5,

2

?? ???

；

（2）若(,3)

a是“白马有理数对”，则

a+3=3a-1，

解得：a=2，

故答案为：2；

（3）若(,)

m n是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m）=-（m+n）=-（mn-1）=-mn+1，

∵-mn+1≠ mn-1

∴（-n，-m）不是“白马有理数对”，

故答案为：不是；

（4）取m=6，则6+x=6x-1，

∴x=7

5

，

∴（6，7

5

）是“白马有理数对”，

故答案为：（6，7

5

）．

【点睛】

本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．

7．（1）HL；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和

△ABC不全等．

【解析】

【分析】

（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；

（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；

（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；

（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．

【详解】

（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．

（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角

∴G、H分别在AB、DE的延长线上．

∵CG⊥AG，FH⊥DH，

∴∠CGA＝∠FHD＝90°．

∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，

∴∠CBG＝∠FEH．

在△BCG和△EFH中，

∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，

∴△BCG≌△EFH．

∴CG＝FH．

又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．

∴∠A＝∠D．

在△ABC和△DEF中，

∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF．

（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．

【点睛】

本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．

8．（1）y＝﹣

3

3

x+2；（2）△AOD为直角三角形，理由见解析；（3）t＝

2

3

或

3

3

．

【解析】

【分析】

（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；

（2）由点A、O、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，即可求解；（3）点C3，1），∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°，故点C3 1），则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝2﹣t．①当OP＝OM时，OQ

＝QH+OH 3

（2﹣t）+

1

2

（2﹣t）＝t，即可求解；②当MO＝MP时，∠OQP＝

90°，故OQ＝1

2

O P，即可求解；③当PO＝PM时，故这种情况不存在．

【详解】

解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：

33

2

03

b

k b ?

+

?

?

?=+

?

，

解得：

3 =

2

k

b

?

?

?

?=

?

故直线AB的表达式为：y 3

+2；

（2）直线AB的表达式为：y 3

+2，则点D（0，2），

由点A、O、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，

故△AOD为直角三角形；

（3）直线AB的表达式为：y＝﹣

3

3

x+2，故点C（3，1），则OC＝2，

则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（3，1），则OC＝2，

则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，

①当OP＝OM时，如图1，

则∠OMP＝∠MPO＝1

2

（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，

过点P作PH⊥y轴于点H，

则OH＝1

2

OP＝

1

2

（2﹣t），

由勾股定理得：PH＝3

（2﹣t）＝QH，

OQ＝QH+OH＝

3

2

（2﹣t）+

1

2

（2﹣t）＝t，

解得：t＝23

；

②当MO＝MP时，如图2，

则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，

∴∠OQP ＝90°， 故OQ ＝

12OP ，即t ＝1

2（2﹣t ）， 解得：t ＝

23

； ③当PO ＝PM 时，

则∠OMP ＝∠MOP ＝30°，而∠MOQ ＝30°， 故这种情况不存在；

综上，t ＝23． 【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点，还利用了方程和分类讨论的思想，综合性较强，难度较大，解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算．

9．（1）6-2t ；（2）全等，理由见解析；（3）8

3

；（4）经过24s 后，点P 与点Q 第一次

在ABC 的BC 边上相遇 【解析】 【分析】

（1）根据题意求出BP ，由PC=BC-BP ，即可求得；

（2）根据时间和速度的关系分别求出两个三角形中，点运动轨迹的边长，由∠B=∠C ，利用SAS 判定BPD △和CQP 全等即可；

（3）根据全等三角形的判定条件探求边之间的关系，得出BP=PC ，再根据路程=速度×时间公式，求点P 的运动时间，然后求点Q 的运动速度即得；

（4）求出点P 、Q 的路程，根据三角形ABC 的三边长度，即可得出答案． 【详解】

（1）由题意知，BP=2t ，则 PC=BC-BP=6-2t ， 故答案为：6-2t ； （2）全等，理由如下： ∵p Q V V ，t=1， ∴BP=2=CQ ，

∵AB=8cm ，点D 为AB 的中点， ∴BD=4（cm ），

又∵PC=BC-BP=6-2=4（cm ）， 在BPD △和CQP 中

BD PC B C BP CQ =??

∠=∠??=?

∴BPD △≌CQP （SAS ） 故答案为：全等． （3）∵p Q V V ≠， ∴BP CQ ≠，

又∵BPD △≌CPQ ，∠B=∠C ， ∴BP=PC=3cm ，CQ=BD=4cm ， ∴点,P Q 运动时间3

22

BP t =

=（s ）， ∴

48

332

Q CQ V t

==

=

（cm/s ）， 故答案为：8

3

；

（4）设经过t 秒时，P 、Q 第一次相遇， ∵2/p V cm s =，8

/3

Q V cm s =， ∴2t+8+8=8

3

t ，

解得：t=24

此时点Q 走了824643

?=（cm ）， ∵ABC 的周长为：8+8+6=22（cm ）， ∴64222

20÷=，

∴20-8-8=4（cm ），

经过24s 后，点P 与点Q 第一次在ABC 的BC 边上相遇， 故答案为：24s ，在 BC 边上相遇． 【点睛】

考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间的关系，全等三角形中的动点问题，动点的追及问题，熟记三角形性质和判定，熟练掌握全等的判定依据和动点的运动规律是解题的关键，注意动点中追及问题的方向．

10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）结论：AD DG ND =-，证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）先根据直角三角形的性质得出60ABC ∠=?，再根据角平分线的性质可得

CD ED =，然后根据三角形的判定定理与性质可得BC BE =，最后根据等边三角形的判

定即可得证；

（2）如图（见解析），延长ED 使得DF MD =，连接MF ，先根据直角三角形的性质、等边三角形的判定得出MDF ?是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出

,,F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量

代换即可得证；

（3）如图（见解析），参照题（2），先证HDN ?是等边三角形，再根据等边三角形的性质、角的和差得出,,H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定与性质、等量代换即可得证． 【详解】 （1）

3,090A ACB ∠=?∠=?

9060ABC A ∴∠=?-∠=?

BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥

CD ED ∴=

在BCD ?和BED ?中，CD ED

BD BD =??=?

()BCD BED HL ∴???

BC BE ∴=

EBC ∴?是等边三角形；

（2）如图，延长ED 使得DF MD =，连接MF

3,090A ACB ∠=?∠=?，BD 是ABC ∠的角平分线，DE AB ⊥

60,ADE BDE AD BD ∴∠=∠=?=

60,18060MDF ADE MDB ADE BDE ∴∠=∠=?∠=?-∠-∠=?

MDF ∴?是等边三角形

,60MF DM F DMF ∴=∠=∠=?

60BMG ∠=?

DMF DM B M G G D M G ∴∠+∠=+∠∠，即FMG DMB ∠=∠ 在FMG ?和DMB ?中，60F MDB MF MD FMG DMB ∠=∠=???

=??∠=∠?

()FMG DMB ASA ∴???

GF BD ∴=，即DF DG BD += AD DF DG MD DG ∴=+=+

即AD DG MD =+；

（3）结论：AD DG ND =-，证明过程如下： 如图，延长BD 使得DH ND =，连接NH

由（2）可知，60,18060,ADE HDN ADE BDE AD BD ∠=?∠=?-∠-∠=?=

HDN ∴?是等边三角形

,60NH ND H HND ∴=∠=∠=?

60BNG ∠=?

HND BND BND BNG ∠+∠=+∠∴∠，即N HNB D G ∠=∠ 在HNB ?和DNG ?中，60H NDG NH ND HNB DNG ∠=∠=???

=??∠=∠?

()HNB DNG ASA ∴???

HB DG ∴=，即DH BD DG += ND AD DG ∴+=

即AD DG ND =-．

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），通过作辅助线，构造一个等边三角形是解题关键． 11．（1）BC BD =，理由见解析；（2）BF BP BD +=，证明见解析；（3）

BF BP BD +=． 【解析】 【分析】

（1）利用含30的直角三角形的性质得出1

2

BC AB =

，即可得出结论； （2）同（1）的方法得出BC BD =进而得出BCD ?是等边三角形，进而利用旋转全等模型易证DCP DBF ???，得出CP BF =即可解答； （3）同（2）的方法得出结论． 【详解】