第三章动量守恒定律和能量守恒定律

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物理学
第五版
3-2质点系的动量守恒定律
§3-2 质点系的动量守恒定律 质点系动量定理
ex Fi dt pi pi 0 t0 i i i ex ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
则系统的总动量不变 ——动量守恒定律
i
t I
ex F
ex dp , F 0, dt
第三章 动量守恒和能量守恒
pC
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物理学
第五版
3-2质点系的动量守恒定律
讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一 物体的动量是可变的．
(2) 守恒条件：合外力为零．
ex ex F Fi 0
i
ex in 当 F F 时，可近似地认为
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-1质点和质点系的动量定理
系统总动量守恒．
第三章 动量守恒和能量守恒 26
物理学
第五版
3-2质点系的动量守恒定律
ex ex ex (3) 若 F Fi 0 ，但满足 Fx 0
有 px
m v
i
i
ix
Cx
i
F
F
ex x
ex y
0,
0,
i
px mi vix Cx
i

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律（一）教材外习题1 功与能习题一、选择题：1．一质点受力i x F 23 （SI ）作用，沿X 轴正方向运动。

从x = 0到x = 2m 过程中，力F 作功为（A ）8J. （B ）12J. （C ）16J. （D ）24J.（ ）2．如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，下列说法正确的是（A ）重力和绳子的张力对小球都不作功.（B ）重力和绳子的张力对小球都作功.（C ）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功.（D ）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功.（ ）3．已知两个物体A 和B 的质量以及它们的速率都不相同，B 的大，则A 的动能E KA 与B 的动能E KB 之间的关系为（A ）E KB 一定大于E KA . （B ）E KB 一定小于E KA（C ）E KB =E KA（D ）不能判定谁大谁小 （ ）4．如图所示，一个小球先后两次从P 点由静止开始，分别沿着光滑的固定斜面l 1和圆弧面l 2下滑，则小球滑到两面的底端Q 时的（A ）动量相同，动能也相同（B ）动量相同，动能不同（C ）动量不同，动能也不同（D ）动量不同，动能相同 （ ）5．一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？（A ）质点的动量改变时，质点的动能一定改变（B ）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变（C ）外力的冲量是零，外力的功一定为零（D ）外力的功为零，外力的冲量一定为零（ ）二、填空题： 1．某质点在力F =（4+5x ）i （SI ）的作用下沿x 轴作直线运动，在从x =0移动到x =10m 的过程中，力F 所作功为___________________。

QP l 2 l 12．如图所示，一斜面倾角为θ，用与斜面成α角的恒力F 将一质量为m 的物体沿斜面拉升了高度h ，物体与斜面间的摩擦系数为μ，摩擦力在此过程中所作的功W f =____________________________。

动量守恒和能量守恒内容提要 一. 动量、冲量、动量定理
物理学教程 （第二版）
t2 Fdt ——力对时间的累计 力的冲量 I t
1
m v ——机械运动的量度 质点的动量 p
质点的动量定理：质点所受合外力的冲量等于 质点在此时间内动量的增量 。
d t m v m v 2 1 F
n n d v ex C m' v m P m' m' a C iv i i F C i 1 i 1
d t
2 质心运动定律: 作用在系统上的合外力等于系 统的总质量乘以质心的加速度
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
1 2 Ep kx 2
Ep mgz
m 'm 引力势能 E G p r
质点系的功能原理： 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .
W W E E 0
ex in nc
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
ex in 当 W W 0 时，有 nc
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
EE 0
动量守恒和能量守恒内容提要 六 质心 质心运动定律 1
物理学教程 （第二版）
质心的位置（有 n 个质点组成的质点系）
n
m r i i r m r m r m 11 12 ii i 1 r C m m m m' 1 2 i
W E E k2 k1
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
动量守恒和能量守恒内容提要 五. 保守力、非保守力、势能
物理学教程 （第二版）
保守力：力所作的功与路径无关，仅决定于相互 作用质点的始末相对位置 .

o xA
x
dx
xB
2.质点的动能定理
3.质点系的动能定理
W合 Ek2 E k1
W ex W in Ek Ek0
注意 内力可以改变质点系的动能
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
几种典型的保守力的势能
重力势能 Ep mgz
引力势能
Ep
G m'm r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
势能计算
令 Ep0 0
m1v10+m2v20=(m1+m2)v 注意：碰撞过程动量守恒，
v= m1v10+m2v20 m1+m2
但机械能不守恒
为m2 ,悬挂在细绳的下端.有一质量为m1 的子弹以速率 v1 沿水平
方向射入木块中后，子弹和木块将一起摆至高度为h处，求子弹射 入木块前的速率.
解：整个过程分两步：
1.子弹射入木块并停在其中，碰撞 m1 为完全非弹性，且子弹、木块系统 水平方向不受外力，系统动量守恒。
v1
m2
m1 m2
h
m11 (m1 m2 )2
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例2 在宇宙中有密度为 的尘埃,这些尘埃相对惯性参考
系是静止的.有一质量为m0的航天器以初速 v0 穿过宇宙尘埃,
由于尘埃粘贴到航天器上,致使航天器的速度发生改变.求飞船 的速度与其在尘埃中飞行时间的关系.(设想航天器的外形是截
面积为S的圆柱体)
解：以尘埃与航天器作系统，碰撞
W保 (Ep Ep0 ) Ep
Ep (x, y, z)
Ep0 0
F
dr
(x, y,z)
第三章动量守恒定律和能量守恒定律

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律3 -8 F x ＝30＋4t (式中F x 的单位为N ,t 的单位为s )的合外力作用在质量m ＝10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2ｓ 内此力的冲量；(2) 若冲量I ＝300 N·s ,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v 1 ＝10 m·s -1 ,方向与Fx 相同,在t ＝6.86s 时,此物体的速度v 2 ． 分析 本题可由冲量的定义式21d t t F t =⎰I ,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v 2．解 (1) 由分析知()122200304d 302|68N s t t t t =+=+=⋅⎰I (2) 由I ＝300 ＝30t ＋2t 2 ,解此方程可得t ＝6．86 s (另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有I ＝m v 2- m v 1由(2)可知t ＝6．86 s 时I ＝300 N·s ,将I 、m 及v 1代入可得-11240m s I m m+== ⋅v v 3 -12 一作斜抛运动的物体,在最高点炸裂为质量相等的两块,最高点距离地面为19.6 m ．爆炸1.00 s 后,第一块落到爆炸点正下方的地面上,此处距抛出点的水平距离为1.00×102 m ．问第二块落在距抛出点多远的地面上．(设空气的阻力不计)分析 根据抛体运动规律,物体在最高点处的位置坐标和速度是易求的．因此,若能求出第二块碎片抛出的速度,按抛体运动的规律就可求得落地的位置．为此,分析物体在最高点处爆炸的过程,由于爆炸力属内力,且远大于重力,因此,重力的冲量可忽略,物体爆炸过程中应满足动量守恒．由于炸裂后第一块碎片抛出的速度可由落体运动求出,由动量守恒定律可得炸裂后第二块碎片抛出的速度,进一步求出落地位置． 解 取如图示坐标,根据抛体运动的规律,爆炸前,物体在最高点A 的速度的水平分量为100x x x t ==v 物体爆炸后,第一块碎片竖直落下的运动方程为 21112y h t gt =--v 当该碎片落地时,有y 1 ＝0,t ＝t 1 ,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出的速度211112h gt t -=v (2) 又根据动量守恒定律,在最高点处有 0212x x m =v mv (3) 1211022y =-+mv mv (4) 联立解式(1)、(2)、(3) 和(4),可得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为-12022100m s x x x === ⋅v v 21-12111214.7m s y h gt t -=== ⋅v v 爆炸后,第二块碎片作斜抛运动,其运动方程为2122x x x t =+v (5)2222212y y h t gt =+-v (6) 落地时,y 2 ＝0,由式(5)、(6)可解得第二块碎片落地点的水平位置x 2 ＝500 m3 -18 如图所示,一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为1.00 kg 的物体上,起初物体静止在无摩擦的水平平面上．若用5.00 N 的恒力作用在绳索的另一端,使物体向右作加速运动,当系在物体上的绳索从与水平面成30°角变为37°角时,力对物体所作的功为多少？ 已知滑轮与水平面之间的距离d ＝1.00 m ．分析 该题中虽施以“恒力”,但是,作用在物体上的力的方向在不断变化．需按功的矢量定义式W =⋅⎰F s d 来求解．解 取图示坐标,绳索拉力对物体所作的功为21cos 1.69J x x W F x x θ=⋅==⎰⎰⎰F x =d d3 -20 一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20 kg 的水．水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功．分析 由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡．水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功．由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可题3 -20 图求出．解 水桶在匀速上提过程中,a ＝0,拉力与水桶重力平衡,有F ＋P ＝0在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为P ＝mg -αgy其中α＝0．2 kg/m ,人对水桶的拉力的功为()1000882J l W mg gy y α=⋅-=⎰⎰F y =d d3 -23 如图(a )所示,A 和B 两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别为m 1 和m 2 ．问在A 板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A 在跳起来时B 稍被提起．(设弹簧的劲度系数为k )分析 运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一．因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关．“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变．在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件．该题可用机械能守恒定律来解决．选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件．只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出．解 选取如图(b )所示坐标,取原点O 处为重力势能和弹性势能零点．作各状态下物体的受力图．对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有F 1 ＝P 1 ＋F (1)当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得2211221122ky mgy ky mgy -=+ 式中y 1 、y 2 为M 、N 两点对原点O 的位移．因为F 1 ＝ky 1 ,F 2 ＝ky 2 及P 1 ＝m 1g ,上式可写为F 1 -F 2 ＝2P 1 (2)由式(1)、(2)可得F ＝P 1 ＋F 2 (3)当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F′2 ＝P 2 ,且F 2 ＝F′2 ．由式(3)可得F ＝P 1 ＋P 2 ＝(m 1 ＋m 2 )g应注意,势能的零点位置是可以任意选取的．为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点．3 -25 用铁锤把钉子敲入墙面木板．设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比．若第一次敲击,能把钉子钉入木板1.00 ×10 -2 m ．第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深？分析 由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同．钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等．由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解．解 因阻力与深度成正比,则有F ＝kx (k 为阻力系数)．现令x 0＝1.00 ×10 -2 m ,第二次钉入的深度为Δx ,由于钉子两次所作功相等,可得000x x x x kx x kx x +∆=⎰⎰d dΔx ＝0.41 ×10 -2 m3 -27 如图(a )所示,天文观测台有一半径为R 的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计．求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度．分析 取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功；而重力P 又是保守内力,所以,系统的机械能守恒．但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量；因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程．求解上述两方程即可得出结果．解 由系统的机械能守恒,有21cos 2mgR m θ=v +mgR (1) 根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为 2N cos m F θ-v mgR =R(2)冰块脱离球面时,支持力F N＝0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置2arccos48.23θ==︒冰块此时的速率为==vv的方向与重力P方向的夹角为α＝90°-θ＝41.8°3 -283 -29如图所示,质量为m、速度为v的钢球,射向质量为m′的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k的弹簧,此靶最初处于静止状态,但可在水平面上作无摩擦滑动．求子弹射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离．分析这也是一种碰撞问题．碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好到达共同速度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒．但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来．又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒．应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解．应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题．解设弹簧的最大压缩量为x0．小球与靶共同运动的速度为v1．由动量守恒定律,有()1'mv=m+m v (1)又由机械能守恒定律,有()22210111222m kx'+v=m+m v (2) 由式(1)、(2)可得=x3 -30质量为m的弹丸A,穿过如图所示的摆锤B后,速率由v减少到v/2．已知摆锤的质量为m′,摆线长度为l,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸速度v的最小值应为多少？分析 该题可分两个过程分析．首先是弹丸穿越摆锤的过程．就弹丸与摆锤所组成的系统而言,由于穿越过程的时间很短,重力和的张力在水平方向的冲量远小于冲击力的冲量,因此,可认为系统在水平方向不受外力的冲量作用,系统在该方向上满足动量守恒．摆锤在碰撞中获得了一定的速度,因而具有一定的动能,为使摆锤能在垂直平面内作圆周运动,必须使摆锤在最高点处有确定的速率,该速率可由其本身的重力提供圆周运动所需的向心力来确定；与此同时,摆锤在作圆周运动过程中,摆锤与地球组成的系统满足机械能守恒定律,根据两守恒定律即可解出结果．解 由水平方向的动量守恒定律,有2v v =m +m v ''m (1) 为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高点时,摆线中的张力F Ｔ＝0,则2h g l'''m v m = (2) 式中v ′h 为摆锤在圆周最高点的运动速率．又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中,满足机械能守恒定律,故有2h 1122gl '''''+m v =2m m v (3) 解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为v =3 -32 质量为7.2 ×10 -23 kg ,速率为6.0 ×107 m·s -1 的粒子A,与另一个质量为其一半而静止的粒子B 发生二维完全弹性碰撞,碰撞后粒子A 的速率为5.0 ×107 m·s -1．求：(1) 粒子B 的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏转角；(2) 粒子A 的偏转角．分析 这是粒子系统的二维弹性碰撞问题．这类问题通常采用守恒定律来解决．因为粒子系统在碰撞的平面内不受外力作用,同时,碰撞又是完全弹性的,故系统同时满足动量守恒和机械能守恒．由两守恒定律方程即可解得结果．解 取如图所示的坐标,由于粒子系统属于斜碰,在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式,有1cos cos 22A B A m βα'+mv =v mv (1) 0sin sin 2B A m βα'=-v mv (2) 又由机械能守恒定律,有2221112222A B A m ⎛⎫'+ ⎪⎝⎭mv =v mv (3) 解式(1)、(2)、(3)可得碰撞后B 粒子的速率为7-14.6910m s ==⨯ ⋅B v 各粒子相对原粒子方向的偏角分别为223arccos 224A A α'+'==︒20'A A v v v v 3a r c c o s 544β'==︒6B A v v 3 -33 如图所示,一质量为m ′的物块放置在斜面的最底端A 处,斜面的倾角为α,高度为h ,物块与斜面的动摩擦因数为μ,今有一质量为m 的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中,且使物块沿斜面向上滑动．求物块滑出顶端时的速度大小．分析 该题可分两个阶段来讨论,首先是子弹和物块的撞击过程,然后是物块(包含子弹)沿斜面向上的滑动过程．在撞击过程中,对物块和子弹组成的系统而言,由于撞击前后的总动量明显是不同的,因此,撞击过程中动量不守恒．应该注意,不是任何碰撞过程中动量都是守恒的．但是,若取沿斜面的方向,因撞击力(属于内力)远大于子弹的重力P 1 和物块的重力P 2 在斜面的方向上的分力以及物块所受的摩擦力F ｆ ,在该方向上动量守恒,由此可得到物块被撞击后的速度．在物块沿斜面上滑的过程中,为解题方便,可重新选择系统(即取子弹、物块和地球为系统),此系统不受外力作用,而非保守内力中仅摩擦力作功,根据系统的功能原理,可解得最终的结果．解 在子弹与物块的撞击过程中,在沿斜面的方向上,根据动量守恒有()01cos m α'=v m+m v (1)在物块上滑的过程中,若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为v 2 ,并取A 点的重力势能为零．由系统的功能原理可得 ()()()()2221cos sin 1122h g gh μαα' -'''=+-m+m m+m v m+m m+m v (2) 由式(1)、(2)可得2=v3 -34 如图所示，一个质量为 m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点 A 滑下．设容器质量为m ’，半径为R ，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上．开始时小球和容器都处于静止状态．当小球沿内壁滑到容器底部的点B 时，受到向上的支持力为多大？解：以球、容器为物体系，小球沿内壁滑到容器底部的过程中，支持力和正压力这对内力的功的代数和为零，桌面支持力不做功，仅重力做功系统机械能守恒；水平方向无外力，水平方向上动量守恒。

第三章 动量守恒定律 和能量守恒定律
18
3-7 碰撞
例3（P75例3）宇宙中有密度为 的尘埃，相对惯性系静止。 质量为 m0的航天器以初速 v0穿过宇宙尘埃，由于尘埃的粘 贴，航天器速度发生变化。求航天器的速度随飞行时间的 变化关系（设航天器外形为截面为 S 的圆柱体）。 解： 解（1）、（2）得： 2 gR 2 MgR V m v v , M M m M m
2. 完全非弹性碰撞 动量守恒
v10 v20
m1v10 m2v20 m1 m2 v
f1
f2
m1 m2
v
m1v10 m2v20 v m1 m2
m1 m2
m1 m2
碰撞前
碰撞中
碰撞后
第三章 动量守恒定律 和能量守恒定律
10
3-7 碰撞
例1 地面上竖直安放着一个劲度系数为k 的弹簧，其顶端 连接一静止的质量 为M 的物体。有个质量为 m 的物体， 从距离顶端为 h 的P 处自由落下，与 M 作完全非弹性碰撞。 求弹簧对地面的最大压力。
v1 m1 m2 v10 2m2v20 m1 m2
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 2 2 2 2
m1 m2 m2 m1 v20 2m1v10
v2
讨论
1 若m1 m2， 则v1 v20，v2 v10 ——交换速度
m1 m2 m2 m1 v20 2m1v10
v2
讨论
1 若m1 m2， 则v1 v20，v2 v10 ——交换速度
第三章 动量守恒定律 和能量守恒定律
6
3-7 碰撞

第三章动量守恒定律和能量守恒定律
va
a
4RE
o
RE
b
vb
1 2 mE m 1 mgRE 在点b的机械能为 Eb mv b G 2 4RE 8
功能原理： 卫星从点a变轨到点b的过程中获得的能量为 1 E Eb Ea mgRE 代入数据，得 E 2.35 1010 J 8
(2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零.
（C）
(B)(2)、(3)是正确的 (D)只有(3)是正确的
分析： （1）错.(保守力作正功时,系统相应的势能减少). （3）错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方 向相反,但两者所作功的代数和不一定为零；而等于 力与两者相对位移的乘积.)
3-6功能原理 机械能守恒定律
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
s' F N Ff
h
P cos
P sin
P
已知

h 50m , 0.050, s' 500m ,
求
s.
解 以雪橇、冰道和地球为一系统，地面为势能零点. 由功能原理得

又
Wf E2 E1 Wf mg cos s ' mgs m g( s' s) E2 E1 mgh
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
讨论 以下四种说法中，哪一种是正确的？
（1）作用力与反作用力的功一定是等值异号. （2）内力不能改变系统的总机械能.
（3）摩擦力只能作负功.
（4）同一个力作功在不同的参考系中，也不
一定相同.
3-6功能原理 机械能守恒定律
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
讨论 对机械能守恒和动量守恒的条件，正确的是： (1) 系统不受外力作用，则动量和机械能必定同

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律概述：1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要力的作用有一个过程。

本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和能量对机械运动进行分析。

2、由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。

3、守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。

动量守恒和能量守恒源于牛顿力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故它是自然界的一条基本定律。

3-1质点和质点系的动量定理一、 冲量 质点的动量定理牛顿第二定律的微分形式d d t =pF d d t =F p 22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ1.冲量：力对时间的积分，常以I 表示，并称⎰=21d t t t F I为在1t ～2t 时间内、力F 对质点的冲量，或简单说成F 的冲量。

说明：（1）.冲量,是一个矢量，大小为21d t t t =⎰I F ，方向是速度或动量的变化方向。

（2）.由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况，才能求出冲量。

实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须采取近似处理。

F 为恒力（方向也不变）时，t =∆I F ；（高中的冲量定义） F 作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。

211d t t t t =∆⎰F F ，21t t t ∆=-2.动量（p ）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。

方向和运动速度的方向相同。

单位：㎏·ｍ/ｓ量纲：MLT －１。

3.质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质点动量的增量。

22112121d t d t t m m ==-⎰⎰p p F p p p =υ-υ在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：212121212121---t x x x xt t y y y y t t z zz zt I F dt m υm υI F dt m υm υI F dt m υm υ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰动量定理在打击和碰撞等情形中特别有用。

O
O
C l
C′ 2l
l 1 − 2(λlg) = −λ(2l )gl + λ(2l )v2 2 2
解得
v = lg
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题 一轻弹簧悬挂一金属盘，弹簧长l 例 一轻弹簧悬挂一金属盘，弹簧长 1=10 cm, 一 个质量和盘相同的泥球， 个质量和盘相同的泥球，从高于盘 h = 30 cm 处静止下 落至盘上，求盘向下运动的最大距离 L . 落至盘上， 解 本题分为三个过程
m
∴ L = 30 cm
Ep = 0
L
y
系统的功能原理
在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始， m=2kg的物体从静止开始 例题 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿 四分之一的圆周从A滑到B 已知圆的半径R=4m R=4m， 四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，设物 体在B处的速度v=6m/s 求在下滑过程中， v=6m/s， 体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作 的功。 的功。 A R
（3）泥球与盘一起下落（机械能守恒） ）泥球与盘一起下落（机械能守恒）
1 1 2 1 2 ′ + (2m) gL + kl1 = k ( L + l1 ) 2 (2m) v 2 2 2 1 2 k = mg / l1 v ′ = gh m 2 h 2
l1
L − 20 L − 300 = 0
L = 30 , − 10
θ
此过程中机械能守恒. 此过程中机械能守恒 取球顶 位置重力势能为 重力势能 位置重力势能为零
2
动量守恒和能量守恒习题课选讲例题 的链条置于桌边， 例 一质量为 m，长为 l 的链条置于桌边，一端 下垂长度为 a，若链条与桌面动摩擦因数为 µ ，则： （1）链条由开始到完全离开桌面的过程中，摩擦 ）链条由开始到完全离开桌面的过程中， 力做的功多少？ 力做的功多少？ （2）链条开始离开桌面的速度为多大？ ）链条开始离开桌面的速度为多大？ 选坐标如图所示. 解 选坐标如图所示 x O x O l l- – a - x a mg 摩擦力 F = µ (l − a − x) f l a x

p = p0
p =0
3–1 质点和质点系的动量定理 1 动量定理常应用于碰撞问题
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
∫ F=
mv2 mv1 = t 2 t1 t 2 t1
t1
t2
mv
Fdt
m v1
F
mv2
在 p 一定时 t 越小,则 F 越大 . 越小, 例如人从高处跳下,飞 例如人从高处跳下, 机与鸟相撞, 机与鸟相撞,打桩等碰 撞事件中, 撞事件中,作用时间很 短,冲力很大 .
�
∫
t
0
( F mg )dt = 0 mv0
3–1 质点和质点系的动量定理 1
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
F t mgt = m 2 gh
由此解得
F 1 = 1+ mg t
计算结果如下
2h 0.55 = 1+ g t
t
F / mg
10-1s 6.5
10-2s 56
10-3s 551
10-4s 5501
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
内力不改变质点系的总动量, 内力不改变质点系的总动量,但内力 做功却可以改变系统的总动能. 做功却可以改变系统的总动能
初始速度
v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2m g 则
且方向相反 则
p0 = 0
推开后速度 v g = 2 v b 推开前后系统动量不变
(1)冲量的方向与动量增量的方向一致. (1)冲量的方向与动量增量的方向一致. 冲量的方向与动量增量的方向一致 (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量, (2)动量定理中的动量和冲量都是矢量,常用的是 动量定理中的动量和冲量都是矢量 其在某个方向上的分量式. 其在某个方向上的分量式. 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, (3) 在碰撞或冲击问题中, 牛顿定律无法直接应用, 而动量定理的优点在于避开了细节而只讨论过程的 总体效果. 总体效果. 动量定理仅适用于惯性系, (4) 动量定理仅适用于惯性系, 且与惯性系的选择 无关. 无关.

第三章 动量守恒定律和能量守恒定律1.质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出,与地面碰撞后跳起的最大高度为21y 0，水平速率为21v 0，则碰撞过程中(1) 地面对小球的竖直冲量的大小为________________________；(2) 地面对小球的水平冲量的大小为________________________．2．一物体质量M ＝2 kg ，在合外力i t F)23(+= (SI )的作用下，从静止开始运动，式中i 为方向一定的单位矢量, 则当ｔ＝1 s 时物体的速度1v＝__________．3. 图示一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度ω匀速转动．在小球转动一周的过程中，(1) 小球动量增量的大小等于__________________．(2) 小球所受重力的冲量的大小等于________________．(3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于_______________．4. 两球质量分别为m 1＝2.0 g ，m 2＝5.0 g ，在光滑的水平桌面上运动．用直角坐标OXY 描述其运动，两者速度分别为i 101=v cm/s ，)0.50.3(2j i +=v cm/s ．若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v 的大小v ＝_________，v与x 轴的夹角α＝__________．5. 一物体质量为10 kg ，受到方向不变的力F ＝30＋40t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于________________；若物体的初速度大小为10 m/s ，方向与力F的方向相同，则在2s 末物体速度的大小等于___________________．6. 一吊车底板上放一质量为10 kg 的物体，若吊车底板加速上升，加速度大小为a ＝3+5t (SI)，则2秒内吊车底板给物体的冲量大小I ＝___________；2秒内物体动量的增量大小P ∆＝__________________.7. 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时粒子A 的速度j i43+=0A v ,粒子B 的速度j i72-=0B v ；在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A的速度变为j i 47-=A v ，则此时粒子B 的速度B v＝______________．8. 质量为M 的车以速度v 0沿光滑水平地面直线前进，车上的人将一质量为m的物体相对于车以速度u 竖直上抛，则此时车的速度v ＝______．y 21y9. 静水中停泊着两只质量皆为M 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同样的速率v水平向左地跳回到第一只船上．此后(1) 第一只船运动的速度为v1＝__________________________．(2) 第二只船运动的速度为v2＝__________________________． （水的阻力不计，所有速度都相对地面而言）10. 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω＝_____________________．11. 一质量为m 的质点沿着一条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表达式为j t b i t a rωωsin cos +=，其中a 、b 、ω 皆为常量，则此质点对原点的角动量L =________________；此质点所受对原点的力矩M = ____________．12. 两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝_______；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率v＝_______．13. 质量为m 的质点以速度v沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量为__________．14.图中，沿着半径为R 圆周运动的质点，所受的几个力中有一个是恒力0F，方向始终沿x 轴正向，即i F F00=.当质点从A 点沿逆时针方向走过3 /4圆周到达B 点时，力 0F所作的功为W ＝__________．15. 某质点在力F ＝(4＋5x )i(SI)的作用下沿x 轴作直线运动，在从x ＝0移动到x ＝10 m 的过程中，力F所做的功为__________．16. 二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 时，它们之间万有引力所做的功为____________．17. 如图所示，质量为m 的小球系在劲度系数为k 的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在O 点．开始时弹簧在水平位置A ，处于自然状态，原长为l 0．小球由位置A 释放，下落到O 点正下方位置B 时，弹簧的长度为l ，则小球到达B 点时的速度大小为v B ＝________________________．18.质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝________________；且x ＝3 m 时，其速率v ＝________________________．19. 劲度系数为k 的弹簧，上端固定，下端悬挂重物．当弹簧伸长x 0，重物在O 处达到平衡，现取重物在O 处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为____________；系统的弹性势能为________；系统的总 势能为____________． （答案用k 和x 0表示）20. 一长为l ，质量均匀的链条，放在光滑的水平桌面上，若使其长度的21悬于桌边下，然后由静止释放，任其滑动，则它全部离开桌面时的速率为_______．21. 一弹簧原长l 0＝0.1 m ，劲度系数k ＝50 N ／m ，其一端固定在半径为R ＝0.1 m 的半圆环的端点A ，另一端与一套在半圆环上的小环相连．在把小环由半圆环中点B 移到另一端C 的过程中，弹簧的拉力对小环所作的功为_____________ J ．22. 一质量为M 的质点沿x 轴正向运动，假设该质点通过坐标为x的位置时速度的大小为kx (k 为正值常量)，则此时作用于该质点上的力F =__________，该质点从x = x 0点出发运动到x = x 1处所经历的时间∆t =________．23. 一个质量为m 的质点，沿x 轴作直线运动，受到的作用力为i t F Fcos 0ω= (SI)t = 0时刻，质点的位置坐标为0x ，初速度00=v．则质点的位置坐标和时间的关系式是x=______________________________________ 24. 一个力F 作用在质量为 1.0 kg 的质点上，使之沿x 轴运动．已知在此力作用下质点的运动学方程为3243t t t x +-= (SI)．在0到4 s 的时间间隔内，(1) 力F 的冲量大小I =__________________．(2) 力F 对质点所作的功W =________________．25. 质量为m 的物体，初速极小，在外力作用下从原点起沿x 轴正向运动．所受外力方向沿x 轴正向，大小为F = kx ．物体从原点运动到坐标为x 0的点的过程中所受外力冲量的大小为__________________．AA26. 如图，两个用轻弹簧连着的滑块A 和B ，滑块A 的质量为m 21，B 的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 静止在光滑的水平面上（弹簧为原长）．若滑块A 被水平方向射来的质量为m 21、速度为v 的子弹射中，则在射中后，滑块A 及嵌在其中的子弹共同运动的速度v A =________________，此时刻滑块B 的速度v B =__________，在以后的运动过程中，滑块B 的最大速度v max =__________．答案1. 0)21(gy m + 3分0v m 212分2. 2 m/s 3分3. 0 1分2πmg /ω 2分 2πmg /ω 2分4. 6.14 cm/s 2分35.5° 2分 5. 6.14 cm/s 2分35.5° 2分6. 140 N·s 2分24 m/s 2分参考解： ⎰⎰⋅=+==212s N 140d )4030(d t t t t t F I1212;v v v v m I m I m m +==- m/s 24/)(12=+=m m I v v7. j i5- 3分 8. v0 3分9. vMm m +-22分v)/2(M m2分10. 12 rad/s 3分11. m ω ab 3分2分12. 2275 kgm 2·s -1 2分 13 m·s -1 2分 13. 零 3分 14. －F 0R 3分15. 290 J 3分 16. )11(21ba m Gm -- 3分 17.ml l k gl 20)(2--3分 18. 18 J 2分 m/s 6 2分19. 20kx 2分2021kx - 2分2021kx1分20..gl 3213分21. －0.207 3分 22. x Mk 2 1分1ln 1x x k 2分 23.02)cos 1(x t m F +-ωω (SI) 3分 24. 16 N ·s 2分 176 J 2分25. 20mkx 3分26.v 212分 0 1分 v 212分。

动量守恒定律和能量守恒定律由F =d pdt =d(m v )dt知F dt=d p =d(m v )冲量I = F (t)dt t 2t 1(力对时间累积作用的效果)质点的动量定理 在给定时间间隔内,外力作用在质点上的冲量,等于质点在此时间内动量的增量.F (t)dt t2t 1=p 2-p 1=m v 2-m v 1 外力F ex 外界对系统内质点作用的力. 内力F in 系统内质点间的相互作用力. 质点系的动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量F ext 2t 1dt=∑=n 1i i i m v -∑=n 1i i0i m v =p -p 0(∑=n1i F i in =0)在无限小的时间间隔内,质点系的动量定理写成F ex dt=d p ,即F ex =d pdt . 表明作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率. 动量的相对性p 2-p 1= m(v 2-u )-m(v 1-u )=m v 2-m v 1 动量定理的不变性动量守恒定律 当系统所受合外力为零时,系统的总动量将保持不变. p =∑=n1i i i m v 为常矢量(F ex =0)爆炸过程的前后,系统的总动量可近似视为不变的. 动量守恒定律比牛顿运动定律更加基本.功 力在位移方向的分量与该位移大小的乘积. dW=F·d r (1J=1N·m)W= dW= F ·d r B A = F cos θds BA (力对空间累积作用的效果) 合力对质点所作的功,等于每个分力所作功的代数和. W=∑=n1i W i功率P=dW dt=F ·d rdt= F ·v (1W=1J·s −1)由Fcos θ=m ɑt =m dvdt 及ds=vdt 知dW= m dvdt ds=mvdv所以W= mvdv v 2v 1=12mv 22-12mv 12表明合力对质点做功(过程量)的结果,使得量12mv 2(状态量)获得了增量. 质点的动能E k =12m v 2质点的动能定理 合力对质点所做的功,等于质点动能的增量. W=E k2-E k1 万有引力做功 dW=-Gm ′m r e r ·d r =-Gm ′m r drW=-Gm ′m 1r 2rB rA dr=Gm ′m(1rB -1rA )弹性力做功dW=-kx i·dx i=-kxdxW=-k xdx x 2x 1=12k(x 12-x 22)保守力做功只与质点的始、末位置有关,而与路径无关的力.质点沿任意闭合路径运动一周时,保守力对它所做的功为零. W= F ⋅ⅆr l =0 非保守力 做功与路径有关的力. 势能E p 与质点位置有关的能量. 引力势能E p =-Gm ′m r弹性势能E p =12k x 2保守力对质点做的功等于质点势能增量的负值. W=-ΔE p质点系的动能定理作用于质点系的力所做之功,等于该质点系的动能增量.∑=n 1i W i =∑=n 1i E ki -∑=n1i E ki0质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力做的功与一切内力做的功之和. W ex +W in=∑=n 1i E ki -∑=n1i E ki0质点系的功能原理 质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力做功之和.W ex +W nc in=E-E 0机械能守恒定律当作用于质点系的外力和非保守内力均不做功,或外力和非保守内力对质点系做功的代数和为零时,质点系的总机械能是守恒的. E ki + E pi = E ki0+ E pi0质点系内的动能和势能之间的转化是通过质点系内的保守力做功(W c in )来实现的.ΔE k =-ΔE p完全弹性碰撞碰撞后,两物体的动能之和完全没有损失. 完全非弹性碰撞 非弹性碰撞后,两物体以同一速度运动.两个质量分别为m 1、m 2,速度分别为v 10、v 20的弹性小球作对心碰撞,两球的速度方向相同,碰撞是完全弹性的,碰撞后的速度 v 1=m 1−m 2 v 10+2m 2v 20m 1+m 2v 2=m 2−m 1 v 20+2m 1v 10m 1+m 2m 1=m 2时,v 1=v 20v 2=v 10.m 1≫m 2v 20=0时,v 1≈−v 10v 2≈0. m 1≪m 2v 20=0时,v 1≈v 10v 2≈2v 10.能量守恒定律 对于一个与自然界无任何联系的系统来说,系统内各种形式的能量是可以相互转化的,但是不论如何转化,能量既不能产生,也不能消灭. 能量只和系统的状态有关,是系统状态的函数.有n 个质点组成的质点系,其质心的位置r c =∑=n 1i m i r i∑=n1i mi=∑=n1i m i rim位置分量x c =∑=n1i m i xim y c =∑=n1i m i yim z c =∑=n1i m i zim对于质量分布均匀的物体x c =1m x dm y c =1m y dm z c =1m z dm 由m ′r c =∑=n1i m i r i 知m ′d rc dt =∑=n1i m i d r idt所以m ′v c =∑=n1i m i v i =∑=n1i p i表明系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量.质心运动定律 作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统质心的加速度. F ex =m ′d v c dt=m ′ɑc。

3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
二 保守力 (conservative force)和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m'm) (G rB
mr'Am)
重力功 W (mgzB mgz A ) A
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 kx
2
2 A
)
F dr F dr
ACB
ADB
C D
B
1
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
A C
D
l F dr 0
B
A C
物体沿闭合路径运动 一周时,
D
保守力对它所作的功等于零 .
B
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
)
Ep mgz
引力势能
Ep
G
m' m r
弹性势能
Ep
1 2
k x2
保守力的功
W (Ep2 Ep1) EP
3
2
3 – 5 保守力与非保守力 势能 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
三 势能 (potential energy) 势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
重力功
重力势能
W (mgzB mgzA )
引力功
W
(G
m' m ) rB
(G
mr'Am)
弹力功
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxLeabharlann 2 A

第三章动量守恒定律与能量守恒定律1)一.选择题：1.一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图.如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将(A)保持静止.(B)向右加速运动.(C)向右匀速运动.(D)向左加速运动.2.人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒.(B)动量守恒，动能不守恒.(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒.(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒.[3.人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和B,用L和E K分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有(A)L A>L B,E KA>E KB. (B)L A=L B,E KA V E KB.(C)L A=L B,E KA>E KB.(D)L A V L B,E KA V E KB.[]二.填空题：1.一质量为5kg的物体，其所受的作用力F随时间的变化关系如图所示.设物体从静止开始沿直线运动，则20秒末物体的速率v=.2.一物体质:量M=2kg,在合外力F=(3+2t)i(SI)的作用下，从静止开始运动，式中「为方向一定的单位矢量，则当t=1s时物体的速度v：=三.计算题:如图所示，质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量为m的小球水平向右飞行，以速度v i(对地)与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为V2（对地）.若碰撞时间为&,试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小.答案：一.选择题ACC二.填空题15m/s22m/s三.计算题：解：（1）小球m在与M碰撞过程中给M的竖直方向冲力在数值上应等于球的竖直冲力.而此冲力应等于小球在竖直方向的动量变化率即：一mv2f2.：t由牛顿第三定律，小球以此力作用于M,其方向向下.对M,由牛顿第二定律，在竖直方向上N—Mg—f=0,又由牛顿第三定律，M给地面的平均作用力也为mv2F=fMg=Mg方向竖直向下.（2）同理，M受到小球的水平方向冲力大小应为7'=——.：t方向与m原运动方向一致根据牛顿第二定律，对M有f'=M包，_寸利用上式的「，即可得Av=mv1/M第三章动量守恒定律与能量守恒定律（2）一 .选择题：3分3分M对小2分1分1分1分1分1.质量为20g的子弹沿X轴正向以500m/s的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X轴正向以50m/s的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为(A)9Ns-.(B)-9Ns•.(C)10Ns.(D)-10Ns•.[2.体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端.他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是(A)甲先到达.(B)乙先到达.(C)同时到达.(D)谁先到达不能确定.[3.一质点作匀速率圆周运动时，(A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变.(B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变.(C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变.(D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变.[二 .填空题：1.质量为M的车以速度V0沿光滑水平地面直线前进，车上的人将一质量为m的物体相对于车以速度u竖直上抛，则此时车的速度v=2.如图所示，流水以初速度V I进入弯管，流出时的速度为V2,且V1=V2=V.设每秒流入的水质量为q,则在管子转弯处，水对管壁的平均冲力大小是,方向A:(管内水受到的重力不考虑)三 .计算题：1.有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v水平地运动.忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：(1)若每秒有质量为q m=dM/dt的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v运动，需要多大的功率？(2)若q m=20kg/s,v=1.5m/s,水平牵引力多大？所需功率多大？2.人造地球卫星绕地球中心做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？答案一.选择题ACC二.填空题1V03分2qv2分竖直向下1分三.计算题：1.解：(1)设t时刻落到皮带上的砂子质量为M,速率为v,t+dt时刻，皮带上的砂子质量为M+dM,速率也是v,根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F的冲量为：Fdt=(M+dM)v—(Mv+dM-0)=dMv2分F=vdM/dt=vq m1分由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F,即F=F.由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力F〃=F,1分因而，F"=F,F”与v同向，啰力源所供给的功率为：P=Fv=vvdM/dt=v2q m2分(2)当q m=dM/dt=20kg/s,v=1.5m/s时，水平牵引力F"=vq m=30N2分所需功率P=v2q m=45W2分2.答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力——地球引力的作用.2分人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零.3分一 .选择题：1.用一根细线吊一重物，重物质量为5kg,重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70N的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50N,则(A)下面的线先断.(B)上面的线先断.(C)两根线一起断.(D)两根线都不断.[]2.质量分别为m A和m B(m A>m B)、速度分别为V A和V B(V A>V B)的两质点A和B,受到相同的冲量作用，则(A)A的动量增量的绝对值比B的小.(B)A的动量增量的绝对值比B的大.(C)A、B的动量增量相等.(D)A、B的速度增量相等.[]3.如图所示，砂子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平向右运动的传送带上.取重力加速度g=10m/s2.传送带给予刚落到传送带上的砂子的作用力的方向为(A)与水平夹角530向下.(B)与水平夹角530向上.(C)与水平夹角370向上.(D)与水平夹角37°向下.二 .填空题：1.一质量为m的典点沿着二条曲线运动，其位置矢量在空间直角座标系中的表达式为r=acosccti+bsin«tj,其中a、b、e皆为常量，则此质点对原点的角动量L=;此质点所受又t原点的力矩M=.2.地球的质量为m,太阳的质量为M,地心与日心的距离为R,引力常量为G,则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L=.3.质量为m的质点以速度—沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量为.三 .计算题：一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h=19.6m处炸裂成质量相等的两块.其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上.设此处与发射点的距离S I=1000m,问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？(空气阻力不计，g=9.8m/s2)。

2
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例2 如图所示，设有两个质量分别为 m1 和 m2， 速度分别为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞，两球的 速度方向相同，若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速 度 v1 和 v2 。 v v
解：因物体作一维运动，所以 m1 m2 用正负表示速度的方向。 以两球为系统，完全弹性碰撞， 动量守恒、动能守恒。
I z Fz dt mv2 z mv1z
t1
t2
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
t2 冲量： I Fdt F (t2 t1 ) t1 I mv 2 mv1 方向：动量增量
冲量图示法
F
o t1
二 质点系的动量定理
t
t2
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
2）若 m1 m2 , 且v20 0
大球碰静止的小球 3）若 m2 m1 , 且v20 0 小球碰静止的大球
v10
v20
v1 v10 , v2 2v10
v1 v10 , v2 0
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
能量守恒定律 封闭 （孤立）系统：不受外界作用的系统。 封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒， 能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。
10 20
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 m1 v10 m2 v20 m1 v1 m2 v2 2 2 2 2 2 m1 ( v10 v1 ) m2 ( v2 v20 )
m1 ( v v ) m2 ( v v )
分量式
p y mii y C2 ( Fy p z mii z C3 ( Fz

讨论 1）只有保守力才有相应的势能 2）势能属于有保守力作用的体系（质点系） 势能属于有保守力作用的体系（质点系） 对应一对内力作功之和) (对应一对内力作功之和) 势能与参考系无关(与相对位置有关) 3）势能与参考系无关(与相对位置有关) 4）质点系的内力可分为 作功与路径无关) 保守内力 (作功与路径无关) 作功与路径有关) 非保守内力 (作功与路径有关) 耗散力
势能是属于系统的。 ③. 势能是属于系统的。因为重力势能是由于物体与 地球相互作用而产生的，是一种相互作用能。 地球相互作用而产生的，是一种相互作用能。单独谈 4 单个物体的势能没有意义。 单个物体的势能没有意义。
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
二. 弹性力作功与弹性势能
3-5 保守力与非保守力 势能
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
势能的绝对值没有意 义，我们只关心势能的相 对值。 对值。
例如一块石头放在地面 你对它并不关心。 你对它并不关心。 如果把石头放在楼顶， 如果把石头放在楼顶， 并摇摇欲坠， 并摇摇欲坠，你就不会不关 心它，你可能要离它远些， 心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成 威胁。 威胁。
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
r r 证明第二种表述： 证明第二种表述： f保 ⋅ dr = 0 ∫
L
v F保
1
∫
L
r r r r r r f保 ⋅ dr = ∫ f保 ⋅ dr + ∫ f保 ⋅ dr
r r = ∫ f保 ⋅ dr −
a1b
a1b b2a
v dr
b
r r ∫ f保 ⋅ dr = 0
势能计算： 势能计算：
令