课时过关检测(四十九) 直线与椭圆的位置关系
A 级——夯基保分练
1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4
没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以
4m 2＋n 2
＞2，所
以m 2＋n 2＜4.所以
m 29＋n 24＜m 29＋4－m 2
4＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的交点有2个．
2．椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．－2
3
B ．－32
C ．－49
D ．－94
解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为
k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又
x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2
＝k ，代入解得k ＝－2
3.
3．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率
为
2
2
，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223
B.423
C. 2
D ．2
解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2
＝1，
联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，????43，－13，所以|AB |＝42
3
. 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2
―→
＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→
＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2
＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴S △F 1PF 2＝1
2
mn ＝1.
5．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2，点M (2,1)在椭圆C 上，直线
l 平行于OM 且在y 轴上的截距为m ，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点．下面结论正确的有( )
A ．椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2＝1
B ．k OM ＝1
2
C ．－2＜m ＜2
D ．m ≤－2或m ≥2
解析：选ABC
由题意，得???
??
a 2
－b 2
a ＝32，
4a 2
＋1b 2
＝1，
解得?
????
a 2＝8，
b 2
＝2.
故椭圆C 的方程为x 28＋y 2
2＝1，A 正确；由于k OM ＝1－02－0＝12，B 正确；∵直线l 的斜率k
＝k OM ＝12，又l 在y 轴上截距为m ，所以l 的方程为y ＝1
2
x ＋m .
由???
y ＝1
2
x ＋m ，x 2
8＋y 2
2＝1
得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.
因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同点，所以Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＞0，解得－2＜m ＜2.∴C 正确，D 错误．
6．(多选)已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同
于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( )
A ．直线P
B 1与PB 2的斜率之积为定值－a 2
b
2
B ．PB 1―→·PB 2―→＞0
C ．△PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22a
D ．直线PB 1与QB 2的交点M 的轨迹为双曲线
解析：选BC 设P (x 0，y 0)，x 20
a 2＋y 20
b 2＝1，则kPB 1·kPB 2＝y 0＋b x 0·
y 0－b x 0
＝y 20－b 2
x 20＝－b 2
a
2，因此A 不正确；∵点P 在圆x 2＋y 2＝b 2外，∴x 20＋y 20－b 2＞0，∴PB 1―→·PB 2―→＝(－x 0，－b －y 0)·(－x 0，b －y 0)＝x 20＋y 20－b 2
＞0，B
正确；当点P 在长轴的顶点A 时，∠B 1PB 2最小且为锐角，设△PB 1B 2的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2r ＝2b sin ∠B 1PB 2≤2b sin ∠B 1AB 2＝2b sin 2∠OAB 2
＝2b 2ab a 2＋b 2＝a 2＋b 2a .∴r ≤a 2＋b 22a .∴△
PB 1B 2的外接圆半径的最大值为a 2＋b 22a ，C 正确；直线PB 1的方程为y ＋b ＝y 0＋b
x 0
x ，直线QB 2
的方程为y －b ＝y 0－b －x 0x ，两式相乘可得y 2－b 2＝y 20－b 2－x 20
x 2
，化为y 2b 2－x 2
a 2＝1，由于点P 不与B 1，
B 2重合，∴M 的轨迹为双曲线的一部分，∴D 不正确．故选B 、C.
7．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为1
2
，则该椭圆的方程是____________． 解析：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2
a 2＝1，联立方程
??
?
x 2a 2－50＋y 2
a
2＝1，y ＝3x －2，
消去y ，整理得
(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450
＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 2
75＝1.
答案：x 225＋y 2
75
＝1
8．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2
＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，
设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．
解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 2
1＋1)x 2
＋8k 21x ＋8k 2
1－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 21
2k 21＋1，所以点P ? ??
??－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2
＝－12k 1，所以k 1k 2＝－1
2
.
答案：－12
9．(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________．
解析：由题意知c ＝1，离心率e ＝c a ，
因为P 在直线l ：y ＝x ＋2上移动， 所以2a ＝|P A |＋|PB |.
点A 关于直线y ＝x ＋2的对称点C ，
设C (m ，n )，则???
??
n
m ＋1＝－1，
12n ＝12(m －1)＋2
解得?
????
m ＝－2，
n ＝1即有C (－2,1)，
则2a ＝|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |≥|BC |＝10， 当C ，P ，B 共线时，a 有最小值102
， 对应的离心率e 有最大值105
. 答案：
10
5
10．(一题两空)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ?
??
?3，
32. (1)椭圆C 的方程为____________．
(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→
，则直线l 的斜率k 的值为________．
解析：(1)由????
?
2a ＝|EF 1
|＋|EF 2
|＝4，a 2
＝b 2
＋c 2
，
c ＝1，
解得?????
a ＝2，
c ＝1，
b ＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，
联立?????
y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23
＝1，整理得????3k 2＋4y 2－6k y －9＝0， Δ＝144
k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则y 1＋y 2＝6k
3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，
又AF 1―→＝2F 1B ―→
，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝5
2.
答案：(1)x 24＋y 23＝1 (2)5
2
11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为
2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．
解：(1)由题可知c ＝3，a
b ＝2，a 2＝b 2＋
c 2，
∴a ＝2，b ＝1.
∴椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
联立?????
x ＝my ＋1，x 24＋y 2
＝1，
消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.
Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2
＝－34＋m 2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→
＝0.
∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·
－3
4＋m 2＋(m －1)·－2m
4＋m 2＋2＝0， 整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝5
3.
∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.
12．在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→
.记点P 的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→
，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．
解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．
由CP ―→＝ 2 PD ―→
，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，
所以?
????
x －m ＝－2x ，
y ＝2(n －y )，解得?
??
m ＝(2＋1)x ，
n ＝2＋1
2
y ，
由|CD ―→
|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)2
2y 2＝(2＋1)2，
整理，得曲线E 的方程为
x 2＋
y 2
2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→
，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2
＋2kx －1＝0，
则x 1＋x 2＝－2k
k 2＋2，
所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝
4k 2＋2
. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2
2＝1，
即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2， 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.
B 级——提能综合练
13．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在
点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2
的取值范围为( )
A ．(1,6)
B ．(1,5)
C ．(3,6)
D ．(3,5)
解析：选D 由于椭圆M ：x 2a
2＋y 2
＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所
以?????
a 2＞6－a 2，6－a 2
＞1，