嘉兴市2020—2021学年第一学期期末检测
高三数学
满分150分，时间120分钟.
一?选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{|lg(1)}A x y x ==-，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）
A. {|13}x x -<<
B. 3|}1{x x ≤<
C. {|23}x x <<
D. {|13}x x <<
2. 已知数列{}n a 满足13(N )n n a a n *
+=∈，且12a =，则123n a a a a +++???+=（ ）
A. 31n -
B. 3n
C. 131n --
D. 13n -
3. 已知,R x y ∈，则“||0x y +>”是“0x >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数()1cos f x x x x ??
=-
???
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.
D.
5. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若//l α，m α?，则//l m
B. 若//l α，//m α，则//l m
C. 若l m ⊥，m α?，则l α⊥
D. 若l α⊥，//l m ，则m α⊥
6. 已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥??
+≥??+≤?
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
7. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是（ ）
A. π4+
B.
π42
+ C. π2+
D.
π22
+ 8. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A. 576
B. 432
C. 388
D. 216
9. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左?右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 是其右支上第一
象限内的一点，直线2,PO PF 分别交该双曲线左?右支于另两点,A B ，若12|2|PF PF =，且260AF B ∠=?，则该双曲线的离心率是（ ）
A.
3
B.
2
C.
23
D.
5 10. 对任意0x >，若不等式2e ln e x
a x ax x
++≥恒成立(e 为自然对数的
底数)，则正实数a 的取值范围是
（ ） A. (0,e]
B. 2(0,e ]
C. 2[,e]e
D. 2
2[,e ]e
二?填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 已知复数2
1i
z =
+（其中i 虚数单位），则z =______；z =______.
12. 已知抛物线2(0)y mx m =≠的焦点为F ，准线方程为2x =-，点0(,4)P x 是抛物线上的一点，则实数m =___________，||PF =___________.
13. 已知△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4c =，π
3
A =
，且△ABC 的面积为3，则b =___________；cos C ___________.
14. 已知526
0126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++???+.若25a =，则m =___________；
135a a a ++=___________.
15. 已知平面向量a 与b
夹角为120?，b 在a 上的投影是1-，且满足(2)(3)a b a b +⊥-，则
|2|a b +=___________.
16. 甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为
3
4
，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为X 元，则甲所获奖金总额的方差()D X =___________.
17. 如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)动点P 满足,AP BP 与底
面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是
___________.
三?解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
18. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知函数()2cos sin()(R)3
f x x x x π
=-∈.
（1）求5(
)12
f π
的值； （2）求函数()y f x =的单调递增区间. 19. 如图，四棱锥-P ABCD 中，△
PAD 为正三角形，//AB CD ，1
22
AD DC AB ==
=，23BC =，3PC =.
（1）求证：AD PC ⊥；
（2）求AB 与平面PAD 所成角的正弦值. 20. 已知数列{}n a 满足13
2
a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.
（1）证明：数列1
{}1
n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n
a c n =
?，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3
14
n T ≤<. 21. 已知中心在坐标原点的椭圆C ，其焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点226(3P -
为椭圆C 上一点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(6,4)Q -的直线1l 与x 轴交于点(,0)T t ，由点(,0)T t 引另一直线2l 交椭圆C 于,A B 两点.是否存在实数t ，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. 22. 已知函数()(1)ln f x m x =+，2()g x mx x =+，m R ∈. （1）当0m =时，曲线()()()
()1a
x f x a R g x φ=+
-∈在2x =处的切线与直线210x y +-=平行，求函数()y x φ=在2
,e e ????上的最大值(e 为自然对数的底数)；
（2）当1m =时，已知0a b <<，证明：()()4()()f a f b a
a b g a g b a b
->-+--.
嘉兴市2020—2021学年第一学期期末检测
高三数学
满分150分，时间120分钟.
一?选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{|lg(1)}A x y x ==-，{|13}B x x =-<<，则A B =（ ）
A. {|13}x x -<<
B. 3|}1{x x ≤<
C. {|23}x x <<
D. {|13}x x <<
【答案】D
2. 已知数列{}n a 满足13(N )n n a a n *
+=∈，且12a =，则123n a a a a +++???+=（ ）
A. 31n -
B. 3n
C. 131n --
D. 13n -
【答案】A
3. 已知,R x y ∈，则“||0x y +>”是“0x >”的
（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 4. 函数()1cos f x x x x ??
=-
???
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B.
C. D.
【答案】D
5. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若//l α，m α?，则//l m B. 若//l α，//m α，则//l m C. 若l m ⊥，m α?，则l α⊥ D. 若l α⊥，//l m ，则m α⊥ 【答案】D
6. 已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥??
+≥??+≤?
，则2z x y =+的最大值是（ ）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
7. 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是（ ）
A. π4+
B.
π42
+ C. π2+ D.
π22
+ 【答案】A
9. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左?右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，点P 是其右支上第一
象限内的一点，直线2,PO PF 分别交该双曲线左?右支于另两点,A B ，若12|2|PF PF =，且260AF B ∠=?，则该双曲线的离心率是（ ）
A.
3 B.
2
C.
23
D.
5 【答案】A
10. 对任意0x >，若不等式2e ln e x
a x ax x
++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是
（ ） A. (0,e] B. 2
(0,e ]
C. 2[,e]e
D. 2
2[,e ]e
【答案】B
二?填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 已知复数2
1i
z =
+（其中i 为虚数单位），则z =______；z =______. 【答案】 (1). 1i + (2).
2
12. 已知抛物线2(0)y mx m =≠的焦点为F ，准线方程为2x =-，点0(,4)P x 是抛物线上的一点，则实数m =___________，||PF =___________. 【答案】 (1). 8 (2). 4
13. 已知△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4c =，π
3
A =
，且△ABC 3b =___________；cos C ___________.
【答案】 (1). 1 (2). 1315. 已知平面向量a 与b 的夹角为120?，b 在a 上的投影是1-，且满足(2)(3)a b a b +⊥-，则
|2|a b +=___________.
【答案】
72
16. 甲乙两人进行5局球赛，甲每局获胜的概率为
34
，且各局的比赛相互独立，已知甲胜一局的奖金为8元，设甲所获的奖金总额为X 元，则甲所获奖金总额的方差()D X =___________. 【答案】60
17. 如图，在多面体ABC DEF -中，已知棱,,AE BD CF 两两平行，AE ⊥底面DEF ，DE DF ⊥，四边形ACFE 为矩形，23AE DE DF BD ====，底面△DEF 内(包括边界)的动点P 满足,AP BP 与底面DEF 所成的角相等.记直线CP 与底面DEF 的所成角为θ，则tan θ的取值范围是___________.
【答案】31033,102????
三?解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
18. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知函数()2cos sin()(R)3
f x x x x π
=-∈.
（1）求5(
)12
f π
的值； （2）求函数()y f x =的单调递增区间.
【答案】（123
-（2）π5[,],(Z)1212k k k πππ-+
∈. 19. 如图，四棱锥-P ABCD 中，△PAD 为正三角形，//AB CD ，1
22
AD DC AB ==
=，23BC =3PC =.
（1）求证：AD PC ⊥；
（2）求AB 与平面PAD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
3
4
. （1
）取AD 中点O ，连结
,,OP OC AC .因为1
22
AD DC AB ==
=，23BC =， 由平几及解三角形知识得()
2
22222423
22cos cos 2422AC AC BAC ACD AC
AC
+-+-∠=
=∠=
???? ，解得
2AC = ，所以60ADC ∠=?，
因此△ADC 为正三角形，故AD OC ⊥，又因为△
PAD 也是正三角形，
因此AD OP ⊥，又OC OP O =，所以AD ⊥平面POC ，而PC ?平面POC ，所以AD PC ⊥.
（2）方法一：
因为//AB CD ，所以AB 与平面PAD 所成角即CD 与平面PAD 所成角，记作θ. 由（1）得AD ⊥平面POC ，又AD ?平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面POC ， 平面PAD
平面POC PO =，故过点C 作CH ⊥平面PAD ，则垂足H 必在直线PO 上，
此时CDH θ=∠，在正△
PAD 中，3
32
PO AD =
=，而3OC =3PC =， 所以在△POC 中，由余弦定理可得120POC ∠=?，所以3
sin 602
CH OC =??=，又2CD =， 所以3sin sin 4CH CDH CD θ=∠=
=，所以AB 与平面PAD 所成角的正弦值为3
4
.
方法二：
由（1）知AD ⊥平面POC ，又AD ?平面ABCD ，所以平面POC ⊥平面ABCD ， 平面POC
平面ABCD OC =.故过点O 作直线Oz OC ⊥，则Oz ⊥平面ABCD ，
又AD CO ⊥，故可如图建立空间直角坐标系.又1OD =，3OC =3OP =120POC ∠=?，可求
得各点坐标：(0,0,0)O ，(1,0,0)D ，3,0)C ，33(0,,)22
P -
， 设平面PAD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n OD n OP ??=??=?，即(,,)(1,0,0)0
33
(,,)(0,)02x y z x y z ?=??
??-
=??， 故0
33
02x y z =???+=??，令1z =，故(0,3,1)n =，又(1,3,0)CD =， 记CD 与平面PAD 所成角为θ，则33sin cos ,22
4
||||
n CD n CD n CD θ?-===
=
??.
又因为//AB CD ，故AB 与平面PAD 所成角的正弦值为34
. 20. 已知数列{}n a 满足13
2
a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.
（1）证明：数列1
{}1
n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a c n =
?，记数列{}n
c 的前n 项和为n T ，求证：3
14
n T ≤<. 【答案】（1）证明见解析，2
1n n a n +=+；（2）证明见解析.
（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，
所以
1111111111111
1
11n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---，
所以数列1
{
}1n a -为首项为111
a -，公差为1的等差数列. 又132a =
，1121
a =-，所以
111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为2
1
n n a n +=
+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+=
=-?+??+?. 所以121n n n T c c c c -=++???++
1121111111
112222322(1)2(1)2n n n
n n n -=-
+-+???+-=-????+?+?， 即1
1(1)2
n n T n =-
+?，显然1n
T <，另一方面， 11111112
1(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n n
n T T n n n n n n ---+-=-
--=-=>+???+??+?，
故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=
，因此，3
14
n T ≤<. 21. 已知中心在坐标原点的椭圆C ，其焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点226
(,)3P -
为椭圆C 上一点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(6,4)Q -的直线1l 与x 轴交于点(,0)T t ，由点(,0)T t 引另一直线2l 交椭圆C 于,A B 两点.是否存在实数t ，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）22
1
43
x y +=；（2）存在，23t =. 【解析】 【分析】
（1）根据条件算出153PF =
，27
3
PF =，然后利用抛物线定义求出答案即可；
（2）分直线2l 的斜率为零、直线2l 的斜率不为零两种情况讨论，当直线2l 斜率不为零时，可设直线2l 的方程为x ny t =+，11(,)A ny t y +，22(,)B ny t y +，由2QA QB QT k k k +=可得
21212(2128)(6)(64)()0nt n n y y t t n y y --+---+=，联立直线2l 的方程与椭圆的方程消元可得
12y y +，12y y ?，代入即可求解.
【详解】（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由题意可求得153PF =，273PF =
由椭圆定义可知122||||4a PF PF =+=，所以2a =，而1c =，故2223b a c =-=
故所求椭圆C 的方程为22
143
x y +=
（2）假设存在实数t ，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列，即满足2QA QB QT k k k += ①当直线2l 的斜率为零时，此时直线2l 与椭圆C 的交点是椭圆C 长轴的端点 不妨设(2,0)A -，(20)B ,，此时12QA k =-，1QB k =-，46
QT k t =- 由于2QA QB
QT k k k +=，故141226t --=?-，解得2
3
t =
②当直线2l 斜率不为零时，可设直线2l 的方程为x ny t =+
11(,)A ny t y +，22(,)B ny t y +，联立方程组22
143
x y x ny t ?+
=???=+?
整理得2
2
2
(34)63120n y nty t +++-=
22222
(6)4(34)(312)034nt n t t n ?=-+->?<+，故1222
122634()31234nt y y n t y y n -?
+=??+*?-??=?+?
而1146QA y k ny t +=
+-，2246QB y k ny t +=+-，46
QT k t =-，又2QA QB QT k k k +=
故
1212448
666
y y ny t ny t t +++=+-+--
整理得2
1212(2128)(6)(64)()0nt n n y y t t n y y --+---+=
将()*代入上式可得，整理得(64)(64)0n t n t ---=，对于任意n 该等式恒成立
故640t -=，解得23
t =
综合①②，可知存在实数2
3
t =
，使得直线,,QA QT QB 的斜率成等差数列 22. 已知函数()(1)ln f x m x =+，2()g x mx x =+，m R ∈. （1）当0m =时，曲线()()()
()1a
x f x a R g x φ=+
-∈在2x =处的切线与直线210x y +-=平行，求函数()y x φ=在2
,e e ????上的最大值(e 为自然对数的底数)；
（2）当1m =时，已知0a b <<，证明：
()()4()()f a f b a
a b g a g b a b
->-+--.
【答案】（1）
2
4
1e +；（2）证明见解析. （1）当0m =时，()ln 1a
x x x φ=+
-，因此'21()a x x x
φ=-， 而曲线()y x φ=在2x =处的切线与直线210x y +-=平行， 故'
11
(2)242
a φ=
-=-，解得4a =. 所以4
()ln 1x x x φ=+
-，'24()x x x
φ-=， 故当[),4x e ∈时，'
()0x φ<，即函数()y x φ=在[),4e 上递减，
当(
24,x e ?∈?时，'
()0x φ>，即函数()y x φ=在(
24,e ??上递增，
所以()()(){}
2
max max ,x e e
φφφ??=??，而()4e e φ=
，()
2
241e e
φ=+， 故()
()22
2
(2)0e e e e
φφ--=>，即()
()2
e e φφ>， 所以函数()y x φ=在2,e e ????上的最大值为
24
1e
+. （2）当1m =时，()2ln f x x =，2
()g x x x =+，由于0a b <<，
故要证明
()()4()()f a f b a
a b g a g b a b
->-+--成立.
?证明
22ln ln 2b a a b a a b ->-+成立?证明22
2()
ln ln a b a b a a b -->+成立，
?证明22(1)ln ()1b b a b a a
->+成立.令b
x a
=，因为0a b <<，则1x >，
即只需证明2
2(1)
ln (1)1
x x x x ->>+成立 ?证明2(1)ln 220(1)x x x x +-+>>即可，下面证明该不等式成立.
设2
()(1)ln 22(1)F x x x x x =+-+>，求得'
1
()2ln 2F x x x x x
=++
-， 因为1x >
，所以12x x +
>=， 所以当1x >时，'
()2ln 222ln 0F x x x x x >+-=>， 因此函数()y F x =是(1,)+∞上的增函数，故()(1)0F x F >=， 这就证明了当1x >时，2
(1)ln 220x x x +-+>恒成立，故原命题成立.