一次函数图象专题
一、选择题
1.（2011?南通）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）
A、甲的速度是4km/h
B、乙的速度是10km/h
C、乙比甲晚出发1h
D、甲比乙晚到B地3h
考点：函数的图象。专题：综合题。
分析：根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度．
解答：解：甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．
点评：本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力．
2.（2011天津，9，3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以毎分0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B除收月基费20元外，再以毎分0.05元的价格按上网所用时间计费．若上网所用时间为x分，计费为y元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象．有下列结论：
①图象甲描述的是方式A；
②图象乙描述的是方式B；
③当上网所用时间为500分时，选择方式方法B省钱．
其中，正确结论的个数是（）
A、3
B、2
C、1
D、0
考点：函数的图象。
专题：应用题；数形结合。
分析：根据函数图象的特点依次进行判断即可得出答案．
解答：解：根据一次函数图象特点：
①图象甲描述的是方式A，正确，
②图象乙描述的是方式B，正确，
③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，正确，
故选A．
点评：本题主要考查了一次函数图象的特点，需要学生根据实际问题进行分析，难度适中．3.（2011浙江绍兴，9，4分）小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（）
A．3km/h和4km/h B．3km/h和3km/h
C．4km/h和4km/h D．4km/h和3km/h
考点：一次函数的应用。
专题：函数思想；方程思想。
分析：由已知图象上点分别设出两人的速度，写出函数关系式，求出两人的速度．
解答：解：设小敏的速度为：m，函数式则为，y=mx+b，
由已知小敏经过两点（1.6，4.8）和（2.8，0），
所以得：4.8=1.6m+b，0=2.8m+b，
解得：m=﹣4，b=﹣2.4，
由实际问题得小敏的速度为4km/h．
设小聪的速度为：n，则函数式为，y=mx，
由已知经过点（1.6，4.8），
所以得：4.8=1.6n，
则n=3，
即小聪的速度为3km/h．
故选D．
点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是由已知及图象写出两人行走的函数关系式，再根据已知点求出速度．
4.（2011福建龙岩，23，12分）周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小明离家的路程y（干米）与x（小时）之间的函致图象如图所示.
（1）小明去基地乘车的平均速度是千米/小时，爸爸开车的平均速度应是千米/小时；
（2）求线段CD所表示的函敛关系式；
（3）问小明能否在12：0 0前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程．
考点：一次函数的应用.
分析：（1）仔细观察图象，结合题意即可得出答案；
（2）先设一次函数的解析式，然后将两点坐标代入解析式即可得出线段CD所表示的函敛
关系式；
（3）根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要4.2小时，故12：00前不能回到家．解答：解：（1）仔细观察图象可知：小明去基地乘车1小时后离基地的距离为30千米，
因此小明去基地乘车的平均速度是30千米/小时，
在返回时小明以4千米/时的平均速度步行，行驶2千米后遇到爸爸，
故他爸爸在0.5小时内行驶了28千米，
故爸爸开车的平均速度应是56千米/小时；
故答案为30，56；
（2）线段CD所表示的函敛关系式为y=kx+b（3.7≤x≤4.2）；
通过观察可以发现线段CD经过点（3.7，28），（4.2，0）；
将两点代入函数解析式即可得线段CD的表达式：y=235.2﹣56x（3.7≤x≤4.2）；
（3）不能．
小明从家出发到回家一共需要时间：1+2.2+2÷4×2=4.2（小时），
从8：00经过4.2小时已经过了12：00，
∴不能再12：00前回家，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米）．
点评：本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的
取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
7．（2011宿迁）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，
另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如
图所示．
（1）有月租费的收费方式是（填①或②），月租费是元；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3
分钟)
（第7题）
7. 解：（1）①；30；
（2）设y 有＝k1x ＋30，y 无＝k2x ，由题意得
??
?==+100
500803050021k k ，解得
??
?==2
.01.021k k
故所求的解析式为y 有＝0.1x ＋30； y 无＝0.2x ．
（3）由y 有＝y 无，得0.2x ＝0.1x ＋30，解得x ＝300； 当x ＝300时，y ＝60．
故由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠．
23、（12分）在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．
（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ，=a ；
（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．
23．解：（1）120，2a =；……2分
（2）由点（3，90）求得，230y x =．
当x ＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，16030y x =-．……3分 当12y y =时，603030x x -=，解得，1x =．
此时1230y y ==．所以点P 的坐标为（1，30）．……5分
该点坐标的意义为：两船出发1 h 后，甲船追上乙船，此时两船离B 港的距离为30 km ．…6分
0.5
（第23题）
求点P 的坐标的另一种方法：
由图可得，甲的速度为
30600.5=（km/h ），乙的速度为90
303
=（km/h ）． 则甲追上乙所用的时间为30
16030
=-（h ）．此时乙船行驶的路程为30130?=（km ）．
所以点P 的坐标为（1，30）．
（3）①当x ≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，16030y x =-+． 依题意，(6030)30x x -++≤10． 解得，x ≥
2
3
．不合题意．……8分 ②当0.5＜x ≤1时，依题意，30(6030)x x --≤10．
解得，x ≥23．所以2
3
≤x ≤1．……10分 ③当x ＞1时，依题意，(6030)30x x --≤10．
解得，x ≤43．所以1＜x ≤4
3
．
综上所述，当23≤x ≤4
3
时，甲、乙两船可以相互望见．……12分
6．（2011年扬州）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC 表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE 表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是________________________________； （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）
甲槽
乙槽
图1
6. 解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm （或乙槽中水的深度达到14cm 时刚好淹没铁块，说出大意即可）
（2）设线段DE 的函数关系式为
11y k x b =+，
则
1116012k b b ?+=??=??，，∴11212k b ?=-??=??，． DE ∴的函数关系式为212y x =-+．
设线段AB 的函数关系式为22y k x b =+，则 22241412k b b ?+=??
=??，，∴2232k b ?
=??=??，．
∴AB 的函数关系式为32y x =+．由题意得21232y x y x =-+??
=+?，解得2
8x y =??=?
． ∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．
（3）
水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍．
设乙槽底面积与铁块底面积之差为S ，则
()()1422361914S -=??-，解得230cm S =．
∴铁块底面积为236306cm -=． ∴铁块的体积为3
61484cm ?=．
（4）甲槽底面积为2
60cm ．
铁块的体积为3
112cm ，∴铁块底面积为2
112148cm ÷=．
设甲槽底面积为2
cm s ，则注水的速度为3122c ?m /min 6s
s =?．
由题意得()26424
81914142s s ?-?-=--，解得60s =． ∴甲槽底面积为2
60cm ．
1. （2011江苏淮安，27，2分）小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转
360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与时针原始位置OP （图2）的夹角记为y 1度，时针与原始位置OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t 分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），并求出了
y 1与t 的函数关系式：16(030)6360(3060)t t y t t ?=?-+?
＜≤≤≤.
请你完成：
（1）求出图3中y 2与t 的函数关系式；
（2）直接写出A 、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义； （3）若小华继续观察一小时，请你在图3中补全图象. 考点：一次函数的应用。
分析：（1）分针每分钟转过的角度是
=0.5度，据此即可列出函数解析式；（2）求出两
个函数的交点坐标即可；（3）分针会再转一圈，与第一个小时的情况相同，是一个循环，而时针OP 的夹角增大的速度与第一个小时相同，即函数图象向右延伸． 解答：解：（1）y 2=0.5t ； （2）A （12，6），B （55
，
）；A 表示时针与分针第一次重合的情况，B 表示是时
针与分针与起始位置OP 的夹角的和是360度． （3）
点评：本题主要考查了一次函数的图象，和交点坐标的求解，正确理解分针与时针转动的情况是解题的关键．
9.（2011新疆乌鲁木齐，23，？）小王从A地前往B地，到达后立刻返回．他与A地的距离y（千米）和所用时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）小王从B地返回到A地用了多少小时？
（2）求小王出发6小时后距A地多远？
（3）在A、B之间有一C地，小王从去吋途经C地，到返回时路过C地，共用了2小时20分，求A、C 两地相距多远？
考点：一次函数的应用。
专题：综合题。
分析：（1）根据函数图象即可作出回答；
（2）求得DE的解析式，然后令x＝6即可求解；
（3）求得AB的解析式，小王从C到B用了n小时，列方程即可求得n的值，进而求得距离．
解答：解：（1）从B地返到A底所用的时间为4小时；
（2）小王出发6小时．由于6＞3，可知小王此时在返回途中，于是，设DE 所在的直线的解析式为y ＝kx ＋b ． 有图象可知：??
?=+=+072403b k b k ，解得：?
??=-=42060
b k ∴DE 的解析式是y ＝－60x ＋420（3≤x≤7）
当x ＝6时，有y ＝－60x ＋420＝60，∴小王出发6小时后距A60千米； （3）设AD 所在直线的解析式是y ＝mx ． 由图象可知3m ＝240，解得m ＝80
∴AD 所在直线的解析式是y ＝80x （0≤x≤3）
设小王从C 到B 用了n 小时，则去时C 距A 的距离为y ＝240－80n ． 返回时，从B 到C 用了（
3
7
－n ）小时， 这时C 距A 的距离为y ＝－60[3＋（3
7
－n ）]＋420＝100＋60n 由240－80n ＝100＋60n ，解得n ＝1
故C 据A 的距离为240－80n ＝240－80＝160米．
点评：本题主要考查了一次函数的应用，正确求得函数解析式，把求距离的问题转化为求函数的函数值的问题是解题关键．
13. （2011浙江丽水，22，10分）某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s 与时间t 之间的图象．请回答下列问题： （1）求师生何时回到学校？
（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；
（3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10k m 、8k m ．现有A 、B 、C 、D 四个植树点与学校的路程分别是13k m 、15k m 、17k m 、19k m ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求．
考点：一次函数的应用。
分析：（1）先根据师生返校时的路程与时间之间的关系列出函数解析式，然后看图将两组对应s 与t 的值代入可得到一个二元一次方程组，解此方程组可得函数解析式．当返回学校时就是s 为0时，t 的值；
（2）根据题意直接画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，看图可得三轮车追上师生时，离学校的路程；
（3）先设符合学校要求的植树点与学校的路程为x （k m ），然后根据往返的平均速度、路程和时间得到一个不等式，解此不等式可得到x 的取值范围，再确定植树点是否符合要求． 解答：解：（1）设师生返校时的函数解析式为s =k t +b ， 如图所示，把（12，8）、（13，3）代入上式中得，
812313k b
k b =+??
=+?解此方程组得， 5
68k b =-??=?
∴s =﹣5t +68， 当s =0时，t =13.6， t =13时36分
∴师生在13时36分回到学校；
（2）该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象如图所示：
由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4k m ；
（3）设符合学校要求的植树点与学校的路程为x （k m ）， 由题意得：2814108
x x
+++< ＜14，解得， x ＜717
9
， 答：A 、B 、C 植树点符合学校的要求．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
14. （（2011?黔南，20，9分））北京时间2011年3月11日46分，日本东部海域发生9级强烈地震并引发海啸．在其灾区，某药品的需求量急增．如图所示，在平常对某种药品的需求量y 1（万件）．供应量y 2（万件）与价格x （元∕件）分别近似满足下列函数关系式：y 1=﹣x+70，y 2=2x ﹣38，需求量为0时，即停止供应．当y 1=y 2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
（3）由于该地区灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．
考点：一次函数的应用。 专题：应用题。
分析：（1）令需求量与供应量相等，联立两函数关系式求解即可；
（2）由图象可以看出，价格在稳定价格到需求量为0的价格这一范围内，需求量低于供应量；
（3）通过对供应量和需求量相等时，需求量增至34+6（万件），对供应量的价格补贴a
元，
即x=x+a ，联立两函数方程即可求解． 解答：解：（1）由题意得??
?-=+-=38
270
21x y x y ，
当y 1=y 2时，即﹣x+70=2x ﹣38， ∴3x=108，x=36． 当x=36时，y 1=y 2=34．
所以该药品的稳定价格为36（元/件）稳定需求量为34（万件）；
（2）令y 1=0，得x=70，由图象可知，
当药品每件价格在大于36小于70时，该药品的需求量低于供应量； （3）设政府对该药品每件补贴a 元，则有
???-+=++-=+38)(263470634a x x ，解得?
?
?==930
a x ． ∴政府部门对该药品每件应补贴9元．
点评：此题为函数方程、函数图象与实际结合的题型，同学们要注意这方面的训练． 15. （2011黑龙江省黑河， 25，6分）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选
择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y （千元）与证书数量x （千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示． （1）请你直接写出甲厂的制版费及y 甲与x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价． （2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？ （3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
【考点】一次函数的应用。
【分析】（1）结合图象便可看出y 是关于x 的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制
版费为1千元，一次函数的斜率为0.5即为证书的单价；
（2）分别求出甲乙两车的费用y关于证书个数x的函数，将x=8分别代入两个函数，可得出选择乙厂课节省500元；
（3）根据实际情况甲厂只有降价500元才能将印制工作承揽下来，这样每个证书要降价0.0625元．
【解答】解：（1）制版费1千元，y甲=1
2
x+1，证书单价0.5元．（3分）
（2）把x=6代入y甲=1
2
x+1中得y=4
当x≥2时由图象可设y乙与x的函数关系式为y乙=kx+b，由已知得2k+b=3
6k+b=4
解得（2分）
得y乙=15 42 x+
当x=8时，y甲=1
2
×8+1=5，y乙=
1
4
×8+
5
2
=
1
2
（1分）
5﹣9
2
=0.5（千元）
即，当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元．（1分）
（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低a元
8000a=500
所以a=0.0625
答：甲厂每个证书印刷费最少降低0.0625元．（1分）
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
16.（2011黑龙江牡丹江，25，9分）甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车
从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向b地行驶，到达B地并在B 地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（_______）内填上正确的数：
（2）求乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车行驶到距B 地的路程相等时，甲、乙两车距B 地的路程是多少？
考点：一次函数的应用。 专题：函数思想。
分析：（1）由已知图象求出甲、乙的速度．
（2）根据图象上的点先求出乙车从B 地返回到C 地的函数解析式，
（3）再由设甲车从A 地到B 地的函数解析式是y 1=k 1x+b 1，和甲车从B 地到C 地的函数解析式是y 2=k 2x+b 2，由已知求出解析式结合（2）求出的解析式求解．
解答：解（1）由已知图象得：甲的速度为100km/h ，乙的速度为150km/h ， 答：甲、乙两车的速度分别为100km/h ，150km/h ．
（2）设乙车从B 地返回到C 地的函数解析式是y=kx+b ∵图象经过（5，0），（9，200）两点）． ∴5k+b=09k+b=200
解得：?
??-==25050b k ，
∴y=50x ﹣250，
答：乙车从B 地返回到C 地的过程中，y 与x 之间的函数关系式为y=50x ﹣250． （3）设甲车从A 地到B 地的函数解析式是y 1=k 1x+b 1， ∵图象经过（0，600），（6，0）两点，
∴?
??+==111
60600b k b ，解得：???==10060011k b ，∴y 1=﹣100x+600，
设甲车从B 地到C 地的函数解析式是y 2=k 2x+b 2， ∵图象经过（8，200），（6，0）两点，
∴???+=+=2222820060b k b k ，解得：???=-=100600
2
2k b ，∴y 2=100x ﹣600，
由??
?+-=-=600100250501x y x y 和???-=-=600
100250
502x y x y ，
解得：y=
（千米）和y=100（千米）．
点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是根据图象先求出甲、乙的速度，再根据图象上的点先求出乙车从B 地返回到C 地的函数解析式，再由设甲车从A 地到B 地的函数解析式是y 1=k 1x+b 1，
和甲车从B 地到C 地的函数解析式是y 2=k 2x+b 2，由已知求出解析式结合（2）求出的解析式求解．
17.(2011襄阳，24，10分)为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m 人以下(含m 人)的团队按原价售票；超过m 人的团队，其中m 人仍按原价售票，超过m 人部分 的游客打b 折售票．设某旅游团人数为x 人，非节假日购票款为y 1(元)，节假日购票款为y 2(元)．y 1与y 2之间的函数图象如图所示．
（1）)观察图象可知：a ＝ ； b ＝ ； m ＝ ； （2）直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；
（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A 团，5月20日(非节假日)带B 团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A ，B 两个团队合计50人，求A ，B 两个团队各有多少人？
考点：一次函数的应用。
分析：(1)根据原票价和实际票价可求a．b的值，m的值可看图得到；
（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式；（3）分两种情况讨论，即不多于10和多于10人，找出等量关系，列出关于人数的n的一元一次方程，解此可得人数．
解答：解：(1)门票定价为50元/人，那么10人应花费500元，而从图可知实际只花费300元，是打6折得到的价格，
所以a＝6；
从图可知10人之外的另10人花费400元，而原价是500元，可以知道是打8折得到的价格，所以b＝8，
看图可知m＝10；
（2）设y1＝kx，当x＝10时，y1＝300，代入其中得，
k＝30
y1的函数关系式为：y1＝30x
同理可得，y2＝50x(0≤x≤10)，
当x＞10时，设其解析式为：y2＝(x－10)×50×0.8＋500，
化简得：y2＝40x＋100；
（3）设A团有n人，则B团有(50－n)人，
当0≤n≤10时，50n＋30(50－n)＝1900解得，
n＝20这与n≤10矛盾，
当n＞10时，40n＋100＋30(50－n)＝1900，
解得，n＝30，50－30＝20．
答：A团有30人，B团有20人．
点评：本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关系建立函数关系式．
19.（2011湖北十堰，18，7分）今年我省部分地区遭遇严重干旱，为鼓励市民节约用水，
我市自来水公司按分段收费标准收费，右图反映的是每月收水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系。
（1）小聪家五月份用水7吨，应交水费元；
（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，问四月份比三月份节约用水多少吨？
考点：一次函数的应用。
分析：（1）从函数图象可知10吨水以内的价格是每吨2.2元，小聪家五月份用水7吨，应交水费可计算得到；
（2）先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出常数项，即可得到函数解析式，根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多少可求出．
解答：解：（1）从函数图象可知10吨水应交22元，那么每吨水的价格是，22÷10=2.2（元）
小聪家五月份用水7吨，应交水费：7×2.2=15.4（元）
第一问的答案是：15.4元；
（2）由图可得10吨内每吨2.2元，当y=19.8元时，x＜10，
∴x=19.8÷2.2=9，
当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，
当x=10时，y=20，当x=20时，y=57，
将它们分别代入y=kx+b中得：k=3.5，b=﹣13，
那么y与x的函数关系式为：y=3.5x﹣13，
当y=29时，知道x＞10，将y=29代入y=3.5x﹣13
计算得，x=12，
四月份比三月份节约用水：12﹣9=3（吨）．
20.（2011吉林长春，25，10分）甲．乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．
（2）求乙组加工零件总量a的值．
（3）甲．乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
考点：一次函数的应用．
分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可；
（3）①首先利用2．8小时时两人共加工60×2．8+50×2=268（件），得出加工300件的时间超过2．8小时，得出关系式求出即可；
②假设出再经过y小时恰好装满第二箱，列出方程即可．
解答：解：（1）∵图象经过原点及（6，360），
∴设解析式为：y=kx，
∴6k=360，
解得：k=60，
∴y=60x（0＜x≤6）；
（2）乙2小时加工100件，
∴乙的加工速度是：每小时50件，
∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．
∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2=100件，
a=100+100×（4．8﹣2．8）=300；
（3）①2．8小时时两人共加工60×2．8+50×2=268（件），∴加工300件的时间超过2．8小时．
设加工了x小时，100+100（x﹣2．8）+60x=300，
解得：x=3，
②设再经过y小时恰好装满第二箱，由题意列方程得：
60y+100y=300，
y=15
8
，
答：经过3小时恰好装满第一箱，经过15
8
小时恰好装满第二箱．
点评：此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．
21.如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、
5cm2，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．
（1）在注水过程中，注满A所用时间为10s，再注满B又用了8s；
（2）求A的高度h A及注水的速度v；
（3）求注满容器所需时间及容器的高度．
考点：一次函数的应用．
分析：（1）看函数图象可得答案；
（2）根据函数图象所给时间和高度列出一个含有h A及v的二元一次方程组，解此方程组可得答案；
第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺
五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞 瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发， 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同 的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪 种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km） 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？ 意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否
一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问
题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
一次函数的图像与应用题 6．一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空．水池中的水量)(3m v 与时间)(h t 之间的函 数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是 （ ） A ．乙>甲 B ． 丙>甲 C ．甲>乙 D ．丙>乙 8.如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A 、乙比甲先到终点 B 、乙测试的速度随时间增加而增大 C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇 D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 9．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟
11．如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。 在这则乌鸦喝水的故事中，从乌鸦看到瓶的那刻起开始计时并设时间为x ，瓶中水位的高度为y ， 下列图象中最符合故事情景的是：（ ） 14．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） O 3050300 900 x (kg)y (元) (A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg 22.如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A 、乙比甲先到终点 B 、乙测试的速度随时间增加而增大 C 、比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇 D 、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 27．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 图2描述了他上学的情景，下列说法中错误．． 的是 A ．修车时间为15分钟 B ．学校离家的距离为2000米 C ．到达学校时共用时间20分钟 D ．自行车发生故障时离家距离为1000米
一次函数图象的应用 一、知识点睛 1.函数图象共存问题 选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b符号，验证另一个函数图象存在的合理性. 2.数形结合求范围 __________、__________、__________. 二、精讲精练 1.若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a 5.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是（） A．x>1 B．x<1 C．x<2 D．x>2 6.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，当0 一次函数图象的应用 教学目标与要求： 1、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。 2、能通过函数图象获取信息，发展形象思维；能利用函数图象解决简单的实际问题，进一步发展数学应用能力。 3、初步体会方程与函数的关系,建立良好的知识体系。 二、学习指导 本讲重点：（1）根据所给信息确定一次函数的表达式。 （2）正确地根据图象获取信息。 本讲难点：（1）用一次函数的知识解决有关实际问题。 （2）从函数图象中正确读取信息。 考点指要 一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图形解决问题是本节要解决的一个重要问题，这部分内容在中考中占有重要的地位，经常与方程组、不等式等知识联系起来考查． 三．典型例题 例1 求下图中直线的函数表达式： 分析： 观察图象可知：该一次函数图象经过点（2，0）、（0，3），而经过两点的直线可由待定系数法求出。 解：设y=kx+b ， ∵x=2时，y=0；y=3时x=0 ∴2x+b=0且0x+b=3 ∴3,23 =- =b k ∴32 3 +-=x y 例2 作出函数y=0.5x+1的图象，利用图象，求: （1）当2,0,4-=x 时，y 的值。 （2）当3,1,2 1 - =y 时，x 的值。 （3）解方程315.0,115.0,2 1 15.0=+=+-=+x x x （4）结合（2）（3），你能得出什么结论？ （5）若解方程0.5x+1=0 （6）何时y>0，y=0，y<0? 解：列表得 描点、连线得函数图象： （1）由图象可知：当2,0,4-=x 时，相应的y 值分别为-1、1、2. （2）由图象可知：当3,1,2 1 - =y 时，相应的x 值分别为-3、0、4. （3）三个方程的解分别为x=-3、x=0、x=4. （4）当一次函数y=0.5x+1的函数值为3,1,2 1 - 时，相应的自变量的值即为方程315.0,115.0,2 1 15.0=+=+-=+x x x 的解。 （5）当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。它的几何意义是：直线y=0.5x+1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。 （6）由图象可知，当x<-2 时，y<0；当x=-2时，y=0；当x>-2 时，y>0。 说明：要注意一次函数与相应的一元一次方程的关系。事实上，利用一次函数图象可解决许多实际问题。 例3 一根弹簧长15cm ，它能挂的物体质量不能超过18kg ，并 且每挂1kg 就伸长0.5cm 。写出挂上物体后的弹簧长度y （cm ） 与所挂物体的质量x （kg ）之间的函数关系式，并且画出它的图象。 一次函数图像及应用中考题目专项训练 1 、(宁夏) 一次函数y=2x -3的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2、(陕西省) 若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ） A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2) 3、（安徽）已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是【 】 4、(河北)如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ） 5.（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V (万米 3)与干旱的时间 t (天)的关系如图所示，则下列说法正确的是( )． A ．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米3 B ．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3 C ．干旱开始时，蓄水量为200万米3 D ．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3 O y x -2 - 4 A D C B O 4 2 y O 2 - 4 y x O 4 - 2 y x 取相反数 ×2 ＋4 图4 输入x 输出y x 6． (黄冈市)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟 第5题 第6题 第7题 7．（桂林）如图，把该图像向左平移一个单位长度，得到的函数图像的解析式为 ． 8．（佛山）画出一次函数y=-2x+4的图象，并回答：当函数值为正时，x 的取值范围是 ． 9．（湘西）一次函数y=3x -b+1的图像过坐标原点，则b 的值为 ． 10．（天津）已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9)，则该函数的图象与y 轴交点的坐标为__________ ． 11．（乌鲁木齐）星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示． （1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？ （2）当0.5x ≥时，求储气罐中的储气量一（立方米）与时间x （小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由． /天 t /万米3 V 20040060080010001200O 5040 302010O y x 2 -1 《应用一次函数图像解决实际问题》说课稿 老河口市第七中学陈薇 尊敬的各位评委，老师： 大家好！ 今天，我说课的内容是人教版数学九年级下册《函数及其图像》专题复习之一-------《应用一次函数图像解决实际问题》，下面我将从教材分析，教法学法，教学过程，设计思路、教学反思五个方面来展开我对本节课的理解。 一、教材分析 1、地位和作用 一次函数是中学数学中一种最简单、最基本的函数，是中考考点之一，而利用一次函数图像解决实际问题，已成为中考的热点。它命题背景广泛，紧贴实际生活，构思新颖，题型多样，突出对学生识别图象,处理信息、获取知识以及解决问题的能力的考察，增强了学生应用数学的意识和能力。 很多学生对基础题有一定的认识和解决方法，但对中档题和综合题缺乏清晰的解题思路，往往导致对灵活程度高，综合能力强的试题得分不够理想。通过本节课的学习，有助于帮助学生解题思维的形成，掌握系统的解题方法。应用一次函数图像解决实际问题所涉及到的数学建模，待定系数法，分类讨论，数形结合，化归等思想方法也是解决表格式、文字类的实际问题常用的方法，对后续其它函数图像的应用学习以及高中函数学习都将积累宝贵的学习经验和经历，同时《义务教育数学课程标准》也要求“能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析”，因此本节课的重要性不言而喻。 2、教学目标 （1）经历实际问题的解决过程，掌握系统的解题思路和方法。 （2）通过知识的归纳学习过程，理解和掌握分类讨论，数形结合等思想方法。 （3）进一步体会数学知识与实际生活的的密切联系，丰富数学情感，建立自信心。 3、教学重点：会分析和应用一次函数图像解决实际问题 教学难点：数形结合思想方法的应用； 用一次函数与方程、不等式的联系解决实际问题 二、教法学法 本节课采用学案式，分类归纳，引导探究的教学方法，指导学生以独立思考、观察发现、合作交流，类比归纳的学习方法，得出清晰的解题思路和方法。 三、教学过程 首先通过错题分析，引入新课，其次将所学知识分为由“数”到“形”、由“形”到“数”、“数形”结合三种类型进行归纳，形成体系，然后总结反思，感悟方法提升能力，最后布置作业，达到巩固提高的目的。 1、错题分析，引入课题 通过选取具有代表性的错题进行分析，可以发现： ①审题缺乏细心，不能抓住关键字眼去区分图像的前后差异。 ②图像和实际问题的结合能力不够，思维缺乏条理性，逆向性。 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． ) 一次函数图像在高中物理中的应用 摘要】中学物理中的概念、规律其物理量之间的关系大都具有一次函数的特征，而一次函数也是学生比较最熟悉的函数,因此本文将以公式、实验、高考题为线索 探寻一次函数图像在高中物理学习中的作用。 【关键词】一次函数图像图像法高中物理 中学物理中的概念、规律的公式描述，就是以数学知识为基础，通过赋予数 学变量X、Y以不同的物理意义，将各物理量间的关系运用图像法形象直观的反 映出来，简洁明了，符合中学生的认知特点。因此在解题过程中，若能与数学图 形相结合，再转化成相应的物理图象，则可大大降低解题难度。图象法也是历年 高考的热点，因而在教学中要有意识的提升学生的识图、作图能力。 基于图象法在高中物理学习中的广泛应用，教师在教学中要意识的灌输图像 法在高中物理的重要地位，以期引起学生的重视。s-t图像、v-t图像是高中物理 一入门最先接触到的图像，应用也最广泛，下面笔者就以教学实例浅谈一次函数 图像在物理学习中的应用。 一、物理图像中“斜率”的意义 例3就是近年的高考物理题。由爱因斯坦光电效应方程有EK=hυ-W，又任何一种金属的 逸出功W一定，联立EK=eUc，可得eUc=hυ-W，根据表达式可知Uc随频率υ的变化呈线性 关系，图（3）中斜线的斜率等于普朗克常量ｈ/e。 二、巧用图像中的“面积”解变力问题 “面积”即斜线与横、纵坐标包围的图案所对应的面积，理清“面积”的含义，对解题事半功倍。如例1中图（1）所示的v-t图像中斜线下方速度和时间包围的面积即“位移”，用v-t图 像的面积求位移应该是“面积法”学生最熟悉的应用，除此之外，“面积法”还在变力做功中有 更精彩的应用。 高中物理受学生所学数学知识的限制，物理公式在使用中通常有所限定，例如在求功公 式W=FScosα中，只适用恒力做功的情况，如遇求变力做功的题目用公式法求解就会受到局 限性。这种情况下就可以用图像中的“面积”巧破这个局限性，在学习的过程中关键还是要理 解“面积”代表的含义才能举一反三。 例4：一根大小质地均匀的长链条，长为L，质量为m，现用手摁住保持如图（4）所示 的状态，有一部分悬垂于桌子下面，放手后这个链条开始下滑，求重力在链条全部离开桌面 的过程中所做的功？ 常规的思路，一般可以根据重力做功等于重力势能的改变量的等效法求解，而在求解的 过程中将会涉及到零势能面的选取，链条的等效质量求解，重心位置的考量以及重心位置到 零势能面的距离等等的判断，这些关系只要有一点儿疏忽没理清楚就会出错。这时候如果他 们具备举一反三应的素质，用图像法求解变力做功的方法则可以有效解决这个问题。 通过以上例题分析可以看出，一次函数不仅在概念、实验等习题中出现，甚至是高考考 察的重点，因此在物理学习过程中挖掘一次函数图象的物理功能，进一步加强数学方法在物 理学中的应用，常常会使一些抽象的概念变得简单易懂，常常会化解一些求解物理问题中遇 到的难题，提高学生学习物理的兴趣与效率。 【参考文献】 四、何雨昊.函数图像法在中学物理中的应用[J].科技教育，2018（1） 五、赵娟.高中物理方法“图像法”中图像斜率的应用[J].科学大众·科学教育，2011（6） 六、吴敏芳.例谈“面积”概念在高中物理中的应用[J].现代物理知识，2003（5） 初二数学一次函数图像 应用专题 初二数学一次函数图像 应用专题 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 【8上数】一次函数图像应用专题 一、解答题（本大题共10小题，共分） 1.如图，直线l1的解析表达式为y=-3x+3，且l1与x轴交于点D．直线l2经过点A、 B，直l1，l2交于点C． 2.（1）求点D的坐标； 3.（2）求直线l2的解析表达式； 4.（3）在直线l2上存在异于点C的另一个点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求 P点的坐标． 5.如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y=-3与坐标轴交于C、 D两点． 6.（1）求直线AB：y=kx+b与CD交点E的坐标； 7.（2）直接写出不等式kx+b＞x-3的解集； 8.（3）求四边形OBEC的面积； 9.（4）利用勾股定理证明：AB⊥CD． 10.如图，直线l1：y=-x+3与x轴相交于点A，直线l2： y=kx+b经过点（3，-1），与x轴交于点B（6，0），与y 轴交于点C，与直线l1相交于点D． 11.（1）求直线l2的函数关系式； 12.（2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的 面积的2倍，求点P的坐标； 13.（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小若存在，请求 出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14.甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做了10 天，然后乙队加入合作，完成剩下的全部工程，设工程总 量为单位1，工程进度满足如图所示的函数关系． 15.（1）求甲、乙两队合作完成剩下的全部工程时，工作量y 与天数x间的函数关系式； 16.（2）求实际完成这项工程所用的时间比由甲队单独完成 这项工程所需时间少多少天 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张 师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千 米，比我少用小时就跑完了全程．” 25.（1）若这段高速公路全程限速110千米/时，如若两人 全程均匀速行驶，那么张师傅超速了吗请说明理由． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋ φ)(A >0，ω>0)，x ∈ [0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ 2πω f ＝1 T ＝ω 2π ωx ＋φ φ 2.如下表所示. x 0－φ ω π2 －φω π－φ ω 3π2 －φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A －A 3.函数y x y A x 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π 2，1)，(π，0)，(3π2，－ 1)，(2π，0)这五个点．( × ) (2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π 4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋ π 4 )．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π 2 个单位长度得到的．( √ ) (4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π 4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ ) (6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2 .( √ ) 1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1 2个单位长度 B ．向右平行移动1 2个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A 解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋1 2)的图象，即函数y ＝ sin(2x ＋1)的图象． 2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π 2)的部分图象如图所 示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π 3 B ．2，－π 6 C ．4，－π 6 D ．4，π 3 答案 A 解析 ∵34T ＝5π12－????－π 3，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π 3，k ∈Z ， 又φ∈??? ?－π2，π2，∴φ＝－π 3，故选A. 课题：6.5一次函数图象的应用（2） 【教学目标】 1、通过函数图象解决实际问题，进一步发展学生的数学应用能力。 2、从函数图象中正确读取信息，进一步发展学生的数形结合能力。 一、自主探究 阅读课本202p 页，并完成相应的空格部分。 例1、如图，1l 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售的关系，根据图象填空． ①当销售量为2t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ②当销售量为6t 时，销售收入= ， 销售成本= ． ③当销售量等于 时， 销售收入等于销售成本． ④当销售量 时，该公司赢利， 当销售量 时，该公司亏损． ⑤1l 对应的函数解析式是 ． 2l 对应的函数解析式是 ． 二、练习： 1、如图分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。 根据图象可以知道： （1）这一次是 米赛跑 （2）表示兔子的图象是 （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 米 （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米 （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟 三、自学课本P203－204页，并完成相应的问题。 例2、我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶 （如图），下图中l 1，l 2分别表示两船相对于海岸 的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的关系． （1）哪条线表示B 到海岸的距离与时间之间的关系？ t （2）A，B哪个速度快？ （3）15分钟内B能否追上A？ （4）如果一直追下去，那么B能否追上A （5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？ 四、练习： 1、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆？ 2、如图：OA、BA分别表示甲乙两名学生跑步过程的一次函数的图象，图中s和t分别表示 第六章一次函数 总课时：7课时执笔人：刘丽娟使用人： 备课时间：第八周上课时间：第十一周 第7课时：6、5一次函数图像的应用（2） 教学目标 知识与技能：进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 过程与方法目标：在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维；在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识． 情感态度与价值观：在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 教学重点：一次函数图象的应用 教学难点：从函数图象中正确读取信息 教学准备：教具：教材，课件，电脑学具：教材，练习本，铅笔，直尺 教学过程： 第一环节：情境引入（5分钟，学生观察图形，获取信息，全班交流） 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用 零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱 (含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 第二环节：问题解决（15分钟，学生理解题意，小组探究， 全班交流） 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为 26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t，S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 一次函数中考专题 一．选择题 1．如图，是某复印店复印收费y（元）与复印面数（8开纸）x（面）的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费（）A．0.4元 B．0.45 元C．约0.47元D．0.5元 2．如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），则不等式kx＞ax+4的解集为（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2 3．如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 4．甲、乙两汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（） A．0个B．1个 C．2个 D．3个 【解答】①由函数图象，得a=120÷3=40故①正确， ②由题意，得5.5﹣3﹣120÷（40×2），=2.5﹣1.5，=1． ∴甲车维修的时间为1小时；故②正确， ③如图：∵甲车维修的时间是1小时，∴B（4，120）． ∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达． ∴E（5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3=80， ∴乙返回的时间为：240÷80=3，∴F（8，0）． 设BC的解析式为y1=k1t+b1，EF的解析式为y2=k2t+b2，由图象，得 ，解得，， ∴y1=80t﹣200，y2=﹣80t+640， 当y1=y2时，80t﹣200=﹣80t+640，t=5.25． ∴两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，故弄③正确， ④当t=3时，甲车行的路程为120km，乙车行的路程为80×（3﹣2）=80km， ∴两车相距的路程为：120﹣80=40千米，故④正确，故选：A．5．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：（1）a=40，m=1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙迟h到达B地；（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 《一次函数图象的应用》教学设计 【教学目标】 ●●知识与技能 能通过函数图象获取信息，发展形象思维，培养学生的数形结合意识及数学的应用能力。 ●●教学思考 根据函数图象解决实际问题，发展学生的数学的应用能力。 ●●解决问题 通过方程与函数关系的研究，建立良好的知识联系。 ●●情感态度与价值观 通过函数图象解决实际问题，培养学生的数学的应用能力，同时，培养学生良好的环保意识和热爱生活的意识。 【重点和难点】 ●●重点 一次函数图象的应用 ●●难点 正确地根据函数图象获取信息 【课前准备】 投影仪 【教学设计】 创设情景：（大屏幕演示并旁白） 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱持续时间T（天）与蓄水量V（立方万米）的关系如教科书 P166图6—6所示： 回答下列问题： 1 干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？ 2 蓄水量小于400完立方米时，将发生严重干旱警报，干旱多少天 后将发生严重干旱警报？ 3 按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 组织学生先观察图象，然后讨论。 学生活动 以小组为单位，观察，讨论，选代表回答。 由以前的图象基础，多数同学都能够解答，有困难的同学，可以个别 提示，观察横，纵左标所表示的变量，及现实生活的常识来帮助他们 解决问题；也可以同学们在相互交流中，得到启发。 指导学生通过找点的坐标的形式确定 （用投影仪给出） 教科书P167例 学生活动 学生观察图象，有了上面的基础，要求学生独立完成，然后相互交流解题思路，步骤，方法，并总结在实际生活中积累的经验。 指导学生完成P168的练习。（用投影仪给出） 小组讨论“议一议”。 学生做题前请先回答以下问题 问题1：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第_______象限；当k0时，图象必过第_______象限； 当b0时，图象必过第_______象限；当b0时，图象必过第_______象限． 问题2：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质_____________； ②验证___________________________________． 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第象限；当k0时，图象必过第象限； 当b0时，图象必过第象限；当b0时，图象必过第象限． 答：对于一次函数y=kx+b来讲，当k0时，图象必过第一、三象限；当k0时，图象必过第二、四象限； 当b0时，图象必过第一、二象限；当b0时，图象必过第三、四象限． 问题2：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质； ②验证． 答：函数图象共存问题的处理思路： ①选定一个函数图象，根据图象性质判断k，b的符号； ②验证另一个函数图象存在的合理性． 一次函数图象的应用（图象共存问题）（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.一次函数y=-ax+4与正比例函数y=2ax（a为常数，且a≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图象共存问题 2.一次函数y=kx-k2与正比例函数y=-kx（k为常数且k≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：图象共存问题 3.一次函数y=mx+n与正比例函数y=nx（m，n是常数，且mn≠0）在同一坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断 《一次函数图象的应用》优质课比赛教案 《一次函数图象的应用》优质课比赛教案 教学目的和要求： 1.能通过函数图像获取信息，增强图能力，发展形象思维。 2.能利用函数图像解决简单的实际问题，发展数学应用能力。 教学重点和难点： 重点： 1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维能力。 2、能利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力。 3、初步体会议程与函数的关系，建立良好知识的联系。 难点： 1.利用函数图象解决实际问题。 2.用函数的观点研究方程。 快速反应 1.下图是某地某日24小时气温随时间变化的曲线图，根据图象填空： （1）气温最低，最低气温是℃。 （2）气温最高，最高气温是℃。 （3）气温是0℃。 2.如图是反映某水库的蓄水量V（万米3）随着干旱持续时间t（天）变化的图象，根据图象填空。 （1）水库原有水量万米3，干旱连续10天，水库蓄水量为。 （2）蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，则连续干旱天将发出严重干旱警报。（3）持续干旱天水库将干涸。 自主学习 为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图6—5—1所示： （1）分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？ 答案：(1) (2)当y1=y2时， 当时， 所以，当通话时间等于96 min时，两种卡的收费一致；当通话时间小于mim时，“如意卡便宜”；当通话时间大于min时，“便民卡”便宜。 2、某医药研究所开发了一种 小结： 1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是非曲直的方程叫做二元一次方程. 2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的`一组方程，叫做二元一次方程组. 3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解. 4.二元一次方程组中多个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.一次函数图象的应用
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