排列组合
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
1.理解排列组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.
3.熟练掌握排列、组合的性质.
4.能解决简单的实际问题.
1.排列与组合的概念:
(1)排列:_____________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.
○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.
○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.
○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.
○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.
○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列.
(2)组合：___________________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.
注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.
○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合.
○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.
○4根据定义区分排列问题、组合问题.
2.排列数与组合数：
(1)排列数的定义:_______________________________________________________________叫做
A表示.
从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号m
n
(2)组合数的定义:______________________________________________________________叫做
从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.
3.排列数公式与组合数公式：
(1)排列数公式：_________________________________
(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示.
○
1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列. ○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.n
n
A n = ○3由此排列数公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L (1)(2)(1)()21()21n n n n m n m n m ?-?-??-+?-???=-???L L L !.()!
n n m =- 所以!.()!
m n n A n m =- (3)组合数公式:________________________________
(4)组合数的两个性质:
性质1：.m n m n n
C C -= 性质2：11.m m
m n n n C C C -+=+
类型一.排列的定义
例1：判断下列问题是不是排列，为什么？
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.
(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.
练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？
(1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.
(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程22
22 1.x y a b
-=
类型二.组合的定义
例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A ={a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？
(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？
类型三.排列数与组合数
例3：计算下列各式.
(1)57;A (2)212;A (3)7
7.A
练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( )
A.2m A
B.21m A
C.2020m A +
D.21
20m A + 例4：计算98100C
练习2：计算972959898982C C C ++
类型四.排列问题
例５：3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
练习1：3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
类型五.组合问题
例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？
练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？
类型六.排列与组合综合问题
例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？
练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )
A.36个
B.24个
C.18个
D.6个
1.89×90×91×…×100可表示为( )
A.10100A
B.11100A
C.12100A
D.13100A 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( )
A.5
B.6
C.7
D.8
３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )
A.36
B.120
C.720
D.1440
４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )
A.720种
B.360种
C.240种
D.120种
５.若266,x C C =则x 的值是( )
A.2
B.4
C.4或2
D.0 ６.1171010r r C C +-+可能的值的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( )
A.222574C C C ++
B.222
574C C C C.222574A A A ++ D.216C 8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )
A.90种
B.180种
C.270种
D.540种
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基础巩固
1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )
A.10人
B.8人
C.6人
D.12人
2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( )
A.1334A A
B.2343C A
C.3242C A
D.132
442C C C 3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( )
A.3538A A
B.5354A A
C.5355A A
D.53
56A A 4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片.
5.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.
6.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.
7.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的
分配方案.
8.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.
能力提升
1.(2015四川卷)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A.144个
B.120个
C.96个
D.72个 2.(2014四川卷)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这
些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.60条
B.62条
C.71条
D.80条
3.（2014辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )
A.56个
B.57个
C.58个
D.60个
5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)
6.(2014北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种.
7.(2015上海卷)在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．
8.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？
1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：1 1C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =） 知识内容 排列组合问题的常用方法总 结2
二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
数学广角 一、教学内容： 人教版<义务教育课程标准实验教科书数学>第三册第99页例1：简单的排列、组合 二、教学目标与策略选择： 本节课我力图从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面出发，有效地整合教学目标，体现以“学生发展为本”的理念。因些，我制定了以下教学目标： 1、学生通过观察、猜测、操作等活动，能找出最简单的事物的排列数和组合数。 2、学生形成初步的观察、分析能力及有序地、全面地思考问题的意识。 3、通过活动学生形成一定的合作交流意识，感受数学与生活的紧密联系，树立学生学好数学的信心。 鉴于以上的目标定位，本课设计时基于“在教学中要以人为本，强调要从儿童的经验出发，借助一定的数学问题情境和探究性的实践活动，让学生在数学活动中，用数学的眼光去观察事物，用数学的方式去思考问题，用数学的语言去解释现象，用数学的观点去认识世界……从而使学生有效地学会数学地思考。”的总体思路。为此，主要采取了以下教学策略： 1、创设生动有趣的教学情景。 2、采用活动化的教学方式。 ……
…… 师：好，下面我们就来研究这个问题，请同学们试着写一写，如果你觉得直接写有困难的话可以借助手中的数字卡片摆一摆。在摆之前，想一想怎样摆才能既不重复也不遗漏，每摆出1个两位数就把它写在你的本子上。开始。 生：摆、写数活动 师：好，三人小组交流一下： 1、你是怎么摆的？ 2、推荐一种好的摆法，准备汇报，在汇报时说一说你小组为什么要推荐这种方法，它好在哪里？ 生：小组交流、推荐 师：我想，每个小组都已推出一种好方法。哪个小组愿意来汇报。 师：你们组是怎么摆的，请上来边摆边说边写 生:我们组摆出12，然后再颠倒就是21；再摆23，颠倒后是32；再摆13，颠倒后是31。一共可以摆出
高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法
、排列与组合 1 人下乡演出， 1 人在本地演出，有多少种不同选派方 2 名男同学和 1 名女同学分别参加全校“资源”、 态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有 90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学 5人，女同学 3人 D. 男同学 6人，女同学 2人 4. 一条铁路原有m 个车站，为了适应客运需要新增加 n 个车站（n>1），则客运车票增加了 58 种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 5．用 0， 1 ， 2， 3， 4， 5 这六个数字， 可以组成多少个数字不重复的三位数 可以组成多少个数字允许重复的三位数 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数 可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数 排列组合》 1. 从 9 人中选派 2 人参加某一活动， 有多少种不同选法 2.从 9人中选派 2人参加文艺活动， 3. 现从男、女 8 名学生干部中选出
5）可以组成多少个大于3000，小于5421 的数字不重复的四位数二、注意附加条件人排成一列（1 ）甲乙必须站两端，有多少种不同排法 2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法 2. 由1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复数字且是 6 的倍数的五位数 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列 起来，第379 个数是 .4175 4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5 的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 5.从编号为1, 2,…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有 编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 6.从6双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有1 双同色的取法有
二年级上册排列组合专题讲解 题型一：衣裙搭配 美羊羊为了参加比赛，她准备了2件上衣和2条裙子，你们猜一猜会有几种不同的穿法？ 题型二：排数问题： 用0、1、2可以组成几个不同的两位数？用2、3、4中的两个数组成两位数有多少种? 为什么用2、3、4中的两个数组成两位数有6种，用0、1、2中的两个数组成两位数却只有4种？ 题型三：比赛场数 比赛快开始了，沸羊羊、懒羊羊、喜羊羊三位运动员进场了，村长遇到了个难题，“每两只羊进行一场比赛，一共要比几场呢？ 排数时用了3个数字，比赛时也是3个选手，为什么得到的结果不一样呢？ 小结：两个人比赛，只能算一次，和顺序无关。排数，交换数字的位置，就变成另一个数了，这和顺序有关。 题型四：握手次数、打电话问题 比赛即将结束了，喜羊羊获得了冠军，沸羊羊获得了亚军，懒羊羊获得了季军，在颁奖典礼上沸羊羊、懒羊羊、喜羊羊三只小羊要相互握手祝贺对方。那么这三只小羊，每两只小羊握一次手，一共需要握几次？ 如果他们三个打算合影照相，排队站成一排，请问一共有多少种不同的站法？ 一、摆一摆、写一写。 (1)用2、3、4能摆成( )个两位数，它们分别是( )。 (2)用0、3、5能摆成( )个两位数，它们分别是( )。 二、每两人进行一场比赛，四个人一共要比赛几场? 三、下面有4种球，每班可以借其中的两种，有多少种不同的搭配方法?(把它们的编号写在横线上) ①②③④
四、东东的口袋里装了一枚1元、一枚5角和一枚1角的硬币，随便从口袋拿出两枚硬币， 拿出来的硬币有几种可能? 排队问题 二、做一做： 从前往后数，小红排在第7位，从后往前数，小红排在第5位，请问这一排一共有多少位小朋友？ 2、从前往后数，小红排在第5位，从后往前数，小红排在第8位，请问这一排一共有多少位小朋友？ 3、从前往后数，小红排在第8位，从后往前数，小红排在第3位，请问这一排一共有多少位小朋友？ 4、从前往后数，小红排在第6位，从后往前数，小红排在第2位，请问这一排一共有多少位小朋友？
高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、高考考试说明 计数原理 （１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． （２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： １．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． ２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 １．排列与排列数 （１）排列： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个排列． （２）排列数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!. ２．组合与组合数 （１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． （２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!. ３．排列数、组合数的公式及性质 注意： １．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． ２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）． ３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． ４．排列问题与组合问题的识别方法：
生活中有很多的排列组合问题，只要我们按一定的顺序来排，理解题意结合卡片和学具，通过摆一摆、排一排的动手操作，不重复、不漏排就一定能解决这些问题。 排列和组合的不同：在排列的时候要注意每个数排列的顺序，而组合跟顺序无关，并且重复的就不用再排列了。 【例1】 猜一猜这三道门的密码可能会是哪些数呢？ （1）第一道门：这道门的密码是由和 这两个数字组成的两位数，密码可能会是哪些数呢？ （2）第二道门：这道门的密码是由这三个数字组成的两位数，密码可能是哪些数 呢？ （3）第三道门：这道门的密码是由这三个数字排成的三位数，密码可能会是哪些 数呢？ 【例2】 小朋友们真聪明，开启了聪明屋的大门.过关了小明、小刚、小华也互相握手表示祝贺，想一想如 果每两个小朋友握一次手，他们一共要握几次手？ 【例3】 玲玲在超市买了两件衣服、两条裤子、一条裙子.请帮玲玲搭配一下，她有几种不同的穿法？ 例题精练 知识框架 第12讲 我来排一排 发现不同
【例4】 小红在商店买了下面的几种早点，饮料和点心只能各选一种，你觉得可以怎样搭配？一共有几种 方法？ 【例5】 每两个人通一次电话，四个小朋友一共可以通多少次话？用线连一连. 【例6】 小敏从家到学校，一共可以走多少条路？ 【随练1】 小明有2件不同外套，4条不同棉裤，3双不同鞋，他有几种不同的穿法？ 课下练习
【随练2】小英、小兰、小北、小月四个人照相，小英一定要站在最旁边，她们一共有多少种不同的照法? 【随练3】军军、玲玲、小刚三个人打乒乓球，每两个人要进行一场比赛，一共要比几场？ 【随练4】三个小朋友排队做操，他们一共有多少种排队的方法呢？ 【随练5】全区五所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场? 中关村一小北大附小中关村二小人大附小中关村三小
二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 Teaching case of mathematics simple permut ation and combination
二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例2篇 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 2、篇章2：《简单的排列组合》教学案例分析 篇章1:二年级上册数学《简单的排列组合》教学案例 【背景】 为了进一步提高课堂效率，提升学生学习力，逐步落实数学课堂与“学习力”相结合的自学为主课堂教学模式，提升青年教师的整体素质，进步培养青年教师良好的教学能力。我们二年级数学组于XX年10月开展了全员赛课活动，并取得了良好效果。本篇教案集授课教师努力及组内教师智慧，较能体现学校的主流教学模式，是一篇优秀的案例。
【教材简析】 本节课的内容是数学二年级上册数学广角例1简单的排列与 组合。排列和组合的思想方法应用得很广泛，是学生学习概率统 计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好 素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它 通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。 教材的例1通过2个卡片的排列顺序不同，表示不同的两位数，属于排列知识，而简单的排列组合对二年级学生来说都早有 不同层次的接触，如用1、2两个数字卡片来排两位数，学生在一 年级时就已经掌握了。而对1、2、3三个数字排列成几个两位数，也有不少学生通过平时的益智游戏都能做到不重复、不遗漏地排列。针对这些实际情况，在设计本节课时，根据学生的年龄特点 处理了教材。整堂课坚持从低年级儿童的实际与认知出发，以 “感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念， 结合实践操作活动，让学生在活动中学习数学，体验数学。 【教学目标】 1．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的排 列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、 分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探 究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。
1.现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务的方法种数为（）A．48B．30 C．36 D．32 2.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 1.将3封信投入3个信箱，可能的投放方法共有种 A.1 B．6 C．9 D．27 2.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A．81B．64C．48D．24 3. 今4本不同的书放入2个不同的大抽屉中，共有不同的放法为（） A．6种；B．8种；C．16种；D．20种； 4.若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有A． 3 4 A B．34 C C．34 D． 43 5. 4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）A．34B．43C．24D．12 6.在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种. A． 3 4 A B．34 C C．34 D． 43 7.将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）A．81B．64C．12D．14 8.有5位同学想参加语文、数学、外语三种课外兴趣小组,每人只能报一项,则有( )种不同的报名方式. A．8种B．15种C． 5 3种D．35种 9. 6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。 10.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ （2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？ 11. 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为：A． 5 3B．35C．35 A D．35 C 12. 5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是A． 3 5B．53C．5×4×3 D．5×4 13.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加项目不限． 14.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同的分配方式有____种． 15. 学校举行运动会,有四位同学参加三项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果? (2)每项比赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果?
排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一
二年级数学《简单的排列组合》教学反思 排列与组合的思想方法在生活中运用非常广泛，不但是后面学习概率统计知识的基础，同时也是培养和发展学生抽象的逻辑思维能力的好素材。表面上看教材对于这些知识的呈现似乎比较零乱，实质上数学广角犹如一篇散文，形散神聚，它重在培养学生的有序思考能力，并且经历简单事物排列与组合规律的过程。为此，我在本堂课中创设了一个探索学习的情境，让学生围绕“去数学广角游玩”这样一个主题事件情境，通过智力考试猜老师的年龄，猜老师的手机号码后2位，智力过关握手庆贺，帮老师搭配衣服，排队留影，找回家路线等活动，由浅入深，开展学习探究，实现课堂教学生活化、生活知识数学化、探究过程趣味化。 一堂课下来，虽然同伴们说我教学设计新颖有趣、教态自然、教学语言富有感染力、教学过程流畅，似乎上得挺不错。而我自己心里却很明白，这堂课有许多地方是失败的。因为这一篇“散文”的“神”我开始没渗透好，后来没把握好，到最后学生很难在头脑中有效建模，所以本堂课如果我给自己打分，肯定不合格。细细反思如下： 第一，要充分利用好学生生成的素材，大做文章。《数学广角》的内容本来就像万花筒，不需要额外找大量素材，否则只会让我们的课堂华而不实。如本堂课中，在让学生思考用1、8、3三张数字卡片能排列出几个两位数时，我在学生独立思考、同桌讨论的基础上，安排了同桌操作、验证，即一位学生摆数学卡片，一位学生做记录（用记号笔）。在巡视的过程中，我有意搜集了3种不同方案，并给它们编上号： ①13、18、31、38、81、83 ②13、31、38、83、18、81 ③13、83、31、81、18、38 我让学生比较上面三种方法，说说你最欣赏哪种方法，让小组代表介绍自己的方法。在这里，当学生说出“有顺序”三个字时，我没有细细品下去，而是用“是啊，这样有顺序地去思考问题，就可以做到不遗漏、不重复。”这么一句粗糙的话语把难点遮住，把亮点给错过了。假如当时，我继续追问：“哦，那你来说说，是怎样一种顺序呢？”学生边回答，老师边在学生的方法上做文章，充分暴露学生的思维，提炼出“从小到大”、“从大到小”等不同的顺序，这样就会很自然地突破难点。 第二，要用心关注课堂上的细节问题。在四人小组进行握手操作时，后面的很多孩子其实都没看清，就不可能数出来有几次。如果能让孩子们在握手时把手举高点，这样相信所有的孩子都能看得清清楚楚。有的时候就是如此，一个小小的细节往往关乎成败。 第三，要巧妙设计每一道练习。在本堂课最后，我安排了这样一个问题：小丽、小芳、
北师大版高中数学排列组合 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解排列组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式. 3.熟练掌握排列、组合的性质. 4.能解决简单的实际问题. 1.排列与组合的概念: (1)排列:_____________________________________________________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的. ○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”. ○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列. ○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列. ○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关. ○6如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列. (2)组合：___________________________________________________________________叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素的一个组合. 注意：○1如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关. ○2当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合. ○3组合与排列问题的共同点，都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”. ○4根据定义区分排列问题、组合问题. 2.排列数与组合数： (1)排列数的定义:_______________________________________________________________叫做
实用文档 排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
实用文档 2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，21在第n 类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m2n1十…十m种不同的方法．n(2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图
《排列组合》 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？ 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？ 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 A.12个 B.13个 C.14个 D.15个 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 二、注意附加条件 1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？ （2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？ 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？ 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是 A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 A.30种 B.31种 C.32种 D.36种 5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 A.240种 B.180种 C.120种 D.60种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。 三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法？ 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？ 3.已知集合A 和B 各12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：（1）()C A B ?且C 中含有三个元素；（2）C A ≠?,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 A.60种 B.80种 C.120种 D.140种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？ 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？ 7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？ 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数． （1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．
1、体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）种。 2、某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）种 3、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（各项目冠军都只有一人），共有多少种可能的结果？ 4、从集合{1，2，…，10}中任选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（） 5、有4位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）种。 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 6、3人玩传球游戏，由甲开始并做为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中，有多少种不同的传球方式呢？ 7、集合A ＝{a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}。（1）从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射？（2）从集合A 到集合B 的映射中，要求集合A 中元素的象不同，这样的映射有多少个 8、对一个各边长都不相等的凸五边形的各边进行染色，每条边都可以染红、黄、蓝三种不同的颜色，但是不允许相邻相邻的边染相同的颜色，则不同的染色方法共有（ ）种。 9、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（ ）种不同的涂色方案。 10、将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有 A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种 11、如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A ．64B ．72C.84 D ．96 12、（13山东）用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 13、（13福建）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 14、（16全国）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数。若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18（B ）16（C ）14 （D ）12
第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1
…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．
解决排列组合应用题的策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数 有 A ．60种 B ．48种 C ．36种 D ．24种 【变式1】7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 【变式2】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为. 2.相离问题插空排: 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A ．1440种 B ．3600种 C ．4820种 D ．4800种【变式1】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 . 3.定序问题缩倍（空位插入）法: 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的 排法种数是 A ．24种 B ．60种 C ．90种 D ．120种【变式1】7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？ 【变式2】10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列. 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插
第三讲排列组合问题 例题精讲 在日常生活中，我们经常会碰到许多排列组合问题。 例1从晓明家到博迪教育共有三条路可走，从博迪教育到西湖有两条路可走，那么从晓明家到西湖有多少路可走？ 分析：对这种问题的题目分析，可以先画一个简单的示意图： 可以这样想，从晓明家到博迪如果走①，那到鼓楼后，可有甲、乙两条路可走，如果走②、③的话，到博迪后，分别有两条路可以走，所以从晓明家到西湖共有3×2=6（条）路可走。 例2 幼儿园有3种不同颜色（红、黄、蓝）的上衣，4种不同颜色（黑、白、灰、青）的裙子，请问可以搭配出多少套衣服？ 分析：按照次序思考，如果穿红色上衣，就会有四种颜色的裙子可以搭配，同样，如果是黄色、蓝色上衣，同样也有四种颜色的裙子可以搭配，因此 可供搭配的种类有3×4=12（种）。所以，总共有12种搭配方法。
例 3 小红昨天去文三路上一家火锅店吃火锅，她准备在牛肉、羊肉和鱼丸中挑选一个肉类，青菜、生菜、香菜、白菜和菠菜中挑选一个蔬菜，在蘑菇、香菇和金针菇中挑选一个菌类，那总共有多少种不同的搭配方法？ 分析：肉类三选一，是3；蔬菜五选一，是5；菌类三选一，是3，相乘是45. 例3 从杭州到北京共有5个车站（包括杭州和北京）。每个汽车站售票处要为这条线路准备多少不同的车票？ （杭州-上海-苏州-南京-北京） 分析：我们将车站编号为A，B，C，D，E.那么A号站到其他车站的车票共有4种，即A→B，A→C，A→D，A→E。同样，B号站到其他车站的票号也有4种，即B→A，B→C，B→D，B→E。（这里A→B和B→A的车票是不一样的，出发站和终点站不一样）所以每个站都必须准备4种不同的车票。所以总有车票的数量是：4×5=20（种）