第一章 线性空间
线性空间是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面，本章将从最简单的集合概念入手，详细给出线性空间的的概念和相关理论。
§1.1 预备知识
1.1.1 集合的概念与性质
集合是数学中的基础概念之一，是把人们直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体的概念。例如：由全体实数所组成的集合，称为实数集合或实数集；由一个线性方程组解的全体组成集合，称为该方程组的解集合等等。本节所介绍的集合概念通常称为“朴素的集合论”， 即“集合”和“元素”等基本概念是自明的。历史上曾经为集合论产生过一些悖论.而对于我们来说了解朴素集合已是足够的了，例如，我们只需知道一个集合本身不能是这个集合一个元素．即：若A 是集合则A ∈A 不成立；同时，本节所介绍的集合的相关性质，以复习为主，很多定理不加以证明。
定义1 具有某种性质的事物的全体称为集合，组成集合的事物称为集合中的元素。
一般用英文大写字母A , B , C , X , Y , Z 表示集合，用英文小写字母a, b, c, x, y, z 等表示集合的元素。例如：{,,,,}A a b c d e =和{}S s s P =具有性都表示的是集合。没有任何元素的集合称为空集，记为Φ。
如果用S 表示集合，s 表示S 的元素，常用记号s S ∈，读作s 属于S ，而s 不属于S ，记为：s S ?。
常用的特殊集合一般用N, Z, Q ，R 和C 分别表示自然数集、整数集、有理数集实数集和复数集。此外，{}Z n n x x ∈+=,12|和{}Z n n x x ∈=,2|分别代表奇数集和偶数集。
定义2 若集合 A 和集合B 有同样的元素，称为A 和B 相等，记为A = B ；若集合 A 和中的元素都是集合B 中的元素，称为A 含于B 或者称B 包含A ，记为A B ?；若A B ?，则称A 是B 的子集；若A B ?，且A B ≠，则称A 是B 的真子集。
空集Φ是一个非常特殊的集合，因为它不含任何元素，所以对任何集合A 都包含空集Φ为其子集，即：对于任意的集合A ，均有：A Φ?。
任何集合A 也都是它自己的子集，即A A ?，一般称A 与Φ为集合A 的平凡子集。
若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有n 2个，真子集有12-n 个，非空子集有12-n 个，非空真子集有22-n 个。
定理1 设A , B , C 是三个任意集合，则有：
(1) 如果B ? A 且A ? B ，则A = B 。
(2) 如果C ? B 且B ? A ，则C ? A 。
证明略。
定义3 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作B A ，即{}B x A x x B A ∈∈=且| 。
定义4 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作B A U ，即{}B x A x x B A ∈∈= U |。
定义5 由所有属于集合A 且不属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的差集，记作A B -，即{}|A B x x A x B -=∈?且；
特别的，若A S ?，差集S A -又叫做S 中关于子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝{}|x x S x A ∈?且。
当我们在研究问题所涉及到的集合都是一个相对“大”的集合的子集时候，在这种情况下，常常称这个包含所有需要讨论的“大”集合为基础集。例如，所有平面图形都可以看成是整个平面这个大集合2R 的子集。当X 为基础集时，若A X ?,则X A -一般记为C A 。
定理2 设A ，B ，C 为三个集合．则以下等式成立：
（1）幂等律：A ∪A ＝A A ∩A =A ；
（2）交换律：A ∪B ＝B ∪A A ∩B =B ∩A ；
（3）结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C ) (A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C ) ；
（4）分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C ) (A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；
（5）DeMongan 律：()()()A B C A B A C -=-- ()()()A B C A B A C -=-- 。
上述定理可以推广到有限个集合上，例如DeMongan 律的推广如下：
设A 与12,,,n B B B 是1n +个集合，则有11
()()n n
i i i i A B A B ==-=- 。
集合还有其他一些简单性质，在此不加以叙述。
1.1.2 映射的概念与性质
在高等数学中，函数概念是我们所熟知的概念，包括近世代数中的同态等概念，这些概念事实上都有赖于下面所要给出的映射的概念。
定义6 设,A B 是两个集合，如果按照某一对应法则f ，对于A 中的每一个元素x ，有B 中唯一确定的元素y 与之对应，则称法则f 为由集合A 到集合B 的映射，记为：
f A B →：
对x A ?∈，()f x y B =∈，称y 为x 在映射f 下的像，x 为原像。 集合(){();}f A y y f x x A ==∈称为A 在f 下的像集，显然()f A B ?。
我们通常称A 为映射f 的定义域，称()f A 为映射f 的值域。
定义7 设,A B 是两个集合， f A B →：
是由A 到B 的映射，则有： （1）当()f A B =时，称映射f 为满射；
（2）对12,x x A ?∈，当12x x ≠时有12()()f x f x ≠，称映射f 为单射；
（3）称既单且满的映射f 为双射或者一一映射。
定理3 设,,A B C 是三个集合， f A B →：
是由A 到B 的映射， g B C →：是由B 到C 的映射，对于A 中的每一个元素x ，有C 中唯一确定的元素z 满足：(())g f x z =。即存在一个 A C →的映射，记为：g f ；
显然，对任意的()(())g f x g f x = 。
定义8 定理2中的映射称为映射f 与映射g 的复合映射。
1.1.3 其他概念
定义9 设F 是由一些数所构成的集合，其中包含0和1，如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为0），仍是F 中的数，则称F 为数域。
常用的数域：有理数域Q ；实数域R ；复数域C 。而自然数集N 和整数集Z 都不是数域。
定理5 任何数域F 都包含有理数域为最小数域。
证明 设F 为任一数域，由数域的定义知，0,1F F ∈∈,由此可得，
对任一正整数m ，均有：111m F =+++∈ ，所以，任意的
m F n ∈， 而0m m F n n
-=-∈，由有理数可以表示成两个互质整数的商可知，有理数域是最小数域。
定义10 设V 是一个非空集合，F 是一个数域，
（1）在V 中定义一个“+”运算，使得对,V αβ?∈,有唯一的V γαβ=+∈，则 称集合V 对“+”运算是唯一和封闭的，并称“+”为V 中的加法运算；
（2）在V 和数域F 中定义一个“*”运算，使得对V α?∈；F λ∈，有唯一的 =V σλα*∈，则称集合V 对“*”运算是唯一和封闭的，并称“*”为V 和F 中 的数乘运算。
我们经常将集合V 和数域F 中定义的加法和数乘运算合起来称为线性运算。 本节作为预备知识给出的内容，只是为了本书后续所学知识需要用到的基础
知识的复习内容，并没有给出相关概念的全部性质，同时也省略了相关的例题。
§1.2 线性空间
线性空间是线性代数中所涉及到的向量空间n R 在元素和线性运算上的推广和抽象，也是全书的理论基础，本节将给出线性空间、子空间、基底和维数等相关概念。
1.2.1 线性空间的概念与性质
定义1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域，在V 和F 上定义了唯一封闭的 “+”和“*”运算，如果对,,V αβγ?∈和,k l F ?∈，满足如下八条法则：
1) αββα+=+；
2) )()(γβαγβα++=++；
3) 在V 中存在元素θ,使得V ∈?α,有αθα+=（θ称为V 的零元素）；
4)对V α∈,在V 中存在元素β，使得0αβ+= (β称为α的负元素，记为α-)； 5) αα=1；
6) ()()()()kl k l l k lk αααα===；
7) αααl k l k +=+)(；
8) (k k k αβαβ+=+）；
则称V 为数域F 上的线性空间，记作()V F ， 集合V 中的元素，称为线性空
间()V F 中的元素或向量。
可以看到，一个线性空间的构成，需要一个非空集合和一个数域，同时还维系着两种满足要求的运算，所以，一般谈到集合V 是线性空间时，需要说明V 是哪一个数域F 的线性空间，但有时，在不需要特别强调数域F 时，线性空间()V F 也简记为V 。例如，线性代数中的n 维向量空间n R ，就是实数域R 上的线性空间，也是一个非常重要的线性空间。
例1 全体n 维复向量所构成的集合{}12[,,,]|n T n i C x x x x C =∈ ，对通常向量的加法和数乘运算构成复数域C 上的线性空间。称为复向量空间，记为：()n C C 。
例2 所有m n ?复矩阵{(),1,2,;1,2,}m n m n ij ij C A a a C i m j n ??==∈== ，对 通常矩阵的加法和数乘运算构成复数域C 上的线性空间，称为矩阵空间。记为： ()m n C C ?。
例3 数域F 上次数小于n 的多项式的全体构成的集合[]n F x 对通常多项式的
加法和数乘运算构成数域F 上的线性空间，称为多项式空间。记为：[]()n F x F
其中：[]{}1011;0,1,,n n i n F x a a x a x a F i n --=+++∈= 。
而仅由n 次多项式的全体构成的集合[]Q x 不构成线性空间。其中：
{}01[]0,;0,1,2,n n n i Q x a a x a x a a F i n =+++≠∈= 。
例4 [],a b 区间上连续实函数全体所构成的集合[],C a b ，对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域R 上的线性空间，称为函数空间，记为[],()C a b R 。
对于数域F 上的线性空间()V F ，当数域F 为实数域时， ()V F 称为实线性空间；数域F 为复数域时，()V F 称为复线性空间。
以上给出的线性空间的举例，是常见的一些线性空间，在一个线性空间中，所研究的对象，如n C 中的向量、m n C ?中的矩阵、[]n F x 中的多项式和[],C a b 中
的连续函数等在其对应的线性空间中都可以称为“向量”。
所以，在本书中的“向量”，不局限于n R 和n C 中的元素，也有其拓展性的含义。另外，在线性空间中定义的“加法”和“数乘”运算，已不再局限在数的加法、数乘的概念中，下面举例说明。
例5 在集合R +={全体正实数}，对,,x y z R +?∈和,k l R ?∈，定义其“加法”及“数乘”运算为：x ⊕y xy = , k k x x ?=，试证明：R +是实数域R 上的线性空间。
证明 唯一性显然；若0x >,0y >, k R ∈，则有x ⊕y xy R +=∈，
k k x x R +?=∈ 封闭性得证。下证八条性质：
（1）x ⊕(y ⊕)()()(z x yz xy z x ===⊕)y ⊕z ；
（2） x ⊕y xy yx y ===⊕x ；
（3）x ⊕11x x =?= 所以，存在1是零元素；
（4） x ⊕111x x x =?= 所以， 1x
是x 的负元素 ； （5） (k x ?⊕)()()k k k y xy x y k x ===?⊕()k y ?；
（6） ()()k l k l k l x x x x k x ++?===?⊕()l x ?；
（7） ()()()l k kl k l x x x kl x ??===?；
（8） 11x x x ?==。
由此知，R +是实数域R 上的线性空间。
例6 设集合1212{[,,1],,}T V x x x x x x R ==∈，对于通常3R 上的加法和数乘 ，试验证V 是否是实数域R 上的线性空间。
证明 任取,x y V ∈，其中12[,,1]T x x x =，12[,,1]T y y y =，则：
1122[,,2]T x y x y x y V +=++?,对加法运算不封闭，所以V 不是R 上的线性空间。 在例6中，也可以通过V 中没有零元素等其他理由来说明V 不是线性空间。 下面给出线性空间的简单性质。
定理1 设()V F 为线性空间，,x V k F ∈∈，则有如下性质：
（1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。
（2）0x θ=，k θθ=。
（3）(1)()x x -=-。
（4）若kx θ=，则一定有0k =或x θ=。
（5）对任意的,,x y z V ∈，如果x y x z +=+，则必有：y z =。
定理1中的性质证明略。
1.2.2 ()V F 中的向量组的相关概念和性质
在线性代数中，向量空间()n R R 是线性空间的特例，由()n R R 中的一些向量构成的n R 的子集称为()n R R 中的向量组，伴随着这个概念的产生，自然也有n R 中向量组的若干个诸如线性相关和线性无关等概念和性质产生，我们在前面已经说过，线性空间()V F 中的元素也称为“向量”，虽然()V F 中的向量比()n R R 中的向量的含义更为广泛，但向量组和线性相关等概念和结论却与其类似，下面对()V F 中的这些概念做简单的叙述。
定义2 设()V F 是线性空间，12,,(1)r r ααα≥ 是V 中的一组向量，若对于V 中向量α，存在12,,r k k k F ∈ ，使得：
1122r r k k k αααα=+++ （1-1）
则称12,,r ααα 是α的线性组合，也称α可由12,,r ααα 线性表示。
定义3 设()V F 是线性空间， 12,,(1)r r ααα≥ 是V 中的一组向量，若存在12,,r k k k F ∈ ，使得：
1122r r k k k αααθ+++= （1-2）
则称12,,r ααα 线性相关，否则称12,,r ααα 线性无关。
从定义可以看出，()V F 中的一组向量12,,(1)r r ααα≥ 线性无关当且仅当如果（1-2）式成立，必有120r k k k ==== 。
()V F 中含有零向量的向量组必线性相关；由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量是零向量，而线性无关当且仅当该向量是非零向量。
定理2 设()V F 为线性空间，12,,,r V αααβ∈ ，若12,,r ααα 线性无关，而12,,,r αααβ 线性相关，则β可由12,,r ααα 唯一的线性表出。
例7 在23R ?中，向量113023A -??=??-??可由向量组100000??????，010000??????
， 001000??????，000100??????，000010??????，000001??????
线性表示，即：
113100010003113023000000000-????????=?-+????????-????????
000000000023100010001
??????++-????????????。
例8 在2340123[]{ 0,1,2,3}i R x a a x a x a x a R i =+++∈=；中，23,1,(1)x x ++，3(1)x +是线性无关的，而2,5,3x x x -是线性相关的。
在线性空间()V F 中的向量组之间，也有如下的几个定义。
定义4 设()V F 为线性空间，{}12,,,s A ααα= ；{}12,,,t B βββ= 为()V F 中的两个向量组，如果A 中任一向量(1,2,)i i s α= 可由B 组向量线性表示，则称向量组A 可由向量组B 线性表示，如果向量组A 和向量组B 可以互相线性表示，则称向量组A 和向量组B 等价。
定义5 设()V F 为线性空间，{}12,,,m A ααα= 为()V F 中的向量组，如果A 中有()r r m ≤个向量线性无关。而任意1r +（如果有的话）都线性相关，则称这r 个向量为向量组A 的一个极大无关组。
在()V F 中，向量组的极大无关组未必唯一，但极大无关组所含向量个数相等。
定义6 设{}12,,,m A ααα= 为()V F 中的向量组，如果A 的极大无关组所含向量个数为()r r m ≤，则称r 为A 的秩，记为rankA r =。
例9 在4[]R x 中，2234{3,,,2,1,5,}[]A x x x x x R x =-?，233,,,x x x 是A 的一个极大无关组，233,2,5,x x x -也是A 的一个极大无关组， 4rankA =。
定理3 线性空间()V F 中的向量组具有如下性质：
(1)向量组线性相关的充要条件是其中有某个向量可由其他向量线性表示。
(2)若向量组有某一个子向量组线性相关，则向量组线性相关。
(3)若向量组线性无关，则其任意非空子向量组也线性无关。
1.2.3 线性空间的基底、维数与坐标
以上已经给出了线性空间的基本概念，为了对线性空间有更进一步的刻画，下面依赖于空间中向量组的线性相关和无关性给出基底与维数的定义。
定义7 设()V F 是线性空间，12,,,n V ααα∈ ，若满足：
(1)，12,,,n ααα 线性无关；
(2)，任意的V α∈，α都可由12,,,n ααα 线性表示。
则称12,,,n ααα 为线性空间()V F 基底（简称基），并称基底所含向量的个数n 为线性空间()V F 的维数，记作：dim V n =。此时()V F 称作n 有限维线性空间，简记为()n V F 或n V 。
显然，有限维线性空间()V F 的基底不唯一，但维数唯一。
如果对于任意的n ，均可在线性空间()V F 中找到n 个线性无关的向量，则称()V F 是无限维的线性空间。只含有零向量的线性空间()V F 的维数为0。 如果把线性空间V 就看成是一个大的向量组，那么V 的基底就相当是这个向量组的一个极大无关组，对于有限维线性空间V ，其个数与维数相同的极大无关组都可以作为V 的基底。
例10 复数域C 上的向量空间(){}
12,,,|T n n i C x x x x C =∈ 中，12100010,,,001n εεε??????????????????===?????????????????? 与12111110,,,100n εεε????????????
??????'''===??????????????????
都是n C 的基。 n C 的维数dim n C n =。一般称12,,,n εεε 为n C 的自然基底。
例11 在矩阵空间{(),,1,2,;1,2,}m n m n m n ij ij C
A A a a C i m j n ???==∈== 中，令：00 (1,2,; 1,2,)
0010000 ij E i m j n j ??????????===????????????
第i行第列
则m n C ?中的这mn 个向量ij E 为m n C ?的一组基（自然基底）， dim m n C mn ?=。
例12 在多项式空间[]{}1011;0,1,2,n n i n F x a a x a x a F i n --=+++∈= 中，211,,n x x x - 是[]n F x 的一个基，[]dim n F x n =。211,1,(1)(1)n x x x ---- 也是
[]n F x 的一个基。其中211,,n x x x - 为[]n F x 的自然基底。
例13 [],a b 区间上连续实函数全体所构成函数空间[],C a b ，对任意的正整数n ，总能找到n 个[],C a b 中的线性无关的向量，所以，[],C a b 是无限维的。
如果将线性空间用维数来分类，则分有限维和无限维两大类，（只含零向量的0维线性空间{}V θ= 属于有限维）。
定义8 设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,,n ααα 是()V F 的基底，对()V F α?∈，可由基12,,,n ααα 唯一表示，表达式为：
121122121 =[,,,],(, 1.2,)n n n i i n i i n x x x x x x x F i n x αααααααα=??????=+++=∈=??????
∑ 称12[,,,]T n n x x x F ∈ 为向量α在基12,,,n ααα 下的坐标。
在线性空间()V F 中，向量α在基12,,,n ααα 坐标为数域F 上的n 维向量，
即12[,,,]T n n x x x F ∈ 。并且，向量α在不同基底下的坐标是不相同的。
例14 在例7的23R ?中，23dim 6R ?=，向量113023A -??=??-??
在23R ?中的自然基底100000??????，010000??????，001000??????，000100??????，000010??????，000001??????
下的坐标为：6[1,1,3,0,2,3]T R --∈。
1.2.4 基变换与坐标变换
我们知道，有限维线性空间的基底是不唯一的，而对于线性空间的任意一个向量，在不同基底下会有不同的坐标，下面将研究有限维线性空间不同基底之间的联系和向量在不同基底下的坐标之间的联系。
设()V F 是n 维线性空间，12,,,n εεε 和1
2,,,n εεε''' 为()V F 的两组基，用12,,,n εεε 来表示12
,,,n εεε''' 中的每一个(1,2,,)i i n ε'= 如下： 11112121212122221122n n n n n
n n nn n p p p p p p p p p εεεεεεεεεεεε'=+++??'=+++????'=+++? （1-3） 可以看到，[]12,,,(1,2,,)T i i ni p p p i n = 是i ε'在基底12,,,n εεε 下的坐标，将式（1-3）写成如下形式：
[][]1112121222121212,,,,,,n n n n n n nn p p p p p p p p p εεεεεε??????'''=??????
（1-4） 由此得到如下定义。
定义9 称（1-4）为基变换公式。称(1-4)中的111212122212n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????
为由基12,,,n εεε 到基12
,,,n εεε''' 的过渡矩阵。其中P 的第j 列，是j ε'在基12,,,n εεε 下的坐标。
定理4 过渡矩阵P 是可逆的。
证明 因为1
2,,,n εεε''' 是()V F 的基底，所以是线性无关的，所以1212[,,,]0n n k k k εεε????
??'''=??????
只有零解，而由[][]1212,,,,,,n n P εεεεεε'''= 得到：1212[,,,]0n n k k P k εεε??????=?????? ，再由12,,,n εεε 线性无关可得120n k k P k ??????=?????? ，即120n k k P k ????
??=??????
只有零解，所以，过渡矩阵P 是可逆的。
例14 设3R 的两个基是
1231101,0,1111εεε-????????????===????????????-??????， 1231010,0,1111εεε????????????'''===??????????????????
,求由基123,,εεε到基12
3,,εεε'''的过渡矩阵P 。 解答 由[][]1212,,,,,,n n P εεεεεε'''= 可得：101110001101111111P -????????=????????-????
, 所以，1
110101111101211101001211001312111111101111212P -------????????????????????==--=---????????????????????-??????????
。
即由基123,,εεε到基123,,εεε'''的过渡矩阵211312212P ---??
??=---??????。
例15 设线性空间22R ?中的两组基分别为：111000E ??=????
，120100E ??=????，210010E ??=????，220001E ??=????；110111F ??=??-??，121011F ??=??-??，211101F -??=????
，221110F ??=??-??
，求第一组基到第二组基的过渡矩阵。 解答 根据公式有 [][]1112212211122122,,,,,,F F F F E E E E P =，又由于构成过渡矩阵
P 的列就是(,1,2)ij F i j =在基11122122,,,E E E E 下的坐标，所以，过渡矩阵为：
0111101111011110P -??????=??--??-??
。 定理5 设12,,,n εεε 与1
2,,,n εεε''' 是n 维线性空间()V F 的两组基，P 为由12,,,n εεε 到12
,,,n εεε''' 的过渡矩阵，对V 中向量x ，它在两组基下的坐标分别为[]12,,,T n x x x 与[]12,,,T
n x x x ''' ，则： 12n x x x ???????????? =12n
x x P x '????
'??????'?? （1-5） 证明 因为1212=[,,,],n n x x x x εεε???????????? 且1212=[,,,],n n
x x x x εεε'????
'??'''????'?? 所以有 11221212[,,,]=[,,,]n n n n
x x x x x x εεεεεε'????????
'????'''????????'???? （1-6） 而[][]1
212,,,,,,n n P εεεεεε'''= ，将其代入（1-6）得到
[]11221212,,,=,,,n n n n
x x x x P x x εεεεεε'????????
'????????????'???? （1-7） 对比（1-7）式的两端，又由12,,,n εεε 线性无关性，从而得到12n x x x ???????????? =12n
x x P x '????
'??????'?? 。 （1-5）式给出了()V F 中向量x 在不同基下坐标之间的关系，称为坐标变换公式
例16 设4R 的两个基分别是（Ⅰ）：[][][][]12341,1,2,10,2,1,20,0,3,10,0,0,1T T T T ?=??=?=?=??αααα；（Ⅱ）：[][][][]
12341,1,0,01,0,0,00,0,2,10,0,3,2T
T T T ?=-??=?=?=??ββββ （1） 求由基底（Ⅱ）到基底（Ⅰ）的过渡矩阵；
（2） 若4R α∈，在（Ⅰ）下的坐标为[]0,3,1,1T
--，求α在基（Ⅱ）下的坐标。
解答：设1234,,,εεεε为自然基底，即： [0,....,0,1,0,...,0](1,2,3,4)i T i i ==第 列ε， 则123412341234[,,,][,,,],([,,,]),==ααααεεεεA A αααα （1-8）
123412341234,,,][,,,],
([,,,]),==[ββββεεεεB B ββββ （1-9） （1）设由基底（Ⅱ）到基底（Ⅰ）的过渡矩阵为P ，根据定理可得：
12341234[,,,],,,]P =[ααααββββ （1-10）
将（1-8）和（1-9）带入（1-10）中得到：12341234[,,,][,,,]P =εεεεA εεεεB 由此得到过渡矩阵1112341234[,,,][,,,]P B A ββββαααα--==
1111
0010001200100012002200002321301433001212110312P B A ----??????-??????===--????????????-??????
。 （2）设α在基（Ⅱ）下的坐标为1234[,,,]T x x x x 则
[]12341200022003[,,,]0,3,1,1[6,6,6,6]1433103121T T T x x x x P --????????-????=--==--????---????-????
如上的例题告诉我们，求有限维线性空间()V F 的由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过
渡矩阵时，可以采用“中介”的办法，即首先选取()V F 中的简单基，使得基底（Ⅰ）和（Ⅱ）中的元素在该基下的坐标可以直接写出，然后写出由简单基改变为基（Ⅱ）和基（Ⅰ）的过渡矩阵。
例17 已知123,,ααα是3维线性空间V 的一组基，向量组123,,βββ满足
13123ββααα+=++，1223ββαα+=+，2313ββαα+=+，
（1） 证明：123,,βββ也是V 的一组基；
（2） 求由基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵；
（3） 求向量1232αααα=+-在基123,,βββ下的坐标。
解答 （1） 由于向量组1β，2β，3β满足13123ββααα+=++，1223ββαα+=+，
2313ββαα+=+，因此[][]123123110101,,011,,110101111βββααα????????=????????????
因为10111010111=≠，所以101110111??????????可逆，且1
101111110101111011--????????=-????????-????
。 于是，[][][]123123123110111010,,,,011101,,112101011100αααββββββ-????????????=-=--????????????-?????? 故1231233(,,)(,,)3rank rank αααβββ=≤≤，则123(,,)3rank βββ=。因此123,,βββ线性无关，且123,,βββ为1V 的一组基。
（2） 由（1）知[][]123123010,,,,112100αααβββ????=--??????
，则基123,,βββ到基123,,ααα的过渡矩阵为010112100????--??????
。 （3） 由[][]123123123101012,,2 ,,112211001????????????=+-==--????????????--??????
αααααααβββ
[]1232,,51????=-??????βββ因此，向量1232αααα=+-在基123,,βββ下的坐标是251????-??????
。 定理6 任何有限维线性空间中的向量12,,,s ααα（dim s V ≤ ）线性无关当且仅当12,,,s ααα在同一基底下的坐标是线性无关的。
例18 验证11021α??=????，21123α??=??-??
，32111α??=????，41024α??=????是22R ?的一组基，并求5132-??????
在该组基下的坐标。 解答 向量组1234,,,αααα在自然基底下的坐标分别为
11021x ??????=??????，21123x ????
??=??-????
，32111x ??????=??????，41024x ??????=??????， 且1234,,,x x x x 线性无关，则1234,,,αααα线性无关。又由于22R ?是4维空间，则1234,,,αααα是22R ?的一组基。设112233445132k k k k -??=+++?
???αααα， 即得方程组123411215011012212313142k k k k ????????????-??????=??????-??????????
?? 求解方程组可得5132-??????在该组基下的坐标为853*******T ??--????。 例19 验证322,,1,1x x x x x +++是实多项式空间4[]R x 的一组基，并求
3223x x x +++在该组基下的坐标。
解答 由3222300110101,,1,11,,,01101000x x x x x x x x ???
???????+++=??????????
即322,,1,1x x x x x +++在自然基底下的坐标构成了一个可逆矩阵，则
322,,1,1x x x x x +++是4[]R x 的一组基。
设1122323222333440011010123,,1,11,,,01101000k k k k x x x x x x x x x x x k k k k ??????????????????????+++=+++=??????????????????????
又由322332231,,,11x x x x x x ????????+++=????????
，得到123400113010120110110001k k k k ??????????????????=??????????????????。解得11k =，20k =，31k =，42k =，即3223x x x +++在基322,,1,1x x x x x +++下的坐标为[]1,0,1,2T
。
1.2.5 线性空间的同构
设()n V F 是数域F 上的n 维线性空间，n εεε,,,21 是()n V F 的一组基，在这组基下，()n V F 中每个向量都有确定的坐标，即V α?∈，α在n εεε,,,21 下的坐标可以看成向量空间n F 中的元素，因此，可以说向量α与它在基底下的坐标之间实质上就是有一个V 到n F 的对应关系，即映射，显然这个映射是单射与满射，换言之，线性空间()n V F 中的向量在给定一组基下的坐标给出了线性空间()n V F 与n F 的一个双射，这个对应的重要性表现在它与运算的关系上，设,()n V F αβ∈，在基n εεε,,,21 下：
[]12121122,,,n n n n a a a a a a αεεεεεε????
??==+++??????
[]12121122,,,n n n n b b b b b b βεεεεεε????
??==+++?????? 向量,,βα的坐标分别是12[,,,]T n a a a ,12[,,,]T n b b b ，则
n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ；
n n ka ka ka k εεεα+++= 2211。()k F ∈
于是向量αk ，αβ+的坐标分别是1212[,,,][,,,]T T n n ka ka ka k a a a = 和
11221212[,,,][,,,][,,,]T T n n n n a b a b a b a a a b b b +++=+ ,
以上的式子说明对于有限维线性空间，在同一基底下，将向量用坐标表示之后，它们之间的运算可以归结为它们的坐标运算；下面给出同构的概念，用以来说明任何有限维线性空间()n V F 与同维数的向量空间n F 之间的一种关系。
定义10 设V 与V '为数域F 上的两个有限维线性空间， 若存在一个双射 V V φ'→：，对,V αβ?∈和k F ?∈，有：
1）()()()φαβφαφβ+=+；
2) ()()k k φαφα=。
则称线性空间V 与V '为同构的，映射φ称为同构映射。
由此可见，在n 维线性空间n V 中，取定一组基后，向量与它的坐标之间的对
应就是n V 到n F 的一个同构映射。因而，有如下结论：
定理7 数域F 上任一个n 维线性空间n V 与n F 同构。
定理8 设V 与V '为数域F 上的两个有限维线性空间，V V φ'→：是同构映 射，则有：
（1） (0)0,()()φφαφα=-=-；
（2）11221122()()()()r r r r k k k k k k φαααφαφαφα+++=+++ ；
（3） 线性空间V 中向量组r ααα,,,21 线性相关的充要条件为它们在同构映射下的象12(),(),,()r φαφαφα 线性相关。
定理9 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射。
同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性。既然数域F 上任意一个n 维线性空间n V 都与n F 同构，数域F 上任意两个n 维线性空间都同构。
定理10 两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。
在抽象的线性空间讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是如何定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质。从这个观点看来，同构的线性空间可以不加区别。并且，对于n 维线性空间n V 来说，很多性质都可以通过向量空间n F 来讨论。
§1.3 线性子空间
1.3.1 线性子空间的概念与性质
定义1 设W 是线性空间()V F 的一个非空子集，如果W 对()V F 上的加法和数乘两种运算也构成数域F 上的线性空间. 则称W 为()V F 的一个线性子空间。
线性子空间有时经常简称为子空间。
在验证()V F 的一个非空子集W 是否是子空间时，是否一定要对于()V F 上的加法和数乘两种运算在W 上逐一验证线性空间定义中的封闭唯一性和八条法则呢？如下定理将给出结论。
定理1 数域F 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间充要条件是对,,,,a b F W αβ?∈∈有a b W αβ+∈。
由定理1可见，只需对非空子集W 验证对加法和数乘运算的封闭性即可。 线性空间V 中的由单个的零向量所组成的子集{}θ是一个子空间，称为V 的零子空间；线性空间V 本身也是V 的一个子空间。
零子空间和线性空间V 本身这两个子空间称为V 的平凡子空间， V 的其它子空间称为V 的非平凡子空间。
由于线性子空间本身也是一个线性空间，所以，子空间W 和整个空间V 共有零元素θ，同时，上节引入的维数、基、坐标等概念都可以应用到子空间上。
显然，线性空间V 无论是有限维还是无限维，其子空间W 的维数不可能超过整个空间V 的维数。
例1证明22{}T V A A A A R ?==∈是22R ?的子空间，并求dim V 及一组基。
解答 证明V 是22R ?的子空间略。因为220000O V ???=∈????
,所以V 非空，下证V 对22R ?中的加法和数乘运算满足封闭性。
任取,B C V ∈和R ∈?λ，则有T B B =，T C C =，并且
()T T T B C B C B C V +=+=+∈，()T T B B B V λλλ==∈，
从而由本节定理1知V 是n n R ?的子空间。下面求dim V 及V 的一个基。
对1122a b A V b a ???=∈????，有111211222122100100001001a a A a b a a a ????????==++?????????????
???，
即V 中任一元素A 都可由11122122100100,,001001E E E E ??????=+==????????????
线性表示，而容易证明11122122,,E E E E +线性无关，所以dim 3V =；11122122,,E E E E +为V 的一个基。可见22dim dim V R ?≤
例2 齐次线性方程组1111221211222211220,0,0
n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=? 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间。是线性空间n C 的子空间，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩。
例3设0,,00a b W a b c R c ??????=∈??????????
为23R ?的一个子集，验证W 是23R ?的子空间，并求W 维数和一组基。
解答 由于000000W ??∈????，即W 非空；对12,k k R ?∈和11110,00a b A c ???=????
2
2
22000a b A W c ??=∈????，11221122112211220
00k a k a k b k b k A k A W k c k c ++??+=∈??+??,所以 W 是23R ?的子空间；
又由于0,00a b A W c ???=∈????100010000000000001A a b c ??????=++????????????
，而 100010000,,000000001W ??????∈????????????
且线性无关，所以dim 3W =，
100010000,,000000001??????????????????
为W 的一组基。
例4 判断22R ?的下列子集是否构成子空间，若是，求子空间的维数和一组基。
（1） {}221det 0,V R ?==∈A A A ；
（2） {}2222,V R ?==∈A A A A ；
（3） 111231112212221220a a V a a a a a a ??????=+++=??????????
；
（4） 11
1241112212221221a a V a a a a a a ??????=+++=??????????
。 解答 （1） 取1000??=????A ，0001??=????
B ，有det 0=A ，det 0=B ， 1V ∈A ，1V ∈B ，因为1001??+=????
A B ，det()10+=≠A B ， 1V +?A B ，故1V 不是子空间。 （2） 取1000??=????A ，则有2=A A ，从而2V ∈A ，因为20200??=????
A ，()2
402200??=≠????A A 所以22V ?A ，故2V 不是子空间。 （3） 因为3O ∈V ，所以3V 非空。任取3,V ∈A B ，k ∈R ，设11122122a a a a ??=????
A ，11122122b b b b ??=????
B ，且111221220a a a a +++=，111221220b b b b +++=。则 1111121221212222a b a b a b a b ++??+=??++??
A B 且11111212212122220a b a b a b a b +++++++=， 则3V +∈A B ；11122122ka ka k ka ka ??=????
A 且11122122()0k a a a a +++=，则3k V ∈A 。 所以3V 是22R ?的子空间。任取3V ∈A ，则
111211122121111221100100010111a a a a a a a a a ????????==++????????------????????
A 由于100100,,010111????????????---??????线性无关，所以100100,,010111????????????---??????是3V 的一组基，且3dim()3V =。
（4） 设111242122a a V a a ??=∈????A ，则111221221a a a a +++=，因为1112212222222a a a a ??=????
A ，111221222()21+++=≠a a a a 所以42V ?A ，
4V 对数乘运算不封闭， 4V 不是子空间。 定义2 设()V F 是数域F 上的线性空间，12,,,()r V F ααα∈ ，称由这组向量
第6章 线性空间练习题 一、填空题（3515''?=） 1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ． 2. 从 R 2的基 1211,01αα????== ? ?-????到基1211,12ββ???? == ? ????? 的过渡矩阵为 ． 3. 已知132326583945A ?? ? = ? ??? ，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基 是 ． 4. 设2 R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++?=?=，则 2(,,)R R ⊕?，不作成线性空间的理由可以为 ． 5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间 (,,)Q Q +?，该空间的维数是 ． 二、单项选择题（3515''?=） 1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )． (A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {} (,,)0a b c a ≥ (C) { } 222 (,,)1a b c a b c ++≤ (D) {} (,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2 (,,,)R R +? (B) (,,,)C R C +?是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +?是复数域 4. 向量空间{}12123(,, ,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ． (A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在n R 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )． (A) 112 12()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-
空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。 空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据 属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量 属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。 空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式） 空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。 空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。 空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。 常见EDA方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图 主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。 空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。 茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。 优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。 茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列；③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。 箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。 应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。 空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。 空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布
向量空间 一 判断题 (1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ) . (2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ). (3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121 {(,, ,)|1,}n n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ). (6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0, ,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ). (8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ). (9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,, ,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,, ,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ). (11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,, ,n βββ与12,, ,n ααα等价, 则 12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ). (12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若 12dim dim dim s V V V n ++ +=, 则12s V V V ++ +为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =++ +. 若 121230,()0,V V V V V =+=121,()0,S s V V V V -++ += 则12s V V V ++ +为直和.
习题5. 1 1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.
§4.4 线性空间的同构 下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都 是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。 定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =， 其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。 同构的线性空间具有如下性质。 定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0； （2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-； （3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ； （4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组； （5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。 证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。 （4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。 反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即
空间向量与空间角试题
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课时作业(二十) [学业水平层次] 一、选择题 1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．以上均不对 【解析】 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为? ? ? ??0，π2.应选A. 【答案】 A 2．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.522 66 B ．－52266 C.52222 D ．－52222 【解析】 AB →＝(2，－2，－1)，CD → ＝(－2，－3，－3)， ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD → |AB →||CD →|＝53×22＝522 66， ∴直线AB 、CD 所成角的余弦值为522 66. 【答案】 A 3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝
AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD → ＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E ? ? ???0，12，12， ∴AE →＝? ?? ??0，12，12， 易知AD →是平面P AB 的法向量，AE → 是平面PCD 的法向量，∴cos AD →，AE →＝22， ∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B 4．(2014·陕西师大附中高二检测)如图3-2-29，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E 、F 分别为C 1D 1、A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )
第六章 线性空间练习题参考答案 一、填空题 1.已知0000,,00V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? . 2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2, ,}n i W a x x x P i n =∈= 是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++. 5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基 123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010?? ? ? ???，而α在基321,,εεε下的坐标是 321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110?? ? ? ??? . 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n -维线性空间，数域P 上n 级上
第六章 线性空间测验 一、填空题 1、已知是的一个子空间，则dim＝ ， 的一组基是 ___________ _. 2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________. 3、已知是数域P中的一个固定的数，而 是的一个子空间，则＝__________，而维()＝__________. 4、设是数域P上的维列向量空间，记 则1、2都是的子空间，且1＋2＝____________，＝____________. 5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T ＝__________，而在基下的坐标是__________. 6、在中, 在基的坐标是________________. 7、令，，，，则是的一组基，判定是否在中，若在，求在基下的坐标____________. 8、已知，则dim=_____，的一组基_______________. 二、判断题 1、 设，则是的子空间. 2、已知为上的线性空间，则维(）＝2. 3、设，是的解空间，1是的解空间，2是的解空间，则. 4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝. 5、设是线性空间的子空间，如果但则必有 三、计算题 1、设，，其中 ，，；， 求与的基和维数。 2、在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵， 在基下的坐标，其中 四、证明题 1、前4个埃尔米特多项式为1， ，和，这些多项式是在研究数学物理中的某种重要的微分方程时产生的．证明这前4个埃尔米特多项式构成的一组基． 2、在中，令 证明： (1) 都是的子空间；(2) 3、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
证明：1、2皆为的子空间，且
第一专题 线性空间和线性变换 矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科《线性代数》教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。 §1 线性空间 一、线性空间的概念与性质 线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。 例 2 为了解线性方程组，我们讨论过以n 元有序数组)(21n ,a ,,a a 作为元素的n 维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： ),()()(22112121n n n n b ,a ,b ,a b a ,b ,,b b ,a ,,a a +++=+ ).()(2121n n ,ka ,,ka ka ,a ,,a a k = 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。
在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。 定义1 设F 是一个数集，其中包含0和1。如果F 中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是F 中的数，那么称F 为数域。 显然，全体实数集R 、全体复数集C 、全体有理数集Q 等都是数域。而全体正实数集+R ，全体整数集Z 等都不是数域。 定义2 设V 是一非空集合,F 是数域（本书特指实数域）,对V 中任意两个元βα,,定义一个加法运算,记为“+”:V ∈+βα（元βα+称为α与β的和）；定义一个数乘运算:F k V k ∈∈ ,α（元αk 称为k 与α的数积）。这两种运算（也称为V 的线性运算）,满足下列规则,则称V 为数域F 上的线性空间（或向量空间）。 加法满足下面四条规则： (1) αββα+=+； (2) )()(γβαγβα++=++； (3) 在V 中存在零元素0；对任何V ∈α，都有αα=+0； (4) 对任何V ∈α，都有α的负元素V ∈β，使0=+βα，记αβ-=； 数量乘法满足下面两条规则： (5) αα=1； (6) αα)()(λμμλ=； 数量乘法与加法满足下面两条规则； (7) μαλααμλ+=+)(；
向量空间的基与维数 结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基. (i)零向量可由唯一地线性表示； (ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示； (iii). 结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则 ，且. 例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间. 域F是F上向量空间，基是{1}，. C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，. R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里. 令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间. 1)1,线性无关： 设，. 则(否则，,矛盾)，因此. 2) 1,,线性无关： 设，，i=1,2,3 . ( 1 ) , 两端平方得 , 由于1,线性无关，故
假如，则，且，即. 矛盾. 因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而 将代入(1)，便得这说明1,,线性无关. 3) 1,,,线性无关： 设，，i=1,2,3,4 . 则有 . ( 2 ) 假如不全为零，则 得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得 又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关. 故{1,,,}是F的一个基.. 例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间. 对任意的正整数n，可证得线性无关： 设，使( 3 ) 取n+1个实数，使 a b. 由(3)知 . 即 其中
而 . 用左乘(4)两端，得 这说明线性无关. 故C[a,b]是R上无限维向量空间. 引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明 证对s作数学归纳. 当s=1 时，结论显然成立. 设，且对个V的不等于V的子空间结论成立. 下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在 1) 当时，，故； 2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在， 使（否则，如果,,…,，, , ,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样 ，故 例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基. 证取V的一个基，令. 对任意从中删 去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则 由引理知, 故存在 令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基. 设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基. 对任意，有 .
、单项选择题 R 3中下列子集( )不是R 3的子空间. C. w 3 {(X 1,X 2,X 3) R 3 | X 1 X 2 X 3) D 二、判断题 P nn 则W {A A P nn ,A 0)是V 的子空间. 2、已知V {(a bi,c di) a,b,c,d R)为R 上的线性空间，则维(V) =2. 3、 设线性空间 V 的子空间 W 中每个向量可由 W 中的线性无关的向量组 i , 2,|||, s 线性表出，则维 (W)= S 4、 设W 是线性空间V 的子空间，如果 ， V, W 且 W,则必有 W. 三、I .已知W { a b |a,b R) , W 2 ( a i 0 |a i ,^ R),是R 2 2的两个子空间，求 0 0 G 0 W i W 2,W i W 2的一个基和维数. 关于基{ i , 2, 3)的坐标为(i, 0, 2),由基{ i , 2, 3)到基{ i , 2, 3) 的过渡矩阵为i 0 0 ,求 关于基{ i , 2, 3)的坐标. 2 i 0 四、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，A p n n 且A 2 A, 记 W i {AX X P n ), W 2 (X X P n , AX 0), 1. 证明：W i ,W 2都是P n 的子空间; 2. 证明：P n W i W 2. 线性变换练习题 、填空题 线性空间练习题 A. w i ((X i ，X 2, X 3) R 3|x 2 1) 3 . w {(X i ,X 2,X 3) R |X 3 0) W 4 {( X i ,X 2,X 3) R 3 | X i X 2 X 3) i.设V 2.已知
向量空间的定义教案 (50分钟)
“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。
即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。
第一讲线性空间 一、线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1．线性空间的定义： 设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类] ∈时，有唯一的和（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 x y V （1）结合律()() ++=++； x y z x y z （2）交换律x y y x +=+； （3）零元律存在零元素o，使x+o x =；
（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号:
空间计量经济学模型 空间相关性是指 () ,i j y f y i j =≠即i y 与j y 相关 模型可表示为() (),1i j j i i y f y x i j βε=++≠ 其中，()f g 为线性函数，(1)式的具体形式为 () ()2,0,2i ij j i i i i j y a y x N βεεδ≠=++∑: 如果只考虑应变量空间相关性，则(2)式变为(3)式 ()()21 ,0,,1,2...3n i ij j i i i y W y N i n ρεεδ==+=∑: 式中 1 n ij j i W y =∑为空间滞后算子，ij W 为维空间权重矩阵n n W ?中的元素，ρ为待估的空间自相 关系数。0ρ≠，存在空间效应 (3)式的矩阵形式为() ()21, 0,4u n y Wy N I ρεδ?=: (4)式称为一阶空间自回归模型，记为FAR 模型 当在模型中引入一系列解释变量X 时，形式如下 () ()2,0,5n y Wy X N I ρβεεδ=++: (5)式称为空间自回归模型，记为SAR 模型 当个体间的空间效应体现在模型扰动项时有 () ()21,,0,6u n y X u u Wu N I βλεδ?=+=: （6）式成为空间误差模型，记为SEM 模型 当应变量与扰动项均存在空间相关时有 () ()2121,,0,7u n y W y X u u W u N I ρβλεεδ?=++=+: （7）式称为一般空间模型，记为SAC 模型 当0X =且20W =时，SAC →FAR ；当20W =时，SAC →SAR 当10W =时，SAC →SEM
第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ {
空间向量练习 1．在空间直角坐标系中，点()123P ，，关于平面xoz 对称的点的坐标是 A. ()123-，， B. ()123--，， C. ()123--，， D. ()123--，， 2．若直线l 的一个方向向量()2,2,2a =-v ，平面α的一个法向量为()1,1,1b =-v ，则 （ ） A. l ⊥α B. l l ?α D. A 、C 都有可能 3．以下四组向量中，互相平行的有（ ）组． （1）()1,2,1a =v ， ()1,2,3b =-v ．（2）()8,4,6a =-v ， ()4,2,3b =-v ． （3）()0,1,1a =-v ， ()0,3,3b =-v ．（4）()3,2,0a =-v ， ()4,3,3b =-v ． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4．若ABCD 为平行四边形，且()4,1,3A ， ()2,5,1B -， ()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为（ ）． A. ()1,13,3-- B. ()2,3,1 C. ()3,1,5- D. 7,4,12??- ??? 5．如上图，向量1e u v ， 2e u u v ， a v 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a v 用基底1e u v ， 2 e u u v 表示为( ) A. 1e u v ＋2e u u v B. 21e u v －2e u u v C. －21e u v ＋2e u u v D. 21e u v ＋2e u u v 6．已知A (4，6)， 33,2B ?? - ???，有下列向量：①()14,9a =v ；②97,2b ?? = ???v ；③14 ,33c ??=-- ???v ； ④()7,9c =-v 其中，与直线AB 平行的向量( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 7．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用，，表示，则等于( ) A. B. ) C. D. 8．已知向量()()2,1,3,4,2,a b x =-=-r r ，使a ⊥r b r 成立的x 与使//a r b r 成立的x 分别为（ ） A. 10,63- B. -10,63- 6 C. -6, 10,63- D. 6,- 10,63- 9．若a r =(2，3)， b r =()4,1y -+，且a r ∥b r ，则y =（ ） A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 10．已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-=r r ，以a b r r 、为邻边的平行四边形的面积（ ） A. 65 B. 65 C. 4 D. 8 11．如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r ，点M 在OA 上，且2OM MA =u u u u r u u u r ， N 为BC 中点，则MN u u u u r 等于（ ） A. 121232a b c -+ B. 211322a b c -++ C. 112223a b c +- D. 221332a b c +- 12．在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是 （ ） A. ()3,2,4-- B. ()3,2,4-- C. ()3,2,4-- D. ()3,2,4-
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；
（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使
x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性