第一章三角函数1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
学习目的：
（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2
sin(cos
π+
=x x ，作出
R x x y ∈=,cos 的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 学习重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 学习难点：作余弦函数的图象，周期性； 课堂探究： 一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则
P 与原点的距离r (02
22
2
>+=+=y
x y
x
r )
则比值r
y 叫做α的正弦 记作： r
y
=
αsin
比值
r x 叫做α的余弦 记作： r
x =αcos
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有
MP r
y ==
αsin ，OM r
x ==
αcos
向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线． 二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来
度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx 的图象
第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角6
,0π，3
π，2
π
,…，2π的正弦线（等价于“列表” ）.
把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.
把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.
（2）余弦函数y=cosx 的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向
下平移，过1O 作与x 轴的正半轴成4
π
角的直线，又过余弦线1O A 的终点A 作x 轴的垂线，
它与前面所作的直线交于A ′，那么1O A 与AA ′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线1O A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，
将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”
（把角x 的余弦线O 1M 按逆时针方向旋转2
π
到
O 1M 1位置，则O 1M 1与O 1M 长度相等，方向相同.）
根据诱导公式cos sin()2
x x π
=+
,还可以把正
弦函数x=sinx 的图象向左平移
2
π
单位即得余弦函数y=cosx 的图象.
正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (
2
π
,1) (π,0) (
2
3π,-1) (2π,0)
余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是
(0,1) (
2
π
,0) (π,-1) (
2
3π,0) (2π,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x |
例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3
y x x π
π=+∈的简图.
例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：
1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22
x x π
≤<<
三、巩固与练习 练习第1题
四、小 结：
本节课学习以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业： 习题1.4A 组第1题
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx 的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx 和y=cos x 的图象 3．用五点法作出y=cosx,x ∈[0,2π]的图象
必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈
例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性
例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．
课题：正弦函数、余弦函数的图象 高（ ）班 组 姓名 教师评价: 编制人： 审核人： 【学习目标】 1.借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.能熟练运用“五点法” 作图. 2.通过独立思考，合作探究，体会利用“几何法”作正弦函数、余弦函数图象的过程，提高动手能力,体会数形结合在解题中的应用. 3.通过作正弦函数、余弦函数的图象，培养学生认真负责、一丝不苟的学习精神，培养主动交流的合作精神，培养积极探索的思维品质；激情投入学习，享受成功的快乐. 重点：运用“五点法”作图 难点：借助于三角函数线画y=sinx 的图象 【预习案】 【使用说明与学法指导】 1.用20分钟左右的时间，阅读探究课本的内容，熟记基础知识。自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处. 一、相关知识： 1、 函数的定义及其三要素是什么？ 2、 请同学们回忆一下所学的指数函数图象怎么画？ 二、教材助读： 1、 你能用自己的语言来描述正弦函数和余弦函数的定义吗？ 2、 正弦函数的定义域和值域是什么？ 3、 请你结合书本第30页中简谐运动的过程，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一 个直观的印象？ 4、 如何利用正弦线画出在0到π2内的正弦函数的图像？ 5、 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 6、 如何作R x x y ∈=,sin 的图像？ 7、 用以前学过的诱导公式，=x cos ________（用正弦式表示），那么x y cos =的图象怎样 作？ 三、预习自测： 1、函数x y 2sin =的定义域为（ ）
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
精心整理 正、余弦函数的图象与性质 [知识回顾] 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
原点的距离是()0 r r=>，则sin y r α=，cos x r α=，() tan0 y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT． 12、同角三角函数的基本关系： 222222
[考点例题精讲] 考点一：正余弦函数图象的应用 例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 2 1 sin )1(≥ x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,265, 26 ππππ 2 1 cos )2(≤ x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,235, 23 ππππ 考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题 例2求下列函数的定义域： (1)y ＝1+ x sin 1 (2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠2 3π ＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠ 23π ＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π ＋2k π≤x ≤2 π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2 π ＋2k π］(k ∈Z ) 方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函单调性 在2,22 2k k ππππ??-+??? ? ()k ∈Z 上是增函 数； 在32,22 2k k π πππ??++ ??? ? () k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函 数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2 x k k π π=+∈Z 对称中心(),02 k k π π?? +∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z
正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？
答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x 的图象， 进而画出 y cosx 的图象；会用“五点法”画y sin x 和y cosx 在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x 0,2的图象，用“五点法”画y sin x 和 y cosx 在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像
正、余弦函数的图象与性质 [知识回顾] 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系： ()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； () sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ??? ．
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定 的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法
第三十教时 教材：正弦函数、余弦函数的图象及其性质习题课； 目的：复习正弦函数、余弦函数的图象及其性质，使学生对上述概念的理解、认 识更深刻。 过程：一、复习：1．y=sinx y=cosx 的图象 当x ∈R 时，当x ∈[0，2π]时 2．y=sinx y=cosx 的性质 定义域、值域（有界性）最值、 周期性、奇偶性、单调性 二、1．已知函数f (x )=x 2cos 12-，试作出该函数的图象，并讨论它的奇偶性、周期性以及区间[0，2 π ]上的单调性。 解：f (x )=|sin2x| f (-x )=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x ) ∴f (x )为偶函数 T=2 π 在[0,4 π]上f (x )单调递增；在[4π, 2 π ]上单调递减 注意：若无“区间[0,2 π ]”的条件，则增区间为[ 4 2,2πππ+k k ] k ∈Z 减区间为[ 2 )1(,42πππ++k k ] k ∈Z 2．设x ∈[0,2 π], f (x )=sin(cosx), g (x )=cos(sinx) 求f (x )和g (x )的最大值和最小值，并将它们按大小顺序排列起来。 解：∵在[0,2 π]上y=cosx 单调递减, 且cosx ∈[0,1] 在此区间内y=sinx 单 调递增且sinx ∈[0,1] ∴f (x )=sin(cosx)∈[0,sin1] 最小值为0, 最大 值为sin1 g (x )=cos(sinx)∈[cos1,1] 最小值为cos1, 最大值为1 ∵cos1=sin( 2π -1) 1.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时 正弦、余弦函数的图象 正弦曲线、余弦曲线 (1)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象分别叫正弦曲线和余弦曲线(如图)． (2)“五点法”画图 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，? ???? π2，1，(π， 0)，? ?? ?? 3π2，－1，(2π，0)． 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，? ???? π2，0，(π， －1)，? ?? ?? 3π2，0，(2π，1)． (3)正弦、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ? ???? x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的 图象向左平移π 2个单位长度即可． 思考：作正、余弦函数的图象时，函数自变量能用角度 制吗？ [提示] 作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用． 1．思考辨析 (1)正弦曲线的图象向左右无限延展．( ) (2)y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同．( ) (3)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√ 2．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是________． [答案] 0，π4，π2，3π 4，π 3．不等式cos x ＜0，x ∈[0,2π]的解集为________． [答案] ? ?? ?? π2，3π2 利用“五点法”作简图 【例1】 用“五点法”作出下列函数的图象． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]； (3)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]． 思路点拨：先分别取出相应函数在[0,2π]上的五个关键点，再描点连线． 正、余弦函数的图象和性质检测题 一、选择题（每小题5分，共50分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数) 3 2sin(2π+=x y 的图象 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（－6 π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x =6 π对称 2．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ） A ．]3, 0[π B ．] 127,12[ππ C ．]6 5,3[ππ D ．],6 5[ ππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最大值为（ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．π4 5=x 5．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是 （ ） A ．3,1π?ω== B ．3 ,1π ?ω-== C ．6,21π?ω== D ．6 ,21π ?ω-== 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．如果函数y=sin2x +αcos2x 的图象关于直线x=－8 π 对称，那么α的值为 （ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 8．函数y=2cos 2x +1(x ∈R )的最小正周期为 （ ） A ． 2 π B ．π C ．π2 D ．π4 9．已知函数1)2 sin()(--=π πx x f ，则下列命题正确的是 （ ） A ．)(x f 是周期为1的奇函数 B ．)(x f 是周期为2的偶函数 C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数 D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 10．函数x x y cot cos +-=的定义域是 （ ） A ．]2 3 ,[ππππ+ +k k B ．]2 32,2[ππππ+ +k k 1 y x 正弦函数、余弦函数的图像 一、内容和内容解析： 本节课是高中新教材《数学》必修4§1.4《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。.为今后学习正弦型函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。 二、教学目标 （1）了解如何利用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像。 （2）掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。 （3）探究利用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。 （4）体验利用图象变换作图的方法，体会数形结合的思想。 三、教学支持条件分析： 1．资料的收集 “简谐运动”的实验装置. 2.课件的制作 采用flash软件辅助设计“简谐运动”动画，用flash软件或“几何画板”制作正弦函数图像的几何画法过程. 3.活动的准备: 利用多媒体、实物教具等手段可帮助学生更直观地认识正、余弦函数曲线，以及它们之间的图像变换，并且通过教师的讲解法、谈话法、发现法、启发式教学法，使学生通过一定的观察、思考、分析以及动手操作，更有利学生的自主探索，使学生在学习活动中获得成功感，整堂课在师生的合作学习氛围中进行数学思维，使学生更好的发现数学规律。 四、教学过程 课题导入： 以前，我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，对于各种函数，我们都可以通过它的图像研究它的一些相关性质，那么，我们今天学习的正、余弦函数的图像是什么样子的呢？ 探索新知： 1、情景设置： 正余弦函数的图像与性质 例题1.值域最值: 三角函数最值问题的解题技巧 三角函数的最值问题,是三角函数基础知识的综合应用,它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起,该问题综合性强,解题方法也多样化.解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现,有一定的难度,要注意灵活选用方法.下面介绍解三角函数最值问题的常见方法. 1、形如sin y a x b =+型的函数的最值 例题:1)求函数2sin3y x =-的最 x 的集合 2)函数32sin(2),,334y x x πππ?? =-∈???? 的值域是____ 练习:1)求函数1)3 2sin(2++ =π x y 的最值,并求出相应自变量x 的取值范围 2)已知函数)32sin(2)(π- =x x f ,若]2 ,4[π π∈x ,求函数)(x f y =的最值以及相应自变量x 的值. 2、形如x b x a y cos sin +=型的函数的最值. 例题: 1)求函数x x x x f sin )cos (sin )(?-=的最值 2)已知(1,2sin )a x = ，,cos )b x x =- ,设函数()f x ＝a ·b .若[],0x ∈-π,求)(x f y =的 最大值、最小值并求出对应的x 值 3) 当- ≤≤ =+π π 2 2 3x y x x 时，函数的（）sin cos A.最大值为1,最小值为-1 B.最大值为1,最小值为- 1 2 C.最大值为2,最小值为-2 D.最大值为2,最小值为-1 4)已知函数x x x f 2cos 3)4(sin 2)(2 -+=π ,若不等式2)(≥-m x f 在]2 ,4[π π∈x 上恒成立.求m 的取值范围.)2|)((|≤-m x f 2、形如c x b x a y ++=sin sin 2)0(≠a 型的函数的最值. 这类问题最后化为二次函数的三角最值问题,利用三角函数的有界性1)(cos sin 1≤≤-x x ,并结 合二次函数的性质求得结论.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值,并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得. 例题:求函数1sin sin 2++=x x y ,6sin 4cos 42+--=x x y 的最值. 练习:1)函数22sin 2cos 3y x x =+-的最值 2)求函数x x y sin cos 2+=在区间[,]44 ππ - 上的最小值. 3)求函数6sin 42cos 4+--=x x y 的最值. 4）已知函数(x)f 2 2cos 2sin 4cos x x x =+-。求(x)f 的最大值和最小值。 3、含有x x x x cos sin ,cos sin +的函数的最值问题. 通常方法是换元法:令)22(cos sin ≤≤-+=t x x t ,将x x cos sin 转化为t 的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围. 例题:求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 练习:函数x x x x x f cos sin 1cos sin )(++= 的值域为______________. 由以上几种形式,可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决. 4、形如d x c b x a y ++= sin sin 或b x a y +=sin (了解内容) 例题:求函数x x y sin 2cos 2+-=练习:1)求函数x x y cos 232sin -+=求函数2sin sin +=x x y 的最值 说明: 个定点与动点的直线斜率的最值问题. 例题2.周期性 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定 的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图 象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。 4正弦、余弦函数的图象 一、教学目的： 1.利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； 2.根据关系)2 sin(cos π + =x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象； 3.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 二、教学重点难点： 1. 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 2. 作余弦函数的图象。 三、教学过程： (一)复习引入： 1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） P 与原点的距离r(0222 2>+= += y x y x r ) 则比值r y 叫做α的正弦 记作： r y = αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x = αcos 3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y == αsin ，OM r x ==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线． (二)讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数y=sinx 的图象 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份. r y) (x,α P 1.4.1正弦、余弦函数的图象 一、三维目标: 知识与技能:（1）理解几何法作出R x x y ∈=,sin 的图象，掌握图象的形状； （2）掌握关系cos sin()2x x π =+，作出R x x y ∈=,cos 的图象； （3）能用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。 过程与方法:（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法。 情感态度与价值观: 通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的 学习和工作精神。 二、学习重、难点： 重点: 用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象。 难点: 作余弦函数的图象，周期性。 三、学法指导: 认真阅读教材,对教材的内容进行分析。 四、知识链接： A1． 弧度定义： A2. 正、余弦函数定义： B3. 正弦线、余弦线： 五、学习过程： 遇到一个新的函数,画出它的图像,通过观察图象获得对它的性质的直观认识,是研究函数的基本方法。为了获得正弦函数和余弦函数图像，我们先做一个简谐运动实验，观察它的图形特点。 A 问题1.所得到的图象是哪两个变量之间的函数图像？ B 问题2.图像具有什么特点？ 新课讲解：用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数。在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识。 （1）函数y=sinx 的图象： 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份。把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份； 正弦函数余弦函数的图像（说课） 各位评委，各位老师大家好! 很高兴能在这里以这种方式向大家学习和交流。我叫何秦，来自高县中学。今天我说课的课题是《正弦函数余弦函数的图像》内容取自人教版高中数学教科书高一下册第四章第八节。我对本课的设计分为五大部分 一：教材分析 二：教法分析 三：学法分析 四：教学过程 五：说明反思 一．教材分析 （1）教材的地位和作用 三角函数这一章学习是在函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习。内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。研究的方法主要是代数变形和图象分析。三角函数是重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具，三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（如：物理、天文学）联系紧密。 高考大纲的要求是“理解正余弦函数的图像和性质，会用五点法画出正余弦函数的图像”大纲的要求是课的方向标，也是课的重要性的体现本课是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究函数的性质、正弦型函数)sin(?+=wx A y 的图象的知识基础和方法准备。同时本课是数形结合的思想方法的良好题材。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用 （2）课时安排 本课三角函数图像和性质的第一课时，主要是介绍用几何法画正余弦函数图象、用五点法画正余弦函数图象简图并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换。 二. 教法分析 （一）学情分析 学生已经学习了因为在已有函数基础知识和诱导公式、三角函数线知识的基础上来研究图像，进一步体现数形结合和化归思想在高中数学中的运用。同时，学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但还有部分学生学习函数有畏难情绪，在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。意图：从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。 （二）教学方法 1.现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师的‘反馈——控制’的同时，每个学生也都在进行着微观的‘反馈——控制’。” 任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效。 2.建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。 （三）具体措施 （1）教学的思想决定着教学的方法，课的方向：本课我以学生为主体让学生体会知识的形成过成。所以我依托实验法，讨论法让学生全员参与。 （2）教学的宗旨教会学生的学习，本课属于本源性知识，我采用讲解讨论相结合，交流正弦、余弦函数的图象
正、余弦函数的图象和性质检测题
《正弦函数、余弦函数的图像》教案设计
正余弦函数的图像与性质
正弦函数和余弦函数的图像与性质
正弦函数余弦函数的图像
1.4.1正弦、余弦函数的图象
高一数学正弦函数余弦函数的图像
相关主题
文本预览