人教版八年级下册数学第17章勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
课时1 勾股定理的逆定理教案
【教学目标】
1．掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；
2．能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形..
【教学重点】
掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 【教学难点】
能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．
【教学过程设计】
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】判断三角形的形状
例1如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为()
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对
解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC ＝52＋52＝52，AC ＝32＋32＝32，AB ＝22＋82＝68.在△ABC 中，∵BC 2＋AC 2＝50＋18＝68，AB 2＝68，∴BC 2＋AC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形．故选A.
方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【类型二】 利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
例2 如图，已知在正方形ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝14AD .求证：CE ⊥EF .
解析：根据题设提供的信息，可将需证明垂直关系的两条线段转化到同一直角三角形中，运用勾股定理的逆定理进行证明．
证明：连接CF .设正方形的边长为4，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC
＝CD ＝DA ＝4.∵点E 为AB 中点，AF ＝14AD ，∴AE ＝BE ＝2，AF ＝1，DF ＝3.
由勾股定理得EF 2＝12＋22＝5，EC 2＝22＋42＝20，FC 2＝42＋32＝25.∵EF 2＋EC 2＝FC 2，∴△CFE 是直角三角形，且∠FEC ＝90°，即EF ⊥CE .
方法总结：利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，所以此定理也是判定垂直关系的一个主要的方法．
【类型三】 勾股数
例3判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A ．1，2，3
B ．8，15，17
C ．7，14，15 D.35，45，1
解析：选项A 不是，因为2和3不是正整数；选项B 是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C 不是，因为72＋142≠152；选项D 不是，
因为35与45不是正整数．故选B.
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2＋b 2＝c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型四】 运用勾股定理的逆定理解决面积问题
例4 如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，CD ＝24，AD ＝26，求四边形ABCD 的面积．
解析：连接AC ，根据已知条件可求出AC ，再运用勾股定理可证△ACD 为直角三角形，然后可分别求出两个直角三角形的面积，两者面积相加即为四边形ABCD 的面积．
解：连接AC .∵∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝82＋62＝102，∴AC ＝10.在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝100＋576＝676，AD 2＝262＝676，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°.∴S 四边形ABCD
＝S △ABC ＋S △ACD ＝12×6×8＋12×10×24＝144.
方法总结：将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
探究点二：互逆命题与互逆定理
例5写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
解析：求一个命题的逆命题时，分别找出各命题的题设和结论将其互换即可
得原命题的逆命题．
解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；
(3)内错角相等，假命题；
(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．
方法总结：判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例即可．
【板书设计】
17.2 勾股定理的逆定理
课时1 勾股定理的逆定理
1．勾股定理的逆定理及勾股数
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
2．互逆命题与互逆定理
【教学反思】
在本节数学课的教学中应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知欲．课堂上师生互动频繁，既保证课堂教学进度，又提高课堂学习效率．学生在探讨过程中也加深了对知识的理解和记忆．
人教版八年级下册数学第17章勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
课时1 勾股定理的逆定理学案
【学习目标】
1．掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数；
2．能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形..
【学习重点】
掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. 【学习难点】
能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．
【自主学习】
一、知识回顾
1.勾股定理的内容是什么？
2. 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
① a＝3，b＝4；
② a＝2.5，b＝6；
③ a＝4，b＝7.5.
二、合作探究
考点1：勾股定理的逆定理
量一量有以下三组数，分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17.
算一算这三组数在数量关系上有什么相同点？
思考据此你有什么猜想呢?
猜测：如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是_________三角形.
活动2 为了验证活动1的猜测，下面我们根据全等进行证明.
证一证已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′2=_______+________。
∵a2+b2=c2，∴A′B′=_______.
在△ABC和△A′B′C′中，
A′C′=AC，
B′C′=BC，∴△ABC____△A′B′C′(________) .
______=_______,
∴∠C____∠C′_____90° ，即△ABC是__________三角形. 要点归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.
【典例探究】
例 1 (教材P32例1变式题)若△ABC的三边a,b,c满足a:b: c=3:4:5，是判断
△ABC的形状.
方法总结:已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
例2(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=14，试说明△ABC是直角三角形.
(2)若△ABC的三边a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状.
CB，例3如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝1
4
试判断AF与EF的位置关系，并说明理由.
【跟踪练习】
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则该三角形最长边上的高是( ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是_______________________.
考点2：勾股数
要点归纳：勾股数：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
【典例探究】
例4 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
方法总结:根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
考点3：互逆命题与互逆定理
想一想 1.前面我们学习了两个命题，分别为：命题1，如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2；命题2，如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.两个命题的条件和结论分别是什么？
2.两个命题的条件和结论有何联系？
要点归纳：原命题、逆命题与互逆命题：题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
【跟踪练习】
四、学习中我产生的疑惑
【学习检测】
1.下列各组数是勾股数的是( )
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
2.下列三角形中,一定是直角三角形的有()
①有两个内角互余的三角形;②三边长为m2-n2,2mn,m2+n2(m>n>0)的三角形;
③三边长的比为3∶4∶5的三角形;④三个内角的度数比是1∶2∶3的三角形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形( )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
4.下列定理中,没有逆定理的是()
A.等腰三角形的两个底角相等
B.对顶角相等
C.三边对应相等的两个三角形全等
D.直角三角形两个锐角的和等于90°
5.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.把一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,则这个三角形是__________三角形.
7.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式2220
c a b c a，则△ABC的形状是________________．
8.(1)一个三角形的三边长分别为15cm,20cm,25cm，则该三角形最长边上的高是_ _____cm;
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_________________________________ ______．
9.已知:如图所示,CD⊥AB于D,且有AC2=AD·AB.求证:△ACB为直角三角形.
10.如图所示的是一个四边形的边角料,韦三通过测量,获得了如下数据:AB=3 cm,BC=12 cm,CD=13 cm,AD=4 cm,韦三由此认为这个四边形中∠A恰好是直角,你认为韦三的判断正确吗?如果你认为他的判断正确,请说明其中的理由;如果你认为他的判断不正确,那你认为需要什么条件,才可以判断∠A是直角?
11.已知△ABC,AB=n2-1,BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).问△ABC是直角
三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
12.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=52,求四边形ABCD 的面积.
13.如图所示,已知等腰三角形ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm,求△ABC的周长.