专题5.3 垂 线（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；
3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
【要点梳理】
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
特别说明：
(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：；
直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD ⊥AB ．
2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．
特别说明：
(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． a b ⊥
90
AOC
∠=°判定
性质
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：
（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．
（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
特别说明：
（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；
（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．
【典型例题】
类型一、垂线定义的理解
1．【答案】130°或50°
【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直，
∵α+β=180°
故β=130°，
在上述情况下，若反向延长∵β的一边，那么∵β的补角的两边也与∵α的两边互相垂直，故此时∵β=50；
综上可知：∵β=50°或130°，
故正确答案为：
【点拨】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.
举一反三：
【变式1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则
∠BOD=__________°．
【答案】150
解：试题分析：首先根据直角定义可得∵COE=90°，再根据角的和差关系可得
∵AOC=∵COE+∵AOE=90°+60°=150°，根据对顶角相等可得∵BOD=∵AOC=150°．【变式2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE∠AB，O为垂足，∠EOD=30°，则∠AOC=_______
【答案】60°
【分析】首先根据OE∵AB，可得∵EOB＝90°，然后根据∵EOD＝30°，求出∵BOD的度数，再根据对顶角相等，即可判断出∵AOC的度数是多少．
解：∵OE∵AB，∵∵EOB＝90°．
∵∵EOD＝30°，∵∵BOD＝90°﹣30°＝60°．
∵∵AOC＝∵BOD，∵∵AOC＝60°．
故答案为60°．
【点拨】（1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）此题还考查了对顶角的特征和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对顶角相等．
类型二、画垂线
2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．
（1）过点P画AB的垂线段PE．
（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．
（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”
【分析】前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.
解：（1）（2）如图所示．
（3）在直角∵FPO中,PO＜FO,
在直角∵PEO中,PE＜PO,
∵PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．
【点拨】本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.
举一反三：
【变式1】如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．（1）过C点画OB的垂线，交OA于点D；
（2）过C 点画OA 的垂线，垂足为E ；
（3）比较线段CE ，OD ，CD 的大小（请直接写出结论）；
（4）请写出第（3）小题图中与∠AOB 互余的角（不增添其它字母）．
【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）CE ＜CD ＜OD ；（4）与∵AOB 互余的角是∵OCE
与∵ODC
【分析】(1)作DC∵OB 即可；
(2)作CE∵OA 即可；
(3)根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论；
(4)根据两角互余的定义即可得出结论．
解：解：(1)、(2)如图所示；
(3)∵CE∵OA ，
∵CE ＜CD.
∵∵OCD 中OD 是斜边，CD 是直角边，
∵CD ＜OD ，
∵CE ＜CD ＜OD ；
(4) ∵CE∵OA ，
∵∵AOB+∵OCE=90°．
∵CD∵OB ，
∵∵AOB+∵ODC=90°，
∵与∵AOB 互余的角是∵OCE 与∵ODC ．
【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．
【变式2】如图，90AOB ∠=︒，在AOB ∠的内部有一条射线OC .
（1）画射线.OD OC ⊥
（2）写出此时AOD ∠与BOC ∠的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）作图见解析（2）（1）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒
【解析】
试题分析：（1）根据基本作图—做已知直线的垂线即可；
（2）通过图形判断即可.
试题解析：（1）画图，如下图
（2）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒
类型三、垂线段最短
3．如图所示，在∠ABC 中，AC=5，BC=6，BC 边上高AD=4，若点P 在边AC
上（不含端点）移动，求BP 最短时的值．
【答案】245
【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，
BP 的长最小，利用面积法即可求出此时BP 的长．
解：根据垂线段最短可知，当BP ∵AC 时，BP 最短．
∵S ∵ABC 12=⨯BC ×AD 12=⨯AC ×BP ，∵6×4=5BP ，∵PB 245=，即BP 最短时的值为：245
． 【点拨】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解答本题的关键．
【变式1】如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．
(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．
【答案】垂线段最短两点之间，线段最短
【分析】(1)过A作AC∵MN，AC最短；
(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．
解：(1)过A作AC∵MN，根据垂线段最短，
故答案为垂线段最短；
(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，
故答案为两点之间线段最短．
【点拨】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．
【变式2】火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近？
(2)从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】(1)从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离，依据两点之间线段最短解答即可；
(2)从码头到铁路的距离是点到直线的距离，依据垂线段最短解答即可．
(1)沿AB走，两点之间线段最短；
(2)沿BD走，垂线段最短.
【点拨】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．
类型四、点到直线的距离
4．如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；
（2）过点P作PD∠AB于点D；
（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；
（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段的长度．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．
解：试题分析：(1)、用量角器量出∵APB的度数，然后求出一半的度数得出答案；(2)、根据垂线的作法得出答案；(3)、用刻度尺量出AB的长度，然后找出中点，从而得出答案；
(4)、点到直线的距离是指点到直线垂线段的长度．
解：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；
(4)、PD ．
举一反三：
【变式1】 如图,AC BC ⊥9,AC =12,BC =15AB =.
（1）试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；
（2）点C 到直线AB 的距离是多少？
【答案】（1）点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12；（
2）365
【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.
解：（1）∵,AC BC ⊥9,AC =12BC =，
∵点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12.
（2）设点C 到直线AB 的距离为h ，
ABC 的面积为1
1
22BC AC AB h ⋅=⋅，
∵15129h =⨯，
∵36
5h =.
∵点C 到直线AB 的距离为36
5.
【点拨】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.
【变式2】如图，∠ABC 中，∠A+∠B=900. ∠根据要求画图：
∠过点C 画直线MN∠AB
∠过点C画AB的垂线，交AB于点D．
∠请在∠的基础上回答下列问题：
∠已知∠B+∠DCB=900，则∠A与∠DCB的大小关系为__________，理由是__________.∠图中线段_________的长度表示点A到直线CD的距离.
【答案】（1）作图见解析（2）∵ ；∵A=∵DCB；同角的余角相等；∵AD
解：
试题分析：（1）根据题意画出MN∵AB，CD∵AB于D；
（2）∵根据同角的余角相等可判断∵A=∵DCB；
∵根据点到直线的距离的定义求解．
试题解析：解：（1）∵如图，MN为所求；
∵如图，CD为所求；
（2）∵∵∵B+∵DCB=90°，∵B+∵A=90°，∵∵A=∵DCB；
∵线段AD长度表示点A到直线CD的距离．
故答案为∵A=∵DCB，同角的余角相等；AD．
11
人教版数学七年级下册垂线同步练习题 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 是过点O 的一条直线，已知⊥1=40°，则⊥2=（ ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 2．入射光线和平面镜的夹角为40︒，转动平面镜，使入射角减小10︒，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ） A ．减小40︒ B ．减小10︒ C ．减小20︒ D ．不变 3．如图所示，已知：,1:23:2CD AB ⊥∠∠=，则FDC ∠=（ ） A ．120︒ B ．126︒ C ．135︒ D ．144︒ 4．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在( ) A ．这条线段上 B ．这条线段的端点处 C ．这条线段的延长线上 D ．以上都有可能 5．数学课上，同学们在练习过点B 作线段AC 所在直线的垂线段，正确的是( ) A ．A B ．B C ．C D ．D 6．如图，O 是直线AD 上一点，射线,OC OE 分别平分,AOB BOD ∠∠，则COE ∠的大小为（ ）
A．120°B．60°C．90°D．150° 7．如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（） A．点A到BC的距离是AD的长度B．点B到AD的距离是BD的长度C．点C到AD的距离是DE的长度D．点B到AC的距离是AB的长度 DE=，点F是射线OB上的任意一点，8．如图，OD平分AOB ∠，DE AO ⊥于点E，5 则DF的长度不可能是（） A．4B．5C．6D．7 9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是() A．线段CA的长度B．线段CM的长度 C．线段CD的长度D．线段CB的长度 10．如图，在直角三角形ABC中，⊥BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（）
专题5.3 垂 线（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题； 3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 【要点梳理】 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 特别说明： (1)记法：直线a 与b 垂直，记作：； 直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD ⊥AB ． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 特别说明： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． a b ⊥ 90 AOC ∠=°判定 性质
(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 特别说明： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 【典型例题】 类型一、垂线定义的理解 1．【答案】130°或50° 【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直， ∵α+β=180° 故β=130°， 在上述情况下，若反向延长∵β的一边，那么∵β的补角的两边也与∵α的两边互相垂直，故此时∵β=50； 综上可知：∵β=50°或130°，
七年级下册数学垂线的画法知识点在数学学习中，垂线是一个十分重要的概念。垂线的作用不仅 包括求解图形性质和计算各种长度，还可以帮助我们提高思维能力，培养专注和细致的态度。在这篇文章中，我们将重点讨论七 年级下册数学中垂线的画法知识点。 一、垂线和垂线段的定义 垂线是指从一个点到直线上的一条线段，这条线段与直线垂直。垂线段则是指从一个点垂直于一条线段的线段，它在线段上的垂 足上。 二、垂线的画法 1. 从一点画垂线 假设有一点P和一条直线AB，现在我们需要从点P画一条垂线。这个问题的解决方法有很多，最常见的就是使用圆规和直尺。具体步骤如下：
（1）用直尺把线段PA和PB连接起来，得到线段AB； （2）圆规的脚尖放在点P上，圆规的长度稍大于AB这条线段的长度； （3）在圆规上取一个点Q，使得圆规上的距离等于AB这条线段的长度； （4）以点Q为圆心，以AB的长度为半径作圆； （5）这个圆与直线AB的交点C和D即为P点作垂线所在的两个点。 2. 从一条线段上画垂线 如果我们需要从一条线段上作垂线，我们同样可以使用圆规和直尺。具体步骤如下： （1）先画出这条线段； （2）圆规的脚尖放在线段的一个端点上，圆规的长度稍大于线段的长度； （3）在圆规上取一个点Q，使得圆规上的距离等于这条线段的长度；
（4）以另一个端点为圆心，以刚刚取出的Q点为半径作圆； （5）这个圆与线段的交点即为线段上作垂线所在的点。 三、垂线的性质 1.相交垂线的交点是这两条直线的垂心 垂线与直线相交时，如果从垂足所在的点沿着直线画出一条水平线，则直线被分为了两部分。两条相交的垂线和水平线形成了一个直角三角形，其中的交点就是直线的垂心。 2. 垂线上的点到直线的距离相等 在线段上作一个垂线，垂足即是垂线与直线的交点。这个垂足与直线的距离被称为垂线长，它所代表的距离就是从垂足到直线的距离，同时，这个距离与直线上任意一点到直线的距离相等。 四、垂线的应用
《垂线》知识全解 课标要求 1．理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线； 2．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离； 3．识别同位角、内错角、同旁内角． 知识结构 内容解析 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 2．垂线的性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段． 4．垂线的性质二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．（垂线段最短） 5．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：①位于两条被截直线AB、CD的同方；②在第三条直线EF的同侧． （2）内错角：①位于两条被截直线AB、CD的内部；②在第三条直线EF的两侧． （3）同旁内角：①位于两条被截直线AB、CD的内部；②在第三条直线EF的同侧．注意：（1）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的．（2）两条直线被第三条直线所截中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角． 重点难点 本节的重点是：两条直线互相垂直的概念、性质和画法；点到直线的距离的概念及其
简单应用．理解同位角，内错角，同旁内角的概念是本节的重点 本节的难点是：对点到直线的距离的概念的理解．在“三线八角”中，学生不易分清角的类别，所以正确识别同位角，内错角，同旁内角是本节的难点 教法导引 在本节的教学中过程中要借助模型、实物、图形及计算机等学习手段使学生得到直观的感性认识，进而在感知的基础上进行抽象知识的学习，这样才能有助于培养逻辑思维的能力，同时应鼓励学生多观察、多动手、勤思考增强学生学习几何知识的兴趣．在本节的概念和相关结论的教学中，应结合图形去讲解并通过画图、度量等实践活动，让学生理解知识．教学中应继续渗透数形结合、转化、分类等数学思想方法．教学中要注意与以前学生学习过的相关知识进行衔接，比如在垂线段最短的教学中可以把上学期所学的“两点之间线段最短”的知识进行对比．教学中让学生把所学知识用准确、精炼的几何语言表述出来，同时还要注意培养学生的识图能力． 学法建议 学习中应结合具体实例深刻掌握垂线、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角的概念，深刻理解垂线的两个性质，并且能够运用垂线的性质来解释生活中的具体实例，例如如何开挖沟渠能使输水管道最短的问题．本节的易错点是混淆垂线和垂线段，大家只要记住垂线是一条直线，垂线段是一条线段就能把他们区别了．本节的一个难点是“三线八角”中判断两个角的关系．解答此类问题把握以下两个方面即可：（1）要弄清楚每对角与哪三条直线有关，第三条直线就是这两个角的公共边所在的直线，另两条直线是角的另两边；（2）当图形比较复杂时，把这两个角有关的三条线画出来，注意图形的结构特点．
5.1.2 垂线 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题 1．如图，以A为公共端点的两条线段AB、AC互相垂直，点B、D、C在同一条直线上，AD⊥BC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有( )条． A．6 B．5 C．4 D．3 2．到直线a的距离等于2㎝的点有（）个 A．0个B．1个C．无数个D．无法确定 3．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（） A．点A到BC的垂线段为AD B．点C到AD的垂线段为CD C．点B到AC的垂线段为AB D．点D到AB的垂线段为BD 4．下列语句叙述正确的有( ) ①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角; ②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角; ③连接两点的线段长度叫做两点间的距离; ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图所示，点P到直线l的距离是（） A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度 6．下列说法中正确的是（） A．有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离； C．互相垂直的两条线段一定相交； D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是3cm，则点A 到直线l的距离是3cm. 7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（） A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线 C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线 8．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( ) A．35° B．40° C．45° D．60° 9．如图，已知ON丄a，OM丄a,所以OM与ON重合的理由是（）. A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条线段垂直于己知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 二、填空题 1．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，点C到AB的距离是4.8 cm，那么点B到AC的距离是____ cm，点A到BC的距离是____ cm，A，B两点间的距离是____ cm.
人教版七年级下册数学第五章相交线与平行线 5.1.2 垂 线习题练习（附答案） 1、在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD等于( ) A. 60° B. 120° C. 60°或90° D. 60°或120° 2、如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分 ∠DOB.若∠EOF=107.5°，则∠1的度数为( ) A. 70° B. 65° C. 55° D. 45° 3、如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有() A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 4、如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（） A. B. C. D.
5、下列说法中，正确的是( ) A. 有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角 B. 有公共点，且又相等的角是对顶角 C. 两条直线相交所成的角是对顶角 D. 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 6、如图，直线AB，CD相交于O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，则∠BOD的度数等于( ) A. 20° B. 30° C. 35° D. 40° 7、直线AB上有一点O，OM⊥AB于O，另有直角∠COD在平角∠AOB内绕O点左右摆动（OC与OA、OD与OB不重合），在摆动时，始终与 ∠MOD保持相等的角是（） A. ∠BOD B. ∠AOC C. ∠COM D. 没有 8、如图，AB、CD相交于点O，EO⊥AB于O，则图中∠1与∠2的关系是（） A. 互余的两角 B. 互补的两角 C. 对顶角 D. 一对相等的角 9、如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD,如果∠1=35∘，那么∠2的度数是（）
5.1.2 垂线 第2课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线段 . 2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 3.掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解决简单的实际问题. 【过程与方法】 学生经历画、观察、量、思考、归纳、应用等一系列的过程，初步了解解决实际问题的方法，培养学生动手实践能力和解决实际问题的意识。 【情感态度与价值观】 在探索与运用“垂线段最短”这一性质的过程中感受学习数学图形的乐趣。 二、课型 新授课 三、课时 第2课时共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 探究垂线段最短的过程 【教学难点】 理解垂线段最短 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、量角器等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2） 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
（二）探索新知 1.出示课件4-5，探究点到直线的距离 教师问：有人不慎掉入有鳄鱼的湖中.如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？ 学生答：如图所示，沿直线PA游到岸边m 教师问：为何这样游呢？ 学生答：这样游的距离最短. 教师问：为何这样距离最短呢？ 学生答：垂线段最短. 教师总结点拨：（出示课件5） 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短． 垂线的性质2 ∵PB⊥m于B, ∴PB 教师问：如图，是一个同学跳远的位置，跳远成绩怎么表示? 学生答：过P点作PA⊥m于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩. 教师问：如图，怎样测量点P 到直线 m 的距离？ 学生答： 1.过点A画出直线m的垂线段AB,垂足为B; 2.用刻度尺量出垂线段AB的长度.（出示课件8） 总结点拨：（出示课件7） 定义：点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 例如：如图，PA⊥m于点A，垂线段PA的长度叫做点P到直线m的距离. 七年级数学垂线知识点 数学中的垂线是指与另一条直线或平面相交且所交的角度为90度的线段。在七年级数学中，垂线是一个重要的知识点，应该掌握其定义、性质、应用以及解题方法等方面的知识。 一、垂线的定义和性质 定义：垂线是指从点到一条直线或平面所引下的线段，且该线段与直线或平面相交的角度为90度。 性质：（1）垂线是最短的线段；（2）两条互相垂直的线段的乘积相等；（3）垂线可以将一个角分成两个互相垂直的角。 二、垂线的应用 在日常生活中，垂线可以被广泛地应用到各个领域。例如，建筑学中的垂线是指对于一条直线，相对于该直线且垂直于地面的线段；医学中的垂线可以用于测量身体各部分之间的距离；在制图学中，垂线可以用于测量任意两条线之间的距离。 在数学中，垂线常被用于解决各种几何问题。例如，在求解三 角形的中位线、高线、中心线时，常常需要利用垂线的性质进行 计算。 三、垂线的解题方法 1. 在求解垂线的长度时，可以使用勾股定理计算。 例如，在三角形中，点P在边AB上，PA垂直于BC，求PA 的长度。 解：根据勾股定理得到 $PA^2 = AB^2 - BP^2$ 又因为BP = PC，所以 $PA^2 = AB^2 - \frac{BC^2}{4}$ 2. 在求解垂线所在的直线的方程时，可以使用点斜式或一般式。 例如，已知直线L经过点P(2,3)且与$x$轴垂直，求直线L的方程。 解：由于L与$x$轴垂直，所以L的斜率$k$为0。又因为直线经过点$P(2,3)$，所以L可以由点斜式表示为 $y - 3 = 0(x - 2)$ 化简得到 $y = 3$ 所以直线L的方程为$y = 3$。 以上是七年级数学垂线知识点的介绍，希望同学们掌握垂线的定义、性质、应用和解题方法，能够在解决各种几何问题时灵活运用垂线知识点，取得更好的学习成绩。 第5章相交线与平行线 5.1.2 垂线 第1课时垂线 核心提要 1．两条直线相交所成的四个角中有一个为________°时，这两条直线互相垂直．其中一条是另一条的垂线，它们的交点叫做____________． 2．在同一平面内，过直线外一点______________条直线与已知直线垂直． 典例精讲 知识点1：垂线的概念 1．如图，点O在直线AB上且OC⊥OD.若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为() A．36°B．54°C．64°D．72° 知识点2：垂线的应用 2．如图,已知直线AB和CD相交于O点,∠COE是直角,OF平分∠AOE,∠COF＝34°，求∠BOD的度数． 知识点3：垂线的画法 3．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是() A B C D 变式训练 变式1如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是O，∠DOE＝55°，则∠BOC 的度数为() A．40°B．45°C．30°D．35° 变式2如图，AB、CD、EF交于O点，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠COE＝28°，求∠AOG的度数． 变式3已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是() A B C D 基础巩固 1.如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是() A．35°B．40°C．45°D．60° 2．下面说法中错误的是() A．两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直 B．若两对顶角之和为180°，则两条直线互相垂直 C．两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直 D．两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直 3．如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为() A．45°B．35°C．65°D．55° 5.1 相交线 5.1.2 垂线(第一课时) 教学反思教学目标 1.理解垂线的概念. 2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知 直线. 3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 教学重难点 重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 难点：过一点作已知直线的垂线. 课前准备 相交线模型、多媒体课件 教学过程 导入新课 导入一： 教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4 对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？ 学生回答，老师纠正. 教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直 线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究 这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时)) 导入二： 教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格 纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？ 学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已 经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原 有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时)) 设计意图 通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习 兴趣. 探究新知 探究点一：认识垂线和垂直 教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动 木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？ 学生：当b 的位置变化时，a ，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90 °时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？ 图2 学生：另外三个角也是90°. 教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子. 学生发言，教师肯定. 教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动 鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角. 教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”. 设计意图 垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解. 教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号. 教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书) 图3 初一数学下册：垂线（含知识点、练习和答案） 知识点总结 一、定义 1、垂直：两条直线相交所成的四个角中，如果如果有一个角为90度，那么这两条直线互相垂直。 2、垂线：垂直是相交的一种特殊情形，如果两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3、垂足：两条垂线的交点叫垂足。 4、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足。 5、垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 二、三角形的高 1、做直角三角形的高：两条直角边即是钝角三角形的高，只要做出斜边上的高即可。 2、做钝角三角形的高：最长的边上的高只要向最长边引垂线即可，另外两条边上的高过边所对的顶点向该边的延长线做垂线。 三、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 四、垂线段最短；点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 五、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 同步练习 1、如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( ) A、35° B、40° C、45° D、60° 2、如图,直线AB与直线CD相交于点O,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是( ) A、125° B、135° C、145° D、155° 3、过线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在( ) A、这条线段上 B、这条线段的端点 4、在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 5、下列说法正确的有( ) ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 《垂线》教案 学习目标： 1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。 2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 学习重点：垂线的定义及性质。 学习难点：垂线的画法 学具准备：相交线模型，三角尺，量角器 学习过程： 一、学前准备 1、预习疑难：。 2、填空：①如果①α与①β互为余角，①α＝37°，那么①β＝。 ①已知①1与①2互为余角，①1与①3互为余角，那么①2与①3的关系是。 二、探索与思考 （一）垂线的定义 1、观察思考：转动相交线模型，观察两条直线所成的夹角的变化。当夹角变化 到°时，就是我们今天要研究的两条直线垂直。 2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线 就互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫 做。 3、符号表示：①如果直线AB、CD互相垂直，记作AB①CD，垂足为O。 ①由两条直线垂直，可知四个角为直角。记为①AB①CD（已知） ①①AOD＝90°（垂直定义） 由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直。记为①①AOD＝90°（已知） ①AB①CD（垂直定义） 4、总结：①垂直是相交。是相交的一种特殊情况。 ①垂直是一种相互关系，即a①b，同时b①a ①当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是 指它们所在的直线互相垂直。 5、生活中的垂直关系：日常生活中，两条直线互相垂直很常见，你能举出几个例子吗？（二）垂线的性质一 1、垂线的画法有两种：利用或者。 2、探究：完成教材4页探究问题。 N M 3、垂线性质： 。 4、对应练习：教材5页练习1、2（在书上完成） （一） 垂线的性质二 1、思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠能使渠道最短？ 2、探究：上面思考问题可以转化为数学问题：“已知直线l 和直线外一点P ，连接点P 到直 线l 上各点O ，A 1，A 2，A 3…，其中PO ①l （我们称PO 为点P 到直线l 的垂线段）。 请你比较线段PO ，P A 1，P A 2，P A 3…的长短，哪一条最短？ 结论： 。 简记为： 。 3、 对应练习：①修一条公路将村庄A 、B 与公路MN 连接起来，怎样修 才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由。 ①教材6页练习 （二） 点到直线的距离： 1、定义：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。 2、注意：定义中说的是“垂线段的长度．． ”，而不是“垂线段”。因为，距离是一个数量，而“垂线段”是指一个具体的几何图形。 3、对应练习：如图，①BCA ＝90°，CD ①AB ，垂足为D ，则下列结论中正确的个数为 （ ） ①AC 与BC 互相垂直；①CD 与BC 互相垂直；①点B 到AC 的垂 线段是线段AC ；①点C 到AB 的距离是线段CD ；①线段AC 的长度是点 A 到BC 的距离；①线段AC 是点A 到BC 的距离。 A.2 B.3 C.4 D.5 三、学习体会： 1、本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？ 2、预习时的疑难解决了吗？ 四、自我检测： （一） 选择题： 1.如图1所示，下列说法不正确的是( ) A.点B 到AC 的垂线段是线段AB B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线 D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 A ● B ● A B P A B P A B P 初中数学试卷 马鸣风萧萧 5.1.2 垂线(1) 班级 姓名 座号 月 日 主要内容:垂线的性质与画法 一、课堂练习: 1.当两条直线相交于一点时,如果所构成的四个角都相等,那么这两直线所构成的4个角的度数分别是 ,此时这两条直线互相 . 2.找出图中互相垂直的线段,并用三角尺检验. 3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线.如图,请你过点P 画出线段AB 或射线AB 的垂线. 4.如图,已知OC OA ⊥,OB OD ⊥, 40=∠BOC ,求AOD ∠的度数. 二、课后作业: 5.如图,在一张半透明的纸上画一条直线l ,在l 上任取一点P ,在l 外任取一点Q ,折出过点P 且与l 垂直的直线.这样的直线能折出几条?为什么?过点Q 呢? 6.(1)如图1,画线段AE ⊥BC ,CF ⊥AD ,垂足分别为E 、F . O C B A D P Q l A B C D O D O B C A A B C D P · O A B 图1 图2 (2)如图2,分别过点P 作垂线PC ⊥OA ,PD ⊥OB ,垂足分别为C 、D . 7.如图,AB ⊥l ,BC ⊥l ,B 为垂足,那么A 、B 、C 三点在同一条直线上吗?并说明理由. 8.直线AB 、CD 相交于点O . (1)OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线.画出这个图形. (2)射线OE 、OF 在同一条直线上吗?(直接写出结论) (3)画∠AOD 的平分线OG .OE 与OG 有什么位置关系?并说明理由. 三、新课预习: 9.如右图,点A 到直线CD 的距离是指线段( C )的长. A.AC B.CD C.AD D.BD 10.如图,连接直线l 外一点P 与直线l 上各点O 、A 1、A 2、A 3、…,其中PO ⊥l ,比较线段PO 、P A 1、P A 2、P A 3、…,的长短,这些线段中,哪一条最短?并说明理由. C B A l 第9题 A B C D P O l 1A 2A 3A 4A 5.1.2 垂线（第1课时） 第1课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 2.掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数. 3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. 【过程与方法】 1.经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力． 2.通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行适当的说理． 【情感态度与价值观】 通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐． 二、课型 新授课 三、课时 第1课时共2课时 四、教学重难点 【教学重点】 使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质． 【教学难点】 用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法． 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺等. 学生：三角尺、铅笔、练习本. 六、教学过程 （一）导入新课（出示课件2-3） 观察图片，让学生找出相交的直线，并说明其特点。 日常生活里，如例图中的两条直线的关系很常见，询问学生是否还能再举出其他例子这节课我们将要学习有关这种关系的知识． （二）探索新知 1.出示课件5-6，探究垂线的定义 教师问：如图，∠AOC的对顶角是哪个角？ 学生答：∠AOC的对顶角是∠BOD. 教师问：这两个角的关系怎样？ 学生答：相等. 教师问：∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？ 学生答：有2个，是∠AOD和∠BOC 教师问：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？ 教师依次展示学生答案： 学生1答：∠BOD=90°、∠AOD=90°、∠BOC=90°. 学生2答：因为∠BOD是∠AOC的对顶角，根据对顶角相等，所以∠BOD=∠AOC=90°. 学生3答：∠AOD、∠BOC是∠AOC的邻补角，由邻补角互补得出：∠AOD+∠AOC=180°、∠BOC+∠AOC=180°.所以得到：∠AOD=90°、∠BOC=90°. 教师总结：∠BOD=90°、∠AOD=90°、∠BOC=90°.因为∠BOD是∠AOC的对顶角，根据对顶角相等，所以∠BOD=∠AOC=90°, ∠AOD、∠BOC是∠AOC的邻补角，由邻补角互补得出：∠AOD+∠AOC=180°、∠BOC+∠AOC=180°.所以得到：∠AOD=90°、∠BOC=90°. 教师问：当∠AOC=90°时，说明AB垂直于CD，在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.当∠α=90°时，直线a与b具有什么位置关系？ 新人教版数学七年级下册第五章第一节相交线课时练习 一、填空题（共15小题） 1.下面说法中错误的是（） A.两条直线相交，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直 B.若两对顶角之和为1800，则两条直线互相垂直 C.两条直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两条直线互相垂直 D.两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，则两条直线互相垂直 答案：C 知识点：垂线对顶角邻补角 解析： 解答：垂线的概念是：当两条直线相交，有一个角是直角时，即两条直线互相平行．依据此概念，我们可以判断，选项A正确．选项B中，两对顶角之和为180°，则说明两对顶角均为90°，选项B 也正确．在选项D中，两条直线相交，所构成的四个角中，若有三个角相等，根据对顶角的性质，说明四个角都相等，又因为四个角的度数和为360°，则说明四个角都是90°，选项D也正确．因为两条直线相交，形成两对对顶角，对顶角是相等的，但是不能说明该角一定是90°，所以选项C错误． 分析：掌握相交线形成的对顶角知识，以及垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线． 2.如图所示，AB⊥CD，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，那么图中的直角一共有（） A．2个B．3个C．4个D．1个 答案：B 知识点：垂线 解析： 解答：两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，AB⊥CD，则∠ADC和∠BDC都是直角；同时，AC⊥BC，所以∠ACB也是直角．为此，图形中一共有3个直角． 分析：掌握垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线． 3.如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（）A．120°B．130°C．135°D．140°七年级数学垂线知识点
2020年-人教版七年级数学下册 学案 5.1.2 第1课时 垂线--含答案
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第一课时) 教案
初一数学下册：垂线(含知识点、练习和答案)
人教版七年级下册数学：5.1.2《垂线》教案
人教版七年级数学下5.1.2垂线-同步练习(3).docx
人教版七年级数学下册教案 5-1-2 垂线(第1课时)
新人教版数学七年级下《5.1.2垂线》课时练习含答案解析
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