平差三章
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第三章监测网平差及基准点稳定性分析
剔除动点后，其余点构成统计量
F1
ˆF 2 ˆ02
ˆF
2
=
dFT
PFF fF
dF
当F1<F分析值，分析即结束，反之，继续 剔除动点，继续检验，直到原假设不再拒绝，
最后剩下的都是稳定的点。
• 当网中存在固定点时，采用这些固定点作 基准，应用经典平差；
• 当网中某些点具有相对的稳定性，它们相 互变动是随机的情况下，则用这些点作拟 稳点，用拟稳平差对成果进行分析；
• 当监测网所有网点具有微小的随机变动时, 自由网平差是一种有效的分析方法.
因此，要合理地确定监测网的参考系，首先要 确定哪些点是稳定的或相对稳定的点，哪些点是 不稳定的点。从20世纪70年代起，人们相继提出 了多种关于监测点稳定性分析方法，其中平均间 隙法是一种比较典型的方法。
m i=1
xi =0
xm
x
1 m
m i 1
xi
0, x为水准网的高程重心.
x =0说明水准网的自由网平差参考系是网的高程重心.
以测边网为例：自由网平差
x1
1
G
T
X=
0
- y10
0 1 x10
1 0 - y20
0 1 x20
…1 …0 … ym0
0 1 xm0
y1 xm
所以：对监测网进行稳定性分析，并 根据稳定性分析结果选择平差方法，确立 一个对变形分析比较有利的参考系，是变 形观测数据处理的一项重要任务。
§3—2 监测网的参考系及其平差
起算数据称为平差问题的基准：基准给出了控制网的位 置。
尺度和方位的定义 即控制网的参考系.
• 经典平差：采用选择固定基准的办法确定参考 系. （满足待估参数的求取要求） • 监测网平差：满足有多期复测的观测值估计的 位移 是一种“绝对的”或接近绝对的位移
误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权
X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
第3章最小二乘平差
测量数据的函数模型一般为：
几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。 （测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型） 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常 用的有： 1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；
3、附有限制条件的条件平差法。
例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立 观测了三角形三个内角，观测值方差为 2 。 则平差的数学模型可表达为：
L1 L1 L1 1800 0 或： E ( L1 ) E ( L1 ) E ( L1 ) 1800 0
函数模型：
随机模型：
2 0 0 Q11 0 2 DL 0 2 0 0 0 Q22 2 0 0 0 0
1、条件平差法
条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0 h1 h2 h4 h6 0 .......
X1
X2
L3 X 1 X 2 180
0
t=2，选2个参数，函数模型：
选：X 1 L1 X 2 L2
1 0 0 , B0 0 B 0 1 0 1 1 180
3,1
L B XB
3,2 2,1
0
3,1
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。 （测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型） 建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常 用的有： 1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；
3、附有限制条件的条件平差法。
例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立 观测了三角形三个内角，观测值方差为 2 。 则平差的数学模型可表达为：
L1 L1 L1 1800 0 或： E ( L1 ) E ( L1 ) E ( L1 ) 1800 0
函数模型：
随机模型：
2 0 0 Q11 0 2 DL 0 2 0 0 0 Q22 2 0 0 0 0
1、条件平差法
条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。 条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0 h1 h2 h3 0 h1 h2 h4 h6 0 .......
X1
X2
L3 X 1 X 2 180
0
t=2，选2个参数，函数模型：
选：X 1 L1 X 2 L2
1 0 0 , B0 0 B 0 1 0 1 1 180
3,1
L B XB
3,2 2,1
0
3,1
h1 h5 h4 0 h2 h5 h6 0 h3 h4 h6 0
测量平差第三章习题与答案
测量平差第三章思考题3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为s ，试求X 的中误差： （1）()12312X LL L =++；（2）123L L X L =3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12s s s ==，120s =，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。
的中误差。
3.3 设有观测向量[]12331TL L L L =，其协方差阵为，其协方差阵为40003002L LD éùêú=êúêúëû分别求下列函数的的方差：分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L =3.4 设有同精度独立观测值向量[]12331TL LLL=的函数为113s i n s i n A BL Y S L =，22A B Y L a =-，式中A B a 和A B S 为无误差的已知值，测角误差1"s =，试求函数的方差12y s 、22y s及其协方差12y y s3.5 在图中△ABC 中测得A A s б，边长b b s ±，c c s ±，试求三角形面积的中误差ss 。
3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？，问可以设多少站？ 3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
第三章--水准网平差程序设计课件
待定点高程计算是为了得到未知点的高程近 似值，在求取未知点近似高程的时候，要注意测 段的方向及相关正负号。既可以进行人工计算后 输入到程序中，也可以直接将原始数据直接读入 到程序中，根据相关算法让程序自动计算。计算 原理如下式：
26
水网观测数据(测段)的组织：
测段号 起点 终点
第三章 水准网平差程序设计
本章难点：
1、近似高程计算 2、最短路线的计算 3、误差方程及法方程的构建 4、直接计算出法方程的系数矩阵BTPB和常 数矩阵BTPL
1
一、水准网间接平差算法概述
该课程中所采用的平差模型为间接平差，即所
选的独立参数的个数等于必要观测数，这样可以 将每个观测值表示成这t个参数的函数，组成观测
20
最短路线搜索函数 FindShortPath (p as integer, exclude as integer, int neighbor()as integer,diff() as double, S() as double) b)路线闭合差计算算法
从一个已知点出发用观测高差依次推算其它
各点的高程，最后闭合到另外一个已知点上，闭
1
AB
2
EC
3
DC
4
BC
5
AD
6
AC
7
AF
测段高差(m)
5.835 1.006 7.384 3.782 2.270 9.64 0.003
测段长(km) 测站数
1.5 0.8 2.1 3.2 1.7 1.3
4.1
27
水准网近似高程计算算法
1、定义一数组a()，将已知点(原有高程 和计算出的近似高程都可视为已知点) 存 到a()数组中； 2、遍历所有测段(从第一个测段到最后 一个测段)；
26
水网观测数据(测段)的组织：
测段号 起点 终点
第三章 水准网平差程序设计
本章难点：
1、近似高程计算 2、最短路线的计算 3、误差方程及法方程的构建 4、直接计算出法方程的系数矩阵BTPB和常 数矩阵BTPL
1
一、水准网间接平差算法概述
该课程中所采用的平差模型为间接平差，即所
选的独立参数的个数等于必要观测数，这样可以 将每个观测值表示成这t个参数的函数，组成观测
20
最短路线搜索函数 FindShortPath (p as integer, exclude as integer, int neighbor()as integer,diff() as double, S() as double) b)路线闭合差计算算法
从一个已知点出发用观测高差依次推算其它
各点的高程，最后闭合到另外一个已知点上，闭
1
AB
2
EC
3
DC
4
BC
5
AD
6
AC
7
AF
测段高差(m)
5.835 1.006 7.384 3.782 2.270 9.64 0.003
测段长(km) 测站数
1.5 0.8 2.1 3.2 1.7 1.3
4.1
27
水准网近似高程计算算法
1、定义一数组a()，将已知点(原有高程 和计算出的近似高程都可视为已知点) 存 到a()数组中； 2、遍历所有测段(从第一个测段到最后 一个测段)；
第三章 条件平差(第五周+第六周)
1
4
7
10
2021年5月20日星期四
F 8
12 11
E
24
§3- 2、条件方程的列立
六、坐标条件
xˆE xE 0
yˆ E yE 0
xˆE xB xˆBC xˆCE
xB SˆBC cosˆBC SˆCE cosˆCE
yˆE yB yˆBC yˆCE
yˆB SˆBC sinˆBC SˆCE sinˆCE
26
§3- 2、条件方程的列立
六、坐标条件
B
4 3
D 57
F
8 12
69
1
2
10
11
(xE xB )(cotL1v1 cotL2v2 ) (xE xC )(cotL4v4 cotL5v5 ) A
C
E
(xE xC )(cotL7v7 cotL8v8 ) (xE xC )(cotL12v12 cotL11v11)
为了使平差值满足相应几何图形的要求，必 须使由不同路线推算得到的同一条边的长 度应相等。
A
图3
B D
图5 C1 C
§3- 2、条件方程的列立
3、极条件
图3
（4）
（5）
（6）
以D点为极，列出各图形边长比的积为1，称为极条件方程
注：列极条件方程时，要记住这么一个规律：分子为起算 边所 对角度的正弦，分母为推算边所对角度的正弦！
Q
n,n
2 0
P 1
n,n
函数模型 随机模型
AV W 0
V T PV min
平差模型
按求函数极值的拉格朗日乘 数法，引入乘系数
K
r ,1
[ka
kb
第三章 条件平差
纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标 平差值应与终点的已知坐标值相等，即
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
xˆn1 xC 0 yˆ n1 yC 0
单一附合导线条件平差
1.方位角附合条件式
Tˆn1 T0 [ˆi ]1n1 (n 1) 180 T0 [i vi ]1n1 (n 1) 180
则方位角附合条件式可写为
v2
Lˆ n
Ln
vn
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
条件平差原理
可以列出r个平差值线性条件方程
a1v1 a2v2 an vn wa 0
b1v1
b2v2 bn vn wb 0
r1v1 r2v2 rn vn wr 0
程中式的式中常中，数的ai、项系b。i数、相，…应、a0的、ri（改b0i、正= …1数,2、条,…r件0…为方n各）程平为式差各值平条差件值方条程件方式
E QAT
0
N 1 QAT N 1
0
N 1 AQ QAT N 1 AQ
0
0
0
Q
QAT
N
1
AQ
QLˆL
QLˆW
QLˆK
QLˆV
QLˆLˆ
由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改 正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服 从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互 独立的向量。
平差值函数的协因数
单一附合导线条件平差
设AB边方位角已知值为TAB = T0，CD边方位角已知值为TCD、 计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1, y1)，C点坐 标的已知值为(,)、计算值为(xn+1, yn+1)。三个条件中，有 一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。
3.1第1讲(条件平差原理)
平差值条件方程
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
ˆ L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
p2
O pn
一、条件平差原理
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立的偶
然误差， 然误差，相应的权阵为 P ，改正 n,n ˆ V ，平差值为 L ，用矩阵 数为 n,1 n ,1 表示为： 表示为：
2012-3-29
必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
1
第三章 条件平差
第一节
改正数条件方程： 改正数条件方程： a1v1 + a 2 v 2 + L + a n v n − wa = 0 b1v1 + b2 v 2 + L + bn v n − wb = 0 LLLLLLLLLLLLL r1v1 + r2 v 2 + L + rn v n − wr = 0 方程的闭合差
ˆ 2. L、W、K、V、L 的协因数阵及互 协因数阵
L=L
W = −( AL + A0 ) = − AL − A0
K = N −1W = − N −1 ( AL + A0 ) = − N −1 AL − N −1 A0 V = P −1 AT K
传播律中的K 传播律中的K
v1 v 2 V = n ,1 M v n
ˆ L1 ˆ L ˆ L = 2 n ,1 M ˆ Ln
n ,1
ˆ L = L+V
n ,1
n ,1
p1 ˆ L1 L1 + v1 ˆ L2 + v 2 P = L2 = M M n ,n ˆ Ln + v n Ln
p2
O pn
一、条件平差原理
L 有n个观测值 n ,1 ，均含有相互独立的偶
然误差， 然误差，相应的权阵为 P ，改正 n,n ˆ V ，平差值为 L ，用矩阵 数为 n,1 n ,1 表示为： 表示为：
2012-3-29
必要 观测 数t, 多余 观测 数为r 数为r r=nr=n-t
1
第三章 条件平差
第一节
改正数条件方程： 改正数条件方程： a1v1 + a 2 v 2 + L + a n v n − wa = 0 b1v1 + b2 v 2 + L + bn v n − wb = 0 LLLLLLLLLLLLL r1v1 + r2 v 2 + L + rn v n − wr = 0 方程的闭合差
ˆ 2. L、W、K、V、L 的协因数阵及互 协因数阵
L=L
W = −( AL + A0 ) = − AL − A0
K = N −1W = − N −1 ( AL + A0 ) = − N −1 AL − N −1 A0 V = P −1 AT K
传播律中的K 传播律中的K
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
第三章 条件平差
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经化简即有
cv t c g v ta c gv t a c g v t a c g v t b c g v tb g b
1 a 1
2 a 2
3 a 3
1 b 1
2 b 1
33
(1
sina1 sinb1
sina2 sinb2
sina3)
sinb3
=0,
圆周条件，即
c ˆ1c ˆ2c ˆ336 o0
或
V V V W 0
c1
c2
c3
4
第三类是极条件或称边长条件。满足上述4个条件方程
的角值还不能使图3-5的几何图形完全闭合，例如，由边
长通过a2、b2、c2计算边长，通过a1、b1、c1由计算边长，
再由通过a3、b3、c3计算边长，计算的结果，其边长不会
(3-21)
这就是极条件（3-20）的线性形式。
三、测边网
和测角同一样，在测边网中也可分解为三角形，大地 四边形和中点多边形三种基本图形。对于测边三角形，决 定其形状和大小的必要观测为三条边长。所以t=3，此时 r=n-t=3-3=0，即测边三角形不存在的条件方程。对于测边 四边形，决定第一个三角形必须观测3条边长，决定第二 个三角形只需要再增加2条边长，所以确定一个四边形的 图形，必须观测5条边长，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在 一个条件方程。对于中点多边形，例如中点五边形，它由 四个独立三角形组成，此t=3+2×3=9，故有r=n-t=10-9=1。
法，将上式用台劳公式展开取至次项，即可得线性形式的
极条件方程。
将 a ˆ a v,b ˆ b v,c ˆ c v代入（3-20）式，
测量平差第三章
测量平差 第三章.题目：试确定各图形按条件平差时的条件式个数及其条件方程式。
解答：()a 条件方程式个数：422r =-=条件方程式为：1430A B H h h h H +++-=1230A H h h h H +++-=()b 条件方程式个数：844r =-=条件方程式为：4583872761650000h h h h h h h h h h h h +-=+-=+-=+-=()c 条件方程式个数为：1284r=-=条件方程式为：()d 条件方程式个数为：431r=-=条件方程式为：12343600L L L L +++-=21233465798681211100000h h h h h h h h h h h h h h h+-=++-=+--=+--=.题目：如图3-18所示水准网，A 、B 两点的高程已知，各观测高差及路线长度如表3-6所列。
试用条件平差法计算未知点的高程平差值及2P 和3P 之间平差后高差值7ˆh 的中误差。
表3-6图3-18解答：7,3, 4.n t r n t ===-=平差值条件方程为：12356734613000h0A Bh h h h h h h h h H h H -+-=+-=--=+--=改正数条件方程为：31255673461370703040v v v v v v v v v v v -+--=+-+=+-+=--=令C=1，观测值的全倒数为：11122112P-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111,,T TN AP A K N W V P A K---===得：[]()[]131011410015210230.46070.14610.12360.23600.14610.31460.11240.12360.12360.11240.32580.25840.23600.12360.25840.58430.432.84.40.3 3.8 1.22.01.359 2.0120.2590.6400.6530.9991.652TTN Nm m hh V -=--------=-----=+=- ()m下面求平差后7h 的中误差：[]123745670000001h h h h h h h h ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]~000001, 3.0()Tf m m σ===+10.7416TTTff Q f Qf f QA NAQf ---=中误差为：7h+2.6m m σ==.题目：如图所示的中点三角形，其内角观测值为等精度独立观测值，试用条件平差法，计算各观测角值的平差值及CD 边长的平差后的相对中误差。
第三章-间接平差2009
(3.1.12)
其中 F = ( f1
T
f2 L
f t ) ，那么
1 T −1 = FTQ X ˆX ˆ F = F N bb F pz
为进一步理解间接平差的概念，现说明几点：
(3.1.13)
（1）任何平差，都是在有多余观测的基础上进行的。如没有多余观测，则无平差问题。 （2）按间接平差法平差某一具体问题时，未知参数的数目是固定的，它等于该问题的必要观 测量的个数。未知参数的选择，依据实际问题而定。可选取观测量，也可以选取非观测量。未知参 数选择方式不同，误差方程的形式不同。
则
T
d (V T PV ) = V T ( P T + P ) dV d (V T PV ) = 2V T PdV = 2V T P dV dx
59
当 P 为对称方阵时， P = P ，那么有 因而有
d (V T PV ) dx
表述完毕。
ˆ + l) V T P V = V T P ( Bx
ˆ +l 【 V = Bx
(3.1.11)
我们将在下一节将从另一个角度来证明上式。 （三）协因素阵
ˆ ，即 ˆ 、V 和 L 在间接平差中，基本随机向量是 L 、 x
L=L −1 −1 T −1 T ˆ = −N bb x W = −N bb B Pl = N bb B PL + L
−1 T ˆ + l = (BN bb V = Bx B P − I) L + L
ˆ1 + x ˆ2 + x ˆ 3 − 180 o ＝0 x
ˆ1、x ˆ2 及 x ˆ3 ，这属于附有条件的间接平差。 若将以上四式一起平差求 x
（4）在确定了未知参数之后，要建立这些未知参数与所有观测值之间的数学关系式，即观测 方程。这些观测方程可以是线形的，也可以是非线性的。为使平差简便，在平差中总是将非线性方 程线性化。 （5）有了误差方程，即按 V PV = min ，解出各未知参数。
第三章 控制测量平差
• 为了确定一个几何模型就必须进行观测。 如果观测个数 n 少于必要元素的个数， 即 n＜t，显然无法确定该模型，出现了 数据不足的情况；若观测了 t 个独立量， n =t，则可唯一地确定该模型。在这种情 况下，如果观测结果中含有错误，将无 法发现。为了能及时发现错误，并提高 测量成果的精度，就必须使 n＞t，即必 须进行多余观测 多余观测。多余观测的个数在测 多余观测 量中又称“自由度”。令 • r=n–t 显然， r 就是多余观测数。
L = L +V
第三节 独立三角网的条件方程
根据三角网中起算数据的多少，三 角网有独立三角网 独立三角网（网中仅有必要的起 独立三角网 算数据）和非独立三角网 非独立三角网（网中具有多 非独立三角网 余的起算数据）之分。三角网平差有按 角度平差和按方向平差两种方法。本节 仅讨论独立三角网按角度平差的条件和 条件方程式。
在测量工作中，最常见的问题是要确定某些 几何量的大小。由各种几何量构成的模型（测 量中就是各种控制网）就是几何模型 几何模型。 几何模型 为了确定一个几何模型，并不需要知道该 模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部 分元素，其它元素可以通过已知的元素确定。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元 称必要元素； 素，称必要元素；确定必要元素的观测称为必 要观测。 要观测。必要元素的个数用t 表示。
第二节
条件平差原理
条件方程 AV +W=0 中，A 为 r3n 阶矩阵， V 为n31列阵，即有 r 个方程，n 个未知数, 且 r <n，这样的方程组有无穷多组解。然 而，根据最小二乘准则，观测量的最或然 值应该满足V PV=min。在AV +W=0的条件 下确定V PV的最小值，这在数学中是求函 数Ф=V PV的条件极值问题。
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
第三章-平差数学模型与最小二乘原理new
第九章 参数的区间估计与假设检验
第十章 平差实例
2019/12/21
2
第3章 平差数学模型与最小二乘原理
§3-1 测量平差的数学模型 §3-2 函数模型的线性化 §3-3 参数估计与最小二乘原理
2019/12/21
3
§3-1 测量平差的数学模型
一、几何模型
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定某 些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包含点 间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、边的方 位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素都是几何 量，以下统称这些网为几何模型。
六、函数模型
函数模型中的未知量可视平差问题需要而选取。 条件方程是一种选取方法；也可选取参数来建立，此 时的函数模型是将观测量表达为参数的函数，称为观 测方程。
函数模型分为线性模型和非线性模型，下面介绍 几种常见的平差方法的函数模型。
2019/12/21
16
§3-1 测量平差的数学模型
六、函数模型
2019/12/21
20
§3-1 测量平差的数学模型
六、函数模型
1、条件平差的函数模型
以平差值代入，即 Lˆ L V 代替上式的真值 L~ ，则条件平 差的方程可以转化为：
或者
A Lˆ
rn n1
A0
r1
0
AV W 0
rn n1 r1
W
r1
A L
rn n1
A0
加一个量，则必然产生一个相应的函数关系式。仍以
（则2存）在情L~况1+中L~2，+L~必3=要18量0S~º2选，为若S~1L~再ss1、iinn增L~LL~~、2加12S~1，一若个增量加S~2，一则个有量L~3，
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例题5设有函数 Z F1 X F2 Y ，已知X与Y的协方差阵 DXX t1 n1 r1 tn tr 和 DYY ，X关于Y的互协方差阵为 DXY ，求 DZZ和 Z关于X及Y 的互协方差阵 DZX和 DZY 。
nn
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rr
nr
tt
tn
tr
DZZ F1
DXX F2 DYX
第二节 协方差传播律
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一、观测值线性函数的方差 对于观测值 X ，其数学期望μx,协方差阵DXX
n1
DXX
有观测值的线性函数 Z K x k0
11 1n n1
12 12 1n 2 21 2 2 n E[( X x )( X x )T ] 2 n1 n 2 n
E( X ,Y )
x yf ( x, y)dxdy xf1 ( x)dx yf2 ( y )dy
E ( X ) E (Y )
当 X 1 , X 2 X n 两两相互独立， 推为广之
E ( X 1 , X 2 , , X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n )
E( X Y )
( x y ) f ( x, y )dxdy
x[ f ( x, y )dy]dx y[ f ( x, y )dx]dy
xf1 ( x)dx yf2 ( y )dy E ( X ) E (Y )
第一节 数学期望的传播
数学期望的定义： E( X ) xf ( x)dx
1. E (C ) C
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2. E (CX ) CE( X )
E(CX ) Cxf ( x)dx C xf ( x)dx CE( X ) 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y h8 B
h2 h3
h H 5 H A h2 h7或H 5 H B h8或H 5 H A 4 h3 h4＋h5等
3
三角形的内角值
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 2 1 ˆ L2 L1 L2 L3 60 3 3 3 ˆ 1 L 1 L 2 L 60 L3 1 2 3 3 3 3
K k1
k2 kn
11
Z k1 x1 k2 x2 kn xn k0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
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根据方差的定义，Z 的方差为 2 DZZ Z E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z ))T ]
可以推广至一般情况 E( X1 X 2 X n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) 4. 对于相互独立的变量X,Y有
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E ( X , Y ) E ( X ) E (Y )
因为变量X,Y相互独立，有 f ( X , Y ) f1 ( X ) f 2 ( y)
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2 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 DLL 1/ 3 2 / 3 1/ 3 2 1/ 3 2 / 3 1/ 3 ˆˆ 2 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3
β
1
B
A
x
β 2α
则
C
1.96 1 1 1 1 1 1.92 1 1.96 x 1.4
2 x
二、多个观测值线性函数的协方差阵
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水准测量
H1 H A h1 H 2 H A h2 H 3 H A h3 H 4 H A h3 h4
也可以用课本中式3-2-5计算
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例题3 设再测站A上，已知∠ABC=α, 设无误差，观测
角β1和β2的中误差σ1＝σ2＝1.4″，协方差σ12＝-1（秒2）， 求角x的中误差σx。
1 x 1 2 1 1 2 1 令＝ 2 12 12 1.96 1 D 2 21 2 1 1.96
t1 tn n1 t1
E ( Z ) E ( KX k0 ) K X k0
DZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z ))T ] E[( KX K X )( KX K X )T ]
tt
KE[( X X )( X X )T ]K T K DXX K T
rn nn nt
当Y=Z时，变成（1）式，习惯上将描述观测值X的协方 差阵DXX与观测值函数Z的协方差阵Dzz以及两组函数Z和Y的
互协方差阵之间关系的公式都称为协方差传播律。
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例题4 设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内 角L1、L2、L3，其中误差为σ。 ˆ ˆ ˆ 试求将三角形闭合差平均分配后的各角 L1 , L2 , L3，的协方差阵。 三角形闭合差由下式计算： L1 L2 L3 180 ˆ L1 L1 1/ 3 2 / 3L1 1/ 3L2 1/ 3L3 60 ˆ L 1/ 3L 2 / 3L 1/ 3L 60
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例题1 设有观测向量 试求下列函数的方差：
F1 L1 2 L2 3L3
31
L，已知其协方差阵为 DLL
4 2 3
2 F 12 4 22 2 (3) 2 3 39
1
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2 1 2 3
ˆ L3 1/ 3L1 1/ 3L2 2 / 3L3 60
2 ˆ 2 / 3 1 / 3 1 / 3 L 60 L1 1 ˆ ˆ L 1 / 3 2 / 3 1 / 3 L 60 DLL 2 L 2 2 ˆ L 1 / 3 1 / 3 2 / 3 L 60 2 3 3
tn nn nt
（1）
协方差传播律是协方差阵传播律的一种特殊情况
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对于观测值 X ，若还有X的r个线性函数 同样可得： T D FD
n1
Y FX f
r1 rn n1 r1
rr
YY
rn
nn
XX
F
nr
Y 关于Z 的互协方差阵
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E ( Z ))T ] E[( FX F X )( KX K X )T ] FE[( X X )( X X )T ]K T F DXX K T
E[( KX k0 E ( KX k0 ))( KX k0 E ( KX k0 ))T ] E[( KX K X )( KX K X )T ] E[ K ( X X )( X X )T K T ] KE[( X X )( X X )T ]K T KDXX K T
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对于观测值 X ，其数学期望μx，若有X的t个线性函数
n1
Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k2 n X n k 20 Z t kt1 X 1 kt 2 X 2 ktn X n kt 0 用矩阵形式表示 Z K X k0
地信专业
武汉大学资源与环境科学学院 二0一二年二月
第三章 协方差传播律及权
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全章共分7节，是本课程的重点内容之一。 重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数 传播律。 难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义， 定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差 传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下 的精度评定问题。 要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角 元素与观测值的权之间的关系； 能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式， 并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
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角度（前方）交会法，求待定点坐标
XP X B ctg X Actg YB YA ctg ctg
YB ctg YActg X B X A YP ctg ctg
观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间存在怎样
的关系？
2 / 3 2 1/ 3 2 1/ 3 2
1/ 3 2 2 / 3 2 1/ 3 2
1/ 3 2 1/ 3 2 2 / 3 2
分配闭合差后的内角的精度高于观测值。如果只是求某 个元素的的中误差和其关于另外某元素的协方差，不必全部 求出来。
X Z F1 F2 Y DXY F1T DYY F2T
F1DXX F1T F1DXY F2T F2 DYX F1T F2 DYY F2T
X X I 0 Y DXX DZX F1 F2 DYX