{}12 3.11.:
(1)(1,1,1):-2-10;
(2)(1,2,0)(2,1,1):10;(3)2-0.
3
:(1),2,1,1,,
:2(1)(1)M x y z M M y x z x y n x y πππ
π++=--=+==----+-
习题写出下列平面的方程过点且平行于平面过点和且垂直于平面过轴且与平面的夹角为
解所求平面与平行故其法向量由点法式方程所求平面方程012(1)0,:220
(2):,{1,1,0}
{1,1,1},1101
1
1
,(1)(2)0,30
z x y z n n n i j k
M M n i j
x y x y π--=-+-==-=-∴=-=+--+-=+-=
即法一设所求平面的法向量为则由已知条件垂直于平面的法向量与由点法式方程所求平面方程为即法二:设所求平面方程为Ax+By+Cx+D=0将M 0{,,}20
{1,1,0}20
01 ,0,3
1 0,30.
3
(3),0,A B C A B D n A B C D A B A B D C D x D y D x y z A x B y ππ
++=??
=-+++=??-+=?-=-=-
+=+-=+= 12,M 的坐标代入,且由向量与平面的法向量垂直得方程组解得所求平面方程为1-即3
因平面过轴故可设其方程为因其与已知平面的夹角
为
0002
2
,
3
{,,0}{2,1,,
3
1
cos ,
32||||||||1 61660,33
303-0.
2.?.
n A B n n n n n A A B B
A B B
x y x y π
π∴==?∴===?∴+-==
-∴+== 其法向量与已知平面的法向量的夹角为即或平面或为所求下列图形有何特点画出其图形 (1)230;(2)0;(3)340.:(1),.
z y x y z xO y -==+-=解平面平行于面图形如下图
00000000000000000 (2),. (3),.
3.,(,,),.
:(,,){,,},, :
()()()0, xO z x y z x y z x y z x x x y y y z z z x x y y z -+-+-=++与面重合图形如下图平面过原点其图形如下图由原点向平面作垂线垂足为求此平面的方程解连结点与原点的向量可作为平面的法向量由平面的点法式方程得即2
2
2
0000.
4.(2,3,0),(1,1,2)(4,5,1),.
:{3,4,2},
45114531,3
4
2
14(2)5(3)310 14z x y z A B n A B i j k
n a A B i j k x y z =++--==-∴=?==---+---=
为所求平面方程平面过点且与向量a 平行求此平面的方程解法一平面的法向量与与a垂直由点法式方程得
即531430.
:0,,,-230
{,,}20,
45014435 .
433143:1453143x y z A x B y C z D A B A B D A B C a A B C D A B C A D B D C D x y z --+=+++=++=??
-++=??++=??=??
?
=-??
?
=-?
?--+=解法二设平面的一般式方程为将坐标代入并由其法向量与垂直可得方程组解得由此得平面方
程0.
5.1.
:,,,,1 ||,6
x y z a
b
c
O A B C O A B C V abc A B C O d +
+
==
=
求以平面
与三坐标轴的交点为顶点的三角形面积解法一设原点为平面与坐标轴的三个交点为则四面体的体积平面上的高为到平面的距离
3 :(,0,0),(0,,0),(0,0,),
{,,0},{,0,},111
||||0||222
0A B C V S d A a B b C c AB a b AC a c ABC i j k
S AB AC a b bci a c ∴?=
==-=-?=?=-=-
的面积解法二设所求平面与三个坐标轴的交点为则则的面
积
1212||
6.(2,0,8)2470,35230,.
:,,
124161411,
3
5
2
ac j ab k M x y z x y z n n n i j k
n n n i j k ππ++=
--+-=+-+=∴=?=-=-++-
平面过点且与二平面都垂直求的方程解法一所求平面的法向量与两已知平面的法向量都垂直由点法12 16(-2)-14-11(8)0,16-14-11-1200.
:0,,
,280
240
3520x y z x y z Ax By C z D M n n A A C D A B C A B C +==+++=-+=??
-+=??+-=?
式方程得所求平面方程为
即解法二设所求平面的一般式方程为将点的坐标代入由其法向量与两已知平面的法向量垂直可得方程组
解得1612014120111201614111200
D B D
C D x y z ?
=-??
?
=??
?=?
?
∴---=所求平面方程为
127.:3250:3230.
:(,,), :
:
x y z x y z x y z ππ-+-=--+==
求由平面与所成二面角的平分面方程解法一设平面上任一点的坐标为则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得从而得所求平面方程为121212 2380,4520.:, (3)(23)(21)350.
,,,.
x y z x y z x y z n ππλλλλππππ+-+=-+-=+-++-+-=
或解法二过平面的交线的平面束方程为
由于它为的平分面因此其法向量与的法向量有相等的夹角
得|(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|
11,
,4-5-202-380.
x y z x y z λ+++++++--==-+=++=解得或因此所求平面方程为或
12
121212112 3.41.1250 :12,:230
(1)://;(2);
(3).
:(1){1,2,1}, x x y l y l y z z l l l l l l l s l λλλ=+?--=??
=-+??
-+=??=?=
习题对于直线
与证明求与的距离求与所确定的平面方程解的方向向量的方向向量
221121222 210{2,4,2},2,012 //,//.
(2):(1,-3,0), (1)2(3)0,250, i j k s s s s s l l l A l x y z x y z =-==-∴-+++=+++=
得法一在上找一点过该点作垂直于的平面
即1112 12450,2 ,3
172
(,-,-).
333 ||.
:(1,1,0),l l B A B AB l C l λλλλ+-+++==-
=
-将的参数方程代入
解得从而得平面与的交点
则与的距离所求法二在上找一点上
找111121(1,-3,0),, cos sin |||||||| ||||sin (3):(1,1,0),(1,-3,0), A AC l s AC s AC d AC l C l A n s θθθθ?===-=?==-=
一点设与的夹角为则
而则所求距离法一在上找一点上找一点则平面的法向量
12121{2,0,2},
2
2(-1)-20,--10. :(1,1,0),(0,3,1),(1,3,0)
i j k
A C x z x z l C D l A ?==--==----
由点法式方程得即为所求法二在上找两点上找一点
12
0,,,30 0030 10.
2.:2330
20 ::10210
760
Ax By C z D A C D A B D A D A B D B B C D C D x z x y z x y l l x y x z +++=-+==-???
?
-+==????--+==??
--=-++=-=????
+-=+-=??设平面的一般式方程为将的坐标代入得方程组解得
从而得平面方程证明二直线
与1212111122212 ,,.
:213{30,3,21},{10,1,7},
1
10
(21,0,15),{1,2,7}, (0,0,6) l l l l i j k l s s l A l s l B l l l =-=-=--=-
相交并求出与的交点夹角以及与所确定的平面解法一的方向向量取在上找一点的方向向量上找一点从而得与的参数式方程1212
12
12121212121221102110:,:2,215767 2,1,,(1,2,1),1919
cos ,cos ,,,arccos ,
3030
x x y l y z z l l l l l l s s l l λλλλλλλλλλλλ=-=??-=??
?
==???
=???=-+=-?
?
==-<>=<>=∴<>= 令解得分别代入的参数方程得为的交点12121212121221 {21,63,21}
{1,3,1},(-21)3(15)0,3-60.
:,,,,,,0,,//, ,1,n s s n x y z x y z s s A B s s AB l l s s l l l l λ=?=---=+++=++=??=∴??=
平面的法向量取得平面方程即解法二同上则由知与共面而与相交将的参数式方程代入的第一个方程解得从 (1,2,-1),.
而得交点坐标其余同解法一
3. 3.2-3-6140,5.:2-3-60, 5,35,
236350
:(,,), x y z x y z D d D x y z A x y z O A +=+==
==±∴--±=
求与平求与平面平行且与坐标原点的距离为的平面方程解法一由已知条件可设平面的一般式方程为原点到平面的距离得平面方程为解法二设原点到平面垂线的垂足为由与已知平面法向量平行可设
5
{2,3,6},||||7||5,,
710
1530 ,,,
777 101530 2()-3()-6()0,2-3-6350.
7
7
7
4120
4.(3,1,4):2O A k k k O A k k A x y z x y z x y z M l x y =--===±??∴± ???±
±
=±=--+=-+-
由得的坐标为由点法式方程得平面方程即求点关于直线.
230
:(,,),11
4{6,6,3}2
1
2
{2,2,1},:2(-3)-2(-1)(4)0, 2-20.
(-5,7,0),2- z i j k
A x y z l s s M l x y z x y z l
B l x πλ??+=?=--=--=-++=+==
的对称点解法一设对称点的坐标为的方向向量取过作垂直于的平面为即在上找一点得的参数式方程58
,,
27
3158311548
(,,),,,,
333232323158
(,,),333311548
,,,2
32323
y x y z M A M A x y z πλλππ?=?=-+?++-===++-=
==代入平面得从而l与的交点为的中点即从而l与的交点为的中点即
从而
7728 (-
,,).333
31-4
:(,,),(,,)222442
{2,2,1}2221,
2207377728 ,(,,).
33332835.(3,1,2)x y z A x y z M A l M A
x y z l s x y z x y z x y z P ++--=-??
=-+-=-??-+=??=-??
?
=-??
?=?
?
得对称点坐标解法二设对称点为由的中点在上及与的方向向量垂直可得方程组解得得对称点为求
点1
:3,1,1,.:,3(-3)(-1)(-2)0,123-120,9-11-120,11
36123
(
,,)||111111
11
:(3,1,1)l x t y t z t P P l d P l x y z x y z l t t t t P P l d PP l A t t t '==-=+++=++=+++=='==
-+在直线上的投影并求点到的距离解法一过点作垂直于的平面其方程为即将的参数式方程代入得解得得投影点的坐标及到的距离解法二设上任一点的坐标
为,,12||,11
36123(
,,).
11
111111
P A PA t P l d =
==
=则的距离当时此距离取得最小值
即为到的距离从而得投影点坐标
6.2350:.
220:123{1,7,5},{1,7,5}.
2
1
1
11(0,1,1),.
17
5
:7-10,7-1005-x y z l x y z i j k l s s x y z l A l z x y x y xO y z l y x +--=??-++=?
=-=---=--+-==+=+=??
=?
求直线
的标准方程和在三个坐标面上的投影解的方向向量为取取上一点得直线标准方程
法一在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得11-10,5--10
05-7-120,5-7-120
:(21)(2)(-3)(2-5)0,{0,0,1},3,7-10,7-1z x z xO z y l x y z y z yO z x l x y z xO y k x y l xO y x y λλλλπλπ==??
=?==??
=?++-+++===+=+=
从而得在面上的投影在的一般式方程中消去得从而得在面上的投影法二过的平面束为其中与面垂直
的平面的法向量与垂直得从而得的方程从而得在面上的投影
05--10
,,00571200
x z xO z yO z z y y z x =????
==??--=??
=?同样方法可得其在面上的投影在面上的投影
121211112211127.:125721;;
,
2
3
4
3
2
2
.
1273:,23,22,541212730
,
23222
(1,x y z x y z l l x x l l y y z z l l l λλλ
λλλλλλλλλλ-+----====--=+=+???
?
=--=+????=+=-??
+=+=????--=+=-??证明直线与位于同一平面内并求这平面及两直线间的夹角解法一的参数式方程为解方程组得将代入的参数式方程得与的交
点1212121212122,5),
234{2,16,13},
3
2
2
2-16-13310,
8
cos ,cos(,)-8
,arccos .:,(1,2,5),(7,2,1),[,i j k l l n x y z l l s s l l l l A B s s -∴=-=--+=<>==?
?∴<>=-
?
-
与共面,平面的法向量由点法式方程得平面方程两直线间的夹角为其方向向量的夹角
解法二在上分别取两点121,]0,
,0,,,231
-25016720,,31234013312-16-13310,.
A B l l A x B y C z D A B l A D A B C D A B C D B D A B C C D x y z =∴+++=?=?++=??
??
+++==-??
??
-+=??
=-?
?
+=
与共面设平面一般式方程为将坐标代入且由其法向量与的方向向量垂直得方程组解得得平面方程其余与法一同
1221121212
128.7432152:
:
3
4
2
6
4
1
(1):;(2).:(1):,7321644,54,322732164454289289x y z x y z l l l l l l x x y y z z λλλλλλλλλλλλ+++-+-====---=-+=+???
?
=-+=--????=--=-?
?
-+=+??
-+=--??=??=-对于直线与证明它们不在同一平面上写出过且平行于的平面方程解法一的参数式方程为解得1212121212121212212,,,,.
//,.
:,(7,4,3),(21,5,2)342
,,6415070,.28
1
5
(2):(21,-5,2),34l l l l l l l l l l A B s s AB l l l B i j k
n s s λλ????∴-----??=--=-≠∴??
-=?=-
将代入的参数式方程知无公共交点而与不在同一平面上法二上分别取一点则与不共面法一取上点平面的法向量
212{12,9,36},{4,3,12}
6
4
1
4312930(21,5,2),(27,9,1).
0,
,,21520 2790,
3420493n x y z l B C Ax By C z D B C s A B C D A B C D A B C A =---=--++-=--+++=-++=??
-++=??+-=?
=-
取由点法式方程得平面方程在上取两点设平面的一般式方程为将的坐标代入且其法向量与垂直可得解得1,.4312930
31431D B D x y z C D ?
??
?
=-++-=??
?
=-?
?
代入得平面方程
2
2
22
1.,,||||1,,,4
||||||||
lim
:||||cos ||||,
4
2
()2||||
||||lim
lim
(||||||||)
(||||||||)
2||||
2
2.22,,x x x a b b a b a xb a x
a b a a a xb a
a bx x
b a x a xb a x a xb a a r a i j k j ππ→→→=<>=+-?=?=
+-?+∴===
=
++++=--复习题三
设均为非零向量且求
解原式设向量与共线与成锐角||||15,.
:,{,2,2},||||3||15.
5,,5,{5,10,10},
3.368,||||2,.
:,68{0,8,6},||||10|r r r a r k k k r k k r j k r p q i j k x p p p q x p q i k j
p k k p ==--===±∴=-=-=++=∴?=-+∴=-=
且求解由于与共线设得由与成锐角取得设向量和向量与轴都垂直且求向量解由于与和轴都垂直平行于设123123123123123123123186|2,,{0,,}.
5554.,,,:||||4,||||2,|||| 3.().
:,,,,,0()||||||||k k p ααααααααααααααααααααα==±=±===??∴=∴??=??
得从而设向量两两垂直且符合右手系规则计算解由于两两垂直且符合右手系规则12312121||||||||||||sin
24.
2
5.(1,1,1)(0,1,1)0,.
:,{1,0,2}{1,1,1}.
1022,2--0.
1
1
1
:M M x y z n M M n i j k n i j k x y z παααπππ=???=-++==--=∴=--=--=
平面过和且与平面垂直求的方程解法一由已知条件平面的法向量与和均垂直由点法式方程得平面方程解法二设120,,00,
0A x B y C z D M M A B C D B C D A B C π+++=+++=??
-+=??++=?
的一般式方程为将的坐标代入由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组
12212220:2--0.
6.:2310:0,.
:,(21)(13)(1)03211-31-0,,
2 8-A B C B
D x y z x y z x y z x y z x ππππππππλλλλπλλλλπ=-??
=??=?
=--+=++=++-+-+=+++==解得从而得的方程 平面过与的交线且与平面垂直求的方程解法一过的平面束方程为且由其法向量与的法向量垂直得解得从而得的方程
1211227-30.112:,2
3
5{2,3,5},2
35{8,7,1},1
1
1
8730.
::0,,(1,1,2),(1,2,3),
,y z x y z i
j k s n s n x y z Ax By C z D ππππππππππ+=++-==-=-=?=-=----+=+++=---
解法二化的交线为标准方程
其方向向量的法向量由点法式方程
得的方程解法三设的一般式方程为在的交线上找两点将其代入的方程且由与垂直可83
--20723030138730
3127.(1,-2,1):
.
2
3
4
A D A
B
C
D A B C D B D A B C C D x y z x y z A l π?=?++=??
??
+-+==-??
??
++=??
=-?
?--+=+-+=
=
-得方程组解得从而得的方程求点到直线的距离
32:::1324(1,2,1)(32,13,24):,:,2(-1)-3()4(-1)02(-1)x t l y t
z t A l t t t d d A l A l x y z z x =-+??
=-??=-+?
--+--+=
==
=++=解法一将写成参数方程点到上一点的距离为最小值为此即点到的距离
法二过点做一平面与垂直平面方程为求平面与直线的交
点1
-3(2)4(-1)0,:2,312
22341238.(1,2,3)(4,3,1),:2
1
1
.
::4(1)3(-2)(x y z y x y z z d x y z A l l A x y z αα=-?++=??
?
=-+-+??=-=?
?=??
=
=-+--==
=
+++解得故距离为求过点与向量垂直并与直线相交的
直线方程解关键是求出待求直线与已知直线的交点法一过点且与向量垂直的平面方程为-3)0:
4(1)3(-2)(-3)0
5510,(,,)123
333211123:
.
8
11
1
:(12,2,3),0,(22,-4,)(4,3,1)04(22)3(-4)0l x y z x y z x y z t t t A t t t t t t αα=+++=??
-?-+-==?
?+--==--+-++++=?++++=?此平面与的交点应满足求得交点为故待求直线方程为法二设待求之交点为此交点与的连线应与向量垂直即连线向量与之内积为即
1
5510
(,,)3333
123:.
8
11
1
t x y z =
?-+---
==-交点为故待求直线方程为
第一章 2. 如图所示，设小面源的面积为?A s ，辐射亮度为L e ，面源法线与l 0 的夹角为?s ；被照面的面积为?A c ，到面源?A s 的距离为l 0。若?c 为辐射在被照面?A c 的入射角，试计算小面源在?A c 上产生的辐射照度。 解：亮度定义: r r e e A dI L θ?cos = 强度定义:Ω Φ =d d I e e 可得辐射通量：Ω?=Φd A L d s s e e θcos 在给定方向上立体角为： 2 cos l A d c c θ?= Ω 则在小面源在?A c 上辐射照度为：2 cos cos l A L dA d E c s s e e e θθ?=Φ= 3.假如有一个按朗伯余弦定律发射辐射的大扩展源（如红外装置面对 的天空背景），其各处的辐亮度L e 均相同，试计算该扩展源在面积为A d 的探测器表面上产生的辐照度。 答：由θcos dA d d L e ΩΦ = 得θcos dA d L d e Ω=Φ，且() 2 2cos r l A d d +=Ωθ 则辐照度：()e e e L d r l rdr l L E πθπ =+=? ?∞ 20 0222 2 7.黑体辐射曲线下的面积等于等于在相应温度下黑体的辐射出射度M 。试有普朗克的辐射公式导出M 与温度T 的四次方成正比，即 M=常数4T ?。这一关系式称斯特藩-波耳兹曼定律，其中常数为5.67?10-8W/m 2K 4 解答：教材P9，对公式2 1 5 1 ()1 e C T C M T e λλλ= -进行积分即可证明。 第二章 3．对于3m 晶体LiNbO3，试求外场分别加在x,y 和z 轴方向的感应主折射率及相应的相位延迟（这里只求外场加在x 方向上） 解：铌酸锂晶体是负单轴晶体，即n x =n y =n 0、n z ＝n e 。它所属的三方晶系3m 点群电光系数有四个，即γ22、γ13、γ33、γ51。电光系数矩阵为： 第1.2题图
光电子技术安毓英习题答案-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第一章 1. 设在半径为R c 的圆盘中心法线上，距盘圆中心为l 0处有一个辐射强度为I e 的点源S ，如图所示。试计算该点源发射到盘圆的辐射功率。 解：因为 ΩΦd d e e I = ， 且 ()??? ? ??+- =-===Ω?22000212cos 12sin c R R l l d d r dS d c πθπ?θθ 所以??? ? ??+-=Ω=Φ220012c e e e R l l I d I π 2. 如图所示，设小面源的面积为A s ，辐射亮度为L e ，面源法线 与l 0的夹角为s ；被照面的面积为A c ，到面源A s 的距离为l 0。若c 为辐射在被照面A c 的入射角，试计算小面源在A c 上产生的辐射照度。 解：亮度定义: r r e e A dI L θ?cos = 强度定义:Ω Φ =d d I e e 可得辐射通量：Ω?=Φd A L d s s e e θcos 在给定方向上立体角为：2 cos l A d c c θ?= Ω 则在小面源在?A c 上辐射照度为：20 cos cos l A L dA d E c s s e e e θθ?=Φ= 3.假如有一个按朗伯余弦定律发射辐射的大扩展源（如红外装置面对的天空背景），其各处的辐亮度L e 均相同，试计算该扩展源在面积为A d 的探测器表面上产生的辐照度。 答：由θcos dA d d L e ΩΦ = 得θcos dA d L d e Ω=Φ，且() 2 2cos r l A d d +=Ωθ 则辐照度：()e e e L d r l rdr l L E πθπ =+=? ?∞ 20 0222 2 4. 霓虹灯发的光是热辐射吗？ l 0 S R c L e A s A c l 0 s c 第1.2题图
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 习题3 1.11101134032αβγαβαβγ ===-+-设（，，），（，，），（，，），求和 1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解：（，，）（，，）（，，） （，，）（，，）（，，）（，，） 1231232.32525131015104111αααααααααα -++=+===-设（）（）（），其中（，，，） （，，，），（，，，），求1231233251 32561 [32513210151054111] 6 1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解：因为（）（）（），所以（）， 所以（，，，）（，，，）（，，，）（，，，） 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有（，，，），（，，，），（，，，）， （，，，），（，，，）试将表示成的线性组合。 123412341234123412341234 1211 5111 ,,,; 4444 5111 4444 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=??+--=? ?-+-=??--+=?===-=-=+--解：因为线性方程组的解为 所以得： 1234.111112313) t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性 （）（，，），（，，），（，， 111 1235, 1355t t t t =-=≠解：因为所以，当时，向量组线性相关，当时线性无关。 . 323232.5213132321321的线性相关性， ，线性无关，讨论，，设αααααααααααα++++++ . 0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得：解：设 3.在未加偏置电压的条件下，由于截流子的扩散运动，p 区和n 区之间的pn 结附近会形成没有电子和空穴分布的耗尽区。在pn 结附近，由于没有电子和空穴，无法通过电子-空穴对的复合产生光辐射。加上正向偏置电压，驱动电流通过器件时，p 区空穴向n 区扩散，在pn 结附近形成电子和空穴同时存在的区域。电子和空穴在该区通过辐射复合，并辐射能量约为Eg 的光子，复合掉的电子和空穴由外电路产生的电流补充。 5要满足以下条件a 满足粒子数反转条件，即半导体材料的导带与价带的准费米能级之差不小于禁带宽度即B.满足阈值条件，半导体由于粒子数产生的增益需要能够补偿工作物质的吸收、散射造成的损耗，以及谐振腔两个反射面上的透射、衍射等原因产生的损耗。即 第二章课后习题 1、工作物质、谐振腔、泵浦源 2、粒子数反转分布 5a.激光介质选择b.泵浦方式选择c 、冷却方式选择d 、腔结构的选择e 、模式的选择f 、整体结构的选择 第三章课后习题 10.要求：对正向入射光的插入损耗值越小越好，对反向反射光的隔离度值越大越好。原理：这种光隔离器是由起偏器与检偏器以及旋转在它们之间的法拉第旋转器组成。起偏器将输入光起偏在一定方向，当偏振光通过法拉第旋转器后其偏振方向将被旋转45度。检偏器偏振方向正好与起偏器成45度，因而由法拉第旋转器出射的光很容易通过它。当反射光回到隔离器时，首先经过起偏器的光是偏振方向与之一至的部分，随后这些这些光的偏振方向又被法拉第旋转器旋转45度，而且与入射光偏振方向的旋转在同一方向上，因而经过法拉第旋转器后的光其偏振方向与起偏器成90度，这样，反射光就被起偏器所隔离，而不能返回到入射光一端。 15.优点：A 、采用光纤耦合方向，其耦合效率高；纤芯走私小，使其易于达到高功率密度，这使得激光器具有低的阈值和高的转换效率。B 、可采用单模工作方式，输出光束质量高、线宽窄。C 、可具有高的比表面，因而散热好，只需简单风冷即可连续工作。D 、具有较多的可调参数，从而可获得宽的调谐范围和多种波长的选择。E 、光纤柔性好，从而使光辉器使用方便、灵巧。 由作为光增益介质的掺杂光纤、光学谐振腔、抽运光源及将抽运光耦合输入的光纤耦合器等组成。 原理:当泵浦激光束通过光纤中的稀土离子时，稀土离子吸收泵浦光，使稀土原子的电子激励到较高激发态能级，从而实现粒子数反转。反转后的粒子以辐射跃迁形式从高能级转移到基态。 g v c E F F 211ln 21R R L g g i th 第一章 1. 设在半径为R c 的圆盘中心法线上，距盘圆中心为l 0处有一个辐射强度为I e 的点源S ，如图所示。试计算该点源发射到盘圆的辐射功率。 解：因为 ， 且 ()??? ? ??+- =-===Ω?22000212cos 12sin c R R l l d d r dS d c πθπ?θθ 所以??? ? ??+-=Ω=Φ220012c e e e R l l I d I π 2. 如图所示，设小面源的面积为?A s ，辐射亮度为L e ，面源法线 与l 0的夹角为θs ；被照面的面积为?A c ，到面源?A s 的距离为l 0。若θc 为辐射在被照面?A c 的入射角，试计算小面源在?A c 上产生的辐射照度。 解：亮度定义: 强度定义:Ω Φ =d d I e e 可得辐射通量：Ω?=Φd A L d s s e e θcos 在给定方向上立体角为：2 0cos l A d c c θ?= Ω 则在小面源在?A c 上辐射照度为：20 cos cos l A L dA d E c s s e e e θθ?=Φ= 3.假如有一个按朗伯余弦定律发射辐射的大扩展源（如红外装置面对的天空背景），其各处的辐亮度L e 均相同，试计算该扩展源在面积为A d 的探测器表面上产生的辐照度。 答：由θcos dA d d L e ΩΦ = 得θcos dA d L d e Ω=Φ，且() 2 2cos r l A d d +=Ωθ 则辐照度：()e e e L d r l rdr l L E πθπ =+=? ?∞ 20 0222 2 4. 霓虹灯发的光是热辐射吗？ ΩΦd d e e I = r r e e A dI L θ?cos = 第1.1题图 第1.2题图 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 1.1可见光的波长、频率和光子的能量范围分别是多少？ 波长：380~780nm 400~760nm 频率：385T~790THz 400T~750THz 能量：1.6~3.2eV 1.2辐射度量与光度量的根本区别是什么？为什么量子流速率的计算公式中不能出现光度量？ 为了定量分析光与物质相互作用所产生的光电效应，分析光电敏感器件的光电特性，以及用光电敏感器件进行光谱、光度的定量计算，常需要对光辐射给出相应的计量参数和量纲。辐射度量与光度量是光辐射的两种不同的度量方法。根本区别在于：前者是物理（或客观）的计量方法，称为辐射度量学计量方法或辐射度参数，它适用于整个电磁辐射谱区，对辐射量进行物理的计量；后者是生理（或主观）的计量方法，是以人眼所能看见的光对大脑的刺激程度来对光进行计算，称为光度参数。因为光度参数只适用于0.38~0.78um的可见光谱区域，是对光强度的主观评价，超过这个谱区，光度参数没有任何意义。而量子流是在整个电磁辐射，所以量子流速率的计算公式中不能出现光度量.光源在给定波长λ处，将λ～λ+dλ范围内发射的辐射通量dΦe，除以该波长λ的光子能量hν，就得到光源在λ处每秒发射的光子数，称为光谱量子流速率。 1.3一只白炽灯，假设各向发光均匀，悬挂在离地面1.5m的高处，用照度计测得正下方地面的照度为30lx，求出该灯的光通量。 Φ=L*4πR^2=30*4*3.14*1.5^2=848.23lx 1.4一支氦-氖激光器（波长为63 2.8nm ）发出激光的功率为2mW 。该激光束的平面发散角为1mrad,激光器的放电毛细管为1mm 。 求出该激光束的光通量、发光强度、光亮度、光出射度。 若激光束投射在10m 远的白色漫反射屏上，该漫反射屏的发射比为0.85，求该屏上的光亮度。 32251122()()()6830.2652100.362()()22(1cos )()0.362 1.15102(1cos )2(1cos 0.001) 1.4610/cos cos cos 0()0.3v m e v v v v v v v v v v v K V lm d I d S Rh R R I cd dI I I L cd m dS S r d M dS λλλλλππθλπθπθθπλ-Φ=Φ=???=Φ?Φ= =Ω?Ω ??Ω===-?Φ===?--??= ===??Φ==52262 4.610/0.0005 lm m π=??'2' ''22 2' '2'2'100.0005(6)0.850.850.85cos 0.85155/cos 2v v v v v v v v l m r m P d r M E L dS l r L d dM l L cd m d dS d πθπθπ=>>=Φ===??Φ====ΩΩ 1.6从黑体辐射曲线图可以看书，不同温度下的黑体辐射曲线的极大值处的波长 随温度T 的升高而减小。试用普朗克热辐射公式导出 常数=T m λ 式这一关系式称为维恩位移定律中，常数为-。 普朗克热辐射公式求一阶导数，令其等于0，即可求的。教材P8 2.1什么是光辐射的调制？有哪些调制的方法？它们有什么特点和应用？ 光电子技术基础考试题及答案 一、选择题 1.光通量的单位是（ B ）. A.坎德拉 B.流明 C.熙提 D.勒克斯 2. 辐射通量φe的单位是（ B ） A 焦耳 (J) B 瓦特 (W) C每球面度 (W/Sr) D坎德拉(cd) 3.发光强度的单位是（ A ）. A.坎德拉 B.流明 C.熙提 D.勒克斯 4.光照度的单位是（ D ）. A.坎德拉 B.流明 C.熙提 D.勒克斯 5.激光器的构成一般由（ A ）组成 A.激励能源、谐振腔和工作物质 B.固体激光器、液体激光器和气体激光器 C.半导体材料、金属半导体材料和PN结材料 D. 电子、载流子和光子 6. 硅光二极管在适当偏置时，其光电流与入射辐射通量有良好的线性关系，且动态范围较大。适当偏置是（D） A 恒流 B 自偏置 C 零伏偏置 D 反向偏置 7.2009年10月6日授予华人高锟诺贝尔物理学奖，提到光纤以SiO2为材料的主要是由于（ A ） A.传输损耗低 B.可实现任何光传输 C.不出现瑞利散射 D.空间相干性好 8.下列哪个不属于激光调制器的是（ D ） A.电光调制器 B.声光调制器 C.磁光调制器 D.压光调制器 9.电光晶体的非线性电光效应主要与（ C ）有关 A.内加电场 B.激光波长 C.晶体性质 D.晶体折射率变化量 10.激光调制按其调制的性质有（ C ） A.连续调制 B.脉冲调制 C.相位调制 D.光伏调制 11.不属于光电探测器的是（ D ） A.光电导探测器 B.光伏探测器 C.光磁电探测器 D.热电探测元件 https://www.doczj.com/doc/da5090443.html,D 摄像器件的信息是靠（ B ）存储 A.载流子 B.电荷 C.电子 D.声子 13.LCD显示器，可以分为（ ABCD ） A. TN型 B. STN型 C. TFT型 D. DSTN型 14.掺杂型探测器是由（ D ）之间的电子-空穴对符合产生的，激励过程是使半导体中的载 流子从平衡状态激发到非平衡状态的激发态。 A.禁带 B.分子 C.粒子 D.能带 15.激光具有的优点为相干性好、亮度高及（ B ） A色性好 B单色性好 C 吸收性强 D吸收性弱 16.红外辐射的波长为（ D ）. A 100-280nm B 380-440 nm C 640-770 nm D 770-1000 nm 17.可见光的波长范围为（ C ）. 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 线性代数练习题答案三 一、温习巩固 ?x1?2x2?x3?x4?0? 1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0 234?1 解：化系数矩阵为行最简式 ?121?1??120-1? ??行变换??A??36?1?3??????0010? ?5101?5??0000????? 因此原方程同解于? ?x1??2x2?x4 令x2?k1,x4?k2，可求得原方程的解为 x3?0? ??2??1?????1???0? x?k1???k2??，其中k1,k2为任意常数。 00?????0??1????? ?4x1?2x2?x3?2 ? 2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?8 12? 解：把增广矩阵化为阶梯形 ?42?12??13?3?8??13-3-8? ??r1?r2??行变换?? ??3?1210??????3?1210??????0-101134? ?113?113?0008?08?0-6??????? 因此R?2?R?3，所以原方程组无解。 3. 设??,??。求向量?，使2??3???。 解：?? 151?? ???3,,0,??33?? 4. 求向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的 秩和一个极大线性无关组。 解：将?1,??5作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?1???1A?? 2??4? 二、练习提高⒈ 判断题 03130?11722140 2??1??1??0???50?? ?6???0 312 312??1 303??0 ???1010?? ?2?4?2???0 100 312? ? 101? ?000? 0?4?4?? 所以向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组。 ⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。⑵ 设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组，则 若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解。若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多解。若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解。 ?A ⑶ 设A为n阶矩阵，?是n维列向量，若R???T ? ?A???T? 第一章 2. 如图所示，设小面源的面积为?A s ，辐射亮度为L e ，面源法线与l 0 的夹角为θs ；被照面的面积为?A c ，到面源?A s 的距离为l 0。若θc 为辐射在被照面?A c 的入射角，试计算小面源在?A c 上产生的辐射照度。 解：亮度定义: r r e e A dI L θ?cos = 强度定义:Ω Φ =d d I e e 可得辐射通量：Ω?=Φd A L d s s e e θcos 在给定方向上立体角为： 2 cos l A d c c θ?= Ω 则在小面源在?A c 上辐射照度为：2 cos cos l A L dA d E c s s e e e θθ?=Φ= 3.假如有一个按朗伯余弦定律发射辐射的大扩展源（如红外装置面对 的天空背景），其各处的辐亮度L e 均相同，试计算该扩展源在面积为A d 的探测器表面上产生的辐照度。 答：由θcos dA d d L e ΩΦ = 得θcos dA d L d e Ω=Φ，且() 2 2cos r l A d d +=Ωθ 则辐照度：()e e e L d r l rdr l L E πθπ =+=? ?∞ 20 0222 2 7.黑体辐射曲线下的面积等于等于在相应温度下黑体的辐射出射度M 。试有普朗克的辐射公式导出M 与温度T 的四次方成正比，即 M=常数4T ?。这一关系式称斯特藩-波耳兹曼定律，其中常数为 5.6710-8W/m 2K 4 解答：教材P9，对公式2 1 5 1 ()1 e C T C M T e λλλ=-进行积分即可证明。 第二章 3．对于3m 晶体LiNbO3，试求外场分别加在x,y 和z 轴方向的感应主折射率及相应的相位延迟（这里只求外场加在x 方向上） 解：铌酸锂晶体是负单轴晶体，即n x =n y =n 0、n z ＝n e 。它所属的三方晶系3m 点群电光系数有四个，即γ22、γ13、γ33、γ51。电光系数矩阵为： L e ?A s ?A c l 0 θs θc 第1.2题图 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1) 色温是指在规定两波长处具有与热辐射光源的辐射比率 相同的黑体的温度 2) 自发跃迁是指处于高能级的粒子自发地跃迁到低能级上。 受激跃迁是指由于外界辐射场作用而产生的粒子能级间的跃迁。 3) 受激辐射下光谱线展宽的类型分为均匀展宽和非均匀展宽，其中 均匀展宽有自然展宽、碰撞展宽、热振动展宽，非均匀展宽有多普勒展宽、残余应力展宽。 4) 常见的固体激光器有红宝石激光器、钕激光器、钛宝石激光器（写 出两种），常见的气体激光器有He-Ne激光器、Ar激光器、CO2激光器（写出两种）。 5) 光是一种以光速运动的光子流，光子和其它基本粒子一样，具有 能量、动量和质量；其静止质量为零。 6) 激光与普通光源相比具有如下明显的特点：方向性好、单色性好、相干性好、强度大 7) 简述光子的基本特性。 答：1、光子能量E与光波频率v对应：E=hv 2、光子具有运动质量m，m=E/c2=hv/c2 3、光子的动量与单色平面波矢对应：P=?k 4、光子具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振方向 5、光子具有自旋性，并且自旋量子数为整数 8) 简述激光产生的条件、激光器的组成及各组成部分的作用。 答：必要条件：粒子数反转分布和减少振荡模式数 充分条件：激光在谐振腔内的增益要大于损耗 稳定振荡条件：增益饱和效应 组成：工作物质、泵浦源、谐振腔 作用：工作物质：在这种介质中可以实现粒子数反转 泵浦源：将粒子从低能级抽运到高能级的装置 谐振腔：1、使激光具有极好的方向性 2、增强光放大作用 3、使激光具有极好的单色性 1)声波在声光晶体中传播会引起晶体中的质点按声波规律在平衡位置振动，按照声波频率的高低以及声波和光波作用的长度不同，声光相互作用可以分为拉曼-纳斯衍射，布喇格衍射两种类型。 2) 磁光效应是指外加磁场作用所引起的材料光学各项异性，法拉第磁光效应的规律（1）对于给定的介质，光振动面的旋转角与样品的长度和外加的磁感应强度成正比（2）光的传播方向反转时，法拉第旋转的左右方向互换。 3) 电致折射率变化是指晶体介质的介电系数与晶体中的电荷分布有关，当晶体被施加电场后，将引起束缚电荷的重新分布，并导致离子晶格的微小型变，从而引起介电系数的变化，并最终导致晶体折射率变化的现象。 4) 光纤色散的主要危害是使脉冲信号展宽，限制了光纤的宽带或传输容量，多模光纤的色散主要有模色散、材料色散、波导色散 第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1 7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1 ·107· 第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L T 11,,. n μμ=B M BM L 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == ++∑L ，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ= 线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( ) 第三章 紫外－可见吸收光谱法 1、已知丙酮的正己烷溶液的两个吸收峰 138nm 和279nm 分别属于л→л*跃迁和n →л * 跃迁，试计算л、n 、л*轨道间的能量差，并分别以电子伏特（ev ），焦耳（J ）表示。 解：对于л→л*跃迁，λ1＝138nm ＝1.38×10－7m 则ν＝νC ＝C/λ1=3×108/1.38×10－7=2.17×1015s -1 则E=hv=6.62×10-34×2.17×1015=1.44×10-18J E=hv=4.136×10－15×2.17×1015＝8.98ev 对于n →л* 跃迁，λ2＝279nm ＝2.79×10－7 m 则ν＝νC ＝C/λ1=3×108/2.79×10－7=1.08×1015s -1 则E=hv=6.62×10-34×1.08×1015=7.12×10-19J E=hv=4.136×10－15×1.08×1015＝4.47ev 答：л→л*跃迁的能量差为1.44×10-18J ，合8.98ev ；n →л*跃迁的能量差为7.12×10-19J ，合4.47ev 。 3、作为苯环的取代基，－NH 3＋不具有助色作用，－NH 2却具有助色作用；－DH 的助色作用明显小于－O －。试说明原因。 答：助色团中至少要有一对非键电子n ，这样才能与苯环上的л电子相互作用产生助色作用，由于－NH 2中还有一对非键n 电子，因此有助色作用，而形成－NH 3＋基团时，非键n 电子消失了，则助色作用也就随之消失了。 由于氧负离子O －中的非键n 电子比羟基中的氧原子多了一对，因此其助色作用更为显著。 4、铬黑T 在PH<6时为红色（m ax λ＝515nm ），在PH ＝7时为蓝色（m ax λ＝615nm ）， PH ＝9.5时与Mg 2＋形成的螯合物为紫红色（m ax λ＝542nm ），试从吸收光谱产生机理上给予解释。（参考书P23） 解: 由于铬黑T 在PH<6、PH ＝7、PH ＝9.5时其最大吸收波长均在可见光波长围，因此所得的化合物有颜色，呈吸收波长的互补色。由于当PH<6到PH ＝7到PH ＝9.5试，最大吸收波长有m ax λ＝515nm 到m ax λ＝615nm 到m ax λ＝542nm ，吸收峰先红移后蓝移，因此铬黑T 在PH<6时为红色，PH ＝7时为蓝色，PH ＝9.5时为紫红色。 5、4－甲基戊烯酮有两种异构体： （左图） 和 实验发现一种异构体在235nm 处有一强吸收峰（K ＝1000L ? mol －1? cm －1），另一种异构线性代数习题3答案(高等教育出版社)
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