拉普拉斯变换求解微分方程典型范例
Laplace 变换在微分方程(组)求解范例
引言
Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.
Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0
st e f t dt ∞-?
对s 的某一取值范围是收敛的.则称
()F s =()+0st e f t dt ∞
-?
为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为
()()L f t F s =????.
性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.
性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有
()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+????????????
其中α和β是常数.
性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，L ，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则
()()()0L f t sL f t f '=-????????
或更一般地，有
()()()()()()()112
000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---??'=----??????
L . 性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =????,则
()()()+0
st F s te f t dt L tf t ∞
-'=-=-?????
或一般地有
()()()
()()()0
11n
n
n n st n F s t e f t dt L t f t +∞
-??=-=-???
.
主要结论及推导
对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到
()()()0
st F s t f t e dt +∞-'=-?
（*）
即
()()()L t f t F s '-=????
再对（*）式求导，可得
()()2L t f t F s ''??=??
在一般情况下，对于任一正整数n ，有
()()()1n
n
n
n d
L f t F s ds ??-=?
?
即
()()()1n
n
n
n d L t f t L f t ds ??=-?
????? 从而
()()()1n n
n
m
m
n d L t f t L f t ds ????=-???? （1）
对性质3及（1）式，可得
()()L x t X s =???? ()()()0L x t sX s x '=-????
()()()()2
00L x t s X s sx x '''=--????
()()()dX s d
L tx t L x t ds ds
=-
=-???????? ()()()()()0d d d
L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-
=--=-???????????????
?
()()X s sX s '=-+????
()()()()()2
00d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''??=-
=---?????????? ()()20d s X s sx ds
??=--??()()()2
20sX s s X s x '??=-+-?? 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程
例
1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件
()()()000x x x '''==的解.
解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321
331s s s X s s
+++=
由此得
()32331
s s s X s s
+++=
把上式右端分解成分式
()()()23
1111
1+11X s s s s s =---
++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为
()()2211
112122t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++
例
2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件
()02y =,()01y '=-的特解.
解 设()()L y t Y s =????，对微分方程两端取Laplace 变换得
()()()()()()2
2321
s Y s sy s y s sY s y s Y s s '??----+=??????+ 考虑到初始条件得
()()2
2
32271
s
s Y s s s -+=
+-+ 于是
()()()2
217
255433112
132s s Y s s s s s s s --==
+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得
()()11112111711744311323
3t t
t y t L Y s L L L e e e s s s -------??????==+-=+-??????????+--?????? 于是得到方程的解为
()217
433
t t t y t e e e ---=+-
2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组
例3 求解初值问题()()2400,01dx
x y dt dy
x y dt x y ?=+???=-+??
?==??的解.
解
设
()()()0
st
X s L x t e x t dt
+∞
-==?????，
()()()0
st
Y s L y t e y t dt +∞-==?????
对方程组取Laplace 变换，得到
()()()()()()()()
02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=???
-=-+?? 即
()()()()(
)()20
41s X s Y s X s s Y s --=???
+-=?? 从而有
()()()()()222
13211333X s s s Y s s s s ?=?
-?
?
-?==+?---?
对上面方程组取Laplace 逆变换，得原方程组的解为
()()333t
t t
x t te
y t e te
?=??=+?? 例
4 求微分方程组20
0x y x x y '''--=??'-=?
满足初始条件
()()()00,01,01x x y '===的解.
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥
二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下： 在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h ，图13-10表示其中的一部分，设0点的电位为V 0，0点周围方格顶点的电位分别为V 1、V 2、V 3和V 4。现在来推导一个用V 1、V 2、V 3和V 4表示V 0的公式： 图13-10 已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程： 0222 2=??+??y V x V 其中 h x V x V x V x x V c a ??- ??≈??? ??????= ??0 22 但是 h V V x V h V V x V c a 30 01 ,-≈??-≈ ?? 所以 2 30013 0010 2 2h V V V V h h V V h V V x V +--≈-- -≈?? 同理 2 4 0020 2 2h V V V V y V +--≈ ?? 将上面两个方程相加一起得： 042 43212222=-+++≈??+??h V V V V V y V x V 由上面方程推出：)(4 1 43210V V V V V +++≈ (13.47) 该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和0点等距离的四个点上的电位平均值，距离h 愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。 然而，V 0和V 1、V 2、V 3、V 4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.47）写出每一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。 求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。 图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
拉普拉斯变换公式总结Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ --==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ ==? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞--∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域 若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则 11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+?式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换 若[()]()f t F s ζ=，则1[()]()s f at F a a ζ= （a >0） （7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s + +→→∞ == （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞ →∞ = （9） 卷积定理 若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ= *= 121 ()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞ -∞ -? 3. 拉普拉斯逆变换 （1） 部分分式展开法
拉普拉斯方程 一、概念：一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 二、在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
三、方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 四、二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： Δu =δ2u/δu2+δ2u/δy2=0 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域
若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换
收稿日期:2005212210 基金项目:辽宁省教育厅科研基金资助项目(05L415)? 作者简介:刘大卫(1964-),男,贵州贵阳人,贵州工业大学副教授? 第24卷 第2期 2006年4月 沈阳师范大学学报(自然科学版) Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science ) V ol 124,N o.2Apr.2006 文章编号:1673-5862(2006)02-0166-04 正方形环域Laplace 方程的简明数值解法 刘大卫1,高 明2,3 (1.贵州工业大学基础部,贵州贵阳 550003; 2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034; 3.沈阳师范大学实验中心,辽宁沈阳 110034) 摘 要:通过正方形环域的Laplace 方程的数值求解过程,详细介绍了使用MA TLAB 求解微 分方程的方法?用MA TLAB 的M 文件,生成正方形环域,用函数numgrid 作网格划分,用函数delsq 建立五点差分格式建立并求解拉普拉斯方程第一边值问题?关 键 词:Laplace 方程;差分法;MA TLAB 中图分类号:O 175 文献标识码:A 0 引 言 Laplace 方程是解决电磁场问题中最常见的方程,在一些具有较复杂边界形状的区域中求出方程的 解析解是非常困难的[122]?因此寻求一种有效的、简明的数值解法对于解决实际问题中复杂边界区域中 的电磁场分布问题具有非常重要的实际价值?通过一个特殊的方形区域的电场分布问题介绍一种应用MA TLAB 数值求解Laplace 方程的方法? 考虑图1所示正方形环域,设区域内满足Laplace 方程Δu =0,内边界处电势u =100,外边界处电势u =0,求区域内的电势分布,易见,这是一个Laplace 方程的第一边值问题? 现用差分法求解这个问题,首先把研究区域划分为图2所示的网格,在这个划分中,除去边界点,区域被分为240个网格节点 ? 图1 正方形环域 图2 网格的划分 差分法求解的基本思想是,在网格节点上用差商代替微商,结合边界条件,把定解问题转化为以未知函数u (x ,y )在节点上的数值为未知量的线性方程组: Ax =b 其中,x 为解向量,代表函数u (x ,y )在节点上的数值?A 为系数矩阵,与网格节点的划分和编号方式有关,通常是一个大型的稀疏矩阵?b 为常数向量,由边界条件确定?对上述问题,A 为240×240阶稀疏矩阵,b 为240×1阶稀疏常数向量?下面用MA TLAB 提供的网格划分函数numgrid 和差分格式建立函数delsq 来构造系数矩阵A ?
拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍
基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程
拉普拉斯变换公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
3．用查表法进行拉氏反变换 420
421 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020
§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数
1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
§4 偏微分方程的数值解法 一、 差分法 差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商 在平面 (x ,y )上的一以S 为边界的有界区域D 上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x 轴和y 轴的直线族. ?? ?====jh y y ih x x i i (i ,j =0,±1,±2,…,±n ) 作成一个正方形网格，这里h 为事先指定的正数，称为步 长；网格的交点称为节点，简记为(i ,j ).取一些与边界S 接近的网格节点，用它们连成折线S h ，S h 所围成的区域记作D h .称D h 内的节点为内节点，位于S h 上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格D h + S h 上考虑问题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数： ()()[]()()[]()()()[]()()()[]()()()[]y x u h y x u y h x u h y x u h y x u h y x u y x u h y x u h y u y h x u y x u y h x u h x u y x u h y x u h y u y x u y h x u h x u ,),(,,1 ,,2,1 ,,2,1 ,,1 ,,1 222 22222++-+-+≈???-+-+≈ ??-+-+≈ ??-+≈??-+≈?? 注意， 1? 式中的差商()()[]y x u y h x u h ,,1 -+称为向后差商，而()()[]y h x u y x u h ,,1--称为向 前差商，()()[]y h x u y h x u h ,,21 --+称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数. 2? x 轴与y 轴也可分别采用不同的步长h ,l ，即用直线族 ?? ?====jh y y ih x x j i (i,j =0, ±1, ±2 , ) 作一个矩形网格. 2. 椭圆型方程的差分方法 [五点格式] 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题 图14.7
附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普
拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 二维方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。 人物介绍
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
附录A拉普拉斯变换及反变换
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯方程 求助编辑百科名片 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 目录 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用 拉普拉斯人物介绍 展开 拉普拉斯方程（Laplace equation） 在数理方程中 狄利克雷问题 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的解 二维拉普拉斯方程 解析函数 三维情况下 二维拉普拉斯方程 解析函数 在流场中的应用 在电磁学中的应用 三维拉普拉斯方程 基本解 格林函数 在流场中的应用
拉普拉斯人物介绍 展开 编辑本段拉普拉斯方程（Laplace equation） 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ 为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 诺伊曼边界条件 拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。 拉普拉斯方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 编辑本段二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式： 函数h (x,y) 为二元函数，h(x,y) 对x的二阶偏导数+ h(x,y)对y的二阶偏导数= 0 解析函数 解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z= x+ iy，并且 那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：f（z）= u(x,y) + iv(x ,y) u 对x的偏导数= v 对y 的偏导数，u 对y 的偏导数= - （v 对x 的偏导数）上述方程继续求导就得到 所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；