平差三章
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第三章监测网平差及基准点稳定性分析
剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
第3章最小二乘平差
测量数据的函数模型一般为：
几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。 （测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型） 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常 用的有： 1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；
3、附有限制条件的条件平差法。
例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立 观测了三角形三个内角，观测值方差为 2 。 则平差的数学模型可表达为：
L1 L1 L1 1800 0 或： E ( L1 ) E ( L1 ) E ( L1 ) 1800 0
函数模型：
随机模型：
2 0 0 Q11 0 2 DL 0 2 0 0 0 Q22 2 0 0 0 0
1、条件平差法
条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0 h1 h2 h4 h6 0 .......
X1
X2
L3 X 1 X 2 180
0
t=2，选2个参数，函数模型：
选：X 1 L1 X 2 L2
1 0 0 , B0 0 B 0 1 0 1 1 180
3,1
L B XB
3,2 2,1
0
3,1
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。 （测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型） 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常 用的有： 1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；
3、附有限制条件的条件平差法。
例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立 观测了三角形三个内角，观测值方差为 2 。 则平差的数学模型可表达为：
L1 L1 L1 1800 0 或： E ( L1 ) E ( L1 ) E ( L1 ) 1800 0
函数模型：
随机模型：
2 0 0 Q11 0 2 DL 0 2 0 0 0 Q22 2 0 0 0 0
1、条件平差法
条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0 h1 h2 h4 h6 0 .......
X1
X2
L3 X 1 X 2 180
0
t=2，选2个参数，函数模型：
选：X 1 L1 X 2 L2
1 0 0 , B0 0 B 0 1 0 1 1 180
3,1
L B XB
3,2 2,1
0
3,1
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
测量平差第三章习题与答案
测量平差第三章思考题3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为s ，试求X 的中误差： （1）()12312X LL L =++；（2）123L L X L =3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12s s s ==，120s =，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。
的中误差。
3.3 设有观测向量[]12331TL L L L =，其协方差阵为，其协方差阵为40003002L LD éùêú=êúêúëû分别求下列函数的的方差：分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L =3.4 设有同精度独立观测值向量[]12331TL LLL=的函数为113s i n s i n A BL Y S L =，22A B Y L a =-，式中A B a 和A B S 为无误差的已知值，测角误差1"s =，试求函数的方差12y s 、22y s及其协方差12y y s3.5 在图中△ABC 中测得A A s б，边长b b s ±，c c s ±，试求三角形面积的中误差ss 。
3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？，问可以设多少站？ 3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
第三章--水准网平差程序设计课件
待定点高程计算是为了得到未知点的高程近 似值，在求取未知点近似高程的时候，要注意测 段的方向及相关正负号。既可以进行人工计算后 输入到程序中，也可以直接将原始数据直接读入 到程序中，根据相关算法让程序自动计算。计算 原理如下式：
26
水网观测数据(测段)的组织：
测段号 起点 终点
第三章 水准网平差程序设计
本章难点：
1、近似高程计算 2、最短路线的计算 3、误差方程及法方程的构建 4、直接计算出法方程的系数矩阵BTPB和常 数矩阵BTPL
1
一、水准网间接平差算法概述
该课程中所采用的平差模型为间接平差，即所
选的独立参数的个数等于必要观测数，这样可以 将每个观测值表示成这t个参数的函数，组成观测
20
最短路线搜索函数 FindShortPath (p as integer, exclude as integer, int neighbor()as integer,diff() as double, S() as double) b)路线闭合差计算算法
从一个已知点出发用观测高差依次推算其它
各点的高程，最后闭合到另外一个已知点上，闭
1
AB
2
EC
3
DC
4
BC
5
AD
6
AC
7
AF
测段高差(m)
5.835 1.006 7.384 3.782 2.270 9.64 0.003
测段长(km) 测站数
1.5 0.8 2.1 3.2 1.7 1.3
4.1
27
水准网近似高程计算算法
1、定义一数组a()，将已知点(原有高程 和计算出的近似高程都可视为已知点) 存 到a()数组中； 2、遍历所有测段(从第一个测段到最后 一个测段)；
26
水网观测数据(测段)的组织：
测段号 起点 终点
第三章 水准网平差程序设计
本章难点：
1、近似高程计算 2、最短路线的计算 3、误差方程及法方程的构建 4、直接计算出法方程的系数矩阵BTPB和常 数矩阵BTPL
1
一、水准网间接平差算法概述
该课程中所采用的平差模型为间接平差，即所
选的独立参数的个数等于必要观测数，这样可以 将每个观测值表示成这t个参数的函数，组成观测
20
最短路线搜索函数 FindShortPath (p as integer, exclude as integer, int neighbor()as integer,diff() as double, S() as double) b)路线闭合差计算算法
从一个已知点出发用观测高差依次推算其它
各点的高程，最后闭合到另外一个已知点上，闭
1
AB
2
EC
3
DC
4
BC
5
AD
6
AC
7
AF
测段高差(m)
5.835 1.006 7.384 3.782 2.270 9.64 0.003
测段长(km) 测站数
1.5 0.8 2.1 3.2 1.7 1.3
4.1
27
水准网近似高程计算算法
1、定义一数组a()，将已知点(原有高程 和计算出的近似高程都可视为已知点) 存 到a()数组中； 2、遍历所有测段(从第一个测段到最后 一个测段)；
第三章 条件平差(第五周+第六周)
1
4
7
10
2021年5月20日星期四
F 8
12 11
E
24
§3- 2、条件方程的列立
六、坐标条件
xˆE xE 0
yˆ E yE 0
xˆE xB xˆBC xˆCE
xB SˆBC cosˆBC SˆCE cosˆCE
yˆE yB yˆBC yˆCE
yˆB SˆBC sinˆBC SˆCE sinˆCE
26
§3- 2、条件方程的列立
六、坐标条件
B
4 3
D 57
F
8 12
69
1
2
10
11
(xE xB )(cotL1v1 cotL2v2 ) (xE xC )(cotL4v4 cotL5v5 ) A
C
E
(xE xC )(cotL7v7 cotL8v8 ) (xE xC )(cotL12v12 cotL11v11)
为了使平差值满足相应几何图形的要求，必 须使由不同路线推算得到的同一条边的长 度应相等。
A
图3
B D
图5 C1 C
§3- 2、条件方程的列立
3、极条件
图3
（4）
（5）
（6）
以D点为极，列出各图形边长比的积为1，称为极条件方程
注：列极条件方程时，要记住这么一个规律：分子为起算 边所 对角度的正弦，分母为推算边所对角度的正弦！
Q
n,n
2 0
P 1
n,n
函数模型 随机模型
AV W 0
V T PV min
平差模型
按求函数极值的拉格朗日乘 数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
第三章 条件平差
纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标 平差值应与终点的已知坐标值相等，即
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
3.1第1讲(条件平差原理)
平差值条件方程
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
ˆ L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
p2
O pn
一、条件平差原理
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立的偶
然误差， 然误差，相应的权阵为 P ，改正 n,n ˆ V ，平差值为 L ，用矩阵 数为 n,1 n ,1 表示为： 表示为：
2012-3-29
必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
1
第三章 条件平差
第一节
改正数条件方程： 改正数条件方程： a1v1 + a 2 v 2 + L + a n v n − wa = 0 b1v1 + b2 v 2 + L + bn v n − wb = 0 LLLLLLLLLLLLL r1v1 + r2 v 2 + L + rn v n − wr = 0 方程的闭合差
ˆ 2. L、W、K、V、L 的协因数阵及互 协因数阵
L=L
W = −( AL + A0 ) = − AL − A0
K = N −1W = − N −1 ( AL + A0 ) = − N −1 AL − N −1 A0 V = P −1 AT K
传播律中的K 传播律中的K
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
ˆ L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
p2
O pn
一、条件平差原理
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立的偶
然误差， 然误差，相应的权阵为 P ，改正 n,n ˆ V ，平差值为 L ，用矩阵 数为 n,1 n ,1 表示为： 表示为：
2012-3-29
必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
1
第三章 条件平差
第一节
改正数条件方程： 改正数条件方程： a1v1 + a 2 v 2 + L + a n v n − wa = 0 b1v1 + b2 v 2 + L + bn v n − wb = 0 LLLLLLLLLLLLL r1v1 + r2 v 2 + L + rn v n − wr = 0 方程的闭合差
ˆ 2. L、W、K、V、L 的协因数阵及互 协因数阵
L=L
W = −( AL + A0 ) = − AL − A0
K = N −1W = − N −1 ( AL + A0 ) = − N −1 AL − N −1 A0 V = P −1 AT K
传播律中的K 传播律中的K
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例题5设有函数 Z F1 X F2 Y ，已知X与Y的协方差阵 DXX t1 n1 r1 tn tr 和 DYY ，X关于Y的互协方差阵为 DXY ，求 DZZ和 Z关于X及Y 的互协方差阵 DZX和 DZY 。
nn
Wuhan University
rr
nr
tt
tn
tr
DZZ F1
DXX F2 DYX
第二节 协方差传播律
Wuhan University
一、观测值线性函数的方差 对于观测值 X ，其数学期望μx,协方差阵DXX
n1
DXX
有观测值的线性函数 Z K x k0
11 1n n1
12 12 1n 2 21 2 2 n E[( X x )( X x )T ] 2 n1 n 2 n
E( X ,Y )
x yf ( x, y)dxdy xf1 ( x)dx yf2 ( y )dy
E ( X ) E (Y )
当 X 1 , X 2 X n 两两相互独立， 推为广之
E ( X 1 , X 2 , , X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n )
E( X Y )
( x y ) f ( x, y )dxdy
x[ f ( x, y )dy]dx y[ f ( x, y )dx]dy
xf1 ( x)dx yf2 ( y )dy E ( X ) E (Y )
第一节 数学期望的传播
数学期望的定义： E( X ) xf ( x)dx
1. E (C ) C
Wuhan University
2. E (CX ) CE( X )
E(CX ) Cxf ( x)dx C xf ( x)dx CE( X ) 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y h8 B
h2 h3
h H 5 H A h2 h7或H 5 H B h8或H 5 H A 4 h3 h4＋h5等
3
三角形的内角值
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 2 1 ˆ L2 L1 L2 L3 60 3 3 3 ˆ 1 L 1 L 2 L 60 L3 1 2 3 3 3 3
K k1
k2 kn
11
Z k1 x1 k2 x2 kn xn k0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
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根据方差的定义，Z 的方差为 2 DZZ Z E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z ))T ]
可以推广至一般情况 E( X1 X 2 X n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) 4. 对于相互独立的变量X,Y有
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E ( X , Y ) E ( X ) E (Y )
因为变量X,Y相互独立，有 f ( X , Y ) f1 ( X ) f 2 ( y)
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2 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 DLL 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 1/ 3 2 / 3 1/ 3 ˆˆ 2 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3
β
1
B
A
x
β 2α
则
C
1.96 1 1 1 1 1 1.92 1 1.96 x 1.4
2 x
二、多个观测值线性函数的协方差阵
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水准测量
H1 H A h1 H 2 H A h2 H 3 H A h3 H 4 H A h3 h4
也可以用课本中式3-2-5计算
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例题3 设再测站A上，已知∠ABC=α, 设无误差，观测
角β1和β2的中误差σ1＝σ2＝1.4″，协方差σ12＝-1（秒2）， 求角x的中误差σx。
1 x 1 2 1 1 2 1 令＝ 2 12 12 1.96 1 D 2 21 2 1 1.96
t1 tn n1 t1
E ( Z ) E ( KX k0 ) K X k0
DZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z ))T ] E[( KX K X )( KX K X )T ]
tt
KE[( X X )( X X )T ]K T K DXX K T
rn nn nt
当Y=Z时，变成（1）式，习惯上将描述观测值X的协方 差阵DXX与观测值函数Z的协方差阵Dzz以及两组函数Z和Y的
互协方差阵之间关系的公式都称为协方差传播律。
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例题4 设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为σ。 ˆ ˆ ˆ 试求将三角形闭合差平均分配后的各角 L1 , L2 , L3，的协方差阵。 三角形闭合差由下式计算： L1 L2 L3 180 ˆ L1 L1 1/ 3 2 / 3L1 1/ 3L2 1/ 3L3 60 ˆ L 1/ 3L 2 / 3L 1/ 3L 60
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例题1 设有观测向量 试求下列函数的方差：
F1 L1 2 L2 3L3
31
L，已知其协方差阵为 DLL
4 2 3
2 F 12 4 22 2 (3) 2 3 39
1
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2 1 2 3
ˆ L3 1/ 3L1 1/ 3L2 2 / 3L3 60
2 ˆ 2 / 3 1 / 3 1 / 3 L 60 L1 1 ˆ ˆ L 1 / 3 2 / 3 1 / 3 L 60 DLL 2 L 2 2 ˆ L 1 / 3 1 / 3 2 / 3 L 60 2 3 3
tn nn nt
（1）
协方差传播律是协方差阵传播律的一种特殊情况
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对于观测值 X ，若还有X的r个线性函数 同样可得： T D FD
n1
Y FX f
r1 rn n1 r1
rr
YY
rn
nn
XX
F
nr
Y 关于Z 的互协方差阵
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E ( Z ))T ] E[( FX F X )( KX K X )T ] FE[( X X )( X X )T ]K T F DXX K T
E[( KX k0 E ( KX k0 ))( KX k0 E ( KX k0 ))T ] E[( KX K X )( KX K X )T ] E[ K ( X X )( X X )T K T ] KE[( X X )( X X )T ]K T KDXX K T
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对于观测值 X ，其数学期望μx，若有X的t个线性函数
n1
Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k2 n X n k 20 Z t kt1 X 1 kt 2 X 2 ktn X n kt 0 用矩阵形式表示 Z K X k0
地信专业
武汉大学资源与环境科学学院 二0一二年二月
第三章 协方差传播律及权
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全章共分7节，是本课程的重点内容之一。 重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数 传播律。 难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义， 定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差 传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下 的精度评定问题。 要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角 元素与观测值的权之间的关系； 能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式， 并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
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角度（前方）交会法，求待定点坐标
XP X B ctg X Actg YB YA ctg ctg
YB ctg YActg X B X A YP ctg ctg
观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间存在怎样
的关系？
2 / 3 2 1/ 3 2 1/ 3 2
1/ 3 2 2 / 3 2 1/ 3 2
1/ 3 2 1/ 3 2 2 / 3 2
分配闭合差后的内角的精度高于观测值。如果只是求某 个元素的的中误差和其关于另外某元素的协方差，不必全部 求出来。
X Z F1 F2 Y DXY F1T DYY F2T
F1DXX F1T F1DXY F2T F2 DYX F1T F2 DYY F2T
X X I 0 Y DXX DZX F1 F2 DYX