2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形
码区域内.
2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式：
柱体体积公式：Sh V =,其中S 为底面面积,h 为高.
锥体体积公式：Sh V 3
1
=
,其中S 为底面面积,h 为高. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B = e
A.{1}
B.{2,3}
C.{1,2,4}
D.{2,3,4}
2.
i 为虚数单位，复数
131i
i
+-的实部和虚部之和为 A.0
B.1
C.2
D.3
3. 已知α∈(π
2，π)，3tan 4
α=-，则sin()απ+等于
A.
35
B. 35
-
C.
45
D. 45
-
4. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的
体积为
A.12
B. 1
C.34
D.
32
5. 已知x 、y 取值如下表：
x 0 1 4 5 6
8 y 1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且?0.95y
x a =+，则a = A.1.30
B.1.45
C.1.65
D.1.80
主视图
左视图
俯视图
1
11
1
6. 函数sin()y x ω?=+(0)2π
ω?><
且在区间2[,]63
ππ
上单调递减，且函数值从1减小到1-，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为
A.
1
2
B.
22 C.
32
D.
62
4
+ 7. 利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印
的点落在坐标轴上的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
8. 已知函数2,(0)
()2,(0)x
x f x x x ??=??
≥，则[()]1
f f x ≥≥1的充要条件是 A.x ∈(,2]-∞-
B.x ∈[42,)+∞
C.x ∈(,1][42,)-∞-+∞
D.x ∈(,2][4,)-∞-+∞ 9. 若2a >，则函数3
21()13
f x x ax =
-+在(0,2)内零点的个数为 A.3
B.2
C.1
D.0
10. 已知圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使3AB AD =
，E F 、为另一直径的两个端
点，则DE DF ?= A.3- B.4- C.8- D.6-
11. 以O 为中心，12,F F 为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==
,
则该椭圆的离心率为
A.
22
B.
33 C. 63 D.24 12. 已知函数()c bx ax x x f +++=2
32
131在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足
1(1,1)x ∈-，2(2,4)x ∈，则2a b +的取值范围是
A.(11,3)--
B.(6,4)--
C. (16,8)--
D. (11,3)-
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x R ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，
则实数a 的取值范围是__________.
14. 12,F F 是双曲线2
2
1y x m -=的两个焦点，过点2F 作与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为A ，满足212AF F F =
，则m 的值为__________.
15. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且5a b +=，7c =，则△ABC 的面积为________.
16. 如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为6，
则以正方体1111ABCD A BC D -的中心为顶点，以平面11AB D 截正方
体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为__________.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，42,113262321-+==+a a a a a ，其前n 项和为n S . ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 满足1
n n b S n
=
+，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18. （本小题满分12分） 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到
这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
⑴求出表中M 、p 及图中a 的值； ⑵若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[)15,20内的人数；
⑶在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[)20,25内的概率.
分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计
M
1
1015202530
0a
频率
组距
次数
D 1
C 1
B 1
D
C
B A 1
A
19. （本小题满分12分）
如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，
90ADE ∠= ，DE AF //，22===AF DA DE .
⑴求证：//AC 平面BEF ； ⑵求点D 到平面BEF 的距离.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过定点3(1,)2，以其四个顶点为顶点的四边形的面 积
等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的2倍.
⑴求此椭圆的方程；
⑵若直线10x y ++=与椭圆交于A ，B 两点，x 轴上一点(,0)P m ，使得APB ∠为 锐角，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知函数32,(1)
()ln ,(1)
x ax bx x f x c x x ?-++ <=? ?≥的图像在点(2,(2))f --处的切线方程为
16200x y ++=.
⑴求实数a 、b 的值；
⑵求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值；
⑶曲线()y f x =上存在两点M 、N ，使得△MON 是以坐标原点O 为直角顶点的直角
三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围.
A
B
C D
F E
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 如图，在△ABC 中，CD 是ACB ∠的平分线，△ACD 的
外接圆交BC 于点E ，2AB AC =.
⑴求证：2BE AD =；
⑵当1AC =，2EC =时，求AD 的长.
23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y α
α
=??
=+?（α为参数）.以O 为极点，
x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )10ρθθ-+=. ⑴求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； ⑵求曲线1C 上的点到曲线2C 的最远距离.
24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ．
⑴解不等式)(x f ≤5；
⑵若m
x f x g +=)(1
)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
A
B
C
D E
2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试
2012年长春市高中毕业班第二次调研测试
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)
1.C
2.B
3. B
4. A
5.B
6.A
7.B
8.D
9.C 10.C 11.C 12.D 简答与提示：
1. C {}1,4U B =e，{}()1,2,4U A B =U e.故选C.
2. B
13(13)(1)24121(1)(1)2
i i i i
i i i i +++-+===-+--+，实部与虚部之和为121-+=. 故选B.
3. B 由题意可知，3sin 5α=
，3
sin()sin 5
απα+=-=-.故选B. 4. A 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为1，体积为131
1322
V =??=.
故选A.
5. B 代入中心点(,)x y ，可知 1.45a =.故选B.
6. A 因为函数的最大值为1，最小值为1-，且在区间2[
,]63
ππ
上单调递减，又函数值从
1减小到1-，可知
2362πππ-=为半周期，则周期为π，222T ππωπ
===，此时原式为sin(2)y x ?=+，又由函数过(
,1)6
π
点，代入可得6
π
?=
，因此函数为
sin(2)6y x π=+，令0x =，可得1
2
y =.故选A.
7. B i ＝3，打印点(－2,6)，x ＝－1，y ＝5，
i ＝3－1＝2；i ＝2，打印点(－1,5)，x ＝0，y ＝4， i ＝2－1＝1；i ＝1，打印点(0,4)，x ＝1，y ＝3， i ＝1－1＝0；0不大于0，所以结束．故选B.
8. D 当0x ≥时，1[()]4x
f f x =≥，所以4x ≥；当0x <时，21[()]2
x f f x =
≥，所以2
2x ≥，2x ≥（舍）或2x ≤-.所以x ∈(,2][4,)-∞-+∞ .故选D.
9. C
'2()2f x x ax =-，由2a >可知，'()f x 在(0,2)x ∈恒为负，即()f x 在(0,2)内
单调递减，又(0)10f =>，8
(2)4103
f a =-+<，
∴()f x 在(0,2)只有一个零点. 故选C.
10. C ()()DE DF DO OE DO OF ?=+?+
()()198DO OE DO OE =+?-=-=-
.故选C.
11. C 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(,0)2
c ，并设
12222MF MO MF t ===
，根据勾股定理可知，
22221122MF NF MF NF -=- ，得到62
c t =，而
32t
a =
，则63
c e a ==. 故选C . 12. D
2()f x x ax b '=++， 由题意可知：
22
2
2(1)(1)(1)10(1)1110
(2)22420(4)441640f a b a b f a b a b f a b a b f a b a b '?-=-+-+=-+>?'=+?+=++?
所构成的区域即为图中阴影部分，四边形的四个顶点坐标分别为：
(3,4),(1,2),(3,2),(5,4),------
可验证得：当5,4a b =-=时，2z a b =+取得最大值为3；当3,4a b =-=-时，
2z a b =+取得最小值为11-.于是2z a b =+的取值范围是(11,3)-.故选D.
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13.[1,)-+∞ 14.222+
15.
33
2
16.(18224)π+
简答与提示：
13. 如图作出函数()f x x a =+与()1g x x =-的图像，观察
图像可知：当且仅当1a -≤，即1a -≥时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[1,)-+∞.
14. 由212AF F F = ，可知2
2b c a
=. 又1a =，b m =，1c m =+，所以有21m m =+，即244m m -=，
2448m m -+=，2(2)8m -=，解得222m =±.又0m >，所以222m =+.
15. 因为2
7
4sin cos 222A B C +-=，所以272[1cos()]2cos 12
A B C -+-+=. 2722cos 2cos 12C C +-+=, 21cos cos 04C C -+=，解得1
cos 2C =.
根据余弦定理有2217cos 22a b C ab
+-==，22
7ab a b =+-,
222327()725718ab a b ab a b =++-=+-=-=，6ab =.
所以11333sin 62222
S ab C =
=??=. 16. O 为正方体外接球的球心，也是正方体的中心， O 到平面11AB D 的距离是体对角线的1
6
，即为3，
又球的半径是正方体体对角线长的一半，即为33，
1a
-O
y
x
f(x)
g(x)
由勾股定理可知，截面圆的半径为22
(33)(3)=26-，
圆锥底面面积为21(26)24S ππ=?=； 圆锥的母线即为球的半径33，
圆锥的侧面积为226=2633=182S l πππ=????；
因此圆锥的表面积为12+18224(18224)S S S πππ==+=+.
三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及裂项 求和的应用.
【试题解析】解：⑴121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-即1112(2)54a d a d a d +=+++-得2d =， 11a =，
1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-?=-. (6分)
⑵2
111(1)1(1)222n S na n n d n n n n =+-=?+-?=，
211111
(1)1n n b S n n n n n n n ====-
++++，
111111111()()()...()1122334111
n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. (12分)
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频 率分布直方图以及概率的初步应用.
【试题解析】解：⑴由题可知
100.25M =， 25n M =， m p M =， 2
0.05M
=. 又 10252m M +++=，解得 40M =，0.625n =，3m =，0.075=p . 则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.125. (5分) ⑵参加在社区服务次数在区间[15,20)内的人数为3600.625225?=人. (8分) ⑶在样本中，处于[20,25)内的人数为3，可分别记为,,A B C ，处于[25,30)内的人 数为2，可分别记为,a b . 从该5名同学中取出2人的取法有(,),(,),(,)
A a A b
B a
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B b C a C b A B A C B C a b 共10种；至多一人在 [20,25) 内的情况有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b B a B b C a C b a b 共7种，所以至多一人 参加社
区服务次数在区间[)20,25内的概率为7
10
. (12分)
19. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、 点到平面距离的求法等知识.
【试题解析】解：⑴证明：设AC BD O = ，取BE 中点G ，连结OG FG 、
， 则OG ∥DE 且OG ＝1
2
DE . ∵DE AF //，AF DE 2=，∴AF ∥OG 且AF ＝OG ， ∴四边形AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ?平面BEF ,AO ?平面BEF , ∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .
(5分)
⑵在Rt △BAF 中，2222215BF AB AF =
+=+=，
在Rt △BDE 中，22222(22)23BE DE BD =+=+=，
在直角梯形ADEF 中，2222()(21)25EF ED AF AD =-+=-+=，
所以22111
23536242BEF S BE BF BE =
?-=??-= ， 11
22222
DEF S DE AD =?=??= ，
由于B DEF D BEF V V --=,即11
33
DEF BEF S AB S h ?=? ，
2226
36
DEF BEF S AB h S ??===
， 即点D 到平面BEF 的距离为
26
3
. (12分) 20. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
【试题解析】解：⑴以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积11
2222
S a b ab =??=， 以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积21
2222S c b cb =
??=. 12222S ab a
S bc c
===，即2a c =. 可设椭圆方程为2222143x y c c +=，
代入3(1,)2点可得2
1c =. 所求椭圆方程为22143x y += . (5分)
⑵由APB ∠为锐角，得0PA PB ?>
，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则 11(,)PA x m y =- ，22(,)PB x m y =-
， 21212121212()()()0PA PB x m x m y y x x m x x m y y ?=--+=-+++>
，
联立椭圆方程
22
143x y +=与直线方程10x y ++=消去y 并整理得27880x x +-=. 所以1287x x =-，1287x x +=-，进而求得129
7
y y =-，
所以22
121212889()()0777
x x m x x m y y m m -+++ =--?-+->，
即2
78170m m +->，解之得m 的取值范围43154315(,
)(,)77
---+-∞+∞ . (12分)
21. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.
【试题解析】解：⑴当1x <时，2
()32f x x ax b '=-++. 因为函数图像在点(2,(2))f --处的切线方程为16200x y ++=.
所以切点坐标为(2,12)-，并且(2)84212,
(2)12416,f a b f a b -=+-=??'-=--+=-?
解得1,0a b ==.
(4分)
⑵由⑴得，当1x <时，3
2
()f x x x =-+，
令2
()320f x x x '=-+=可得0x =或23
x =
， ()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2
(0,)3
上单调递增，
对于1x <部分：()f x 的最大值为2
max{(1),()}(1)23
f f f -=-=；
当12x ≤≤时，()ln f x c x =?，
当0c ≤时，ln 0c x ?≤恒成立，()02f x <≤， 此时()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=；
当0c >时，()ln f x c x =?在[1,2]上单调递增，且(2)ln 2f c =?.
令ln 22c ?=，则2ln 2c =，所以当2
ln 2
c >时，
()f x 在[1,2]-上的最大值为(2)ln 2f c =?；
当2
0ln 2
c <≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为(1)2f -=.
综上可知，当2
ln 2
c ≤时，()f x 在[1,2]-上的最大值为2；
当2
ln 2
c >时，()f x 在[1,2]-上的最大值为ln 2c ?. (8分)
⑶32,(1)
()ln ,(1)
x x x f x c x x ?-+ <=? ?≥，根据条件M ，N 的横坐标互为相反数，不妨设
32(,)M t t t -+，(,())N t f t ，(0)t >.
若1t <，则32
()f t t t =-+，
由MON ∠是直角得，0OM ON ?= ，即23232
()()0t t t t t -++-+=，
即42
10t t -+=.此时无解； (10分)
若1t ≥，则()ln f t c t =?. 由于MN 的中点在y 轴上，且90MON ∠=
，所以N 点
不可能在x 轴上，即1t ≠. 同理有0OM ON ?= ，即232
()ln 0t t t c t -++?=，
1(1)ln c t t =+. 由于函数1
()(1)ln g t t t
=
+(1)t >的值域是(0,)+∞，实数c 的取值 范围是(0,)+∞即为所求. (12分)
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到割线定理以及三角形 相似等内容.
【试题解析】解：⑴连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以 BDE BCA ∠=∠. 又DBE CBA ∠=∠，所以△BDE ∽△BCA ，即有
BE DE
BA CA
=.
而2AB AC =，所以2BE DE =.又CD 是ACB ∠的平分线，所以AD DE =， 从而2BE AD =. (5分) ⑵由条件得22AB AC ==，设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ?=?，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -?=?+
所以(2)22(22)t t t -?=+，即2
2320t t +-=，解得12t =
，即1
2
AD =. (10分) 23. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标 方程与平面直角坐标方程的互化、距离等内容.
【试题解析】⑴将cos ,1sin x y αα
=??=+?（α为参数）化为普通方程得()112
2=-+y x ，
将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x . (5分) ⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1.
(10分) 24. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容.
【试题解析】解：⑴原不等式等价于12445x x ?
445
x x ?>
???-?≤， 因此不等式的解集为]4
9
,41[-∈x . (5分)
⑵由于m
x f x g +=
)(1
)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.
又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，
所以2m -<，即2m >-.
(10分)