坐标的应用（讲义）
知识点睛
平面直角坐标系知识回顾：
1、数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线，当我们把两条
数轴如图放置，就能构成平面直角坐标系；它们有共同的原点，水平方向的数轴我们叫x轴或横轴，铅直方向的数轴我们叫y轴或纵轴；
2、我们用有序实数对（a,b）来表示平面直角坐标系内的坐标；数轴把
平面直角坐标系分成四个部分，分别是第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。每一个象限内的符号：（﹢，﹢），（﹣，﹢），（﹣，﹣），（﹢，﹣）；
3、每一个点（a,b）的坐标由两部分组成：A、它的符号，由它在坐标
系中的位置决定；B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，b 的绝对值表示点到横轴的距离，一般需做横平竖直的垂线；
4、关于x轴对称的两个点，x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，x
相反，y相同；关于原点对称的两个点，x、y都相反；于x轴平行的直线，y相同，x不同，可表示为y=b；于y轴平行的直线，x相同，y 不同；可表示为x=a；
坐标系中求线段长的方法：如果两个点的连线平行于x轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两点之间的距离
公式：
5、牢记中点坐标公式：
1212
22
，
x x y y
++
?? ???
6、平面直角坐标系中坐标的处理原则：
A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；
B、坐标转线段长，线段长转坐标；
4)点的存在性问题：
3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：；
4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：．
精讲精练
1. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1，0），B
（0，4），顶点C，D在第二象限内，则C，D两点的坐标分别是_______，_______．
（分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。）
在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2，-3），B （5，-2），C（2，4），D（-2，2），求四边形ABCD的周长和面积．
（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形面积减去三个小直角三角形面积即可。）
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（3，0），C（3，4）
三点．
（1）求△ABC的面积．
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1
2），是否存在点P，使四边形
ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
总结提升：
1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：如果两个点的连线平行于x 轴或y轴，则其线段长等于大坐标－小坐标；如果不平行，则运用两
点之间的距离公式：
L=；
2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”
来计算面积。比如此题就可以OA为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。
18. 如图，在平面直角坐标系中，A（x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的
中点M，分别作A，B到x轴的垂线段AE，BF，取EF的中点N，则MN 是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M的坐标是____________（用x1，y1，x2，y2表示）．
（牢记中点坐标公式）
已知点M （-4，2），将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单
位长度，则点M 在新坐标系内的坐标为______．
（总结提升：牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当于
把点向反方向平移；）
34. 如图，35. 将△ABC 绕点C （0，36. -1）旋转180°得到△A ′B ′C ，37.
设点A 的坐标38. 为（a ，39. b ），40. 则点A ′的坐标41. 为（ ）
A ．（-a ，-b ）
B ．（-a ，-b -1）
C ．（-a ，-b ＋1）
D ．（-a ，-b -2）
（总结提升：由于旋转180°，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。）
42. 如图，已知A （0），B （0，2），把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°
后得到△AO ′B ′，则点B ′的坐标是（
）
A ．（4
， B ．（4）
C ．
3）
D ．
（+2
，
（总结提升：首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AOB 是一个含有30°角的直角三角形，又由于旋转角是60°，所以A B ′垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。）
50. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （4，1），B （0，3），请在x 轴上
找一点P ，使得点P 到点A ，B 两点距离之和最小，则点P 的坐标是_________．
（总结提升：这是一个典型的奶站问题，做点B 关于横轴的对称点，连接此对称点和A 点，于横轴的交点就是所求的点。求出直线的表达式，然后求出和横轴的交点即可。
）
62. 如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，其中A （2，0），
B （2，，连接OB ，将纸片OAB
C 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上，则点A ′的坐标为________．
总结提升：欲求点A′的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点；根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则∠BOA=∠BO A′=60°，则∠A′OG也=60°，则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。
74. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为（0，
2），E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是________．
（总结提升：此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与点H；根据折叠的轴对称性质，∠BEA=∠AEF=60°，则角FEH=60°，我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2－BH即是F的纵坐标，2－HF的相反数就是F的横坐标。）
86. 已知A（-2，0），B（3，0），C（0，-1），以A，B，C三点为顶点
作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
总结提升：
1、这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在
性的问题。常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角
线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或
纵轴上的线段，以方便计算；
2、若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等，我们过点C
做AB的平行线，则有两种情况，分别过两个D点做此平行线的垂
线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标；
3、若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别
做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构
造直角三角形解题即可。
97. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，
使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（总结提升：这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。我们常用的处理模式是：“一条线，两个圆”，也就是先做定线段OA的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分别以两个定点为圆心，定长线段为半径画圆，与纵轴的交点即是其他的点。当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。）
如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，2），点M是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△OMP是腰长为3的等腰三角形时，则P点的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
总结提升：
1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，
我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；
2、由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点
为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC的交点向横轴做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。总共三个点。113. 如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为2个平方单位，则点C的位置有＿＿个．
总结提升：
1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；
2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是2；
3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的C的位置做线段AB的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；
4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。
三、回顾与思考
【参考答案】
一、知识点睛
1．①坐标转线段长，线段长转坐标；
②过点作横平竖直的线．
2．①平移线段②一线两圆
二、精讲精练
1．（-4，5），（-5，1）
2．5，65 2
3．（1）6；（2）存在，（-3，1 2）
4．
1212
22
，
x x y y
++
?? ???
5．（-1，5）
6．D
7．B
8．（3，0）
9．（-1
10．（-1，2
11．（1，1），（5，-1），（-5，-1）
12．（0，，（0，-2），（0，-），（0，-4）
13．2），（32），（32）
14．7
坐标的应用（随堂测试）
1．如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中A（0），C（0，4），若将△AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是________．
2．如图，在平面直角坐标系中，其中A（2，0），∠ABO=30°，在y轴上取一点P，使△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P坐标为_______________．
【参考答案】
1．
（6）
2．（0
，4+，（0
，），（0
，4-+，（0
，-）坐标的应用（作业）
4.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（2，3），（5，
-2），（-2，0），求△ABC的周长和面积．
（分割以求和，补形以作差）
10.如图，已知A（0，4），B（2，0），把线段AB绕点A逆时针旋转90°，
点B落在点B′处，则点B′的坐标是（）
A．（6，4）B．（4，6）C．（6，5）D．（5，6）
（构造双垂直模型解题即可）
15.如图，图形关于点D（0，-2）成中心对称，若点A的坐标是（2，3），
则点Ｍ的坐标为．
（运用中点坐标公式解题即可）
4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为：．
47.把△ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，1），点B的坐
标为（2，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC 全等，则点D的坐标为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（总结提升：由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB，因此此题实质上是一个轴对称性质的题；由于AB平行于横轴，所以我们以AB 为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是D点的一个位置；再做出线段AB的垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则是另一个D点的位置。最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻折一次就可以得到第三个D点的位置。利用中点坐标公式求即可。）【参考答案】
1
5，
29
2
2．B 3．（-2，-7）
4
．
3
2
?
??
5．（2，-3），（-2，-7），（-2，3）
6．（5
4，0），
0），（4，0），
（，0）
7．（5
2，4），（3，4），（2，4）
8．（-2，3），（4，-1），（-2，-1）
坐标的应用(每日一题)
1.如图所示，已知边长为1 的正方形OABC在直角坐标系中，B，C两点在第二象限内，OA与x轴的夹角为60°，求点B的坐标．
（注意到此题中出现了含有30°角的直角三角形，过点A分别做横
轴和纵轴的垂线，构造双垂直模型即可）
2.慧慧在一次数学课上，将一副30°，60°，90°和45°，45°，90°
的三角板如图放在直角坐标系中，发现点A的坐标刚好是（9 0），求图中两个三角板的交点P的坐标．
（注意到此题中出现了含有30°角和45°角的特殊直角三角形，我
们可以利用其三边关系比，先求出有关线段的长，然后过点P做横
轴的垂线，设此垂线长为a，把OA表示为含有a的代数式，列方程解
题即可。）
3.如图所示，A（0），B（0，1）分别为x轴，y轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP= S△ABC，求a 的值．
总结提升：
1、首先根据题目中提供的条件，计算出等边三角形的面积；
2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形ABP的面
积；先求出直线AP的表达式，设其与纵轴的交点是H，然后用“大
坐标－小坐标”求出BH的长，则三角形ABP就被我们分隔成了分别
以BH为共同底边的两个小三角形，左边小三角形的高是A点横坐标
的绝对值，右边小三角形的高是P点横坐标的绝对值，据此列方程
解题即可。
4.如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限，OE是△AOB的中线，已知OB＝OE＝5，S△AOB＝15．求A、E两点的坐标．
（总结提升：
1、为了求点E的坐标，我们过点E做横轴的垂线，根据等底同高的
两个三角形面积相等，则三角形OEB的面积等于大三角形面积的一
半；然后根据三角形面积公式求出高即是E点的纵坐标，然后再用
勾股定理求出其横坐标即可；
2、为了求点A的坐标，注意到点E是AB两点的中点，代入中点坐标
公式求解即可。）
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3），OB，AC相交于点D.
求A，D两点坐标；
求四边形OABC的面积.
总结提升：
1、根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此D点是O、B
两点的中点，先利用中点坐标公式求出点D的坐标，再根据
点D也是A、C两点的中点，代入中点坐标公式求出点A的坐
标即可；
2、利用两点之间的距离公式：，分别求出有
关线段的长，可以判定此平行四边形是菱形，根据菱形面积
公式=两条对角线乘积的一半，分别计算出两条对角线的长度
即可求出。
【参考答案】
1.解：
过点B作BE⊥y轴，垂足为E
∵OA与x轴的夹角为60°
∴∠AOE =30°
在Rt △AOD 中，OA =1，∠AOD =30°
∴AD OD ADO =60°
∵AB =1
∴BD =1-
在Rt △BDE 中，BD =1-，∠BDE =60°
∴DE =12，BE =
∴OE =OD +DE =
∵B 在二象限
∴点B 过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为点
过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为点
∴OA OB =1
由勾股定理得AB =2
∵△ABC 为等边三角形
∴S △ABC 22=
∵S △ABP = S △AOB +S 梯形BODP -S △ADP
=1111(1)33)222a a +?+?-?=
∵2S △ABP = S △ABC
3
∴a 4.解：设A ，E 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）
由题意知：B 点坐标为（5，0），S △AOB ＝12?OB ? y 1＝5
2y 1＝15 ∴y 1＝6
∵OE 是△AOB 的中线
∴E 是AB 的中点
《平面直角坐标系》优质课比赛情景导入《平面直角坐标系》情景导入第一环节:交流 师:小军～这周六不是你的生日嘛,老师准备和几个班级代表跟你一起分享一下幸福和快乐～能说一下你家的位置吗, 小军:××小区×栋×单元×号 师:哦～那能说一下在你们小区的具体位置吗, 小军:呃…… 师:那通过本节课的学习～相信你就会准确的告诉我们的～怎么样,欢不欢迎可就看你的了哦: 【设计意图】课堂一分钟与学生随意交谈～拉近与学生的距离～尤其小军是班级的后进生～不爱学习～通过这样一个生活小事～既体现了老师和同学对他的关心～也使他能认真完成这堂课 第二环节:出示多媒体模拟图 1、在课件中模拟一张教室平面图～让学生说出图中刘明和张军所在的位置 ,从学生的回答中可知:用几个量就能准确地描述出平面上点的位置,提问: 能否也象前面一样用“数轴”来解决这个问题呢,, 【设计意图】学生自然会类比、联想“数轴”的建模思想。而且知道:既能体现“行”又能体现“列”建一条数轴是不行的。这时组学生分组进行讨论、交流～阐述自已的想法。 2、出示西夏区卫星图片 第 1 页共 3 页 图中标示出十八中、十四中、二民院、宁大北校区的位置。 问题:你能表示出这种位置关系吗,
问题:如果引入方格线～现在你能表示图中十八中、十四中的位置吗, 问题:如果在此基础上～以十八中为原点作两条互相垂直的数轴～分别取向右～向上为正方向～一个方格的边长看做一个单位长度～那么你能表示出十六中、二民院、宁大北校区的位置吗, 【设计意图】从学生熟悉的数轴出发～使学生将新旧知识联系起来～符合学生的认知规律。引入卫星图片既可以提高学生兴趣～同时开阔了学生眼界～连续三个问题步步提出将平面直角坐标系引入的必要性逐渐展现在学生面前～同时把本节课与前面《位置的确定》紧密联系在一起～而此处方格线具有的无界性～引发成学生思维冲突～设立一个参照点,原点,的成为确定位置所必需的。 第三环节:插“笛卡尔”故事～从而引入课题。 1619年～23岁的笛卡尔在一支德国部队服役～军营驻扎在多瑙河旁～11月的一天～他因病躺在了床上～无所事事的他默默地思考着…… 抬头望着天花板～一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来～吐丝结网～忙个不停。从东爬到西～从南爬到北。要结一张网～小蜘蛛该走多少路啊:笛卡尔突发奇想～算一算蜘蛛走过的路程。他先把蜘蛛看成一个点～这个点离墙角多远, 离墙的两边多远,……他思考着～计算着～病中的他睡着了……梦中他继续在数学的广阔天地中驰骋～好像悟出了什么～又看到了什么～大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开～一种新的思想初露端倪:在互相垂直的两条直线下～一个点可以用到这两条直线的距离～也就是两个数来表示～这个点的位置就被确定了。 第 2 页共 3 页 他恍然大悟:“啊!可以像蜘蛛一样用网格来确定事物的位置啊!”引入正题——怎样用网格来表示位置, 【设计意图】让学生了解平面直角坐标系的创立背景～这样让学生体会和著名数学家媲美的成功喜悦感～来调动学生学习的积极性。教师教得轻松～学生学得高
《测量学》习题及其参考答案 （第 1～11 章共 79 题） 习题 1 1．什么叫大地水准面?它有什么特点和作用? 2．什么叫绝对高程、相对高程及高差? 3．测量上的平面直角坐标系和数学上的平面直角坐标系有什么区别? 4．什么叫高斯投影？高斯平面直角坐标系是怎样建立的? 5 ．已知某点位于高斯投影 6 °带第20 号带，若该点在该投影带高斯平面直角坐标系中的横坐标y ＝ -306579.210m ，写出该点不包含负值且含有带号的横坐标y 及该带的中央子午线经度L0。 6．什么叫直线定线？标准方向有几种？什么是坐标方位角？ 7．某宾馆首层室内地面±0.000的绝对高程为45.300m，室外地面设计高程为-l.500m ，女儿墙设计高程为+88.200m，问室外地面和女儿墙的绝对高程分别为多少? 8．已知地面上 A 点的磁偏角为-3°10′，子午线收敛角为+1° 05′，由罗盘仪测得直线AB 的磁方位角为为63° 45′，试求直线AB的坐标方位角AB? 并绘出关系略图。 1 ．通过平均海水面的一个水准面，称大地水准面，它的特点是水准面上任意一点铅垂线都垂直于该点的曲面， 是一个重力曲面，其作用是测量工作的基准面。 2 ．地面点到大地水准面的垂直距离，称为该点的绝对高程。地面点到假设水准面的垂直距离，称为该点的相 对高程。两点高程之差称为高差。 3 ．测量坐标系的X 轴是南北方向，X 轴朝北， Y 轴是东西方向，Y 轴朝东，另外测量坐标系中的四个象限按 顺时针编排，这些正好与数学坐标系相反。 4 、假想将一个横椭圆柱体套在椭球外，使横椭圆柱的轴心通过椭球中心，并与椭球面上某投影带的中央子午 线相切，将中央子午线附近（即东西边缘子午线范围）椭球面上的点投影到横椭圆柱面上，然后顺着过南 北极母线将椭圆柱面展开为平面，这个平面称为高斯投影平面。所以该投影是正形投影。在高斯投影平面上，中央子午线投影后为X 轴，赤道投影为Y 轴，两轴交点为坐标原点，构成分带的独立的高斯平面直角坐标系统。 5 ．Y=20000000+(-306579.210m+500000m)=20193420.790。 L0 6 20 3117 6 ．确定直线与标准方向的关系（用方位角描述）称为直线定向。标准方向有真子午线方向、磁子午线方向、
评点与建请以下座位的同学今天放学后参加英语口语测试 . 【教学说明】教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现数学问题：定一个位置需要两个数据，体会认识有序实数对的重要. 二、建立表象，数形结 新知探究：平面直角坐标系相关概 小明：音乐喷泉在中山北路西边50米，北京西路北边100米. 小丽能根据小明的提示从图中用“·”标出音乐喷泉的位置吗？
思考： 1.确定平面上一点的位置需要什么条件？ 2.既然确定平面上一点的位置需要两个数，那么能否用两条数轴建立模型来表示平面上任一点的位置呢？ 【教学说明】教师在学生回答的基础上，边操作边讲出：为了确定平面上一个点的位置，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，这样就组成平面直角坐标系. 确定水平的数轴称为x轴（横轴），习惯上我们取向右为正方向;竖直的数轴称为y轴（纵轴），取向上方向为正方向；两轴交点为原点，这样就形成了坐标平面. 有了坐标平面，平面内的点就可以用一个有序实数对来表示. 引导观察：如下图中点P可以这样表示：由P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2，点P 向y轴作垂线，垂足N在y轴的坐标是3，于是就 说点P的横坐标是-2，纵坐标是3，把横坐标写在纵坐标前面记作（-2， 3），即P点坐标（-2，3）. . 的坐标C、B、A引导练习：写出点．
4.写出图中点A、B、C、D、E、F的坐标.（注：每小格的长度代表单位“1”.） 【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对利用新知识解决一些简单问题有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理一些新问题. 【参考答案】1.B 2.A 3.（1， 3） 4.解：A（-3， -2），B（-5， 4），C（4， -4），D（0， -3），E（2， 5），F（-3， 0）. 四、师生互动，课堂小结．
平面直角坐标系 苟仁初中杨小娜 一、背景分析 (1)教材分析 本节课的学习任务就是:理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念。认识并能画出平面直角坐标系。能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标及由坐标描出点的位置。“平面直角坐标系”作为“数轴”的进一步发展,实现了认识上从一维空间到二维空间的跨越,构成更广范围内的数形结合、数形互相转化的理论基础。就是今后学习函数、函数与方程、函数与不等式关系的必要知识。所以平面直角坐标系就是沟通代数与几何的桥梁,就是今后学习的一个重要的数学工具。目的就是让学生尽早接触平面直角坐标系这种数学工具,更快更好地感受数形结合的思想。所以,本节课的教学重点就是:理解平面直角坐标系及相关概念,能由点的位置写出它的坐标。 (2)学生情况分析 《平面直角坐标系》就是八年级上册第三章《位置的确定》第二节内容。学生在小学阶段已经学习过一种确定位置的方法,即用数对确定位置,这对学生理解本节课的内容起到了一个很好的铺垫作用。学生在学习了数轴的概念后,已经有了一定的数形结合的意识,积累了一定的由数轴
坐标描出数轴上点及由数轴上的点写出数轴上坐标的经验,同时经过前两节《位置的确定》课的学习,对平面上的点由一个有序数对表示,有了一定的认识。八年级的学生经过一年的初中学习已经具备了初步的逻辑推理能力与空间想象能力,自主探索、合作交流已经成为她们学习数学的重要方式,所以学生学习本节课时已经具备了必要的相关知识与技能。 如何从一维数轴点与实数之间的对应关系过渡到二维坐标平面中的点与有序数对之间关系,限于初中的学习范围与学生的接受能力,学生理解起来有一定的困难,如:不理解有序实数对,不能很好地理解一一对应,不能正确认识横、纵坐标的意义,有的只限于机械地记忆,这样会影响对数形结合思想的形成。同时本节内容中概念较多,比较琐碎,如何熟练运用对学生来说也有一定困难。 二、教学任务分析 1、知识与技能: 1、认识平面直角坐标系,在给定的直角坐标系中,会根据坐标轴描出点的位置,由点的位置写出它的坐标。 2、明确坐标系内的点与点的坐标就是一一对应的。 3、能确定各个象限内点、以及坐标轴上点的坐标特点。 2、情感目标: 通过平面直角坐标系点与坐标之间关系的探究过程及
《平面直角坐标系》教学设计 一、教学目标 知识与技能： 1．理解平面直角坐标系的有关概念，并能正确画出平面直角坐标系； 2．能在给定的直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 过程与方法： 经历画坐标系、描点、看图等过程，让学生感受“数形结合”的数学思想，体会数学源于生活，初步体验将实际问题数学化的过程和方法。 情感态度与价值观： 揭示人类认识世界是由特殊到一般，由具象到抽象的认知规律，激发学生勇于探索的精神。 二、教学重点、难点 1．教学重点： 使学生能正确画出平面直角坐标系，并能在给定的直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 2．教学难点： 理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系。 三、教学方法 探究式教学法。从学生的生活经验和已有的认知水平出发，提出问题，让学生通过合作交流，解决问题，掌握新知。 四、教学准备 多媒体课件。
五、教学设计 教师活动学生活动点评 一、创设情境，引入新课 引例：我们的教室共有56个座位，自前向后分为7排，自左向右分为8列，每位学生对应了一个座位，我们来玩个“点将”游戏，你们是“将”，由我来点，点到的同学说出自己的座位号几排几列）。同时演示“点将”游戏，游戏规则：（1）老师报到学生姓名，学生起立并说出座位号；（2）老师说出座位号，对应的学生起立。奖励：同学们的掌声。 再提问你如何来确定自己的座位？ 二、讲解概念，合作探究 1．结合图形，讲解平面直角坐标系的概念 在这个图中，我们使用了两条数轴。请同学们观察一下，这两条数轴有何关系呢？ 根据学生回答，教师投影显示平面直角坐标系的概念。 （电脑高亮显示坐标轴、原点）图片2.ppt 特别说明：通常，横轴取向右方向为正方向，纵轴取向上方向为正方向；两坐标轴上的单位长度通常是一致的。 2．动手操作，合作探究 （1）让学生画一个平面直角坐标系，要求单位长度为1厘米。 教师巡视、指导学生画出平面直角坐标系。 （2）在直角坐标系中，由一对有序实数（a，b）可以确定一个点Ｐ的位置。过x轴上表示实数a的点画x轴的垂线，过y轴上表示实数b的点画y轴的垂线，这两条垂线的交点，即为点Ｐ。
平面直角坐标系 漂市一中钱少锋 二、知识要点梳理 知识点一：有序数对 比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作: (a,b)． 要点诠释： 对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。 知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念 1.平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。 注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。 2.点的坐标
点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。 注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。 ②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|示点到x轴的距离。 知识点三：点坐标的特征 l.四个象限内点坐标的特征： 两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）． 2.数轴上点坐标的特征： x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）； y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)． 注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
平面直角坐标系（第一课时）教学设计 教学目标 1.掌握平面直角坐标系的有关概念，了解点的坐标的意义. 2.根据点的位置写出点的坐标，由坐标找出点. 3 .通过建立平面直角坐标系的过程，进一步渗透数形结合的思想．教学重点与难点 教学重点：平面直角坐标系和点的坐标. 教学难点：在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标，由坐标描出点 教学过程 一、提出问题，导入新课 问题： 1、什么是数轴? 2、如图，写出数轴上A和B两点所对应的数，反过来，描出数-4，0和1所对应的点. 3、我们已经知道，平面内点的位置的确定需要两个数，而借用一条数轴只能确定直线上的点的位置，那么平面内的点我们借用几条数轴来确定它的位置呢? 二、探索新知，解决问题 1、让学生带着以下问题阅读课本41页“思考”以下的内容. （1）什么是平面直角坐标系? （2）在平面直角坐标系中，什么是横轴、纵轴、原点?
（3）在坐标平面内如何求一个点的坐标? 2、检查自学结果，明确概念 （1）平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. （2）水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点. （3）点的坐标：由该点出发向x轴作垂线，交在x轴上的点表示的数是几，这个数就是该点的横坐标；同样，由该点出发向y轴作垂线，交在y轴上的点表示的数是几，这个数就是该点的纵坐标. 注意：（1）画平面直角坐标系时，别忘了标x轴、y轴的正方向及x 轴、y轴的名称. （2）写坐标时要加括号，括号内先横后纵，中间用逗号隔开，如（2，3） （教学说明：平面直角坐标系的产生是法国数学家迪卡尔的伟大发现，里边涉及到的概念很难引导学生自己得出，因此可以通过自学的方式让学生掌握这些知识.） 3.简单应用 课本43页练习1、2. （三）、巩固训练，熟练技能： 1.在平面内，两条的数轴组成平面直角坐标系； 2.两条数轴通常分别置于位置与位置，取与的方向分别为两条数轴的正方向，水平的数轴叫做（）或（）,竖直的数轴
平面直角坐标系易错题型点拨 【知识要点】 1、有序数对 我们把有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作) a. , (b 由于a与b是有顺序之分的，所以)2 1(与)1, 2(表示的意义不一样. , 2、平面直角坐标系的定义 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的. 3、点的坐标的确定 点的坐标用()b a,表示，从点向横轴作垂线段，垂足在横轴上表示的数是其横坐标a；从点向纵轴作垂线段，垂足在纵轴上表示的数是其纵坐标b. 坐标点()b a,的确定，在x轴上找到表示数a的点，过该点做x轴的垂线；在y轴上找到表示数b的点，过该点作y轴的垂线；两条垂线的交点就是点()b a,的位置. 4、各象限内点及坐标轴上点的坐标特点 （1）在第一象限内的点横纵坐标都为正；（2）在第二象限内的点横负纵正； （3）在第三象限内的点横纵坐标都为负；（4）在第四象限内的点横正纵负； （5）横轴上的点纵坐标为0；纵轴上的点横坐标为0. 【知识拓展】 1、对称点的坐标特点 （1）关于横轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数； （2）关于纵轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数 2、特殊直线上点的坐标特点 （1）垂直于x轴的直线上的点的横坐标相等； （2）垂直于y轴的直线上的点的纵坐标相等； （3）第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等； （4）第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数. 3、点P(x，y)到到坐标轴的距离 (1)点P(x，y)到横轴的距离等于纵坐标的绝对值|y|； (2)点P(x，y)到纵轴的距离等于横坐标的绝对值|x|. 4、坐标平面内两点间的距离 （1）横坐标相同的两点的距离等于纵坐标差的绝对值； （2）纵坐标相同的两点的距离等于横坐标差的绝对值.
第三章位置与坐标 3.2 平面直角坐标系教学设计（第1课时） 本节课获得市级公开课一等奖 有一整套配套资料（PPT、教学设计、导学案、说课稿、教学反思） 欢迎下载 教学目标 知识与技能： 1．理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念； 2．认识并能画出平面直角坐标系； 3．能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标，由坐标找出点。 过程与方法： 1．通过画坐标系、由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识； 2．通过对一些点的坐标进行观察，培养学生的探索意识和能力。 情感态度价值观： 由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。
教学重点：平面直角坐标系的形成过程及由点写出坐标和根据坐标描点. 教学难点：认识点与坐标的一一对应关系. 教学过程设计 第一环节导入新课 1.回顾旧知 回顾数轴的相关知识。 2.抽象类比，形成概念 （完成教材58页做一做） 在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，这个问题中，大家看用哪种方法比较合适？ 第二环节活动引领，探究新知 活动1.自学明晰概念 师：我们从实际问题中建立起了平面直角坐标系的模型，下面请同学们第59页的内容，完成导学案上的知识梳理部分。 （教师巡视，将有问题的纠正，并归纳讲解） 活动2.由点写出坐标 写出例题中的多边形ABCDEF各顶点的坐标. 师：（结合上图）我们知道，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以一个点的横、纵坐标也是唯一确定的，所以一个点所对应的坐标由几个呢？（板书：点---坐标）
一、课前准备 1、（1）平面直角坐标系的概念：平面内两条互相、重合的组成的图形. （2）各象限点的坐标的特点是： 点P （x ，y ）在第一象限，则x 0，y 0.点P （x ，y ）在第二象限，则x 0，y 0. 点P （x ，y ）在第三象限，则x 0，y 0.点P （x ，y ）在第四象限，则x 0，y 0. （3）坐标轴上点的坐标的特点是： 点P （x ，y ）在x 轴上，则x ，y .点P （x ，y ）在y 轴上，则x ，y . （4）小学学过比例尺，我们知道：比例尺是图距与的比. 2、自读课本P73-75页完成探究，并归纳利用平面直角坐标系来表示地理位置的一般步骤是： ①建立坐标系，选择一个适当的参照点为________，确定X 轴、Y 轴的__________. ②根据具体问题确定适当的___________，在坐标轴上标出___________. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的__________和各个地点的名称. 3、如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置： ①用平面直角坐标来表述各地的位置 ②和同学比较一下，大家建立的直角坐标系的位置是一样的吗？ ③这是用什么方法来表述各地的位置？ 4、一般地，可以建立___________，用__________表示，还可以用___________和_______ 表示平面内的物体的位置. 二、交流协作 1、已知仙鹤的坐标为（2，1），大树的坐标为 （8，2），而狮子的坐标为（6，6），你能在图中标出狮子的位置吗？ 三、展示激励 小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“奔奔日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处 2.4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方．根据这些信息可以请你画出表示各处位置的一张简图： · 仙鹤 （2，1） · 大树 （8，2） ·
平面上两直线的夹角求法解析 一、内容概述 在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及到．但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式： ，平面向量中直线法向量夹角的余弦及直线方向向量夹角的余弦的应用来进行考查． 二、基本概念 ①平面上直线方程的两种常用表示： 直线的点斜式方程：； 直线的一般式方程：不全为． ②平面上两条相交直线夹角的概念： 平面上两条相交直线，所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角． ③平面上两条直线所成角的范围： 如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为； 如果两条直线垂直，规定它们的夹角为； 如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为． ④平面上直线的方向向量： 基线与平面上一条直线平行或重合的向量，叫做直线的方向向量； 直线点斜式方程的一个方向向量为． ⑤平面上直线的法向量： 基线与平面上一直线垂直的向量，叫做直线的法向量； 直线的一般式方程不全为的一个法向量为．
三、理论推导 1.已知倾斜角，根据两角差的正切公式求两直线夹角. 证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为． 假设为直线，所成的一角，显然，则，由公式得： 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得： 即，平面上直线与直线的夹角． 2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦求平面上两直线夹角. 证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，一法向量；直线的一般式方程为，一法向量．
假设为直线，所成的一角，显然（左图）或（右图）由法向量夹角的余弦得： 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，所以．从而得： 即，平面上直线与直线的夹角． 3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦求平面上两直线夹角. 证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线的点斜式方程为，一方向向量；直线的点斜式方程为，一方向向量．
第十一章平面直角坐标系 11.1平面内点的坐标 第1课时平面直角坐标系 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念; 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系; 3.能在方格纸中建立平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.通过画坐标系,由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识; 2.通过对一些点的坐标进行观察,探索坐标轴上点的坐标有什么特点,纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系,培养学生的探索意识. 【情感、态度与价值观】 让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 理解平面直角坐标系的有关知识;在给定的平面直角坐标系中,会根据点的位置写出它的坐标. 【教学难点】 坐标轴上的数字与坐标系中的坐标之间的关系. ◇教学过程◇ 一、情境导入 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?下面给出一张某市旅游景点的示意图,根据示意图(如图),回答以下问题: (1)你是怎样确定各个景点位置的? (2)“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格?“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格?
(3)如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看作一个单位长度,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢? 二、合作探究 1.平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分. 在了解有关平面直角坐标系的知识后,再返回刚才讨论的问题. 结论:如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看作一个单位长度,则“碑林”的位置是(3,1),“大成殿”的位置是(-2,-2). 问题:在(3)的条件下,你能把其他景点的位置表示出来吗? 结论:能,钟楼的位置是(-2,1),雁塔的位置是(0,3),影月湖的位置是(0,-5),科技大学的位置是(-5,-7). 2.例题讲解 典例写出图中多边形ABCDEF各顶点的坐标.此图中各顶点的坐标是否永远不变?你能举个例子吗? [解析]多边形ABCDEF各顶点的坐标分别为 A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3).不是.当坐标轴的位置发生变动时,各点的坐标相应地变化.若以线段BC所在的直线为x轴,纵轴(y轴)位置不变,如图, 则六个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(0,0),C(3,0),D(4,3),E(3,6),F(0,6).再思考这个结论是否是永恒的. 结论:不是.还能再改变坐标轴的位置,得出不同的坐标.继续进行坐标轴的变换,总结一下共有多少种不同的变换方式. 3.想一想 在上例中,(1)点B与点C的纵坐标相同,线段BC的位置有什么特点? (2)线段测定位置有什么特点? (3)坐标轴上点的坐标有什么特点? 【归纳总结】(1)坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0;横轴上的点的纵坐标为0,纵轴上的点的横坐标为0.
3.2 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 第一环节 感受生活中的情境，导入新课 同学们，你们喜欢旅游吗？ 假如你到了某一个城市旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给出一张某市旅游景点的示意图，根据示意图回答以下问题： （1） 你是怎样确定各个景点位置的？ （2） “大成殿”在“中心广场”南、西各多少个 格？“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格？ （3） 如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴，分别取向右、向上的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，那么你能表示“碑林” 的位置吗？“大成殿”的位置呢？ 在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，这个问题中，大家看用哪种方法比较合适？ 第二环节 分类讨论，探索新知 1．平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分。 学生自学课本，理解上述概念。 2．例题讲解 （出示投影）例1 例1 写出图中的多边形ABCDEF 各顶点的坐标。 3．想一想 在例1中， （1）点B 与点C 的纵坐标相同，线段BC 的位置有什么特点？ （2）线段CE 位置有什么特点？ （3）坐标轴上点的坐标有什么特点？ 由B （0，－3），C （3，－3）可以看出它们的纵坐标相同，即B ，C 两点到X 轴的距 A B C D E F O 1 1x y A B C D E F 1 y x
离相等，所以线段BC 平行于横轴（x 轴），垂直于纵轴（y 轴）。 第三环节 学有所用. 补充：1．在下图中，确定A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的坐标。 （第1题） （第2题） 2．如右图，求出A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标。 第四环节 感悟与收获 1．认识并能画出平面直角坐标系。 2．在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。 3．能适当建立直角坐标系，写出直角坐标系中有关点的坐标。 4．横（纵）坐标相同的点的直线平行于y 轴，垂直于x 轴；连接纵坐标相同的点的直线平行于x 轴,垂直于y 轴。 5．坐标轴上点的纵坐标为0；纵坐标轴上点的坐标为0。 6．各个象限内的点的坐标特征是：第一象限（＋，＋）第二象限（－，＋）， 第三象限（－，－）第四象限（＋，－）。 第五环节 布置作业（略）。 4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点) x y 1 F E D C B A
7.1.2平面直角坐标系 税镇中心校---校玉见 教材分析 本节是在7.1.1节学生已有的用有序数对确定平面物体位置的丰富体验的基础上，进一步把问题数学化，由感性升化到理性。通过让学生“思考与探究”引入平面直角坐标系的有关概念，展现了知识的发展过程，使学生感受数学在处理确定平面点的位置的问题时的思想和方法。几何的基础． 学情分析 上一节课学生已经学习过有序数对，会用有序数对表示点的位置，给本节课的学习积累了一定的学习经验。而且七年级学生动手能力强，善于与同伴交流，这就为本节课的学习做好了知识、能力、情感方面的准备． 教学目标 知识与技能 1.认识并能画出平面直角坐标系； 2.能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置； 3.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的 坐标。 过程与方法 1.经历画坐标系、看图以及由点找坐标等过程，渗透数形结合、转化的数学 思想； 2.揭示人类认识世界是由特殊到一般、具体到抽象、一维到多维等认识规律， 发展学生的数形结合意识、合作交流意识，培养学生的发散思维能力和创新能力。 情感态度价值观： 培养学生细致、认真的学习习惯。通过介绍笛卡尔创立直角坐标系的背景知识，激励学生敢于探索，勇攀科学高峰。
教学重点： 1.能画出平面直角坐标系；会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 2.平面点的坐标具有的特征， x轴和y轴上的点和平面直角坐标系四个象限点坐标的特征， 教学难点：能建立平面直角坐标系；求出点的坐标，由点的位置写出它的坐标。 教学准备 多媒体、两个直尺、坐标纸和小黑板 教学方法 探索式教学法，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探 索，讨论解决问题的方法。 教学过程 活动一：复习提问，引出课题 （本节课采用复习引入的方式，以问题唤醒学生的回忆，引起学生的思考。问题1和问题2是为学习新知做准备。） 问题1：什么是数轴？ 规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴。 问题2：数轴上的点与实数之间有什么关系？ 数轴上的点A表示数-4.反过来，数-4就是点A的位置。我们说点1是点A 在数轴上的坐标。 同理点Ｂ在数轴上的坐标为３。 数轴上的点与实数之间存在着一一对应的关系。 (学生回答问题，教师点评) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 B A
教学过程 1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系; 2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（a,b ） 一一对应；其中， a 为横坐标， b 为纵坐标坐标； 3、 X 轴上的点，纵坐标等于 0 ; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点不属于任何象限； 4、 四个象限的点的坐标具有如下特征： 小结：（1 ）点P （ X, y ）所在的象限 橫、纵坐标X 、y 的取值的正负性; -3 -2 -1 -1 -2 -3 （2）点P （ x,y ）所在的数轴 橫、纵坐标X 、y 中必有一数为零; ? P(a,b)
5 、面直角坐标系中，已知点 P (a,b)，贝9 b (1) 点P 到X 轴的距离为忖; (2) (2 )点P 至U y 轴的距离为a 扌; (3) 点P 到原点0的距离为PO = Ja 2 b 2 6、平行直线上的点的坐标特征: 7、对称点的坐标特征: C < n 1 L Y D ” 1 点C 、D 的横坐标都等于 a) 点P (m, n)关于x 轴的对称点为 R (m, n)， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数; b) 点P (m, n)关于y 轴的对称点为 P ?( m, n)， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数; c) 点P (m, n)关于原点的对称点为 P 3( m, n)，即横、纵坐标都互为相反数; 关于x 轴对称 Pc ■ n P ■ z. T 1 1 1 1 1 1 1 1 4 m O m 关于原点对称 8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征: a)若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 m n ，即横、纵坐标相等; b) 若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，则 m n ，即横、纵坐标互为相反数; a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等; X X 关于y 轴对称
第三章位置与坐标 2 平面直角坐标系（第1课时） 西安高新第一中学姬文亮 一、学生起点分析 《平面直角坐标系》是八年级上册第五章《位置与坐标》第二节内容。本章是“图形与坐标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础。《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究。 二、教学任务分析 教学目标设计： 知识目标： 1．理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念； 2．认识并能画出平面直角坐标系； 3．能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。 能力目标： 1．通过画坐标系、由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识； 2．通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力。 情感目标： 由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。 教学重点： 1．理解平面直角坐标系的有关知识； 2．在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标； 3．由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点。 教学难点： 1．横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系 的探究； 2．坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。 三、教学过程设计 第一环节感受生活中的情境，导入新课 同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市
平面直角坐标系》教学设计 七年级数学大阜村中学徐兵 一、教学目标 知识与技能： 1．理解平面直角坐标系的有关概念，并能正确画出平面直角坐标系；2．能在给定的直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 过程与方法： 经历画坐标系、描点、看图等过程，让学生感受“数形结合”的数学思想。情感态度与价值观：利用游戏、观察、实践、归纳等方法，积淀学生的数学文化涵养，培养热爱数学，勇于探索的精神。 二、教学重点、难点 1．教学重点： 使学生能正确画出平面直角坐标系，并能在给定的直角坐标系中，根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。 2．教学难点： 理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系。 三、教学方法探究式教学法。从学生的生活经验和已有的认知水平出发，提出问题，让学生通过合作交流，解决问题，掌握新知。 四、教学准备 多媒体课件。 五、教学设计 （一）创设情境引入新课
引例：我们的教室共有32 个座位，自前向后分为7 排，自左向右分为 5 列，每位同学对应了一个位置，我们来个“点将”的游戏，你们是“将”，由我来点。 同时说明游戏规则：（1）老师报出学生姓名，学生起立并说出座位号; （2）老师说出座位号，对应的同学起立。 再提问你是如何确定自己的座位？ （二）讲解概念合作探究 1、结合图形讲解平面直角坐标系的有关概念 （1）在这个图中，我们使用了两条数轴。请同学们观察一下，这两条数轴有何关系呢？根据学生回答，教师投影显示平面直角坐标系的概念。 （电脑突出显示坐标轴与原点） 说明：通常横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向，两坐标轴的单位长度一般相同。 （2）为了便于研究，我们把 2 条坐标轴将平面分成的4个区域成为象限，按逆时针方向依次记作第一、二、三、四象限。 （教师课件演示） 提醒：坐标轴不属于任何象限。 2、动手操作，师生互动 （1）让学生画一个平面直角坐标系，单位长度为 1 厘米， 教师巡视指导） （2）在直角坐标系中，由一对有序实数（a,b）可以确定一个点P的位置。过x 轴上表示数 a 的点画x 轴的垂线，过y 轴上表示数 b 的点画y 轴的垂线，这两条线的交点，即为点1 P。 （师边讲解边作图）
专题复习之极坐标系与参数方程 一、知识精讲 （一）、极坐标 知识点一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0) :(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>? 的作用下,点P(x,y)对 应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 知识点二、极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标 (,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 知识点三、极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 :
七年级《数学》下册教案 执教者：授课班级：701/702 上课时间：第十周4月 21日 课时总时数：62 课题：7.1.2(1)平面直角坐标系 教学目标： （一）知识与技能：理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系，理解象限的概念，会区分象限. （二）过程与方法：经历探索认识平面直角坐标系的过程，渗透对应关系，提高学生的数感. （三）情感态度与价值观：体验数、符号是描述现实世界的重要手段. 教学重点：平面直角坐标系和点的坐标. 教学难点：根据点的位置写出点的坐标，理解象限的概念，会区分象限.[来源:学科网ZXXK] 教学方法：研讨点拨法 教具准备：多媒体课件 教学时数：1课时 教学过程： 一、复习引入 1.复习 （课件出示一条数轴）如图，数轴上的点A、B表示的数是
什么？表示数字4的点是哪个点？你发现数轴上的点与实数是什么关系？ 教师小结：数轴上的每个点都对应一个实数(这个实数叫作这个点在数轴上的坐标)；反过来,知道一个数,这个数在数轴上的位置就确定了. 2.引入 能不能找到一种方法来确定平面内一个点的位置呢？本节课我们就共同来学习.（板书课题：7.1.2平面直角坐标系） 二、目标与自学 课件出示学习目标 1.类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？请同学阅读教材回答问题出示问题：（1）如何确定一个点在平面上的位置？ （2）平面直角坐标系的概念？如何建立平面直角坐标系？象限如何划分？ 三、引导与新授 1.平面直角坐标系的概念 在平面内画两条互相垂直的数轴,构成平面直角坐标系. 竖直的叫y轴或纵轴;（y轴取向上为正方向) 水平的叫x轴或横轴；(x轴取向右为正方向) x轴与y轴的交点叫平面直角坐标系的原点. 2.已知平面直角坐标系中的点，说出坐标
第三章 位置与坐标 3. 2 平面直角坐标系 第 1 课时 教学设计 《平面直角坐标系》是八年级上册第五章《位置与坐标》第二节内容.本章是“图形与坐 标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系” 等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础.《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心.因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究. 1. 理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；认识并能画出平面直角坐标 系；能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标. 2. 通过画坐标系、由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识；通过对 一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力. 3. 由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密 切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心. 【教学重点】 1．理解平面直角坐标系的有关知识； 2．在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标；
3．由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点. 【教学难点】 1．横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究； 2．坐标轴上点的坐标有什么特点的总结. ◆课前准备 ◆ 学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺； 教师准备课件，图片，三角板. ◆教学过程 一、创设情境，引入新知 同学们，你们喜欢旅游吗？假如你到了某一个城市 旅游，那么你应怎样确定旅游景点的位置呢？下面给 出一张某市旅游景点的示意图，根据示意图（图5－6）， 回答以下问题： （1）你是怎样确定各个景点位置的？ （2）“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格？ “碑林”在“中心广场”北、东各多少个格？ （3）如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数 轴，分别取向右、向上的方向为数轴的正方向，一个方格的边长看做一个单位长度，那么你能表示“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？ 在上一节课，我们已经学习了许多确定位置的方法，这个问题中，大家看用哪种方法比较合适？ 二、合作交流，探究新知 1. 小红在旅游示意图上画上了方格，标上数字，并用（0，0）表示科技大学的位置，用（5，7）表示中心广场的位置，那么钟楼的位置如何表示？（2，5）表示哪个地点的位置？（5，2）？ 2.如果小亮和他的朋友在中心广场，并以中心广场为“原点”，做了如图所示的标记，那么你能表示“碑林”的位置吗？“大成殿”的位置呢？