空间直角坐标系与空间大地坐标系的相互转换
1.空间直角坐标系/笛卡尔坐标系
坐标轴相互正交的坐标系被称作笛卡尔坐标系。三维笛卡尔坐标系也被称为空间直角坐标系。在空间直角坐标系下，点的坐标可以用该点所对应的矢径在三个坐标轴上的投影长度来表示，只有确定了原地、三个坐标轴的指向和尺度，就定义了一个在三维空间描述点的位置的空间直角坐标系。
以椭球体中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴构成右手坐标系O.XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X,Y,Z表示。
在测量应用中，常将地球空间直角坐标系的坐标原点选在地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z轴指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系。
空间直角坐标系
2.空间大地坐标系
由于空间直角坐标无法明确反映出点与地球之间的空间关系，为了解决这一问题，在测量中引入了大地基准，并据此定义了大地坐标系。大地基准指的是用于定义地球参考椭球的一系列参数，包括如下常量：
2.1椭球的大小和形状
2.2椭球的短半轴的指向：通常与地球的平自转轴平息。
2.3椭球中心的位置：根据需要确定。若为地心椭球，则其中心位于地球质心。
2.4本初子午线：通过固定平极和经度原点的天文子午线，通常为格林尼治子午线。
以大地基准为基础建立的坐标系被称为大地坐标系。由于大地基准又以参考椭球为基准，因此，大地坐标系又被称为椭球坐标系。大地坐标系是参心坐标系，其坐标原点位于参考椭球中心，以参考椭球面为基准面，用大地经度L、纬度B 和大地高H表示地面点位置。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P点的位置用L,B表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L,B外，还要附加另一参数——大地高H。
空间大地坐标系
3.空间直角坐标与大地坐标间的转换
3.1大地坐标转换为空间直角坐标
将同一坐标系下的大地坐标(B、L、H)转换成空间直角坐标(X、Y、Z)的转换公式为:
式中N为卯酉圈的半径，a为参考椭球的长半轴；b为参考椭球的短半轴；e 为参考椭球的第一偏心率；并且有
若点在椭球面上，则大地高H=0，上式可简化为：
3.2空间直角坐标转换为空间大地坐标
将同一坐标系下的空间直角坐标（X、Y、Z）转换为空间大地坐标（B、L、H）的公式为：
在使用上式进行空间直角坐标到大地坐标的转换过程中，由于计算大地纬度口时用到大地高Ⅳ，而计算大地高时又需要用到大地纬度口．因此不能直接由空间直角坐标计算出大地坐标，而需要采用迭代计算的方法。具体计算时，可先根据下式求出大地纬度口的初值：
然后利用该初值来求出H、N的初值，再利用所求出的H和N初值再次求出B 值．如此反复，直至求出的及日、Ⅳ收敛为止。
4.算例
本文根据以上公式在MicrosoftVC++6.0环境下编写了一段程序（见附录）。算例中的坐标采用的是武汉大学信息学部友谊广场上的某点的大地坐标作为已知值，然后经过转换函数CRDGEODETICtoCRDCARTESEAN(pcg,pcc,dSemiMajorAxis,dFlatning)把大地坐标转换为空间直角坐标得到坐标X、Y、Z。由得到的空间直角坐标X、Y、Z，经过转换函数CRDCARTESIANtoCRDGEODETIC(pcc,pcg,dSemiMajorAxis,dFlatning)把空间直角坐标还原成空间大地坐标，计算结果如下图所示：
计算结果
从上图可以看出结果比较满意，高程和精度基本能完全还原，而纬度还原后有较大的误差，在测量中这种误差不允许的，需要修改算法，完善结果。可能引起的原因有可能是由于纬度计算公式并不完善，还有可能是由于计算机的截断误差引起的，还要找时间继续修改、完善。
5.心得体会
这次编程自认为很简单，但真动手自己亲自编写，还是或多或少遇到了一些问题，并分析问题，最终解决问题。虽然这次作业很简单，但经过自己这样一步一步的编写出来，还是有很多收获，加强了运用VC++编写程序的能力，也充分认识到了学习VC++的重要性，更找到了自己的一些缺点与不足。
6.附录（程序源代码）
#include
#include
usingnamespacestd;
#defineM_PI3.1415926
typedefstructtagCRDCARTESIAN
{
doublex;
doubley;
doublez;
}CRDCARTESIAN;
typedefCRDCARTESIAN*PCRDCARTESIAN;
typedefstructtagCRDGEODETIC
{
doublelongitude;
doublelatitude;
doubleheight;
}CRDGEODETIC;
typedefCRDGEODETIC*PCRDGEODETIC;
voidDMS_RAD(doubleDMS,double*Rad)
{
intDeg,Min;
doubleSec;
Deg=(int)DMS;
Min=(int)((DMS-Deg)*100);
Sec=((DMS-Deg)*100-Min)*100;
*Rad=(Deg+Min/60.0+Sec/3600.0)/180.0*M_PI;
return;
}
voidRAD_DMS(doubleRad,double*DMS)
{
intDeg,Min;
doubleSec;
doubleAR,AM;
AR=Rad;
if(Rad<0)
AR=-Rad;
AR=AR+1.0e-10;
AR=AR*180.0/M_PI;
Deg=(int)AR;
AM=(AR-Deg)*60.0;
Min=(int)AM;
Sec=(AM-Min)*60;
*DMS=Deg+Min/100.0+Sec/10000.0;
if(Rad<0)
*DMS=-*DMS;
return;
}
boolCRDCARTESIANtoCRDGEODETIC(PCRDCARTESIANpcc,PCRDGEODETICpcg,do ubledSemiMajorAxis,doubledFlattening)
{
doubleB0,R,N;
doubleB_,L_;
doubleX=pcc->x;
doubleY=pcc->y;
doubleZ=pcc->z;
R=sqrt(X*X+Y*Y);
B0=atan2(Z,R);
while(1)
{
N=dSemiMajorAxis/sqrt(1.0-dFlattening*(2-dFlattening)*sin(B0)*sin (B0));
B_=atan2(Z+N*dFlattening*(2-dFlattening)*sin(B0),R);
if(fabs(B_-B0)<1.0e-10)
break;
B0=B_;
}
L_=atan2(Y,X);
pcg->height=R/cos(B_)-N;
RAD_DMS(B_,&pcg->latitude);
RAD_DMS(L_,&pcg->longitude);
returntrue;
}
boolCRDGEODETICtoCRDCARTESEAN(PCRDGEODETICpcg,PCRDCARTESIANpcc,do ubledSemiMajorAxis,doubledFlattening)
{
doubleN;
doubleB_,L_;
doubleB=pcg->latitude;
doubleL=pcg->longitude;
doubleH=pcg->height;
DMS_RAD(B,&B_);
DMS_RAD(L,&L_);
N=dSemiMajorAxis/sqrt(1.0-dFlattening*(2-dFlattening)*sin(B_)* sin(B_));
pcc->x=(N+H)*cos(B_)*cos(L_);
pcc->y=(N+H)*cos(B_)*sin(L_);
pcc->z=(N*(1.0-dFlattening*(2-dFlattening))+H)*sin(B_);
returntrue;
}
voidmain()
{
PCRDCARTESIANpcc=newCRDCARTESIAN;
PCRDGEODETICpcg=newCRDGEODETIC;
h=41
doublerad;
rad=(30*3600+31*60+40.23)/3600;
pcg->latitude=rad;
rad=(114*3600+21*60+20.51)/3600;
pcg->height=41;
pcg->longitude=rad;
doubledSemiMajorAxis=6378137;
double
cout< cout<<"转换前已知的大地坐标："< cout<<"H(高度)="< CRDGEODETICtoCRDCARTESEAN(pcg,pcc,dSemiMajorAxis,dFlatning); cout< cout<<"转换后的空间直角坐标："; cout<<"x="< CRDCARTESIANtoCRDGEODETIC(pcc,pcg,dSemiMajorAxis,dFlatning); cout< cout<<"由转换后的空间直角坐标x,y,z还原成大地坐标："< cout<<"H(高度)="< cout< } 坐标转换方法 空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。 如图5.7，直角坐标系XYZ，P点的坐标为（x, y, z），其相应的在XY 平面，XZ平面，YZ平面分别为M（x, y,0），Q（x,0, z）和N（0, y, z）。 图5.7直角坐标系XYZ 设?表示第j 轴的旋转角度，R j (?) 表示绕第j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。很明显当j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j 分量是不变的。由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕Z轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。 设图5.7的坐标绕Z轴逆时针旋转θ角度，新坐标为X 'Y'Z'，如图5.8所示： 图5.8 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度 由于坐标中的z 分量不变，我们可以简化地在XY 平面进行分分析，如图 5.9所示： 图5.9坐标绕Z 轴逆时针旋转θ 角度的XY 平面示意图 点 M X 和点M X ' 分别是M 点在X 轴和X '轴的投影。如图5.9 cos cos() sin sin() X X X X x OM OM MOM OM y MM OM MOM OM ?θ?θ==∠=-??==∠=-? （5-1） cos cos sin sin X X X X x OM OM MOM OM y MM OM MOM OM ? ?'''''==∠=??'==∠=? （5-2） 把（5-1）式按照三角函数展开得： cos cos sin sin sin cos cos sin x OM OM y OM OM ?θ?θ ?θ?θ=+??=+? （5-3） 把（5-2）式代入（5-3）式得： cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ''=+??''=-+? （5-4） 坐标中的z 分量不变，即z = z'这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表 示旧坐标） cos sin sin cos x x y y x y z z θθ θθ''=+? ?''=-+??' =? （5-5） 把式（5-5）用一个坐标旋转变换矩阵R Z (θ) 表示可以写成： 第七章 平面直角坐标系测试题（9班专用） 一、填空题 1.已知点A （0,1）、B （2,0）、C （0,0）、D （-1,0）、E （-3,0），则在y 轴上的点有 个。 2.如果点A ()b a ,在x 轴上，且在原点右侧，那么a ，b 3.如果点()1,-a a M 在x 轴下侧，y 轴的右侧，那么a 的取值范围是 4.已知两点A ()m ，3-,B ()4,-n ，若AB ∥y 轴，则n = ， m 的取值范围是 . 5.?ABC 上有一点P （0,2），将?ABC 先沿x 轴负方向平移2个单位长度，再沿y 轴正方向平移3个单位长度，得到的新三角形上与点P 相对应的点的坐标是 . 6,如图所示，象棋盘上，若“将”位于点 （3，-2），“车”位于点（-1，-2），则“马”位于 . 7,李明的座位在第5排第4列，简记为（5,4），张扬的座位在第3排第2列，简记为（3,2），若周伟的座位在李明的后面相距2排，同时在他的左边相距3列，则周伟的座位可简记为 . 8.将?ABC 绕坐标原点旋转180后，各顶点坐标变化特征是： . 二、选择题 9.下列语句：（1）点（3,2）与点（2,3）是同一点；（2）点（2,1）在第二象限；（3）点（2,0） 在第一象限；（4）点（0,2）在x 轴上，其中正确的是（ ） A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（2）（3）（4）D. 没有 10.如果点M ()y x ,的坐标满足 0=y x ，那么点M 的可能位置是（ ） A.x 轴上的点的全体 B. 除去原点后x 轴上的点的全体 C.y 轴上的点的全体 D. 除去原点后y 轴上的点的全体 11.已知点P 的坐标为()63,-2+a a ，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是（ ） A.（3,3） B.（3，-3） C. （6，-6） D.（3,3）或（6，-6） 12.如果点()3,2+x x 在x 轴上方，y 轴右侧，且该点到x 轴和y 轴的距离相等，则x 的值为（ ） A.1 B.-1 C.3 D.-3 13.将某图形的各顶点的横坐标减去2，纵坐标保持不变，可将该图形（ ） A.横向右平移2个单位 B.横向向左平移2个单位 C.纵向向上平移2个单位 D.纵向向下平移2个单位 14.下面是小明家与小刚家的位置描述： 小明家：出校门向东走150m ，再向北走200m ； 马将车8题图 不同空间直角坐标系的转换 欧勒角 不同空间直角坐标系的转换，包括三个坐标轴的平移和坐标轴的旋转，以及两个坐标系的尺度比参数，坐标轴之间的三个旋转角叫欧勒角。 三参数法 三参数坐标转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。实际应用中，因为欧勒角不大，可以用三参数公式近似地进行空间直角坐标系统的转换。公共点只有一个时,采用三参数公式进行转换。 七参数法 用七参数进行空间直角坐标转换有布尔莎公式，莫洛琴斯基公式和范氏公式等。下面给出布尔莎七参数公式： 坐标转换多项式回归模型 坐标转换七参数公式属于相似变换模型。大地控制网中的系统误差一般呈区域性，当区域较小时，区域性的系统误差被相似变换参数拟合，故局部区域的坐标转换采用七参数公式模型是比较适宜的。但对全国或一个省区范围内的坐标转换，可以采用多项式回归模型，将各区域的系统偏差拟合到回归参数中，从而提高坐标转换精度。 两种不同空间直角坐标系转换时，坐标转换的精度取决于坐标转换的数学模型和求解转换系数的公共点坐标精度，此外，还与公共点的分布有关。鉴于地面控制网系统误差在???? ??????+??????????=??????????000111222Z Y X Z Y X Z Y X ???? ??????+????????????????????---+??????????+=??????????000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X Y X Z Y Z εεεεεε 不同区域并非是一个常数，所以采用分区进行坐标转换能更好地反映实际情况，提高坐标转换的精度。 空间直角坐标系（11月21日） 一、选择题 1、有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）； ②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。 其中正确的个数是（C ） A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（C ） A、（1，-3，-4） B、（-4，1，-3） C、（3，-1，4） D、（4，-1，3） 3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（A ） A、（-3，-1，4） B、（-3，-1，-4） C、（3，1，4） D、（3，-1，-4） 4、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（A ） A、（-1，-1，1） B、（1，-1，-1） C、（-1，1，-1） D、（-1，-1，-1） 5、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（C ） A、（2，3，-4） B、（-2，3，4） C、（2，-3，4） D、（-2，-3，4） 6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C) A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上 7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（C ） A、（1 2 ，1，1）B、（1， 1 2 ，1）C、（1，1， 1 2 ）D、（ 1 2 ， 1 2 ，1） 8、点P( 2 2， 3 3，－ 6 6)到原点的距离是(B) A.30 6B．1 C. 33 6 D. 35 6 9、点M(4，－3,5)到x轴的距离为(B) A．4 B.34 C．5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为(D) A．(0，2，0) B．(0，2，3) C．(1,0，3) D．(1，2，0) 11、点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B) A．(－2,0,2) B．(－2,0,0) C．(0,1,2) D．(－2,1,0) 12、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(B) A．9 B.29 C．5 D．2 6 二、填空题 1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 3 2，),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________． 2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________． 3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________． 4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________． 坐标转换之计算公式 一、参心大地坐标与参心空间直角坐标转换 1名词解释： A ：参心空间直角坐标系： a) 以参心0为坐标原点； b) Z 轴与参考椭球的短轴（旋转轴）相重合； c) X 轴与起始子午面和赤道的交线重合； d) Y 轴在赤道面上与X 轴垂直，构成右手直角坐标系0-XYZ ； e) 地面点P 的点位用（X ，Y ，Z ）表示； B ：参心大地坐标系： a) 以参考椭球的中心为坐标原点，椭球的短轴与参考椭球旋转轴重合； b) 大地纬度B ：以过地面点的椭球法线与椭球赤道面的夹角为大地纬度B ； c) 大地经度L ：以过地面点的椭球子午面与起始子午面之间的夹角为大地经度L ； d) 大地高H ：地面点沿椭球法线至椭球面的距离为大地高H ； e) 地面点的点位用（B ，L ，H ）表示。 2 参心大地坐标转换为参心空间直角坐标： ?? ???+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin *])1(*[sin *cos *)(cos *cos *)(2 公式中，N 为椭球面卯酉圈的曲率半径，e 为椭球的第一偏心率，a 、b 椭球的长短半 径，f 椭球扁率，W 为第一辅助系数 a b a e 2 2-= 或 f f e 1*2-= W a N B W e =-=22sin *1( 3 参心空间直角坐标转换参心大地坐标 []N B Y X H H e N Y X H N Z B X Y L -+=+-++==cos ))1(**)()(*arctan( )arctan(2 2222 二 高斯投影及高斯直角坐标系 1、高斯投影概述 高斯-克吕格投影的条件：1. 是正形投影；2. 中央子午线不变形 高斯投影的性质：1. 投影后角度不变；2. 长度比与点位有关，与方向无关； 3. 离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的方法。常用3度带或6度带分带，城市或工 程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带。 2、高斯投影正算公式： 5 2224253 2236 4254 42232)5814185(cos 120 )1(cos 6 cos )5861(cos sin 720 495(cos sin 24 cos sin 2l t t t B N l t B N Bl N y l t t B B N l t B B N Bl B N X x ηηηηη-++-++-+=+-+++-++=） 3、高斯投影反算公式： 《平面直角坐标系》练习题 班别：___________姓名：_______________ 一、选择题 1. 若m<0，则点P(3，2m)所在的象限是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 点 M(3,－4)关于x轴的对称点的坐标是 ( ) A. (3,4) B. (?3,?4) C. (?3,4) D. (?4,3) 3.P(a，b) 是第二象限内一点，则Q(b，a) 位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列说法：①坐标轴上的点不属于任何象限；②y轴上点的横坐标为0；③平面直角坐标系中，(1,2) 和 (2,1) 表示两个不同的点；④点(3,0) 在x轴上，其中你认为正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若点A(3?m,n+2)关于原点的对称点B的坐标是(?3,2)，则m，n的值为 ( ) A. m=?6，n=?4 B. m=0，n=?4 C. m=6，n=4 D. m=6，n=?4 6. 已知点A(?3,2)与点B(x,y)在同一条平行y轴的直线上，且B点到x轴的矩离等于3，则B点的坐标是 ( ) A. (?3,3) B. (3,?3) C. (?3,3)或(?3,?3) D. (?3,3)或(3,?3) 7. 定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a,b)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是 ( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 8. 若点P(a,b)在第四象限，则点Q(b,?a)所在的象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P(?y+1,x+1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，?，这样依次得到点A1，A2，A3，?，A n，?．例如：点A1的坐标为(3,1)，则点A2的坐标为(0,4)，?；若点A1的坐标为(a,b)，则点 A2015的坐标为 ( ) A. (?b+1,a+1) B. (?a,?b+2) C. (b?1,?a+1) D. (a,b) 10. 在平面直角坐标系中,把点P(?3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P?的坐标为 ( ) A. (3,2) B. (2,?3) C. (?3,?2) D. (3,?2) 11. 在平面直角坐标系中，点A(?2,1)与点B关于原点对称，则点B的坐标为 ( ) A. (?2,1) B. (2,?1) C. (2,1) D. (?2,?1) 12. 如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从 内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,…，顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示， 则顶点A55的坐标是 A. (13,13) B. (?13,?13) C. (14,14) D. (?14,?14) 高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则： 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法： 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下： （一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠ A 为直角，A B ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，D C ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--u u u u r ，，，(010)CD =-u u u r ，，． 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ， 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r ． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝ 3 π ．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝ 2，∠BCC 1＝ 3 π， 空间直角坐标系与空间大地坐标系的相互转换 1.空间直角坐标系/笛卡尔坐标系 坐标轴相互正交的坐标系被称作笛卡尔坐标系。三维笛卡尔坐标系也被称为空间直角坐标系。在空间直角坐标系下，点的坐标可以用该点所对应的矢径在三个坐标轴上的投影长度来表示，只有确定了原地、三个坐标轴的指向和尺度，就定义了一个在三维空间描述点的位置的空间直角坐标系。 以椭球体中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为Z轴构成右手坐标系O.XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X,Y,Z表示。 在测量应用中，常将地球空间直角坐标系的坐标原点选在地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z轴指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系。 空间直角坐标系 2.空间大地坐标系 由于空间直角坐标无法明确反映出点与地球之间的空间关系，为了解决这一问题，在测量中引入了大地基准，并据此定义了大地坐标系。大地基准指的是用于定义地球参考椭球的一系列参数，包括如下常量： 2.1椭球的大小和形状 2.2椭球的短半轴的指向：通常与地球的平自转轴平息。 2.3椭球中心的位置：根据需要确定。若为地心椭球，则其中心位于地球质心。 2.4本初子午线：通过固定平极和经度原点的天文子午线，通常为格林尼治子午线。 以大地基准为基础建立的坐标系被称为大地坐标系。由于大地基准又以参考椭球为基准，因此，大地坐标系又被称为椭球坐标系。大地坐标系是参心坐标系，其坐标原点位于参考椭球中心，以参考椭球面为基准面，用大地经度L、纬度B 和大地高H表示地面点位置。过地面点P的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P点的位置用L,B表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L,B外，还要附加另一参数——大地高H。 空间大地坐标系 3.空间直角坐标与大地坐标间的转换 3.1大地坐标转换为空间直角坐标 空间直角坐标系的旋转转换 using System; using System.Collections.Generic; using https://www.doczj.com/doc/da5971852.html,ponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.IO; using System.Windows.Forms; namespace ReferenceTransition { public partial class Form1 : Form { public Form1() { this.MaximizeBox = false; InitializeComponent(); } private double x, y, z; private double i, j, k; private double a1,a2,a3; private double b1, b2, b3; private double c1, c2, c3; private double rx, ry, rz; private string t1, t2, t3; private string k1, k2, k3; private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { textBox1.Text = ""; textBox2.Text = ""; textBox3.Text = ""; textBox4.Text = ""; textBox5.Text = ""; textBox6.Text = ""; textBox7.Text = ""; textBox8.Text = ""; textBox9.Text = ""; richTextBox1.Text = ""; } private void button4_Click(object sender, EventArgs e) { try { 《平面直角坐标系》章节复习 考点1：考点的坐标与象限的关系 知识解析：各个象限的点的坐标符号特征如下： （特别值得注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限.） 1、在平面直角坐标中，点M (－2，3)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、在平面直角坐标系中，点P (－2，2x ＋1)所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、若点P （a ，a -2）在第四象限，则a 的取值范围是（ ）． A ．-2＜a ＜0 B ．0＜a ＜2 C ．a ＞2 D ．a ＜0 4、点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（ ） A ．x 轴正半轴上 B ．x 轴负半轴上 C ．y 轴正半轴上 D ．y 轴负半轴上 5、若点P （a ，b ）在第四象限，则点M （b －a ，a －b ）在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中，点(12)A x x --，在第四象限，则实数x 的取值范围是 ． 7、对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．． （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8、如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 考点2：点在坐标轴上的特点 x 轴上的点纵坐标为0, y 轴上的点横坐标为0.坐标原点（0，0） 1、点P （m+3，m+1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．（0，-2） B ．（2，0） C ．（4，0） D ．（0，-4） 2、已知点P (m ，2m －1)在y 轴上，则P 点的坐标是 。 建立空间直角坐标系，解立体几何高考题 立体几何重点、热点： 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等． 常用公式： 1 、求线段的长度： 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离： PN = ，（N 为垂足，M 为斜足，为平面α的法向量） 3、求直线l 与平面α所成的角：|||||sin |n PM ?= θ，(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角：cos = θ 5、求二面角的平面角θ：|||||cos |21n n ?= θ，（ 1n ，2n 为二面角的两个面的法向量） 6、求二面角的平面角θ：S S 射影 = θ cos ，（射影面积法） 7、求法向量：①找；②求：设, 为平面α内的任意两个向量，)1,,(y x =为α的法向量， 则由方程组?????=?=?0 n b n a ，可求得法向量．空间直角坐标系坐标转换方法
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7.1 平面直角坐标系练习题(含答案)
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