实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat 算法，从而加深理解二维小
波变换的分解与合成，同时，提高编程能力和matlab 的应用，为以后的学习打下基础。
实验原理：
1、Mallat 快速算法
本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat 算法，算法原理如下
1(2)j j k n n
c h n k c -=-∑ （1）
1(2)j j k n n
d g n k c -=-∑ （2）
重构算法： 1
(2)(2)j j j n
k k n
n
c h n k c g n k
d -=-+-∑∑ （3）
对于（1）、（2）等效于1
j n c -经过冲击响应为[]h n -和[]g n -的数字滤波器，然后再分别进行“二抽取”，Mallat 分解算法的滤波器表示形式如下图
C j-1
d j (k)
C j (k)
用滤波器表示如下图
d j
C j C j-1(k)
2、 255*255
10lg
PSNR MSE
=
'2
11
()*M
N
ij
ij i j f
f MSE M N
==-=
∑∑
{}ij f '{}ij f 分别表示原始图像和重建后的图像，1,1i M j N ≤≤≤≤。
3、边界延拓方法有零延拓、周期延拓、对称周期延拓、常数连续延拓等，本实验采用以上四种方法进行原图像的1/8延拓，并进行重构，各种延拓方法所对应的函数为yan0(x)、yancir
（x ）、yan(x)、yanc(x),在主程序中，需要某种延拓，便调用某种函数。
为使程序易于理解，在不考虑算法复杂度的情况下，分解程序采用简洁的循环计算出下一级的分解系数，程序采用的编程思想如下
[][][]11100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j j c c h h h h h h c c h h h h n c n h h h h h h c ---??
???????????????
???=??????????????--??????????????
L
L M M M
M M M M M O O M L 以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，[0][1]2
j j n
c c -L 是j 分解的低频部分。同理，对
于j 分解的高频部分有如下矩阵形式：
[][][]11
100[0][1][2][3][4][5]001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j d d g g g g g g d d g g g g n d n g g g g g g d ---????
????????????????=?
??????
???????--??????
????????
L L M
M M
M M M M M O O M L 分解程序： lenx=size(x,2);%x 为一维向量
lenh=size(h,2); h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))]; g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))];
r1(1)=sum(h.*x); r2(1)=sum(g.*x);
for k=1:1:(lenx/2-1) %循环求出下一级低频和高频分量
h=[h(end-1:end),h(1:(end-2))];
r1(k+1)=sum(h.*x); g=[g(end-1:end),g(1:1:(end-2))];
r2(k+1)=sum(g.*x);
end y=[r1,r2];
对于重构算法，其等效形式为
[][][]1(2)(2)j j j n
n
c n h n k c k g n k
d k -=-+-∑∑
上式等号右边部分实质上是对变量k 的数字卷积运算,程序采用频域相乘代替卷积，重建程
序为 y=ifft(fft(c3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(d3,lenx).*fft(g,lenx));
1、多尺度分解与重构图像
二维小波变换采用小波采用db3，其峰值信噪比PNSR=230.13db，并对三级分解图像进行归一化，求出0的个数为37626，其所占的百分比为57.41%。
2、延拓重建图像
延拓方法周期延拓对称周期延拓零延拓常数连续延拓PNSR 230.18db 230.48db 229.80db 230.13db
拓图像效果不如其他方法延拓。
3、不同小波下重构图像的性质
用不同小波进行图像重构，所得的重构图像能量分布如下
小波 db1 db2 db3 db4 均值 124.0309 124.0509 124.0509 124.0509 方差 2272
2272
2272
2272
附录：
1、主函数程序
clc;clear;
X=imread('LENA.bmp');%路径
X=double(X);
% S=yancir(X);
A=mallatdec2(X,'db3', 3);
image(abs(A));
colormap(gray(255));
title('3级多尺度分解图像');
Y=mallatrec2(A,'db3',3);
Y=real(Y);
figure(2);
subplot(1,2,1);
image(X);
colormap(gray(255));
title('原始图像');
subplot(1,2,2);
image(Y);
colormap(gray(255));
title('重建图像');
zerosn=numberzeros(A);
% Y=Y(33:288,33:288); %当调用延拓图像时，从延拓的重建图像进行截取
csize=size(X);
sr=csize(1);
sc=csize(2);
mse=sum(sum( (Y-X).^2,1))/(sr*sc);
psnr=10*log(255*255/mse)/log(10)
2、分解程序
function Y=mallatdec2(X,wname,level)
%输入:X 载入的二维图像像数值;
% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数分% wname 小波名字wavelet name
%输出：Y 多极小波分解后的小波系数矩阵
[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g 分别为低通和高通滤波器
X=double(X);
t=1;
[hh,ll]=size(X);
while t<=level
%先进行行小波变换
for row=1:hh
Y(row,1:ll)=mdec1(X(row,1:ll),h,g) ;
end
%再进行列小波变换
for col=1:ll
temp=mdec1( Y(1:hh,col)',h,g);
Y(1:hh,col)=temp';
end
t=t+1;
hh=hh/2;
ll=ll/2;
X=Y;
end
function y=mdec1(x,h,g)
%输入：x 行数组
% h 为低通滤波器
% g 为高通滤波器
%输出： y 进行一级小波分解后的系数
lenx=size(x,2);
lenh=size(h,2);
h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))];
g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))];
r1(1)=sum(h.*x);
r2(1)=sum(g.*x);
for k=1:1:(lenx/2-1)
h=[h(end-1:end),h(1:(end-2))];
r1(k+1)=sum(h.*x);
g=[g(end-1:end),g(1:1:(end-2))];
r2(k+1)=sum(g.*x);
end
y=[r1,r2];
3、重建程序
function Y=mallatrec2(X,wname,level)
%输入:X 载入的小波系数矩阵;
% level 小波分解次(级)数设定值(如果设定值超过最高可分解次数,按最高分解次数% wname 小波名字wavelet name
%输出：Y 重构图像矩阵
[h,g]=wfilters(wname,'d'); %h,g 分别为重构低通滤波器和重构高通滤波器
hz=size(X,2);
h1=hz/(2^(level-1));
while h1<=hz
% 对列变换
for col=1:h1
temp=mrec1(X(1:h1,col)',h,g)';
X(1:h1,col)=temp;
end
%再对行变换
for row=1:h1
temp=mrec1(X(row,1:h1),h,g);
X(row,1:h1)=temp;
end
h1=h1*2;
end
Y=X;
function y=mrec1(x,h,g)
%输入：x 行数组
% h 为低通滤波器
% g 为高通滤波器
%输出： y 进行一级小波重构后值
lenx=size(x,2);
lenh=size(h,2);
h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))];
g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))];;
c3=dyadup(x(1,1:lenx*0.5),0,lenx); %插零use para 0
d3=dyadup(x(1,(lenx*0.5+1):lenx),0,lenx); %use para 0
y=ifft(fft(c3,lenx).*fft(h,lenx))+ ifft(fft(d3,lenx).*fft(g,lenx));
4、延拓程序
%零延拓程序
function T=yan0(x)
[r0,c0]=size(x);
for s=1:r0
a(s,:)=[zeros(1,c0/8),x(s,:),zeros(1,c0/8)];
end
c0=c0+c0/4;
for t=1:c0
T(:,t)=[zeros(r0/8,1)',a(:,t)',zeros(r0/8,1)']';
End
%连续常数延拓程序
function T=yanc(x)
[r0,c0]=size(x);
for s=1:r0
r1(1:c0/8)=x(s,1);
r2(1:c0/8)=x(s,c0);
a(s,:)=[r1,x(s,:),r2];
end
c0=c0+c0/4;
for t=1:c0
c1(1:r0/8)=a(1,t);
c2(1:r0/8)=a(r0,t);
T(:,t)=[c1,a(:,t)',c2]';
end
%对称周期延拓程序
function T=yancir(x)
[r0,c0]=size(x);
for s=1:r0
a(s,:)=[x(s,end-(c0/8-1):1:end),x(s,:),x(s,1:1:c0/8)];
end
c0=c0+c0/4;
for t=1:c0
T(:,t)=[a(end-(r0/8-1):1:end,t)',a(:,t)',a(1:1:r0/8,t)']'; end
%周期延拓程序
function T=yan(x)
[r0,c0]=size(x);
for s=1:r0
a(s,:)=[x(s,c0/8:-1:1),x(s,:),x(s,end:-1:end-(c0/8-1))];
end
c0=c0+c0/4;
for t=1:c0
T(:,t)=[a(r0/8:-1:1,t)',a(:,t)',a(end:-1:end-(r0/8-1),t)']'; end
E RDAS实验报告 图像融合实验 数据来源 采用Erdas中examples文件内的2000年Atlanta多光谱TM数据和高清全色Pan数据。两图为同一地区不同坐标影像，故使用前需预处理从而得到实验区域。 目的 多光谱TM数据分辨率较低但包含多波段色彩，而全色Pan数据只包含一层高清影像，为了得到研究区域的高清彩色影像，我们将TM和Pan数据在Erdas2014中进行融合以达到实验目的。 方法 在遥感领域运用较多的融合方法有主成分变换法、比值变换法、小波变换法和HIS变换法。本实验则运用HIS变换法。IHS属于色度空间变换，从多光谱彩色合成影像上分离出代表信息的明度（I）和代表光谱信息的色调（H）、饱和度（S）等3个分量，并采用相同区域的高分辨率全色波段数据代替明度（I）进行空间信息融合。 步骤 1.几何校正 因原始图像空间坐标不同，需选取控制点进行几何校正。本实验校正方法为多项式法，选取6个控制点进行校正，其校正叠加截图如下：
2.叠加剪切 由校正结果可知两图像只有部分区域重合，所以建立AOI对重合区域进行剪切，以得到研究区域，截图如下： 3.重采样 因多光谱图像分辨率较低，像元点较大，若要与全色图融合出高清影像需进行重采样来调整像元大小，以达到与高清图一致。 4.二次剪切 因图为栅格，统一像元后，边缘区必然会有一定的扩展(如下图)，虽说扩展的范围较小，但在科研应用方面不符合要求，故须二次剪切。 5.RGB转HIS
TM图像选取前三层再分别赋予蓝、绿、红三色，转化为HIS格式，如下图： 6.直方图匹配 将高清图像直方图以标准图像的直方图为标准作变换,使全色光图和HIS图中I层两图像的直方图相同和近似,从而使两幅图像具有类似的色调和反差，以便作进一步的运算。 7.图像叠加 运用Layer stack功能将全色光高清图和H、S图层进行叠加即所谓的图像融合。它将多波段图层组合到了一起，从而得到新的包含多个有助于研究者使用的多波段影像。 8.IHS转RGB
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
MATLAB小波变换指令及其功能介绍 1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1) dwt函数 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和 N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量； [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信 号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数 fft、fft2 和 fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经 小波反变换重构原始信号 X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。 2 二维小波变换的 Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 函数名函数功能
--------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换 waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量 upwlev2 二维小波分解的单层重构 dwtpet2 二维周期小波变换 idwtper2 二维周期小波反变换 ----------------------------------------------------------- (1) wcodemat 函数 功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分 格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) Y=wcodemat(X,NB,OPT) Y=wcodemat(X,NB) Y=wcodemat(X) 说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL) 返回数据矩阵 X 的编码矩阵 Y ；NB 伪编码的最大值，即编码范围为 0～NB，缺省值 NB＝16； OPT 指定了编码的方式（缺省值为 'mat'），即：别可以实现 一维、二维和 N 维 DFT OPT＝'row' ，按行编码 OPT＝'col' ，按列编码
南京师范大学物理科学与技术学院 医用电子学论文 论文名称：基于小波变换的心电信号噪声消除 院系：物科院 专业：电路与系统 姓名：聂梦雅 学号： 121002043 指导教师：徐寅林
摘要 以小波变换的多分辨率分析为基础, 通过对体表心电信号(ECG) 及其噪声的分析, 对ECG信号中存在的基线漂移、工频干扰及肌电干扰等几种噪声, 设计了不同的小波消噪算法; 并利用MIT/BIH 国际标准数据库中的ECG 信号和程序模拟所产生的ECG 信号, 分别对算法进行了仿真与实验验证。结果表明, 算法能有效地滤除ECG 信号检测中串入的几类主要噪声, 失真度很小, 可满足临床分析与诊断对ECG 波形的要求。 关键词: ECG 信号, 小波变换, 基线漂移, 工频干扰, 肌电干扰
Abstract We apply the multi-resolution analysis (MRA ) of wavelet transform ( WT ) , which was proposed by Mallat [ 5 ] , to suppress the three main types of noises existing in electrocardiogram ( ECG ) signals : baseline wander, power line interference and electro my ographical interference. We apply Mallat algorithm [ 4 ] to suppress the baseline wander in ECG signals. We apply the sof t-thresholding algorithm, proposed by donohoetal on the basis of MRA of WT , to suppress power line interference in ECG signals. We apply Mallat algorithm and then the algorithm proposed by Donohoetal to suppress the electro my ographical interference in ECG signals ,who sefrequency range varies f rom 5Hz to 2kHz. We performed simulations ,using both ECG signals from MIT/BIH database, and ECG signals generated via computer simulation .The results show that the algorithm can suppress the main no isesexisting in ECG signals efficiently with very little distortion, and can satisfy the requirement s of clinical analysis and diagnosis on ECG waveforms. Key words: ECG (electro cardio gram ) signal, wavelet transform , baseline wander, power line interference , electro my ographical interference
我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：
是第8章小波变换在图像去噪与图像增强中的应用 本章集中讨论小波在图像去噪与图像增强中的应用，首先研究基于小波的图像去噪方法。 设原图像（即待恢复的图像）为 []{},:,,,f i j i j I N =,被噪声污杂的图像（即观察到的图像）为[]{},:,,,g i j i j I N =，并设 [][][],,,,,,,g i j f i j i j i j I N ε=+= (0.1) 其中[],i j ε是噪声分量，独立同分布于()20,N πσ，且与[],f i j 独立，去噪的目的 是得到[],f i j 的估计[]?,f i j ，使其均方误差（MSE ）最小，其中 [][]()22,,11?,,N i j MSE f i j f i j N ==-∑ (0.2) 在小波域，利用正交小波变换，（8.1）式变换后既得 [][][],,,,,1,,Y i j X i j V i j i j N =+= (0.3) 其中Y [],i j 是有噪小波系数，X [],i j 是无噪小波系数，为简单记并考虑到实际问 题的需要，本章对噪声的讨论仅限于加性的高斯白噪声，即V [],i j 为互相独立、 与()20,N πσ同分布的噪声分量。 图像去噪在信号处理中是一个经典的问题，传统的去噪方法多采用平均或线性方常用的是Wiener 滤波，但是去噪效果不够好，随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域法进行，受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河，具体来说，小波去噪的成功主要得益于小波变换有如下特点：低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低；多分辩率特性，由于采用了多分辩率的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辩率下根据信号和噪声分布的特点去噪；去相关性。因小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪；选基灵活性。由于小波变换可以灵活选择基，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等，对不同场合，可以选择不同的小波母函数。 因此，本章重点讨论基于各种小波变换的去噪方法。 8．1信号的奇异性检测与小波模极大值 信号（或函数）的奇异性是指信号（或函数）在某处有间断或某阶导数不连续。显然，无限次可导的函数是光滑的或者说是没有奇异性，奇异点（即突变点）通常包含
MATLAB 小波变换指令及其功能介绍 1 一维小波变换的 Matlab 实现 (1 dwt函数 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname' [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname' 使用指定的小波基函数 'wname' 对信号X 进行分解，cA 、cD 分别为近似分量和细节分量； [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D 使用指定的滤波器组 Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2 idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname' X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R X=idwt(cA,cD,'wname',L函数 fft、fft2 和 fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L 说明：X=idwt(cA,cD,'wname' 由近似分量 cA 和细节分量 cD 经小波反变换重构原始信号 X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R 用指定的重构滤波器 Lo_R 和 Hi_R 经小波反变换重构原始信号 X 。
X=idwt(cA,cD,'wname',L 和 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L 指定返回信号 X 中心附近的 L 个点。 2 二维小波变换的 Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换 waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 appcoef2 提取二维信号小波分解的近似分量 upwlev2 二维小波分解的单层重构 dwtpet2 二维周期小波变换 idwtper2 二维周期小波反变换 ----------------------------------------------------------- (1 wcodemat 函数 功能：对数据矩阵进行伪彩色编码函数 fft、fft2 和 fftn 分格式： Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL Y=wcodemat(X,NB,OPT Y=wcodemat(X,NB
《医学图像处理》实验报告 实验十：小波变换 日期： 2014年05月06日 摘要 本次实验的实验目的及主要内容是: 一维小波变换和反变换 二维小波变换和反变换 二维小波细节置零、去噪
一、技术讨论 1.1实验原理 小波变换的原理:是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波去噪的原理：利用小波变换把含噪信号分解到多尺度中，小波变换多采用二进型，然后在每一尺度下把属于噪声的小波系数去除，保留并增强属于信号的小波系数，最后重构出小波消噪后的信号。其中关键是用什么准则来去除属于噪声的小波系数，增强属于信号的部分。 1.2实验方法 1）dwt函数（实现1-D离散小波变换） [cA,cD]=dwt(X,’wname’)使用指定的小波基函数‘wname’对信号X进行分解，cA和cD分别是近似分量和细节分量； [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的滤波器组Lo_D,Hi_D对信号进行分解 2）idwt函数（实现1-D离散小波反变换） X=idwt(cA,cD,’wname’) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,’wname’,L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 由近似分量cA和细节分量cD经过小波反变换，选择某小波函数或滤波器组，L为信号X中心附近的几个点 3）dwt2函数（实现2-D离散小波变换） [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’) [cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,’wname’) cA近似分量，cH水平细节分量，cV垂直细节分量，cD对角细节分量 4）idwt2函数（实现2-D离散反小波变换） X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,’wname’,S) X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)
崔 冲 丁建华 （大连海事大学信号与图像处理研究所 大连 116026） E-mail cui_chong@https://www.doczj.com/doc/db10672006.html, ； huazai0135020@https://www.doczj.com/doc/db10672006.html, 摘 要：针对含有微弱纹状物或点状物的图像，提出一种基于小波变换的自适应图像增强算法，首先根据小波变换提取出图像中不同变化频率的微弱纹状物，再对这些微弱纹状物进行自适应放大，加大其对比度，从而达到增强的目的，实验结果表明，该算法有着良好的增强效果。 关键词： 图像增强；自适应；小波变换； 1 引言 由于受光照、设备等因素的制约，实际摄取的图像会含有较大的噪声，灰度对比度低，某些局部细节没有明显的灰度差别，使人眼或者机器难以识别，因此有必要进行图像增强，为后续处理做准备。 常用的图像增强算法，比如直方图变换、直方图均衡等都有很好的增强效果，但这些都是全局性算法，对某些灰度集中且对比度低的图像，如含有微弱纹状物或点状物的图像，应用这些算法反而会降低清晰度[1]，本文根据此类图像的特点，在已有算法的基础上[2]，利用小波变换，根据图像信号的变化频率自适应调整求均值的邻域窗口大小，从而使得慢变和快变的信号同时得到增强。 2 基本原理 先介绍一种简单的增强算法[2]，为讨论方便，取出一副数字图像中某一行的像素数据形成一维数据信号，它表示数字图像中某一行的灰度变化信息。如图1所示。增强微弱 )(x f 变化就是增强波形中缓变部分，从而使得波形中微弱的波峰和波谷尽可能得到增强。为此，需要求出的慢变均值，再求出其差值)(x f )(x g )()(x g x f a ?=Δ，即可提取出波峰和波谷。下一步就是对这个差值信号进行自适应放大：a Δa A x p Δ?=)(，A 为放大系数，A 应能按照自适应变化，当大时，A 值小，当a Δa Δa Δ小时，A 值大。经自适应放大后的波形如图2所示，显然，中微弱的波峰和波谷都得到充分的放大。 )(x p )(x f 图1 原始信号f(x)波形 图2 增强后的信号p(x)波形 https://www.doczj.com/doc/db10672006.html,
小波分析上机实验报告 院系：电气工程及自动化学院 学科：仪器科学与技术
实验一小波分析在信号压缩中的应用 一、试验目的 （1）进一步加深对小波分析进行信号压缩的理解； （2）学习Matlab中有关信号压缩的相关函数的用法。 二、相关知识复习 用一个给定的小波基对信号进行压缩后它意味着信号在小波阈的表示相对缺少了一些信息。之所以能对信号进行压缩是因为对于规则的信号可以用很少的低频系数在一个合适的小波层上和一部分高频系数来近似表示。 利用小波变换对信号进行压缩分为以下几个步骤来完成： （1）进行信号的小波分解； （2）将高频系数进行阈值量化处理。对从1 到N 的每一层高频系数都可以选择不同的阈值并且用硬阈值进行系数的量化； （3）对量化后的系数进行小波重构。 三、实验要求 （1）对于某一给定的信号（信号的文件名为leleccum.mat），利用小波分析对信号进行压缩处理。 （2）给出一个图像，即一个二维信号（文件名为wbarb.mat），利用二维小波分析对图像进行压缩。 四、实验结果及程序 （1）load leleccum %将信号装入Matlab工作环境 %设置变量名s和ls，在原始信号中，只取2600-3100个点 s = leleccum(2600:3100); ls = length(s); %用db3对信号进行3级小波分解 [c,l] = wavedec(s, 3, 'db3'); %选用全局阈值进行信号压缩 thr = 35; [xd,cxd,lxd,perf0,perfl2] = wdencmp('gbl',c,l,'db3',3,thr,'h',1); subplot(2,1,1);plot(s); title('原是信号s'); subplot(2,1,2);plot(xd); title('压缩后的信号xd');
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参
数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
第 19卷第 2期四川理工学院学报 (自然科学版 V ol . 19 No. 2 JOURNAL OF SICHUAN UNIVERSITY OF 2006年 4月 SCIENCE & ENGINEERING (NATURAL SCIENCE EDITION Apr . 2006 文章编号:1673-1549(2006 02-0008-04 基于小波变换与阀值收缩法的图像增强去噪 高飞,杨平先,孙兴波 (四川理工学院电子与信息工程系,四川自贡 643000 摘要:提出了一种基于小波变换与阀值收缩法的图像增强去噪方法。图像经过小波分解后可以得到一系列不同尺度上的子带图像, 在不同尺度的子带图像上进行基于阈值收缩滤波的细节系数增强, 再进行小波重构,即可得到增强后的图像。该方法可以有效地去除噪声,增强图像的平均梯度,改善图像的视觉效果。 关键词:图像增强;小波变换;去噪;阀值收缩 中图分类号:TP391 文献标识码:A 前言 小波变换是传统傅里叶变换的继承和发展, 由于小波的多分辨率分析具有良好的空间域和频率域局部化特性, 对高频采用逐渐精细的时域或空域步长, 可以聚焦 到分析对象的任意细节, 因此特别适合于图像信号这一类非平稳信源的处理,已成为一种信号/ 图像处理的新手段。目前,小波分析已被成功地应用于信号处理、图象 处理、语音与图像编码、语音识别与合成、多尺度边缘提取和重建、分形及数字电视等科学领域 [1]。
图像增强是图像处理中一个非常重要的研究领域,已经有许多非常成熟和有效的方法如直方图均衡、高通滤波、反掩模锐化法等,但是这些传统的图像增强方法都存在着不足,如噪声放大、有时可能引入新的噪声结构等。目前已经有许多关于小波变换在图像处理方面的应用研究, 取得了非常不错的效 果。针对传统图像增强中存在的一些问题,如增强噪声、丢失细节等,本文提出了一种基于阈值收缩法 [2]的小波图像增强方法, 实验结果表明该方法能较好地解决图像增强中的噪声放大的问题, 并能非线性地增强图像的细节信息,保持图像的边缘特征,改善图像的视觉效果,是一种很有效的方法。 1 小波变换 小波变换的基本思想是用一族函数去表示或逼近一信号, 这一族函数称为小波函数系。它是通过一 小波母函数的伸缩和平移产生其“子波”来构成的,用其变换系数描述原来的信号 [3]。设相应的尺度函 数为 (x ?,小波函数为(x ψ,二维尺度函数 , (y x ?,是可分离的,即: ( ( , (y x y x ???=,即可以构造 3个二维基本小波函数: ( ( , (1y x y x ψ?ψ=, ( ( , (2y x y x ?ψψ=, ( ( , (3y x y x ψψψ= 那么,二维小波基可以通过以下伸缩平移实现: 2, 2(2 , (, , n y m x y x j j i j i n m j ??=???ψψ 3, 2, 1, , , =∈i Z n m j 这样,一个二维图像信号 , (y x f 在尺度 j 2下的平滑成分(低频分量可用二维序列 , (n m D j 表示为: , ( , ( , (, , y x y x f n m D n m j j ?=
一、题目：一维Haar 小波2次分解 二、目的：编程实现信号的分解与重构 三、算法及其实现：离散小波变换 离散小波变换是对信号的时－频局部化分析，其定义为：/2200()(,)()(),()()j j Wf j k a f t a t k dt f t L R φ+∞---∞=-∈? 本实验实现对信号的分解与重构： （１）信号分解：用小波工具箱中的dwt 函数来实现离散小波变换，函数dwt 将信号分解为两部分，分别称为逼近系数和细节系数（也称为低频系数和高频系数）,实验中分别记为cA1,cD1，它们的长度均为原始信号的一半，但dwt 只能实现原始信号的单级分解。在本实验中使用小波函数db1来实现单尺度小波分解，即： [cA1,cD1]＝dwt(s,’db1’)，其中s 是原信号;再通过[cA2,cD2]＝dwt(cA1,’db1’)进行第二次分解，长度又为cA2的一半。 （２）信号重构：用小波工具箱中的upcoef 来实现，upcoef 是进行一维小波分解系数的直接重构,即： A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); D1 = upcoef('a',cD1,'db1')。 四、实现工具：Matlab 五、程序代码： %装载leleccum 信号 load leleccum; s = leleccum(1:3920); %用小波函数db1对信号进行单尺度小波分解 [cA1,cD1]=dwt(s,'db1'); subplot(3,2,1); plot(s); title('leleccum 原始信号'); %单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号 A1 = upcoef('a',cA1,'db1'); %单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号 D1 = upcoef('a',cD1,'db1'); subplot(3,2,3); plot(A1); title('单尺度低频系数cA1向上一步的重构信号'); subplot(3,2,5); plot(D1); title('单尺度高频系数cD1向上一步的重构信号'); [cA1,cD1]=dwt(cA1,’db1'); subplot(3,2,2); plot(s); title('leleccum 第一次分解后的cA1信号'); %第二次分解单尺度低频系数cA2向上一步的重构信号 A2= upcoef('a',cA2,'db1',2); %第二次分解单尺度高频系数cD2向上一步的重构信号 D2 = upcoef('a',cD2,'db1',2); subplot(3,2,4); plot(A2);
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
基于小波变换的图像增强研究 摘要 随着社会的不断进步，网络和计算机在人们日常生活中的迅速普及，人们对图像、视频、音频等多媒体文件的要求也愈来愈高。而图像在获取或传输过程中，由于各种原因，可能对图像造成破坏，使图像失真，为了满足人们的视觉效果，必须对这些降质的图像进行处理，满足实际需要，使用不同的方法进行图像增强处理，尽可能对图像进行还原。 图像增强技术是数字图像处理的一个重要分支，其方法有很多，主要可以分为两大类：空间域增强和频率域增强.但是传统的方法在增强图像的同时，也会带来相应的块效应，不符合人们的视觉效果。小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。本文针对图像对比度低、成像质量差的问题，提出一种基于小波变换的直方图均衡算法，用于图像对比度增强。 关键词：图像增强直方图均衡小波变换
Abstract With the development of the society the internet and computers are used widely in people’s everyday life.The transmit of images visions videos and so on have brought so many pleasures,at the same time the demand of such documents become more and more strongly.But the quality of images many decrease because during the course of gaining and transmitting images they are interfered with all kinds of causes .The paper is about how to deal with the enhancement of images. The image enhancement is an important part of digital image processing.There are many methods of image enhancement,image enhancement techniques can be divided into tow broad categories:Spatial domain methods and frequency domain methods.But the traditional methods will enhancement the image with block effect;this is not satisfied human viewer.The technology of wavelet analysis has special advantages to deal with images it can withdraw characters of signals in many directions and in freely scale.The technology can separated noises from signals in different scales.In this paper we discussed how the property of the wavelet basis affect the process of image noising.In view of image problems of low in contrast gradient and poor imaging quality,in this artical
摘要： 图像处理，用计算机对图像进行分析，以达到所需结果的技术。又称影像处理。基本内容图像处理一般指数字图像处理。数字图像是指用数字摄像机、扫描仪等设备经过采样和数字化得到的一个大的二维数组，该数组的元素称为像素，其值为一整数，称为灰度值。图像处理技术的主要内容包括图像压缩，增强和复原，匹配、描述和识别3个部分。图像处理一般指数字图像处理。 数字图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目的。目前，图像处理演示系统应用领域广泛医学、军事、科研、商业等领域。因为数字图像处理技术易于实现非线性处理，处理程序和处理参数可变，故是一项通用性强，精度高，处理方法灵活，信息保存、传送可靠的图像处理技术。本图像处理演示系统以数字图像处理理论为基础，对某些常用功能进行界面化设计，便于初级用户的操作。 设计要求 可视化界面，采用多幅不同形式图像验证系统的正确性； 合理选择不同形式图像，反应各功能模块的效果及验证系统的正确性 对图像进行灰度级映射，对比分析变换前后的直方图变化； 1.课题目的与要求 目的： 基本功能：彩色图像转灰度图像 图像的几何空间变换：平移，旋转，剪切，缩放 图像的算术处理：加、减、乘 图像的灰度拉伸方法（包含参数设置）； 直方图的统计和绘制；直方图均衡化和规定化； 要求： 1、熟悉图像点运算、代数运算、几何运算的基本定
义和常见方法； 2、掌握在MTLAB中对图像进行点运算、代数运算、几何运算的方法 3、掌握在MATLAB中进行插值的方法 4、运用MATLAB语言进行图像的插值缩放和插值旋转等 5、学会运用图像的灰度拉伸方法 6、学会运用图像的直方图设计和绘制；以及均衡化和规定化 7、进一步熟悉了解MATLAB语言的应用，将数字图像处理更好的应用于实际2.课题设计内容描述 1>彩色图像转化灰度图像： 大部分图像都是RGB格式。RGB是指红，绿，蓝三色。通常是每一色都是256个级。相当于过去摄影里提到了8级灰阶。 真彩色图像通常是就是指RGB。通常是三个8位，合起来是24位。不过每一个颜色并不一定是8位。比如有些显卡可以显示16位，或者是32位。所以就有16位真彩和32位真彩。 在一些特殊环境下需要将真彩色转换成灰度图像。 1单独处理每一个颜色分量。 2.处理图像的“灰度“，有时候又称为“高度”。边缘加强，平滑，去噪，加 锐度等。 3.当用黑白打印机打印照片时，通常也需要将彩色转成灰白，处理后再打印 4.摄影里，通过黑白照片体现“型体”与“线条”，“光线”。 2>图像的几何空间变化： 图像平移是将图像进行上下左右的等比例变化，不改变图像的特征，只改变位置。 图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，在y轴按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。如果fx=fy，即在x轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称这样的比例缩放为图像的全比例缩放。如果fx≠fy，图像的比例缩放会改变原始图象的像素间的相对位置，产生几何畸变。 旋转。一般图像的旋转是以图像的中心为原点，旋转一定的角度，也就是将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。旋转后图像的的大小一般会改变，即可以把转出显示区域的图像截去，或者扩大图像范围来显示所有的图像。图像的旋转变换也可以用矩阵变换来表示。