2016-2017 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）
（A 卷）
、选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60 分）
1．若命题 p ：? x ∈ A ，2x ∈B ，则（ ）
A ．￢ p ： ? x 0∈A ，2x 0∈
B B ．￢ p ：? x 0?A ， 2x 0∈ B
C ．￢ p ： ? x 0∈A ，2x 0?B
D ．￢ p ：? x?A ，2x?B 2．下列命题错误的
是（ ）
A ．命题 “若 lgx=0，则 x=0”的逆否命题为 “若 x ≠0，则 lgx ≠ 0”
B ．若 p ∧q 为假命题，则 p ，q 均为假命题
C ．命题 p ：? x 0∈R ，使得 sinx 0> 1，则￢ p “? x ∈R ，均有 sinx ≤1
D ．“>x2”是“ < ”的充分不必要条件 3．已知
， ，若 ，则常数 m=（ ）
在等差数列 { a n }中， a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=400，则 a 2+a 8=（ ）
如图 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=
，则 BE 1与DF 1所成的角的
D ．
6．设两点 A 、 B 的坐标为 A （﹣1，0）、B （1，
0），若动点 M 满足直线 AM 与
A ． ﹣6
B ．6
C ．﹣ 9
D ．9
4． A ． 40 B ．80 C ．160 D ．
320
5． 余弦值是（ ）
BM的斜率之积为﹣2，则动点M 的轨迹方程为（）
C．x2+ =1 D．x2+ =1（x≠± 1）
7．在等比数列{ a n}中，若a6=6，a9=9，则a3 为（）
A．2 B．C．D．4
8．《庄子?天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）
A．1+ + +?+ =2﹣B．+ +?+ <1
C．+ +?+ =1 D．+ +?+ > 1
9．若m A．m A．25πB．5π C．D． 11．已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y 的取值范围是（） A．（0，1] B．[ 2，+∞）C．（0，4] D．[ 4，+∞） 12．已知P是双曲线=1（a> 0，b> 0）右支上一点，F1，F2 分别是双曲 线的左、右焦点，I 为△ PF1F2 的内心，若S△IPF1=S△IPF2+ S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（） A．4 B．C．2 D．2 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13．已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为 ．14．已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1?P，则实数 a 的取值范围为． 15．如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为m． 16．若命题：“? x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数 a 的取值范围是．17．已知点P在圆x2+y2=1运动，点M 的坐标为M（2，0），Q为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为． 18．已知双曲线﹣=1（a>0，b> 0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线 的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为． 19．四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD 交于点O，点G 为BD 上一点，BG=2GD，= ，= ，= ，用基底{ ，，} 表示向量 =． 20．定义：为n 个正数p1，p2，?，p n的“均倒数”，若数列{a n}的 前n 项的“均倒数”为，则数列{ a n}通项公式为a n= ． 三、解答题（共5小题，每小题10 分，共50分） 21．（10 分）已知△ ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4． （1）若B= ，求sinA；（2）若AD= ，求BC． 22．（10 分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36 人和60 人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600 元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7 辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆？营运成本最小为多少元？23．（10分）数列｛ a n｝中，a1=2，a n+1=a n+cn（c 是不为零的常数，n=1，2，3，?），且a1，a2，a3 成等比数列． （1）求 c 的值； （2）求｛ a n｝的通项公式； （3）设数列的前n 项之和为T n，求T n． 24．（10 分）如图，在边长为 4 的菱形ABCD中，∠ BAD=60°， DE⊥AB于点E，将△ ADE沿DE折起到△ A1DE的位置，使A1E⊥EB． （1）求证：A1D⊥DC； （2）求二面角E﹣A1B﹣C 的余弦值； （3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 25．（10 分）过点C（0，）的椭圆+ =1（a>b> 0）的离心率为，椭 圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l 与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）求椭圆的方程； （2）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD的长； 3）当点P 异于点 B 时，求证：? 为定值． 2016-2017 学年广东省珠海市高二（上）期末数学 试卷（理 科）（ A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60 分）1．若命题p：? x∈ A，2x∈B，则（） A．￢p：? x0∈A，2x0∈B B．￢p：? x0?A，2x0∈ B C．￢p：? x0∈A，2x0?B D．￢p：? x?A，2x?B 【考点】命题的否定． 【分析】命题p 是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词变化．【解答】解：命题p∈A，2x∈B 是全称命题，否定时将量词对任意的x 变为? x，再将不等号∈变为?即可，即为：￢p：? x0∈A，2x0?B，故选： C 【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．属基础题． 2．下列命题错误的是（） A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B．若p∧q 为假命题，则p，q 均为假命题 C．命题p：? x0∈R，使得sinx0>1，则￢p“? x∈R，均有sinx≤1 D．“>x2”是“ < ”的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；根据复合命题真假判断的真值表，可判断B；写出原命题的否定命题，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”，故A正确； 若p∧q 为假命题，则p，q 存在假命题，但不一定均为假命题，故 B 错误；命题p：? x0∈R，使得sinx0> 1，则￢p“? x∈ R，均有sinx≤1，故C正确； “ < ”? “>x2，或x<0”，故“>x2”是“ < ”的充分不必要条件，故D正确；故选： B 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载 体，考查了四种命题，复合命题，充要条件，特称命题等知识点，难度中档． 3．已知，，若，则常数m=（） A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直． 【分析】根据时，? =0，列出方程求出m 的值． 【解答】解：，， 当时，? =0， 即﹣3× 1+2m+5× 3=0，解得m=﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查了空间向量的数量积的应用问题，是基础题目． 4．在等差数列{a n} 中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（） A．40 B．80 C．160 D．320 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】运用等差数列的性质，求得a5=80，即可得到所求． 【解答】解：在等差数列{a n} 中，a3+a4+a5+a6+a7=400， 由a3+a7=a2+a8=2a5， 可得5a5=400，a5=80， 则a2+a8=160， 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． A ．x 2﹣ =1 B ．x 2 ﹣ =1（x ≠±1） 5．如图 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1= ，则 BE 1与DF 1所成的角的 余弦值是（ ） 考点】 异面直线及其所成的角． 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 E 1，得到的锐角或直角就 是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 【解答】 解：如图 先将 F 1D 平移到 AF ，再平移到 E 1E ， ∠EE 1B 为 BE 1与 DF 1所成的角 设边长为 4 则， E 1E=E 1B= ，BE=2 cos ∠EE 1B= ，故选 A 【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角， 以及余弦定理的应用， 属于基 础题． 6．设两点 A 、 B 的坐标为 A （﹣1，0）、B （1，0），若动点 M 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为﹣ 2，则动点 M 的轨迹方程为（ ） C ． D ． A ． B ． C．x2+ =1 D．x2+ =1（x≠± 1） 【考点】轨迹方程． 【分析】由题意可得：设M（x，y），写出直线AM 与直线BM的斜率分别为，结合题意得到x 与y 的关系，进而得到答案． 【解答】解：由题意可得：设M （x，y）， 所以直线AM 与直线BM 的斜率分别为，，x≠± 1． 因为直线AM 与直线BM 的斜率之积为﹣2， 所以? =﹣2，化简得：x2+ =1．x≠± 1 所以动点M 的轨迹E的方程为x2+ =1（x≠± 1）． 故选：D． 【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程的方法，注意x 的范围，考查转化思想以及计算能力． 7．在等比数列{ a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（） A．2 B．C．D．4 考点】等比数列的通项公式． 分析】由已知结合等比数列的性质求解． 解答】解：在等比数列{a n} 中，由a6=6，a9=9， 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 尺之锤，日取其半，万世不竭”．反8．《庄子?天下篇》中记述了一个著名命题： 映这个命题本质的式子是（ ） 考点】 归纳推理． 【分析】 根据已知可得每次截取的长度构造一个以 为首项，以 为公比的等比 数列，但累加和小于 1，进而得到答案． 等比数列， 故选： B ． 点评】本题考查的知识点是等比数列的前 n 项和公式，数列的应用，难度中档． 9．若 m 则 m ， n ，p ，q 从小到大排列顺序是（ ） A ．m B ．p C ．m D ．p 【考点】 不等式比较大小． 【分析】 把 p 、q 看成变量，则由（ q ﹣m ）（q ﹣n ）<0，知 m ，n 一个大于 q ， 一个小于 q ．由 m 0，知 m ，n 一个 大于 p ，一个小于 p ，由 m < n ，知 m 【解答】 解：∵（ q ﹣m ）（q ﹣n ）< 0， ∴ m ，n 一个大于 q ，一个小于 q ． ∵m ∵（p ﹣m ）（p ﹣n ）>0， ∴ m ，n 一个大于 p ，一个小于 p ． A ． 1 + +? + =2 ﹣ B ． +? C ． +?+ =1 D ． +?+ > 1 解答】 解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以 为首项，以 为公比的 ∵ + +?+ =1 ∵ + +?+ =1 <1， <1， 故反映这个命题本质的式子是 + +?+ < 1， m ∴m 【点评】本题考查不等式大小的比较，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等 式的性质的合理运用． 10．△ABC 的三边长分别是 a ，b ，c ，且 a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ ABC 的外接 圆的面积为（ ） A ．25πB．5π C． D ． 【考点】 余弦定理． 【分析】由已知利用三角形面积公式可求 c 的值，进而利用余弦定理可求 b 的值， 再利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，利用圆的面积公式即可计算得解． 解答】 解：∵ S △ABC =2，a=1，B=45°， ∴ acsinB= =2，解得： c=4 ， ∴由余弦定理可得： b= = =5 ∴ 2R= ， 故选： C ． 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理，圆的面积公式 在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 11．已知 lg （x+y ）=lgx+lgy ，则 x+y 的取值范围是（ ） A ．（ 0， 1] B ．[ 2，+∞） C ．（ 0， 4] D ．[ 4，+∞） 【考点】 基本不等式． 【分析】 化简构造基本不等式的性质即可得出． 【解答】 解：由题意， lg （ x+y ）=lgx+lgy ，得 lg （x+y ）=lg （xy ） ∴ S 外接圆 =π R 2= ∴x+y=xy，且x >0，y>0． ∴y= >0， ∴x>1 那么：x+y=x+ =（x﹣1）+ +2≥=4 当且仅当x=2 时取等号． ∴x+y 的取值范围是[ 4，+∞）， 故选：D． 【点评】本题考查了“对数的运算”和构造基本不等式的性质的运用，属于基础题． 12．已知P是双曲线=1（a> 0，b> 0）右支上一点，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△ PF1F2 的内心，若S△ IPF1=S△IPF2+ S△ IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（） A．4 B．C．2 D．2 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+ S△IF1F2，化简可得 |PF1| ﹣| PF2| = | F1F2| ，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率． 【解答】解：如图，设圆I 与△PF1F2的三边F1F2、PF1、 PF2 分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG， 则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2， 它们分别是△ IF1F2，△IPF1，△IPF2 的高， ∴S△IPF1= | PF1| ?| IF|= | PF1| r， S△IPF2= | PF2| ?|IG| = |PF2| r， S△IF1F2= | F1F2| ?| IE| = | F1F2| r， 其中r 是△ PF1F2 的内切圆的半径． △IF1F2， ∴ | PF2| = | PF1| ﹣| F1F2| ， 两边约去得：| PF2| =| PF1|﹣|F1F2| ， ∴| PF1| ﹣| PF2|= | F1F2| 根据双曲线定义，得| PF1| ﹣| PF2| =2a，| F1F2| =2c，∴ 2a= c? 离心率为e= = ． 故选B． 【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题． 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13．已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为（0，） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用点的坐标满足方程求出a，化简抛物线方程，然后求解即可． 【解答】解：抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），可得 a=4，抛物线的标准方程为：x2= y，则焦点坐标为：（0，）． 故答案为：（0，）． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力． 14．已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若 1?P，则实数 a 的取值范围为（1，2）． 【考点】一元二次不等式的解法；其他不等式的解法． 【分析】根据题意，1?P时（1﹣a）（1+1﹣a）< 0 成立，求出解集即可． 【解答】解：不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥ 0 的解集为P， 当1?P 时，（1﹣a）（1+1﹣a）< 0， 即（a﹣1）（a﹣2）< 0， 解得1 所以实数 a 的取值范围是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目． 15．如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为8 m． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x>0，y>0，篱笆总长度为L=x+2y 利用基本不等式求解即可． 【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x>0， y>0，篱笆总长度为L=x+2y≥2 =8，当且仅当x=2y=4时取等号；篱笆总长度最小为：8m． 故答案为：8． 【点评】本题考查函数的实际问题的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力． 16．若命题：“? x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数 a 的取
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