一、选择题
1．已知函数f (x )＝1
x cos x ，则f (π)＋f ′????π2＝( ) A ．－3
π2
B ．－1π2
C ．－3π
D ．－1π
解析：选C.因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′????π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3
π. 2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0 D ．(e －1)x －y －1＝0
解析：选C.由于y ′＝e －1
x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线
方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.
3．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6 D ．8
解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7.所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7.所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14.又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.
4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．2
D ．4
解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－1
3.又因为
g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×???
?－1
3＝0. 5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.2
2
D. 3
解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1
x
＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切
线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝
2
2
＝ 2. 6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7
2(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，
且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
解析：选D.因为f ′(x )＝1
x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，所以切线l 的
方程为y ＝x －1.
g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，
则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋7
2，m ＜0，于是解得m ＝－2. 二、填空题
7．曲线y ＝ln x 在与x 轴交点处的切线方程为________．
解析：因为曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝ln x 的导函数为y ′＝1
x ，所以
曲线y ＝ln x 在点(1，0)处的切线的斜率为k ＝1
1＝1.即过点(1，0)，且斜率为1的直线的方程
为y －0＝1(x －1)，整理得x －y －1＝0.
答案：x －y －1＝0
8．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 018)＝________．
解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1
x ＋1，故f ′(2
018)＝12 018＋1＝2 019
2 018
.
答案：2 0192 018
9．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．
解析：因为f ′(x )＝a －1
x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －
1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.
答案：1 10．(2018·云南第一次统考)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．
解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.
答案：4 三、解答题
11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．
(1)由题意得?
????f （0）＝b ＝0，
f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，
解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.
(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，
所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－1
2.
所以a 的取值范围为
????－∞，－12∪???
?－12，＋∞.
12．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－1
4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.
所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.
(2)设切点为(x 0，y 0)，
则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为
y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 3
0＋x 0－16， 又因为直线l 过点(0，0)，
所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 3
0＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2， 所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.
所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－1
4x ＋3垂直，
所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±
1. 所以?????x 0＝1，y 0＝－14或?????x 0＝－1，y 0
＝－18，
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，
切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.