第一章 函数
函数是数学研究的对象，熟练掌握它的性质对我们研究经济现象十分必要。本章在集合论基础上展开分析。
§1.1 集合
1． 集合(Set)
一般地，具有某种特点的一类对象的全体就称为一个集合。集合中的每个对象称为这个集合的元素(element)。
下面是一些常用的数集及其记法。
自然数集 (the set of all non-negative integers)，记作N.
非负整数集内排除0的集，也称正整数集(the set of all positive integers)，记作 N* 或N +全体整数的集合通常简称整数集(the set of all integers)，记作Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集(the set of all rational numbers)，记作Q；
全体实数的集合通常简称实数集(the set of all real numbers)，记作R。
集合的元素常用小写的拉丁字母表示，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to )集合A ，记作a ∈ A；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作。
集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法。
例如{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。此集合含有元素10 个。一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集(finite set)。
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
例如，函数 的定义域可以表示为。
集合{x | x > 2}的元素有无限个。一般地，含有无限多个元素地集合叫做无限集(infinite set)。
再看个例子，方程 的所有实数解组成的集合，可以表示为
这个集合是没有元素的。一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，记作 。
2．子集、交集、并集、补集
I．子集
集合与集合之间，存在着“包含”与“相等”的关系。
先看集合与集合之间的“包含”关系。
设A = {1, 2,3}, B ={1,2,3,4,5}, 集合A 是集合B 的一部分，我们就说集合B 包含集合A。
我们规定：空集是任何集合的子集。
集合A 与集合B 的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B。是集合B 的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B，记作A=B。
我们还常常涉及“真子集”的问题。
集合A 是集合B 的真子集(proper set)，记作AB （或BA）.
显然，空集是任何非空集合的子集。
II． 全集与补集
一般地，设S是一个集合，A是S 的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(complementary set) （ 或余集），记作 ，。
例如，如果S={0，1,2,3,4,5,6，7，8，9},A={1,3,5，7，9},那么 ={0，2,4,6，8}。
III．交集、并集
一般地，由所有属于集
合A且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A与B的交集(intersection)，记作A∩B（读“A交B”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
而由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集(union)，
记作A∪B（读“A并B”）,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。
例1 设A={x|x> 2}，B={x|x< 3} ，求A∩B 。
解： A∩B ={x|x>2}∩{x|x<3}={x|2
例2 设A={ x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形} ，求A∩B。
解：
A∩B = {x|x是等腰三角形} ∩ {x|x是直角三角形} ={x|x是等腰直角三角形}。
例3A={4,5,6,8} ，B={3,5,7,8}，求A∪B 。
解： A∪B ={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。
集合中的元素是没有重复现象的，两个集合的并集中，原两个集合的公共元素只能出现一次，不可写成A∪B ={3,4,5,5,6,7,8,8}。
例4 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形} ，求A∪B。
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。
例5 A = {x | ?1 < x < 2} , B = {x |1 < x < 3},求A∪B 。
解： A∪B ＝{x | ?1 < x < 2} ∪ {x |1 < x < 3}＝{x | ?1 < x < 3}。
形如2n(n∈Z) 整数叫做偶数，形如2n +1(n∈Z) 的整数叫做奇数。全体奇数的集合简称奇数集(the set of all odd numbers)，全体偶数的集合简称偶数集(the set of all even numbers)。
习题1.1
1. 下列各小题中，分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集。
(1) 世界上最高的山峰；
(2) 由1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）组成的一切自然数；
(3) 平面内到一个定点O的距离等于定长l(l >0)的所有的点P。
2. 写出集合{a,b,c}所有的子集，并指出其中那些是它的真子集。
3. (1) 解方程并把结果用集合表示出来;
(2) 解不等式3x +2<4x?1，并把结果用集合表示出来。
4. (1) 设A={x|x<5},B={x|x≥0},求A∩B ；
(2) 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B ；
(3) 设A={x|x≥?2},B={x|x≥3},求A∪B ；
(4) 设A={x|x是平行四边形} ，B={x|x是矩形} ，求A∪B。
1.2函数
1． 函数
定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数(function)，x叫做自变量。
记作y= f(x)， x∈D。
其中，x叫做自变量(argument)，x的取值范围D叫做函数的定义域(domain)；与x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈D}叫做函数的值域(range)。
一次函数f(x) =ax+b(a≠0)的定义域是R。值域也是R。对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数y=ax+b(a≠0)和它对应。
函数除用f (x)表示外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示。而且研究函数常常用到区间(interval)的概念，如[a,b]，
(a,b)，[a,b]，(a,b)，(?∞,+∞)，[a,+∞]等。
例1 求下列函数的定义域：
（1） ；
（2）。
分析：函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。
解：（1）因为3x +2≥0，即时，根式才有意义，所以，这个函数的定义域是。
（2 使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥ ?1}，使分式
的实数x的集合是{x|x≠2}，所以，这个函数的定义域是[?1,2]∪(2,+∞)。
例2已知函数求f (3) ， ， f (a)，f(a+1)。
解： f (3) = 3×32?5×3+2 =14 ；
=；
；
习题1.2
1. 画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素），
已知：
（1） A ={1,2,3,4}， B = {2, 4,6,8}，对应关系是“乘2”；
（2）A={x|x>0}， B = R，对应关系是“求算术平方根”；
（3）A={x|x≠0}， B = R，对应关系是“求倒数”；
（4） A ={∠α|00< ∠α≤900}，B={x|x≤1}，对应关系是“求余弦”。
2. 已知函数f(x)=3x+5， x ∈R，求f(?3)， f(?2)， f (0) ，
f (1) ， f (2) 以及函数的值域。
3. 选择题：
下列四组中的函数f (x)，g(x)，表示同一个函数的是（ ）
（A） f(x) =1, ；（B） f (x) =x?1, ；
（C） ，（D）
4. 画出下列函数的图象，并说出定义域、值域：
（1）正比例函数y = 3x ； （2）反比例函数
（3）一次函数y = ?4x+5； （4）二次函数.
5. 求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
1.3 函数的单调性(monotone)
为了研究函数的性质，按照列表、描点、连线等步骤分别画函
数 和 的图象。
函数的图象如图1-1，函数 的图象如图1-2
图1.1 图1.2
现在研究函数的单调性。
从函数 的图象（图1.1）出发看到：
图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间
[0, +∞) 上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取，得到那么当时，有 ，这时我们就说函数 在[0, +∞) 上是增函数。
图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间(?∞,0)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大，即如果取，得到，那么当 时，有 ，这时我们就说函数 在(?∞,0)上是减函数。
从函数 的图象（图1.2）看到这个函数在R上是增函数。如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值当 时，都有，那么就说f (x)在这个区间上是增函数(increasing function)（图1-3(1)）；
（1） （2）
图1-3
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有，那么就说f (x)在这个区间上是减函数(decreasing function)（图1-3(2)）。
函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的，有的函数在一些区间上是增函数，而在另外一些区间上不是增函数。
例如函数 ，当x∈[0,+
∞) 时是增函数，当x∈(?∞,0)时是减函数。
如果函数y= f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y= f(x)在这一区间具有（严格的）单调性(monotone)，
这一区间叫做y= f(x)的单调区间(monotone interval)。在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
例1． 下图是定义在闭区间[ -5,5 ]上的函数y= f(x)的图象，根据图象说出y= f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上，y= f(x)是增函数还是减函数。
图
解：函数y= f(x)的单调区间有[?5,?2)，[?2,1)，[1,3) ，[3,5] ，其中y= f(x)在区间[?5,?2)，[1,3) 上是减函数，在区间[?2,1)，[3,5] 上是增函数。
要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗糙的方法。严格地说，它需要根据单调函数地定义进行证明，下面举例说明。
例2 证明函数f(x) =3x+2在R上是增函数。
证明：设 是R上的任意两个实数，且 ，则
由 ，得，于是即。所以， f(x)=3x+2在R上是增函数。
例3． 证明函数
在(0, +∞) 上是减函数。
证明：设 是x ∈ (0, +∞) 上的任意两个实数，且 ，则
由 ，得，
又由 ，得，
于是，即，
所以，
在(0, +∞) 上是减函数。
总结：证明单调性的步骤
（1） 设 属于给定区间；
（2） 作差并判断符号；
（3） 根据函数的单调性定义肯定此命题成立。
习题1.3
1． 分下列情况说明函数y=mx+b在(?∞,+∞)上是否具有单调性；如果有，是增函数还是减函数？
（1）m > 0 ； （2）m < 0
2．画出下列函数的图象，并根据图象说明y= f(x)的单调区间，以及在各单调区间上，函数y= f(x)是增函数还是减函数。
（1）； （2） 。
3．判断函数在(?∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x∈(0,+∞) ，函数f (x)是增函数还是减函数？（提示：可利用公式）。
4．证明：
（1）函数在(?∞,0)上是减函数；
（2）函数
在(?∞,0)上是增函数。
5．证明二次函数在区间上是增函数。
1.4 函数奇偶性
1．函数奇偶性的概念
一般地，对于函数f (x)的定义域A
（1）?x∈A，有f(?x)= ?f(x)恒成立，则f (x)就叫做奇函数
(odd function)；
（2）?x∈A，有f(?x)=f(x)恒成立，则f (x) 就叫做偶函数
(even fuction)。
注：对奇偶函数定义的说明
（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
（2）奇偶函数定义的逆命题也成立，即
若f (x)为奇函数, 则f(?x)= ?f(x)成立；
若f (x)为偶函数, 则f(?x)=f(x)成立。
（3）如果一个函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说f (x)具有奇偶性。
例1 判断下列函数的奇偶性
（1） ；（2）；
（3） f(x) =0； （4） 。
解：（1） x ∈R, f (x)=4
所以f(?x)= f(x)=4，即是
偶函数。
（2）定义域x ≠ 0
，
所以是奇函数.
(3) 定义域为R，又f(?x)= f(x)=0，f(?x)= ?f(x)=0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数。
（4）∵
。所以f (x)为非奇非偶函数。
例2 判断函数
的奇偶性
解：
；
∴定义域为[?1,0)∪(0,1]；
∴
∵，
所以， f (x)为奇函数。
说明：用定义判断奇偶性的步骤
（1） 先求定义域，看是否关于原点对称；
（2） 再判断f(?x)= ?f(x)或f(?x)=f(x)是否恒成立；
2． 奇偶函数图象的性质
（1） 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数；
（2） 偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数。
注：奇偶函数图象的性质可用于：
①简化函数图象的画法；
②判断函数的奇偶性。
例3 已知函数y= f(x)是偶函数，它在y 轴右边的图象如图，画出y= f(x)在
y 轴左边的图象。
解：画法略
图
习题 1.4
1．判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) = ?2x； （2） ；
（3） ； （4）；
（5）；（6） f (x) =2x?1.
2. 判断
的奇偶性.
3．已知函数f (x)既是奇函数又是偶函数，求证f(x) =0.
4 ． 证明
是奇函数。( 提示： 利用f(x)+ f (?x) =0，即
证明)。
1.5 反函数
1．反函数的概念
在函数y=2x+6（x∈R）中，x是自变量， y是x的函数，由y=2x+6可以得到式子
，这样，对于y 在R中的任何一个值，通过式子
， x在R中都由唯一的值和它对应，也就是说，可以把y作为自变量（y∈R），x作为y的函数，这时我们就说是函数y=2x+6（ x ∈R）的反函数。
一般地，函数y= f(x)(x∈A)中，设它的值域为C ，我们根据这个函数中x, y的关系，用y把x表示出来，得到，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，就表示y 是自变量，x是自变量y的函数。这样的函数（y∈C）叫做函数y= f(x)(x∈A)的反函数(inverse function)，记作。
在函数中，y表示自变量，x表示函数，但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数的字母x, y ，把它改写成例如函数y = 2x的反函数为
等。
从反函数的概念可知，如果函数y= f(x) 由反函数，那么函数的反函数就是y = f(x)，这就是说，函数y = f(x)与互为反函数。
从映射的概念可知，函数y= f(x)是定义域集合A 到值域C 的映射，而它的反函数是集合C到集合A的映射。
函数y = f(x)的定义域，正好是它的反函数.的值域；函数y = f(x)的值域，正好是它的反函数的定义域。
例1 求下列函数的反函数：
（1）y=3x?1( x ∈R)；
（2）；
（3）；
（4）
。
解：(1)由y =3x?1，得，所以，函数y =3x ?1(x∈R)的反函数是；
(2)由函数，得
，所以，函数的反函数是；
(3) 由函数 ， 得 ，所以，函数
的反函数是；
(4) 由函数
， 得，所以，函数 (x∈R，且x≠1)的反函数是
(x∈R且x≠2)。
2．互为反函数的函数图象间的关系
一般地，函数y = f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称。
可以表述为如下性质：若是函数y = f(x)的反函数则有
例2 函数的反函数是y = f(x)，
则f (2) = ___________.
解：设f (2) = x ，则由性质知，即
，化简得，解得x =1，所以f (2)=1.
例3 设，函数y = g(x)的图象与的图象关于直线y=x对称，求g(3) 的值。
解：设g(3) =x，则，
因为函数y =g(x) 的图象与的图象关于直线y = x 对称，所以y = g(x)与互为反函数，因此有，
由反函数的性质得f (3) = x +1，而 求得 ，所以
。
习题1.5
1．求下列函数的反函数：
（1） y = ?4x +3（ x ∈ R）； （2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
2. 已知函数求它的反函数。
3．已知函数y= 2|x|。
(1) 当x∈[0,+∞) 时，求它的反函数，并指出反函数的定义域；
(2) 在同一个坐标系内画出函数y= 2|x|（ x ∈[0, +∞) ）及其反函数的图象；
* 4．已知函数互为反函数，求常数a,b的值。
* 5．求证函数的反函数是改函数本身。
* 6．举例说明，在同一个坐标系内：
（1）的图象有什么关系？
（2）的图象有什么关系？
1.6 幂函数
1．幂函数的概念
我们已经学习过了这些函数，等，可以观察一下，上述解析式有什么特点。
一般地，我们称形如 的函数为幂函数(powerfunction)，其中x是自变量，α是常数（这里我们只讨论α是有理数n的情况）。
我们知道，当n =0时，，函数 成为常数函数y=1(x≠0)，它的图象是平行于x轴并在x轴上方1个单位的一条直线（除去点(0,1)）。
当n =1时，函数就是y =x ，n是其它正整数时，的意义是（共有n个 相乘），函数的定义域就是实数集R。
当n 是一个正分数时，我们只研究n是一个既约分数的情况，这时，的意义是 ，函数的定义域是使 有意义的实数x的集合。
当n是一个负整数或负分数时，例如n=?p（p是正整数）或
（p,q 是互质的正整数，q >1）时， 的意义分别是，函数的定义域是使或有意义的实数x的集合。
例1 求下列函数的定义域：
解： 的定义域是R；
的定义域是R；
的定义域是[0, +∞) ；
的定义域是(?∞,0)∪(0,+∞)；
的定义域是(0, +∞)。
2. 幂函数的图象和性质(graph and property of power function)
现在我们分n >0 和n <0两种情况来研究幂函数的图象和性质。
I ：n >0
我们在同一个直角坐标下画出以及的图象（如图1-4）,
图1-4
可以看出，当
n >0 时，幂函数 有下列性质：
(1)图象都过（0，0），（1，1）；
(2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大。
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）；（2） 。
解：（1）题中的两个值都是幂运算的结果，且指数相同，因此，可以利用幂函数的性质来判断它们的大小。考察幂函数
，在第一象限内，y的值随x的增大而增大。
∵1.5<1.7, ∴
（2）考察幂函数 ，同理，
∵0.7>0.6, ∴。
II： n <0
同样地，我们在同一个直角坐标系下画出y =?x ， 以及的图象（如图1-5）:
可以看出，当n <0时，幂函数 有下列性质：
(1) 图象都通过点（1，1）；
(2) 在第一象限内，函数值随着x的增大而减小；
(3) 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。
图1-5
例3 比较下列各题中两个值的大小：
(1)；（2）；（3）。
解：（1）考察幂函数
，在第一象限内，y的值随x的增大而减小。
∵2.2>1.8， ∴；
（2）考察幂函数，同理，
∵0.15<0.17， ∴ ；
（3）可以将其先化归为第一象限的情形，便于使用性质进行判断，
而 在第一象限内随x的增大而减小，又，因此 ，即
。
2. 总结
我们可以对以上的情况作一个总结，具体参见下表：
图
习题1.6
1. 求下列函数的定义域：
（1） ； （2）； （3） ；
（4）； （5） ； （6）。
2．在同一个坐标系内画出下列各题中两个函数的图象，并加以比较：
（1） ； （2） 。
3．比较下列各题中两个值的大小：
（1） ； （2）。
4．比较下列各题中两个值的大小：
（1）； （2）。
1.7 指数函数
1．指数(exponent)
在以前的学习中，我们已经学过了指数的概念和运算性质，即对于任意有理数r,s
（1） (r,s∈Q)；
（2） (r,s∈Q)；
（3） (r∈Q)
2．指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数(exponent
function)，其中x是自变量，函数的定义域是R。
3. 指数函数的图象和性质(graph and property of exponent function)
为了研究指数函数的图象和性质，可以先观察
的图象（如图1-6）：
图1-6
通过图1-6，我们可以总结出一些规律，一般地，指数函数在底数a >1及0
图
性质：（1）定义域：R；
（2）值域： (0, +∞) ；
（3）过点(0,1),即x=0 时，y＝1；
（4）当a >1 时，y = ax 在R 上是增函数，反之，当0
例1 某种反射性物质不断变化为其它物质，每经过1 年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留一个有效数字）。
解：设这种物质最初的质量为1，经过x年，剩留量为y 。
则
图
从图上看出， y = 0.5 只需x ≈ 4 。
因此，约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1） ； （2） 。
解：（1）比较函数 的关系：
相等， 相等，
相等，… …
由此可以知道，将指数函数的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数 （如图1-7）
图1-7
（2）同理，可以看出，指数函数 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数?2 的图象（如图1-7）。
例3 比较下列各题中两个值的大小：
（1） ；（2）；（3） 。
解：（1）考察指数函数，由于底数1.7>1，所以指数函数 在R上是增函数，∵2.5<3, ∴。
（2）考察指数函数 ，由于0<0.8<1，所以指数函数在R上是减函数，
∵-0.1>-0.2, ∴。
（3）由指数函数的性质知
，即
。
由于 不能直接看成某一个指数函数的两个值，因此，（3）题无法用（1）、（2）两题的方法来进行比较。本题在这两个数值问题间找到数值1，使这个两个数值分别与数值1 进行比较，进而比较出的大小。
习题1.7
1．求下列函数的定义域：
（1） ； （2）； （3） ； （4）。
2．比较下列各题中两个值的大小：
（1） ； （2） （3）（4） .
3．已知下面不等式，比较m,n的大小：
（1）； （2）
（3） （4）。
*4. 设，其中a >0 ， a ≠1。确定x为何值时，有（1） ；（2）。
*5. 设 ，求证：
（1）；（2） f (x)÷f(y)=f(x?y)。
1.8对数与对数函数
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N ，就是，那么数b叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作logaN= b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
复习对数的性质：
（1）负数与零没有对数；
（2） ；
（3）对数恒等式；
（4）常用对数(common logarithm) ；
（5）自然对数(natural logarithm) ；
（6）底数a的取值范围(0,1) ∪ (1, +∞) ，真数N 的取值范围(0, +∞)
对数运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ，那么
(1) ；
(2) ；
(3) 。
证明略.
2．对数函数
(1) 对数函数的定义：
一般地 函数 叫做对数函数(logarithmic function)，它是指数函数(a>0且a≠1)的反函数。的定义域为(0,+∞) ，值域为(?∞,+∞)。
(2) 对数函数的图象
由于对数函数与指数函数
互为反函数，所以 的图象与
的图象关于y =x对称。由于指数函数的图象按a >1和
0界线分成两种情况，a >1和0为例画图(如图1-8):
图1-8
一般地，对数函数 在其底数a >1和0函数 底数
图像
图1
图2
定义域 值域 定点
（1，0）即x=1时，y=0
值分布
当x>1时，y>0;当0
例1 求下列函数的定义域：
（1）； （2） ；（3） 。
解：（1）因为 ，即x≠0，所以函数的定义域是{x|x≠0}；
（2）因为，即 ，所以函数的定义域是{x|x<4}；
（3） 因为， 即， 所以函数的定义域是
{x|?3
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
（1） ；
（2） ；
（3）。
解：（1）考察对数函数 ，因为它的底数2>1，所以它在(0,+∞)上是增函数，于是
图
(2) 考察对数函数，因为它的底数为0.3，即0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数，于是
图
(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数a进行讨论：
上是增函数，于是 ;
上是减函数，于是 。
例3 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）； （2） .
解：（1）∵，
∴ 。
（2）∵ ，
∴ 。
例4 已知：
（1）求f (x)的定义域；
（2）判断f (x)的单调性；
（3）此函数的图象上不存在不同两点，使过两点直线平行于x轴；
图？
（4）当a,b满足什么条件时， f (x)在区间[1,+∞) 上恒为正。
解：（1）由
∵， ∴ x > 0 ，故f (x)的定义域为(0,+∞) ；
（2）设，则
， ∵， ∴
∴ ， ∴，
∴ 是增函数。
（3）设，
∵ f (x)在(0,+∞) 是增函数，
∴当，
∴ ，故过两点的直线不平行于x轴；
（4）∵ f (x)在(0,+∞)是增函数，
∴，要使f (x)在区间[1,+∞)上恒为正，
只要使lg(a?b)>0 就可以了，即a?b>1。
习题1.8
1. 求下列函数的反函数：
（1）； （2） ；
（3）； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7）；
2．求下列函数的定义域：
（1） ； （2）。
3. 已知下列不等式，比较正数m,n的大小：
（1）； （2） ；
（3） ；（4） 4。
4.已知
，求证。
1.9 对数的换底公式
1．对数换底公式
证明： 设 ，两边取以 m 为底的对数：
，从而得：
∴
三个较为常用的推论：
1. ；
2. ；
3.
证明：
1.
2.
3.
例1 计算
（1） ； （2）；
（3）。
解：（1）原式=；
（2）原式＝；
（3）原式＝。
例2 已知
解：∵ ∴
∴
∵∴
∴
例3 设 求证：
证明：∵，
∴
∴。
例4 若。
解：∵ ∴
又∵
∴
∷ ∴
例5 计算： 4
解：原式
例6 若。
解：由题意： ∴
∴。
习题1.9
1. 求下列各式的值：
（1）； （2）；
（3） ；
（4）。
2．已知 2lg(3x ? 2) = lg x + lg(3x + 2) ,求 的值。
3．已知 lg 5 = m , lg 3 = n 用 m , n 表示 。
4．已知。
5．设 a , b , c 为不等于 1 的正数，若 且，求证：abc = 1
6．求值：
（1） ；
（2）
复习题（一）
一、内容提要
这一章主要内容是集合、函数、幂函数、指数与指数函数、对数与对数函数。
二、学习要求
1． 理解函数的概念，了解映射的概念；
2． 了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法；
3． 理解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；
4． 理解指数幂的概念和运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质；
5． 理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数的换底公式，掌握对数函数的概念、图象和性质；
6． 能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决一些简单的实际问题。
三、例题选讲
例1 求下列函数的定义域：
（1）；
（2）。
分析：
（1）因为，根式才有意义。解不等式
得到解集[2, +∞) ∪ (?∞, ?2) 。
（2）由 得定义域为
例2 用水清洗一堆蔬菜上残留得农药，对用一定量得水清洗一次的效果作如下得假定：用1 个单位的水可清洗蔬菜上残留农药量的，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x)。
（1）试规定f (x)的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；
（3）设
，现在a(a >0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由。
解：（1） f (0)=1.表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化；
（2）函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：
f (0) =1，在[0,+∞)上， f(x)单调递减，并且有。
（3）设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为；
又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为
然后再用单位量的水清洗1次，残留的农药量为
由于，故当时，。此时，用a单位的水平均分成2份后，清洗两次残留的农药量较少；
当时， 。此时，两种清洗方式效果相同；
当时， 。此时，用a单位量的水一次清洗残留的农药量较少。
例3 已知函数f (x), 当 x ,y∈R 时，恒有f (x + y) =
f (x) + f (y),
（1）求证： f (x)是奇函数。
（2）若f (?3) =a，试用a表示f (24)
（3）如果x >0时，f (x)>0且f (1)<0，试求 f (x)在区间[?2，6]上的最大值与最小值。
解：（1） 令 x = y = 0 得 f (0) = 0，再令 y = ? x 得f (0) = f (x) + f (? x),
∴f (x) = f (? x) ∴f (x)为奇函数
（2） 由 f (?3) = a 得 f (3) = ? f(?3) = ?a，
f (24) = f ( 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3) = 8 f (3) = ? f (3)
（3）设 x 1 < x2 ，则
，
( ∵ , )
∴f (x)在区间[?2，6]上是减函数。
∴f (x) max = f (?2) = ?f (2) = ?2f(1) = 1
f (x) min = f (6) = 6 f (1) = ?3。
例4 ，其中 a > 0，a ≠ 1，
问：x 为何值时有（1） y1 = y2 （2） y1 < y2
解：（1）由于指数函数是单调函数，故
。
（2）当 0 < a < 1，由 y1 < y2 ，得 2x > x2 ?3 ，解得 ?1 < x < 3；
当 a > 1，由 y1 < y2 ，得 2x < x2 ?3 ，解得 x < ?1 或 x > 3。
例5 已知函数
，
（1）求f (x)的定义域；
（2）当a >1时，求使f(x)>0的x取值范围。
解：（1）得?1
∵ a >1，所以由对数函数的单调性知，又由（1）知x <1，解得0< x <1，故对于a >1，当x∈(0,1)时， f(x)>0。
习 题 一
A 组
1．判断下列对应，哪些是映射，哪些不是映射；
（1） A ={1,3,5,7,9}， B = {2, 4,6,8,10}，对应法则f:a→b=a+1,a∈A,b∈B；
（2） A ={∠α|00< ∠α<900}，B={y|0
（3） A={x|x∈R}，B={y|y≥0}，对应法则,x∈A,y∈B。
2．设
，求证
（1） f(?x)=f(x)； （2）
3．设，求（1） f(a+1)；（2） f(a)+1.
4．指出下列函数的单调区间，并说明函数在单调区间此函数是增函数还是减函数：
（1） ； （2） ；
（3）= ； （4） .
5．求下列函数的反函数：
（1）； （2）
6．求下列函数的定义域：
（1）； （2）；
（3） ； （4）
（5）；
（6）
7．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （m/s）和燃料的质量M （kg）、火箭（除燃料外）的质量m （kg）的函数关系是。当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s？
B 组
1． 设
，求（1） ； （2）
2． 画出下列函数的图象：
（1）； （2）
3. 求下列函数的反函数：
（1）； （2）
4．设，求证：
（1）； （2） f (2x) =2f(x)?g(x)