习题八
8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示
(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷
2
220)3
3(
π4130cos π412a q q a q '=?εε
解得 q q 3
3-
=' (2)与三角形边长无关．
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示
??
?
??
===220)sin 2(π41
sin cos θεθθl q F T mg T e
解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 8-3 根据点电荷场强公式2
04r q E πε=
，当被考察的场点距源点电荷很近(r
→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?
解: 02
0π4r r q E
ε=
仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电
荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．
8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有相互作用力f ，有人说f =
2
024d q πε,又有人
说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S
q 02
ε．试问这两种说法对吗?为什么?
f 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S
q
E 0ε=
看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S
q E 02ε=
，另一板受它的作用
力S
q S q
q f 02
022εε=
=，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p =，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r
与l
的夹角为θ,(见题8-5图)，且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为
r E =
302cos r p πεθ, θ
E =3
04sin r p πεθ
证: 如题8-5所示，将p 分解为与r 平行的分量θsin p 和垂直于r
的分量
θsin p ．
∵ l r >>
∴ 场点P 在r 方向场强分量
3
π2cos r p E r εθ
=
垂直于r 方向，即θ方向场强分量
3
00π4sin r
p E εθ
=
题8-5图 题8-6图
8-6 长l =15.0cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m -1
的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强． 解： 如题8-6图所示
(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为
2
0)
(d π41d x a x
E P -=
λε 2
22
)
(d π4d x a x
E E l l P P -=
=?
?-ελ
]2
12
1[π40
l a l a +
--=
ελ
)
4(π2
2
0l a l
-=
ελ
用15=l cm ，9
10
0.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得
21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右
(2)同理
22
20d d π41d +=
x x
E Q λε 方向如题8-6图所示
由于对称性?
=l Qx
E 0d ，即Q E
只有y 分量，
∵ 22
2
222
20d
d d d π41d ++=
x x x E Qy
λε
2
2π4d d ελ
?==l Qy
Qy E E ?
-+22
2
3
222)
d (d l l x x
22
2
0d
4π2+=
l l
ελ
以9
10
0.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得
21096.14?==Qy Q E E 1C N -?，方向沿y 轴正向
8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强．
解: 如8-7图在圆上取?Rd dl =
题8-7图
?λλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为 2
0π4d d R
R E ε?
λ=
方向沿半径向外
则 ??ελ
?d sin π4sin d d 0R
E E x =
=
??ελ
?πd cos π4)cos(d d 0R
E E y -=
-=
积分R
R E x 000
π2d sin π4ελ
??ελπ
==
?
0d cos π400
=-=?
??ελ
π
R
E y
∴ R
E E x 0π2ελ
=
=，方向沿x 轴正向．
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．
解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4
q
在P 点产生物强P E d 方向如图，大
小为
()
4
π4cos cos d 2
2021l r E P +
-=
εθθλ
∵ 2
2cos 2
21l r l +
=
θ
12cos cos θθ-=
∴
2
4
π4
d
2
2
2
2
l
r
l
l
r
E
P
+
+
=
ε
λ
P
E
d在垂直于平面上的分量β
cos
d
d
P
E
E=
⊥
∴
4
2
4
π4
d
2
2
2
2
2
2
l
r
r
l
r
l
r
l
E
+
+
+
=
⊥
ε
λ
题8-8图
由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为
2
)
4
(
π4
4
d
4
2
2
2
2
l
r
l
r
lr
E
E
P
+
+
=
?
=
⊥
ε
λ
∵
l
q
4
=
λ
∴
2
)
4
(
π4
2
2
2
2
l
r
l
r
qr
E
P
+
+
=
ε
方向沿OP
8-9 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：
通过圆平面的电通量．(
x
R
arctan
=
α)
解: (1)由高斯定理
d
ε
q
S
E
s?
=
?
立方体六个面，当q 在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量0
6εq
e =
Φ． (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长a 2的立方体，使q 处于边长a 2的立方体中心，则边长a 2的正方形上电通量0
6εq e =
Φ 对于边长a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则0
24εq
e =Φ， 如果它包含q 所在顶点则0=Φe ．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R 的圆平面的电通量等于通过半径为22x R +的球冠面
的电通量，球冠面积*
]1)[(π22
2
22x
R x x R S +-
+=
∴ )
(π42
2
00
x R S
q +=
Φε0
2εq
=
[2
2
1x
R x +-]
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
ααα
??=0
d sin π2r r S