No-Hair Theorem for Spontaneously Broken Abelian Models in Static Black Holes

正则静态黑洞的薄吸积盘仇天奇【摘要】依照Penrose的宇宙检察猜想,自然界不存在裸奇性.所以,值得进一步考虑的是自然界根本不存在奇性.讨论了没有奇点的正则黑洞,并研究史瓦西黑洞和正则黑洞在天体物理学中的区别.研究围绕正则黑洞的薄吸积盘,比较了不同正则黑洞之间薄吸积盘的能量通量,辐射温度和吸积效率.结果显示,正则黑洞薄吸积盘内的相互作用比史瓦西的更加强.此外,随着正则黑洞质量不断地减少,薄吸积盘会更有效地消耗能量.这些特征提供了一种区分出正则黑洞的可能性.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(043)004【总页数】5页(P427-431)【关键词】时空奇点;正则黑洞;薄吸积盘【作者】仇天奇【作者单位】上海师范大学天体物理中心,上海200234【正文语种】中文【中图分类】P145.80 引言时空奇点被认为是广义相对论中最有趣也是最令人困惑的结论之一.奇点处是一个时空无限弯曲、经典物理理论行将失效的地方.因此,时空奇点成了广义相对论理论适用范围的一个限制.人们普遍认为,时空奇点的困难只能从量子引力中才能找到解决的方案.然而,迄今尚未有一个成熟的量子引力理论来解决时空奇点这一困难.因此,一类被称为正则黑洞的黑洞模型得到了广泛的关注.正则黑洞被认为能够在弱能情况下避免时空奇点的存在.相比于经典黑洞,它同样包含有事件视界,但它的中心不再是时空无限弯曲之处,取而代之的是一个时空曲率有限的点.并且,正则黑洞的度规也有别于爱因斯坦真空解.它的度规可从对爱因斯坦引力的修改或非线性磁单极的引力场中得到[1].在1968年,Bardeen首次提出了满足上述情况的正则黑洞[2],在下文中称之为解B.该正则黑洞具有球对称的、静态的、渐进平坦的度规.在r→0的极限情况下,解将趋于de Sitter解,而在r→∞的极限下,将趋于Reissner-Nordström解.虽然正则黑洞B解并非来自于经典爱因斯坦方程,但后来被证明是能够从耦合了非线性磁单极的引力场中得到[3].正则黑洞B对后来正则黑洞的研究产生了深远的影响,一些相类似的正则黑洞解也相继被提出.2005年,何向楠提出了一个新的正则黑洞解,在下文中称之为解A.两类解具有相似的性质,但解A 是目前正则黑洞中最简单也是最小的正则黑洞模型[2].一直以来,正则黑洞有别于经典黑洞的特性,在理论上没有更深入地进行探究.本文作者通过将正则黑洞纳入天文学观测的领域,希望对正则黑洞相关特性的研究起到一定的帮助.此方法也见于中子星和夸克星的薄吸积盘研究[4]以及Kerr黑洞的吸积盘研究[5].探讨了围绕于正则黑洞的薄吸积盘.薄吸积盘作为一种简单的吸积盘理论,它围绕在紧致星体的周围,形成一片类似土星光环形状的薄盘.盘中的主要成份为吸积得来的物质颗粒和气体.通过观察其中物质的运动,能够得到一些重要的天文学信息,并可能从中得到有关正则黑洞性质的线索.薄吸积盘理论始于1972年Pringle和Rees,以及1973年Shakura和Sunyaev 的工作. 发展至今,已形成了一套较完整的薄吸积盘稳态理论.盘的最内层具有一个稳定的运动轨道,处于此轨道上的物质以高速的运动来免于被黑洞吸收.在其他的轨道中,吸积等离子体将做开普勒运动[6]. 研究以下正则黑洞薄吸积盘的物理参量.其一是能量通量,考虑吸积盘以黑体辐射的方式传播能量,那么能量通量可以从盘表面处观测.其二是吸积效率,即在吸积过程中,黑洞将剩余质量转化成辐射的效率.最后,考虑吸积盘温度变化[7].对上述物理参量的讨论以及与Schwarzschild黑洞之间的比较,将在结论部分进行探讨.1 薄吸积盘简述考虑任意一中静态、轴对称度规,ds2=gttdt2+gtφdtdφ+grrdr2+gφφdφ2.(1)选取薄吸积盘的赤道面为研究对象,θ=π/2.薄吸积盘中的物质具有能量E,角动量L.(2)其中进行无量纲处理,令τ=mλ,并带入能量E和角动量L.能够得到无量纲后的能量E=E/m,角动量L=L/m,以及角速度Ω.(3)(4)(5)薄吸积盘的势能项定义为：为了能够在薄吸积盘赤道面得到最内层稳定圆形轨道,及轨道半径r=rms.要求势能项具有V(r)=0以及V,r(r)=0.当考虑V,rr(r)|r=rms=0的情况,能够得到最内层稳定圆形轨道半径r=rms[4].E2gφφ,rr+2ELgtφ,rr+L2gtt,rr-(gtφ2-gttgφφ),rrr=rms=0.(7)通过计算薄吸积盘的能量E,角动量L以及角速度Ω,不仅可以求得稳定轨道半径r=rms,同时能量通量F(r)亦可通过下式得到[8].(8)通过热力学平衡,薄吸积盘中物质的运动得以维持.考虑从盘表面发射出的辐射为黑体辐射,则相应的吸积盘温度可以表示为其中σ为Boltzmann常数.描述吸积盘性质的另一个物理参数为吸积效率.定义为：光子从吸积盘表面向无穷远处辐射的能量与黑洞从吸积盘吸入的能量之比.若所有光子都可以向无穷远处辐射,那么吸积效率只与最内层稳定轨道中的物质能量相关[4].=1-E|r=rms .(9)2 正则静态黑洞的薄吸积盘考虑如下球对称度规,ds2=-f(r)dt2+dr2/f(r)+r2dΩ2 .(10)两类正则黑洞解A和解B分别为：解(11)(12)其中M是黑洞的质量,n是一个正的实数,g是由非线性电动力学所描述的自引力磁单极荷.通过计算得到相应吸积盘的角速度,能量以及角动量.(13)对于解A,当n=0时,正则黑洞将退化为Schwarzschild黑洞.可以看出,度规在r→∞时,时空是渐进平坦的.在r→0,并不会像经典黑洞一样显示出奇异性,而是趋于一个有限值,从而避免了时空奇点.从(7)式可知8n2r2-11nr5-(r-6)r7=0,对于不同的n,得到不同的最内层稳定轨道半径risco. 从图1中看出,risco与n之间呈线性关系,在n=0处,为Schwarzschild 黑洞的最内层稳定轨道半径,也是此正则黑洞最内层稳定轨道半径最大的情况.为了让正则黑洞A的事件视界存在,要求n≤32/27,此时的黑洞事件视界半径约为4rs/3,其中rs是Schwarzschild半径.图1 正则黑洞A薄吸积盘的最内层稳定轨道半径risco随n的变化图2 选取n=0、n=0.4、n=0.8时,正则黑洞A薄吸积盘能量通量F(r)随r/rs的变化进一步计算不同n值的吸积盘能量通量F(r)(图2),以及吸积盘温度T(r)(图3).发现两者的数值都比n=0的Schwarzschild黑洞情况要高.从计算出的吸积效率n=0为=5.7191%、n=0.4为=5.90673%、n=0.8 为=5.91338%,也可看出吸积效率随n值的增加而变大.表明正则黑洞A的薄吸积盘较之于Schwarzschild情况更强(图4).图3 正则黑洞A的吸积盘温度T(r)随r/rs的变化图4 在正则黑洞A吸积盘中,吸积效率随n值的变化图5 正则黑洞B薄吸积盘最内层稳定轨道半径risco随g的变化情况图6 不同g值情况下,正则黑洞B薄吸积盘的能量通量F(r)随r/rs的变化在正则黑洞B情况.首先,从(7)式可求出吸积盘最内层稳定轨道半径risco为:12r8(r2+g2)13/2+30r6(r2+g2)8+16r2(r2+g2)10+3.33×10-16(r2+g2)23/2+ r4(8.88×10-16(r2+g2)17/2-48(r2+g2)9=0.(14)risco与g成抛物线型变化(图5),随着g值的增加,相比于正则黑洞A,正则黑洞B 最内层稳定轨道的半径迅速地减小.在g=0处,其最大值仍同于Schwarzschild黑洞情况.为使正则黑洞B存在事件视界,要求本文作者发现,正则黑洞B下薄吸积盘能量通量的变化与Schwarzschild黑洞相类似.所不同的是正则黑洞B下的通量要高出Schwarzschild的情况(图6).相应的吸积盘温度也更高(图7).进一步计算吸收效率,在n=0,=5.7191%、n=0.2,=5.7725%、n=0.4, =5.94625%、n=0.6,=6.29598%. 随着g值的增加,吸积效率不断地增加,表明正则黑洞B薄吸积盘内,物质之间的相互作用不断地增强,运动更加剧烈,使得能量通量以及温度升高.从而为区分出正则黑洞B提供帮助.图7 不同g值下,正则黑洞B薄吸积盘温度T(r)随r/rs的变化图8 正则黑洞B薄吸积盘吸收效率随g变化的情况3 结论本文作者讨论了两种简单正则黑洞的薄吸积盘,其吸积盘的能量通量、温度以及吸积效率,都比Schwarzschild 黑洞的情况高.两种正则黑洞的薄吸积盘运动都表现得更加活跃,盘内物质间的相互作用也更加剧烈.Schwarzschild黑洞解是爱因斯坦方程的精确解.从所探讨正则黑洞薄吸积盘的天文学信息看,本研究所考虑的正则黑洞并不同于Schwarzschild黑洞,这也意味着其解不太可能来源于经典爱因斯坦方程.文献中已指出,正则黑洞B的场源与非线性电动力学相关联[3].有朝一日,若正则黑洞能够被观测到,那么很有可能暗示着经典的爱因斯坦方程需要被修改或者纳入一些未曾考虑的相互作用.参考文献:[1] AYN-BEATO E,GARCA A. Regular Black Hole in General Relativity Coupled to Nonlinear Electrodynamics[J].Physical ReviewLetters,1998,80(23):5056-5059.[2] HAYWARD S.Formation and Evaporation of Nonsingular BlackHoles[J].Physical Review Letters 9,2006,96:031103-1,4.[3] AYN-BEATO E,GARCA A.The Bardeen Model as a Nonlinear Magnetic Monopole[J].Physics Letters B,2000,493(1-2):149-152.[4] KOVCS Z,CHENG K S,HARKO T.Thin Accretion Discs Around Neutron and Quark Stars[J].Astronomy and Astrophysics,2009,500(2):621-631. [5] ABRAMOWICZ M A,LANZA A,PERCIVAL M J.Accretion Disks Around Kerr Black Holes:Vertical Equilibrium Revisited[J].The Astrophysical Journal,1997,479(1):179-183.[6] PAGE D N,THORNE K S.Disk-accretion onto a Black Hole.Time-averaged Structure of Accretion Disk[J].The Astrophysical Journal,1974,191:499-506.[7] TORRES D F.Accretion Disc Onto a Static Non-baryonic Compact Object[J].Nuclear Physics B,2002,626(1-2):377-394.[8] SHAKURA N,SUNYAEV R.Black Holes in Binary Systems.Observational Appearance[J].Astronomy and Astrophysics,1973,24:337-355.。

时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的Noether理论祖启航;朱建青;宋传静【摘要】研究了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 理论.首先,基于Hamilton原理,建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程;其次,根据时间尺度上Hamilton作用量在无限小变换下的广义准不变量,得到了时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether 等式和守恒量;最后,举例说明结果的应用.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(051)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】时间尺度;相空间;非完整系统;Noether等式;守恒量【作者】祖启航;朱建青;宋传静【作者单位】苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;苏州科技大学数理学院,江苏苏州215009;南京理工大学理学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】O3161988年德国学者Hilger在他的博士论文[1]中提出测度链上的微积分理论，其主要思想就是把连续和离散进行统一[2-3].时间尺度作为测度链的一种特殊形式，非常具有代表性.目前，时间尺度在动态方程、变分原理、最优控制和经济等相关领域都得到了广泛的应用[4-11]．近年来，国内外学者对时间尺度上力学系统的变分问题及其对称性与守恒量进行了研究.Bohner研究了时间尺度上Lagrange方程表达形式及变分问题[12]，Barosiewicz等研究了时间尺度上Lagrange系统的Noether理论[13]，Cai等研究了时间尺度上非保守和非完整力学系统的Noether理论[14]，Song和Zhang建立了时间尺度上Birkhoff方程，给出了Birkhoff系统的Noether等式与守恒量[15].本文基于时间尺度上Hamilton原理，建立了时间尺度上非Chetaev型非完整力学系统的Hamilton方程.根据Hamilton作用量在无限小变换下的准不变量，得到了系统的Noether定理．时间尺度上的微积分理论可参阅文献[6]．假设力学系统的位形由n个广义坐标来确定，其运动受时间尺度上g个双面理想非Chetaev型非完整约束非完整约束(1)加在虚位移上的限制条件为时间尺度上Lagrange函数为则有时间尺度上Lagrange非完整力学系统的微分方程[14]其中,为非势广义力，λβ是约束乘子.假设系统非奇异，即对约束条件(1)求Δ导数，并将方程(4)显示形式表示出来[7],.由(6)式解得代入(7)式，则可解出约束乘子λβ作为t，qσ，qΔ的函数.方程(4)可表示为其中，引进时间尺度上广义动量和Hamilton函数[9]于是在正则变量p，qσ下，(1)、(2)和(9)式变为时间尺度上非保守力学系统的Hamilton原理为其中,，满足以下交换关系和端点条件将(13)式两边同时乘以，代入(15)式，可得对(11)式两边关于广义动量求偏导数，得到将(19)式代入(18)式，根据Dubois-Reymond定理[12]，可得对(20)式求Δ导数，可得方程(19)和(21)称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的运动方程.由(14)式，方程(19)和(21)可进一步表示为称方程(22)为与时间尺度上相空间中非完整系统(12)，(19)和(21)相应时间尺度上相空间中完整系统的运动方程．首先，考虑只含有qs，ps变分的情况.相空间中Hamilton作用量表示为定义1称作用量(23)式在变换下为广义准对称不变量，当且仅当对任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2],有，其中，ε为无限小参数，ξs和ηs为无限小变换的生成函数，为全变分，为规范函数并且有G=εG．定理1如果作用量(23)式是变换(24)式下的广义准对称不变量，对所有，那么.证明由定义1，方程(25)在任意区间[ta，tb]⊆[t1，t2]上均成立，则(25)式等价于，对(27)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可以得到(26)式．定理2如果作用量I是定义1下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明由(22)和(26)式，可得于是得到(28)式.下面将讨论含时间t的无限小变换下的广义准对称不变量．令U是右稠连续可微函数和的集合.对任意qs，ps∈U和ε，映射∈是右稠连续的，而且它是在新的时间尺度上带有前跳算子σ*和导数Δ*的一个象.同时有交换关系[6]:定义2如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，当且仅当对任意的区间[ta，tb]⊆[t1，t2].t.定理3如果作用量I是变换(30)式下的广义准对称不变量，那么.证明由定义2，可得，由于区间[ta，tb]是[t1，t2]的任意子区间，所以有，对(34)式两边同时关于ε求偏导数并令ε=0，则可得等式(32)．(32)式就称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整力学系统的Noether等式．定理4如果作用量I是定义2下的广义准对称不变量，那么系统的守恒量为证明令，当时，则根据等式(33)有，t.由于=t，则有，).由定义1可知，泛函是在={}上的无限小变换的准不变量.因此当=t，由定理2可得.又因为，其中，∂1H表示对函数H中第一个变量求偏导数.将(41)、(42)式代入(40)式，则可得(35)式．定理4称为时间尺度上相空间中非Chetaev型非完整系统的广义Noether定理，根据这个定理可由已知的广义准对称不变量得到系统的守恒量．定义时间尺度，假设系统的Lagrange函数为所受的非完整约束为该约束为非Chetaev型的，虚位移满足根据(10)式和(11)式，有广义动量和Hamilton函数，将Hamilton函数代入(21)式，则有由(44)，(46)和(47)式，求得于是有根据(32)式和(2)式，可得对(50)和(51)式进行求解所以根据定理4，可得到守恒量时间尺度将离散和连续进行了统一，研究时间尺度在分析力学的应用并寻求相应的守恒量.本文通过时间尺度上Hamilton原理，建立时间尺度上非Chetaev型非完整Hamilton方程.定义了时间尺度上相空间中的广义准不变量，得到系统的Noether等式和守恒量.本文结果具有普遍性，当约束条件时，结论可退化为时间尺度上相空间中Chetaev型非完整力学系统的Noether的理论.同时，可进一步拓展到时间尺度最优控制，约束Birkhoff力学系统等．致谢：作者对张毅教授的悉心指导深表感谢!【相关文献】[1] HILGER S. Ein maβkettenkalkul mit anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten[D]. Wurzburg:Universität Wurzburg， 1988．[2] HILGER S. Analysis on measure chains-a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Math， 1990， 18(1-2):18-56．[3] HILGER S. Differential and difference calculus-unified[J]. Nonlinear Anal， 1997，30(5):2683-2694．[4] AGARWAL R P， BOHNER M. Basic calculus on time scales and some of its applications[J]. Results Math， 1999， 35(1-2):3-22．[5] AGARWAL R P， BOHNER M， PETERSON A. Inequalities on time scales: a survey [J]. J Math Inequ Appl， 2001， 4(4):535-557．[6] BOHNER M， PETERSON A. Dynamic equations on time scales， An Introduction with applications[M]. Boston: Birkhäuser， 2001．[7] BOHNER M， GUSEINOV G SH. Partial differentiation on time scales[J]. Dyn Syst Appl，2004， 13(3): 351-379．[8] ATICI F M， BILES D C， LEBEDINSKY A. An application of time scales to economics[J]. Math Comput Model， 2006， 43(7-8): 718-726．[9] AHLBRANDDT C D， BOHNER M， RIEDNHOUR J. Hamiltonian systems on time scales[J]. J Math Appl Anal， 2000， 250(2): 561-578．[10] HILSCHER R， ZEIDAN V. Weak maximum principle and accessory problem for control problems on time scales[J]. Nonlinear Anal， 2009， 70(9):3209-3226．[11] HILSCHER R， ZEIDAN V. Calculus of variations on time scales: Weak local piecewise solutions with variable endpoints[J]. J. Math Anal Appl， 2004， 289(1):143-166．[12] BOHNER M. Calculus of variations on time scales[J]. Dyn Syst Appl， 2004，13(12):339-349．[13] BARTOSIEWICZ Z， TORRES D F M. Noether theorem on time scales[J]. J Math Anal Appl， 2007， 342(2): 1220-1226．[14] CAI P P， FU J L， GUO Y X. Noether symmetries of the nonconservative and nonholonomic system on time scales[J]. Sci China: Phys Mech Astron， 2013，56(5):1017-1028．[15] SONG C J， ZHANG Y. Noether theorem for Birkhoffian systems on time scales[J]. J Math Phys， 2015， 56(10): 102701(1-7)．。

Applications 创新应用集成电路应用 第 39 卷 第 4 期（总第 343 期）2022 年 4 月 69们认为奇点是密度无穷大的一个点，在这个点附近一切物理定律都无法使用，这与我们目前已知的情况格格不入，即是说明我们目前已知的物理规律、量子力学、场论等等一切物理规律都是无效的在奇点附近。

为了保证已知的物理定律的真实性和有效性，1969年彭罗斯从类时测地线受到启发提出了弱宇宙审查猜想来保证物理规律可行性，他的猜想表明黑洞坍塌诞生的奇点应该被黑洞视界包着，视界在奇点的外围，奇点被视界隐藏在后面，远处的研究人员不能通过任何方法无法得到奇点附近的任何信息。

由于对于奇点附近的问题一直得不到解决，而人们又急需一种理论来说明这种情况，于是很多学者开始赞同彭罗斯宇宙审查猜想，用事件视界来隔离奇点内外情况，用事件视界作为边界，视界内部是奇点所在时空，外界对其不会有任何影响，视界外部的一切也不会影响到视界内部，虽然这种说法能暂时将奇点问题屏蔽，但是其说法很难得到广大科学家认同。

自从彭罗斯最初的研究结果以来，弱宇宙审查猜想(WCCC)一直是黑洞的一个有趣的研0 引言拉普拉斯（Laplace）和米谢尔（Michelle）通过对天体研究发现，存在一类天体其第二宇宙速度超过光速，我们无法观测到它，因为一切靠近它的物质包括光都会被其巨大的引力拖拽，人们把这种天体称为暗星[1]。

1 研究背景100多年后爱因斯坦在1915年提出相对论，他认为质量的存在会影响周围的时空，使周围时空发生弯曲，如果一个天体质量足够大，其产生的弯曲曲率能使光线都发生偏折，并向中心天体靠近，那么光进入之后就无法出来，之后史瓦西通过对场方程求解得到了一个真空球对称解——史瓦西解，美国科学家惠勒将这种天体现象称为黑洞（BH）。

之后人们对黑洞性质，及其满足的物理规律都有极大兴趣，在1960～1970年代，霍金和彭罗斯对黑洞的形成进行研究，他们发现只有相对论有效，满足因果性，黑洞内部就一定是奇异的。

范德瓦尔斯黑洞的几何热力学
几何热力学方法是近年来研究黑洞和普通物理系统的热力学特性的一种新的方法。

通过这种方法,我们可以把任意热力学系统对应的热力学相空间几何化,引入对应的热力学度规,将热力学问题转化为几何问题进行研究。

利用这种方法得到的相空间几何特性与系统的热力学性质之间有一个很好的对应关系。

这种对应关系经由大量工作验证,对于不同热力学系统具有普遍性,且与其他方法得到的结果是一致的。

在第二章中,我们介绍四维时空中一类特殊的静态球对称渐进AdS黑洞,即范德瓦尔斯黑洞。

这种黑洞的特殊之处在于当我们将宇宙常数项处理为热力学压强时,写出的黑洞状态方程与范德瓦尔斯流体的状态方程形式完全一致。

因其构建方法比较特殊,需要将黑洞状态方程的一般形式与范德瓦尔斯状态方程相结合解方程,所以还要去检验其是否满足能量条件。

在第三章中,我们研究了范德瓦尔斯黑洞的几何热力学性质,分为几种不同情况,讨论参数a,b取不同值对其热力学性质的影响。

经计算,我们发现它的热力学特性与范德瓦尔斯流体的热力学特性确实存在相似性。

’借助状态方程,我们可以构建普通热力学系统与黑洞之间的一种对应关系。

当范德瓦尔斯状态方程退化为理想气体方程时,范德瓦尔斯黑洞也将退化为平面对称的施瓦西AdS黑洞,该黑洞的热力学特性与理想气体之间存在相似性。

范德瓦尔斯黑洞与范德瓦尔斯气体的对应关系在极端情况下仍被保留下来。

布拉休斯定理
布拉休斯定理（Blaschke's theorem）是微分几何学中的基本定理之一，用于确定紧致无边的流形是否与某个欧几里得空间中的子流形等价。

这个定理指出，如果一个紧致无边的流形在某个开集上与某个欧几里得空间中的子流形等价，那么这个流形必然与一个全测地子流形等价。

此外，定理还说明了流形与子流形之间的全测地性是通过一族包围整个流形的测地线来实现的。

布拉休斯定理的证明基于了几何测度论和微分几何的基本定理，如高斯-博内定理和欧拉-庞加莱公式等。

在证明过程中，通过对流形的体积进行积分，可以得出流形与欧几里得空间中的子流形之间的全测地性关系。

布拉休斯定理的应用非常广泛，它可以用于解决许多几何问题，例如确定一个流形的拓扑结构、证明流形的等价性、计算流形的体积和表面积等。

此外，这个定理还可以用于研究其他领域的问题，例如物理学中的相对论和流体动力学等。

总之，布拉休斯定理是微分几何学中的重要定理之一，它为研究紧致无边的流形提供了重要的理论依据和方法。

通过研究这个定理的数学原理和应用，可以进一步深化我们对微分几何学和相关领域知识的理解和认识。

布劳威尔不动点原理The Brouwer fixed point theorem is a fundamental principle in mathematics that is used to study the existence of solutions to certain equations or problems. 布劳威尔不动点定理是数学中的一个基本原理,用于研究某些方程或问题的解的存在。

It states that any continuous function from a closed ball in Euclidean space to itself must have at least one fixed point. 该定理声明,从欧几里德空间中的闭球到其自身的任何连续函数都必须至少有一个不动点。

This means that no matter how the function is continuously deformed, there will always be a point that remains unchanged. 这意味着无论函数如何连续变形,总会有一个点保持不变。

This principle has wide-ranging applications in various fields such as economics, physics, and computer science. 这一原理在经济学、物理学和计算机科学等各个领域有着广泛的应用。

In economics, the Brouwer fixed point theorem is often used to prove the existence of equilibrium points in economic models. 在经济学中,布劳威尔不动点定理经常被用来证明经济模型中平衡点的存在。

庞加莱猜想-前言Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!(我们必须知道！我们必将知道！)—— David Hilbert两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其中有一半篇幅是关于Poincar\'e 猜想。

版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己所讲的内容发在版上。

当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。

主要是因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下笔。

两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先足了。

另外，由于Clay 研究所的百万巨赏，近年来Poincar\'e 猜想频频在媒体上曝光；而且Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这一猜想的最后解决。

所以大概会有很多人对Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，我也好借机一偿两年来的宿愿。

现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。

但限于篇幅和文章的形式，我也不可能对很多东西详细解释。

一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在本文的附录中解释。

还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大可不去理会它们的确切含义。

我将尽量避免使用这一类的专业术语。

作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。

凡此种种，还请读者诸君海涵。

问题的由来Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a trois dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ ser\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas simplement connexe?—— Henri Poincar\'e在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称为n维球面(sphere)。

诺特定理推导诺特定理（Noether's theorem）是由德国数学家埃米尔·诺特（Emmy Noether）于1918年提出的一个重要数学定理，将对称性与守恒定律联系在一起。

诺特定理的基本思想是，对于一个物理系统，如果该系统的拉格朗日量（Lagrangian）在某些变换下保持不变（即具有一定的对称性），那么一定存在一些与之对应的物理量守恒。

换句话说，对称性导致守恒定律的存在。

具体而言，诺特定理可以分为多个版本，包括在时间平移、空间平移、旋转、规范对称性等情况下的推导。

不同版本的诺特定理将对应不同的守恒定律，如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。

以时间平移对称性为例，假设系统的拉格朗日量在时间平移下不变，即对于系统的每个状态，将时间向前或向后平移一个固定的时间量，系统的运动方程不发生变化。

根据诺特定理，我们可以推导出能量守恒的存在。

具体推导的过程可以通过应用拉格朗日力学的相关数学框架进行，需要使用到变分法、欧拉-拉格朗日方程等工具。

由于推导过程相对复杂，需要一定的数学基础，因此在此只能给出一个简要的描述。

假设系统的拉格朗日量为L(q, q_dot)，其中q表示广义坐标，q_dot表示广义速度。

假设系统在时间平移下保持不变，即对于任意的时间变换t → t+t0，系统的拉格朗日量仍然是L(q,q_dot)。

利用Euler-Lagrange方程，可以得到系统的运动方程。

然后根据诺特定理，在时间平移变换下，拉格朗日量的不变性可以推导出一个守恒量，即能量守恒。

这是因为根据诺特定理，系统的拉格朗日量的不变性可以得到一个与时间平移对称性对应的Noether守恒量，即能量。

以上是对诺特定理的一个简要推导过程。

实际的推导可能还会应用到其他的数学工具和定理，具体细节还需要参考相关的数学和物理教材。

数学: 科学的王后和仆人Mathematics: Queen and Servant of Science北京理工大学叶其孝本文的题目是已故的美国科学院院士、著名数学家、数学史学家和科普作家Eric Temple Bell(贝尔, 1883, 02, 07 ~ 1960, 12, 21)于1951年写的一本书的书名Mathematics: Queen and Servant of Science (数学: 科学的王后和仆人). 该书主要是为大学生和非数学领域的人士写的, 介绍纯粹和应用数学的各个方面, 更着重在说明数学科学的极端重要性.The Mathematical Association of America, 1996, 463 pages实际上这是他1931年写的The Queen of the Sciences (科学的王后)和1937年写的The Handmaiden of the Sciences (科学的女仆)这两本通俗数学论著的合一修订扩大版.Eric Temple Bell Alexander Graham Bell (1847 ~ 1922) 按常识的理解, 女王是优美、高雅、无懈可击、至尊至贵的, 在科学中只有纯粹数学才具有这样的特点, 简洁明了的数学定理一经证明就是永恒的真理, 极其优美而且无懈可击;另一方面, 科学和工程的各个分支都在不同程度上大量应用数学, 这时数学科学就是仆人, 这些仆人是否强有力, 用起来是否得心应手是雇佣这些仆人的主人最为关心的事. 事实上, servant这个字本身就有“供人们利用之物, 有用的服务工具”的意思. 毫无疑问, 我们的目的不是为数学争一个好的名分, 而是想说明数学是怎样通过数学建模来解决各种实际问题的; 数学(数学建模)的极端重要性, 以及探讨正确认识和理解数学科学的作用对于发展我国科学技术、经济以及教育, 从而争取在21世纪把我国真正建设成为屹立于世界民族之林的强国，乃至个人事业发展的至关重要性. 当然, 我们也希望说明王后和仆人集于一身并不矛盾. 历史上, 很多特别受人尊敬的科学家, 不仅仅是由于他们的科学成就, 更因为他们的科学成就能够服务于人类.数学是科学的王后, 算术是数学的王后. 她常常放下架子为天文学和其他科学效劳, 但是在所有情况下, 第一位的是她(数学)应尽的责任. (高斯)Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics. She often condescends to render service to astronomy and other natural sciences, but under all circumstance the first place is her due.— Carl Friedrich Gauss (卡尔·弗里德里希·高斯, 1777, 4, 30 ~ 1855, 2, 23)From: Bell, Eric T., Mathematics: Queen and Servant of Science, MAA, 1951, p.1;Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937, p. xv.***************************************************自古以来，数学的发展始终与科学技术的发展紧密相连，反之亦然. 首先, 我们来看一下导致我们现在这个飞速发展的信息社会的19、20世纪几乎所有重大科学理论的发展和完善过程中数学(数学建模)所起到的不可勿缺的作用.数学研究的成果往往是重大科学发明的催生素(仅就19、20世纪而言, 流体力学、电磁理论、相对论、量子力学、计算机、信息论、控制论、现代经济学、万维网和互联网搜索引擎、生物学、CT、甚至社会政治学领域等). 但是20世纪上半世纪, 数学虽然也直接为工程技术提供一些工具, 但基本方式是间接的: 先促进其他科学的发展, 再由这些科学提供工程原理和设计的基础. 数学是幕后的无名英雄.现在, 数学无处不在, 数学和工程技术之间,在更广阔的范围内和更深刻的程度上, 直接地相互作用着, 极大地推动了科学和工程科学的发展, 也极大地推动了技术的发展. 数学不仅是幕后的无名英雄, 很多方面开始走向“前台”. 但是对数学的极端重要性迄今尚未有共识, 取得共识对加强一个国家的竞争力来说是至关重要的.硬能力―一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.‖“正在丢失的硬实力”, 鲁鸣, 《青年文摘》2011年第5期动向：美国很多州新办STEM高中, 一些大学开始开设STEM课程等.STEM = Science + Technology + Engineering + Mathematics2012年2月7日公布的美国总统科技顾问委员会给总统的报告，参与超越：培养额外的100万具有科学、技术、工程和数学学位的大学生(Engage to Excel: Producing One Million Additional College Graduates with Degrees in Science, Technology, Engineering, and Mathematics)The Mathematical Sciences in 2025, the National Academies Press, 2013人们使用的数学科学思想、概念和方法的范围在不断扩大的同时，数学科学的用途也在不断扩展. 21世纪的大部分科学与工程将建立在数学科学的基础上.This major expansion in the uses of the mathematical sciences has been paralleled by a broadening in the range of mathematical science ideas and techniques being used. Much of twenty-first century science and engineering is going to be built on a mathematical science foundation, and that foundation must continue to evolve and expand.数学科学是日常生活的几乎每个方面的组成部分.互联网搜索、医疗成像、电脑动画、数值天气预报和其他计算机模拟、所有类型的数字通信、商业和军事中的优化问题以及金融风险的分析——普通公民都从支撑这些应用功能的数学科学的各种进展中获益，这样的例子不胜枚举.The mathematical sciences are part of almost every aspect of everyday life. Internet search, medical imaging, computer animation, numerical weather predictions and othercomputer simulations, digital communications of all types, optimization in business and the military, analyses of financial risks —average citizens all benefit from the mathematical science advances that underpin these capabilities, and the list goes on and on.调查发现:数学科学研究工作正日益成为生物学、医学、社会科学、商业、先进设计、气候、金融、先进材料等许多研究领域不可或缺的重要组成部分. 这种研究工作涉及最广泛意义下数学、统计学和计算综合，以及这些领域与潜在应用领域的相互作用. 所有这些活动对于经济增长、国家竞争力和国家安全都是至关重要的，而且这种事实应该对作为整体的数学科学的资助性质和资助规模产生影响. 数学科学的教育也应该反映数学科学领域的新的状况.Finding: Mathematical sciences work is becoming an increasingly integral and essential component of a growing array of areas of investigation in biology, medicine, social sciences, business, advanced design, climate, finance, advanced materials, and many more. This work involves the integration of mathematics, statistics, and computation in the broadest sense and the interplay of these areas withareas of potential application. All of these activities are crucial to economic growth, national competitiveness, and national security, and this fact should inform both the nature and scale of funding for the mathematical sciences as a whole. Education in the mathematical sciences should also reflect this new stature of the field.****************************************************************为了以下讲述的方便, 我们先来了解一下什么是数学建模.数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统的行为的强有力的工具.数学建模是数学用来解决各种实际问题的桥梁.↑→→→→→→→→↓↑↓↑↓↓↑↓←←←←←通不过↓↓通过)定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程数学建模的难点观察、分析实际问题, 作出合理的假设, 明确变量和参数, 形成明确的数学问题. 不仅仅是翻译的问题; 涉及的数学问题可能是复杂、困难的, 求解也许涉及深刻的数学方法. 如何作出正确的判断, 寻找合适、简洁的(解析或近似) 解法; 如何验证模型.简言之:合理假设、模型建立、模型求解、解释验证.记住这16个字, 将会终生受用.数学建模的重要作用：源头创新当然数学建模也有局限性, 不能单独包打天下, 因为实际问题是非常复杂的, 需要多学科协同解决.在图灵(A. M. Turing)的文章: The Chemical Basis of Morphogenesis (形态生成的化学基础), Philosophical Transactions of the Royal Society of London (伦敦皇家学会哲学公报), Series B (Biological Sciences),v.237(1952), 37-72.1. 一个胚胎的模型. 成形素本节将描述一个正在生长的胚胎的数学模型. 该模型是一种简化和理想化, 因此是对原问题的篡改. 希望本文论述中保留的一些特征, 就现今的知识状况而言, 是那些最重要的特征.1. A model of the embryo. MorphogensIn this section a mathematical model of the growing embryo will be described. This model will be asimplification and an idealization, and consequently a falsification. It is to be hoped that the features retained for discussion are those of greatest importance in the present state of knowledge.想单靠数学建模本身来解决重大的生物学问题是不可能的，另一方面，想仅仅依靠实验来获得对生物学的合理、完整的理解也是极不可能的. There is no way mathematical modeling can solve major biological problems on its own. On the other hand, it ishighly unlikely that even a reasonably complete understanding could come solely from experiment.—— J. D. Murray, Why Are There No 3-Headed Monsters? Mathematical Modeling in Biology, Notices of the AMS,v. 59 (2012), no. 6, p.793.自古以来公平、公正的竞赛都是培养、选拔人才的重要手段, 科学和数学也不例外.中学生IMO (国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad), 1959 ～)北美的大学生Putnbam数学竞赛(1938 ～)全国大学生数学竞赛(2010 ～)Mathematical Contest in Modeling (MCM, 1985 ～)美国大学生数学建模竞赛Interdisciplinary Contest in Modeling (ICM, 1999～)美国大学生跨学科建模竞赛China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling (CUMCM, 1992～) 中国大学生数学建模竞赛中国大学生参加美国大学生数学建模竞赛情况中国大学生数学建模竞赛情况在以下讲述中涉及物理方面的具体的数学模型 (问题)的叙述和初步讨论可参考《物理学与偏微分方程》, 李大潜、秦铁虎编著, (上册, 1997; 下册, 2000), 高等教育出版社.Seven equations that rule your world (主宰你生活的七个方程式), by Ian Stewart, NewScientist, 13 February 2012.Fourier transformation 2ˆ()()ix f f x e dx πξξ∞--∞=⎰Wave equation 22222u u c t x ∂∂=∂∂ Ma xwell‘s equation110, , 0, H E E E H H c t c t∂∂∇⋅=∇⨯=-∇⋅=∇⨯=∂∂Schrödinger‘s equation ˆψH ψi t∂=∂Ian Stewart, In Pursuit of the Unknown:17 Equations That Changed the World (追求对未知的认识：改变世界的17个方程), Basic Books, March 13, 2012.目录(Contents)Why Equations? /viii1. The squaw on the hippopotamus ——Pythagoras‘sTheorem/12. Shortening the proceedings —— Logarithms/213. Ghosts of departed quantities —— Calculus/354. The system of the world ——Newton‘s Law ofGravity/535. Portent of the ideal world —— The Square Root ofMinus One/736. Much ado about knotting ——Euler‘s Formula forPolyhedra/837. Patterns of chance —— Normal Distribution/1078. Good vibrations —— Wave Equation/1319. Ripples and blips —— Fourier Transform/14910. The ascent of humanity —— Navier-StokesEquation/16511. Wave in the ether ——Maxwell‘s Equations/17912. Law and disorder —— Second Law ofThermodynamics /19513. One thing is absolute —— Relativity/21714. Quantum weirdness —— Schrödinger Equation/24515. Codes, communications, and computers ——Information Theory/26516. The imbalance of nature —— Chaos Theory/28317. The Midas formula —— Black-Scholes Equation/195Where Next?/317Notes/321Illustration Credits/330Index/331相对论Albert Einstein(1879, 3, 14 ～1955, 4, 18)20世纪最伟大的科学成就莫过于Einstein(爱因斯坦)的狭义和广义相对论了, 但是如果没有Minkowski (闵可夫斯基)几何、Riemann(黎曼)于1854年发明的Riemann几何, 以及Cayley(凯莱), Sylvester(西勒维斯特)和Noether(诺特)等数学家发展的不变量理论, Einstein的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述. Einstein自己也不止一次地说过.早在1905年, 年仅26岁的爱因斯坦就已提出了狭义相对论. 狭义相对论推倒了牛顿力学的质量守恒、能量守恒、质量能量互不相关、时空永恒不变的基本命题. 这是一场真正的科学革命.为了导出狭义相对论，爱因斯坦作出了两个假设：运动的相对性(所有匀速运动都是相对的)和光速为常数(光的运动例外, 它是绝对的). (1)狭义相对性原理,即在所有惯性系中, 物理学定律具有相同的数学表达形式;(2)光速不变原理,真空中光沿各个方向传播的速率都相等，与光源和观察者的运动状态无关.时空不是绝对独立的.由此可以导出一些推论: 相对论坐标变换式和速度变换式, 同时的相对性, 钟慢尺缩效应和质能关系式等.他的好友物理学家P.Ehrenfest指出实际上还蕴涵着第三个假设, 即这两个假设是不矛盾的. 物体运动的相对性和光速的绝对性, 两者之间的相互制约和作用乃是相对论里一切我们不熟悉的时空特征的根源.(部分参阅李新洲:《寻找自然之律--- 20世纪物理学革命》, 上海科技教育出版社, 2001.)1907 年德国数学家H. Minkowski (1864 ～1909) 提出了―Minkowski 空间‖,即把时间和空间融合在一起的四维空间1,3R. Minkowski 几何为Einstein 狭义相对论提供了合适的数学模型.“没有任何客观合理的方法能够把四维连续统分离成三维空间连续统和一维时间连续统. 因此从逻辑上讲, 在四维时空连续统(space- time continuum)中表述自然定律会更令人满意. 相对论在方法上的巨大进步正是建立在这个基础之上的, 这种进步归功于闵可夫斯基(Minkowski).”—Albert Einstein, The Meaning of Relativity, 1922, Princeton University Press. 中译本, 阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, (普林斯顿科学文库(Princeton Science Library) 1), 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 27.有了Minkowski 时空模型后, Einstein 又进一步研究引力场理论以建立广义相对论. 1912 年夏他已经概括出新的引力理论的基本物理原理, 但是为了实现广义相对论的目标, 还必须寻求理论的数学结构, Einstein 为此花了 3 年的时间, 最后, 在数学家M. Grossmann 的介绍下学习掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具—以Riemann几何和Ricci, Levi - Civita的绝对微分学, 也就是Einstein 后来所称的张量分析.“根据前面的讨论, 很显然, 如果要表达广义相对论, 就需要对不变量理论以及张量理论加以推广. 这就产生了一个问题, 即要求方程的形式必须对于任意的点变换都是协变的. 在相对论产生以前很久, 数学家们就已经建立了推广的张量演算理论. 黎曼(Riemann)首先把高斯(Gauss)的思路推广到了任意维连续统, 他很有预见性地看到了……进行这种推广的物理意义. 随后, 这个理论以张量微积分的形式得到了发展, 对此里奇(Ricci)和莱维·齐维塔(Tulio Levi-Civita, 1873～1941)做出了重要贡献. ”—阿尔伯特·爱因斯坦著, 相对论的意义, 郝建纲、刘道军译, 上海科技教育出版社, 2001, p. 57.从数学建模的角度看, 广义相对论讨论的中心问题是引力理论, 其基础是以下两个假设: 1. (等效原理)惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的，(或说引力和非惯性系中的惯性力等效)；2. (广义相对性原理) 一切参考系都是平权的，换言之，客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变——广义协变性(即一切物理定律在所有参考系[无论是惯性的或非惯性的]中都具有相同的形式)。