矢量运算及其在物理中的应用
一、 矢量和标量
1、 只包含数量大小关系，不包含方向信息的物理量就是标量。我们学过的如路
程，时间，体积，质量，密度，温度，功，能量等都是标量。
2、 既包含数量大小关系，又包含方向的物理量就是矢量。我们学过的速度，力
等都是矢量。之后我们还将学习到加速度，动量，冲量，电场强度，磁感应强度等物理量都是矢量。 3、 如何看待物理中的矢量：只要某个物理量是矢量，那么它必须遵守我们将要学到的所有矢量的运算
法则。当一个矢量出现在你面前时，你的脑子里面必须清楚地认识到你必须用一套不同于1+1=2的计算法则来处理这些量。例如当你看到速度时，必须同时想到速度包含了大小和方向，你也许可
一、 物理中的矢量——学习它，就像儿时学习数字一样，它只不过是
将一个数及方向打包放到一起，构成了一种新的“数”，并且拥有它自己的运算法则。 二、 矢量的基本运算——它们都满足同样的加法，减法，以及各种乘
法运算，当然这些都是全新的运算。物理学中对矢量运算的使用就像儿时学习数学应用题一般，你需要的是找到相关的矢量，以及它们之间应有的运算。
三、 矢量的坐标表示——笛卡尔创立了直角坐标系，它也能把矢量用
坐标形式表示出来，于是很多物理中的矢量运算将变成纯数学计算的问题，如功的计算
通过本讲，你将可以用不一样的视角去审视初中力学中的很多计算，你会发现很多计算原来都只不过是矢量的常规运算。
以把它称作速度的两要素；当你看到力时，应当很自然地想到力的大小和方向，如果再加上作用点，那么就构成了力的三要素。
练习1-1.
物体运动时其速度随时间会有不同的变化规律。试从矢量的
角度出发，根据速度随时间变化的不同情况对物体运动的种类进行分类。
二、
矢量的表示方式
1
、 物理学中通常在某个矢量的字母上加一个箭头来表示这个矢量。例如某个力实际上应该写作
F
，速度应该写作v 。数学上一般都用一个小写的英文字母上加一个箭头表示矢量，如a ，b 。在印刷品上，通常人们习惯将字母加粗以表示这是矢量，如将a
记作a 。
2、 对于一般的数，我们可以很简单地表示为类似5x 之类的形式，但是由于矢量具有方向，因
此我们通常用一个带有方向的箭头来表示矢量：
a
b
c
这种表示方法实际上与之前学过的力的示意图完全相同。
3、 物理学中的矢量也是带单位的，例如力F
的单位是N ，v 的单位是/m s
一、 矢量的模
矢量的大小称为模。a 的模记作a 。
二、 矢量的平移
只要两个矢量的大小和方向都一样，那么我们就认为两个矢量相等，也就是说矢
量在空间内平移后得到的矢量与原矢量相等。
三、 两个矢量的夹角：将两个矢量通过平移后使它们的起点重合，此时它们之间的夹角称为两个矢量间
的夹角，矢量间的夹角的范围是0-180度。
四、 矢量的加法
1、 矢量的加法法则：将几个矢量通过平移后首尾相连，然后以第一个矢量的尾为起点，最后一个
矢量的箭头为终点，用另一个矢量将它们连结起来，最后连起来的矢量就是这几个矢量的和。我们经常处理的是两个矢量的和，因此两个“加数”与“和”总是构成一条直线或者三角形。，
因此我们常把这个方法称作三角形法。
2、 特别地，两个矢量,a b 同向时，a b a b +=+ ，a b + 的方向与,a b 相同；若,a b
反向时，
a b a b +=- ，a b + 的方向与,a b
相反。
练习2-1. 试画出下列两个矢量的和：
练习2-2. 如图在正六边形ABCDEF 中，O 是对称中心。已知：AB →
=a ,AF →=b
。
试用、表示矢量BC →、CD →
、AD →
和BE →
。
练习2-3.
试说明a b a b +≥+
恒成立。
练习2-4. 一个人从起点开始，先向南走了50m ，再向东走了30m ，再往正西南走了10m 。试利用矢
量表示出这个人走的过程，同时利用矢量运算求这个人最后的位置与起点位置间的关系。
注意：只有矢量之间能做加法，矢量和实数是没有加法运算的。 五、 矢量的数字积
1、 实数λ与矢量a 可以进行数字积，定义新的矢量a λ 为它们的数字积，a a λλ= 。若0λ>，
则a λ 与a 同向；若0λ<，则a λ 与a 反向；若0λ=，则a λ
为零矢量。
2、 特别地，当1λ=-时，a - 与a
长度相同，方向相反。
六、 矢量的减法
有理数计算中有一条：“减去一个数等于加上这个数的相反数”，在矢量计算中也有类似的法则：
()a b a b -=+- 。
练习2-5. 画出
七、 矢量的内积
1、 矢量内积是两个矢量间作的运算，它的结果是一个标量，或者说是一个具体的数。
2、 定义a b ? 为矢量,a b
的内积，cos a b a b θ?= ，其中θ表示将两个矢量平移后具有公共起点时它们所张的角。θ
练习2-6. 试计算下列情况时a b ?
的值。
（1）0
4,3,60a b θ=== ；
（2）02,1,30a b θ===
；
（3）0
3,3,45
a b θ===
一、 力的合成与分解
1
、 力的合成本质上来说就是几个力的加法。将几个力通过平移首尾相连，
连成一个多边形，利用几何知识解出各个力的方向和大小。常用的方法有三角形法和平行四边形法。
练习2-7. 一木块静止在倾角为θ的斜面上，已知木块重为G ，求木块受到的
所有力。（利用三角形法或平行四边形法）
分析：与小学时做应用题一样，这个题里面有已知数G
，未知数,N f ，它们之间满足0G N f ++= ，只不过我们需要用新的
“加法法则”来完成这个题目。
a b
a
b a b
(1)(2)
(3)
θ
θ
θG
练习2-8. 合力F 与两个共点力F 1、F 2之间的夹角θ的关系如图所示（两
个共点力F 1、F 2大小不变），则合力F 大小的变化范围是多少? 练习2-9. 若F 1和F 2两个共点力的合力为F ，则有（ ）
A .合力F 一定大于任一分力
B .合力的大小可能等于F 1，也可能等于F 2
C .合力有可能小于任一分力
D .合力F 随F 1、F 2间夹角增大而减小
练习2-10. 下面几组力合力可能为零的是（ ） A .10 N 、12 N 、30 N B .9 N 、2 N 、5 N
C .4 N 、5 N 、8 N
D .12 N 、4 N 、7 N
练习2-11. 如图所示，六个力中相互间的夹角为60°，大小如图所示，则
它们的合力大小和方向各如何？
2、 力的分解就是将一个力拆成几个几个力的和的过程，如果将5拆成1+4一样。将一个力分解为
两个力的过程可以想象成已知三角形的一条边，构造三角形另外两条边的过程。你可以在这条边上构造各种形状的三角形，这种思维方式能帮助你轻松解决很多选择判断题。
练习2-12. 如图所示，用长为L 的轻绳悬挂一质量为m 的小球，对小球再施加
一个力，使绳和竖直方向成β角并绷紧，小球处于静止状态，此力最小为
F
F
F
同一个水平力F 你可以用你想到的任意方式分解,
构造矢量三角形
练习2-13. 将力F 分解成F 1和F 2，若已知F 1的大小和F 2与F 的夹角θ(θ为锐角)，则（ ） A ．当F 1＞Fsin θ时，有两解 B ．当F 1=Fsin θ时，一解 C ．当Fsin θ＜F 1＜F 时，有两解
D ．当F 1＜Fsin θ时，无解
练习2-14. 一个力F 是另外两个力12,F F 的合力。已知1F 与F 成30度角，大小未知，而
23)F F ，方向未知，则1F 的大小可能是多少？
二、 速度的分解与合成
事实上作为矢量的速度与力具有完全一样的矢量计算法则。思考这
类问题的方法就是：根据题意，确定本题中的已知量和未知量，然后了解这些矢量间的联系，利用你学到的矢量运算法则画图，最后用几何知识解决问题。
练习2-15. 如右图，A 船从港口P 去拦截正在以速度1v 沿B ’C ’方向作匀速直线运动的B 船，P 距
离B 所在航线为a ，B 船距港口P 为b(b>a)，A 船速度为2v ，A 船启航就可认为是匀速航行，为了使A 在A ’到B ’的航线上能与B 迎
上，问：
(1)A 船应取什么方向？
(2)需要多少时间才能拦住B 船？
(3)若其他条件不变，A 船从P 开始匀速航行时，A 船可以拦截B 船的最小航行速度是多少？
练习2-16. 河宽l ，船在水中滑行的速度为
1v ，水流速度为2v 。 (1)当船头始终与河岸成α角时，如右图
所示，求船相对于岸的速度，并求经过多少时间才能到达对岸？
(2)若要用最短时间按到达对岸，α角应为多大？ (3)若要使船到达正对岸，α角应为多大？
练习2-17. 一辆邮车以10m/s 的速度沿平直公路匀速行
驶，在离此公路d=50m 处有一个邮递员，当他与邮车的连线和公路的夹角1
arctan()4
α=时开始沿直线匀速跑。已知他奔跑的最大速度是5m/s 。试求：
（1）他应向什么方向跑，才能尽快与邮车相遇？
（2）他至少以多大的速度奔跑，才能与邮车相遇？
三、 与功相关的矢量计算。
求做功的真正的公式应该写作F W F L =? ，其中L 是力F
的受力物体的位移。
练习2-18. 用一个与斜面成30度角
的力拉着一重为G 的木块沿着倾角为30度的斜面匀速向上运动，斜面长为l ，木块与斜面光滑。
求木块所受的各个力的做功。
一、 矢量的坐标表示
1、 建立平面直角坐
标系后,
通过平移
使得矢量的起点与坐标原点重合,
矢量终点的坐标就是矢量的坐标。如右图，矢量的终点在（1，1）的位置，因此这也可以当作矢量自己的坐标。
y
x
O
(1,1)
1
1
F
G
2、 矢量计算的坐标求法
（1） 矢量的模
(,)a a a x y =
，则a = （2） 矢量的加减法
(,)a a a x y = ，(,)b b b x y = ，(,)a b a b a b x x y y ±=±±
（3） 矢量的数字积
(,)a a a x y = ，(,)a b a x x λλλ=
（4） 矢量的内积
(,)a a a x y = ，(,)b b b x y = ，a b a b a b x x y y ?=+
练习3-1. 试计算a b + ，a b - ，a b ? ，,a b 的夹角。
（1）(3,5),(2,1)a b =-=-
（2
）(a b ==
（3）(1,1),(3,2)a b =-=-
一、 力的正交分解法
正交分解法处理物体平衡问题的步骤通常可分为下面几步：
a)
利用受力分析找出物体所受的全部力；
b) 根据实际场景建立合适的直角坐标系，将这些力的矢量用坐标表
示出来，坐标系的建立方式任意，但是简洁是其最重要的准则，不同的坐标系解出来的结果不会有差别，不过解题过程的复杂程
度就会因坐标系的不同而大相径庭； c) 根据力的平衡方程0F =∑
，用坐标运算法则列出标量方程。
事实上所谓的正交分解法就是利用矢量的坐标运算法则求解力的大小。 练习3-2. 用一个与斜面成30度角的力拉着一重为G 的木块沿着
倾角为30度的斜面匀速向上运动，斜面长为l ，木块与斜面光滑。（1）建立适当的直角坐标系,将木块受到的各个力用坐标表示出来,并根据力的平衡方程,利用坐标列方程求解各个力；（2）将木块的位移的坐标写出来，并利用矢量内积的坐标表示求出各个力所做的功。
F
G
向量的线性运算基础测试题含答案解析 一、选择题 1．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】 解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确； B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确； C . a r ＝k b r （k ≠0）?a r ∥b r ，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确． 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键. 2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b r r 、表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b -r r C ．12 a b -+r r D ．12 a b --r r 【答案】A 【解析】 【分析】 根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r 即可解决问题. 【详解】 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AD BC ∴∥，＝，
1．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地．已知飞机加速前进的路程为1600 m ，所用的时间为40 s ．假设这段运动为匀加速直线运动，用a 表示加速度，v 表示离地时的速度，则 ( ) A ．a ＝2 m/s2，v ＝80 m/s B ．a ＝1 m/s2，v ＝40 m/s C ．a ＝2 m/s2，v ＝40 m/s D ．a ＝1 m/s2，v ＝80 m/s 答案：A 解析：飞机做匀加速直线运动过程的初速度为零，位移为1600 m ，运动时间为40 s ．根据 方程x ＝12at2，可得a ＝2x t2＝2×1600402 m/s2＝2 m/s2.再根据v ＝at ，可得v ＝2×40 m/s ＝80 m/s.故A 正确． 题干评注：矢量和标量 问题评注：矢量不仅有大小，而且有方向的物理量。标量:只有大小，没有方向的物理量。 2．如图所示为物体做直线运动的v －t 图象．若将该物体的运动过程用x －t 图象表示出来(其中x 为物体相对出发点的位移)，则图中的四幅图描述正确的是 ( ) 答案：C 解析：0～t1时间内物体匀速正向运动，故选项A 错；t1～t2时间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，选项B 、D 错；t2～t3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x －t 图象中，0～t1和t2～t3两段时间内，图线斜率大小相等，故C 对． 题干评注：矢量和标量 问题评注：矢量不仅有大小，而且有方向的物理量。标量:只有大小，没有方向的物理量。 3．一枚火箭由地面竖直向上发射，其速度和时间的关系图线如图所示，则( ) A ．t3时刻火箭距地面最远 B ．t2～t3时间内，火箭在向下降落
常用的一些矢量运算公式 1.三重标量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ()a b c ??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三 个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为 (),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1 2 3 1 2 3 ,,,,,a a a a b b b b 及()1 2 3 ,,c c c c 则有 ( )() 123123123123 123123 c c c i jk a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++= 因此，三重标量积必有如下关系式： ()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。 2.三重矢量积 如a ，b 和c 是三个矢量，组合 ( ) a b c ??叫做他们的三重标量积，因有 ()()()a b c a c b c b a ??=-??=?? 故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:() ()()a b c a b c a c b ??=-?+? （1-209） 将矢量作重新排列又有：()()() a b c b a c b a c ?=??+? （1-210） 3.算子（ a ? ） ? 是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（ a ? ）则是一个标量算子，将它作用于标量φ ，即 ()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量 d r 代替以上矢量a ，则 ()dr φ ?是φ在位移方向 d r 的变化率的 d r 倍，即 d φ 。 () ()d dr dr φφφ=?=? 若将 () dr ?作用于矢量v ，则 ()dr v ?就是v 再位移方向 d r 变化率的 d r 倍，既为速度矢量 的全微分() dv dr v =? 应 用 三 重 矢 量 积 公 式 （ 1-209 ） ()()() 00()()()() a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??
课程标准高中物理教科书(人教版) 必修1、必修2编写思想 人民教育出版社物理室张大昌 自2003年初以来,编者以《普通高中物理课程标准(实验)》为依据,编写了全套《普通高中课程标准实验教科书?物理》。本文结合共同必修《必修1》和《必修2》两本书,谈一谈编者在落实新课程理念时的想法和所做的努力,希望能与老师、学生们交流,也希望更多地听到大家的意见。 一、循序渐进,步步登高 任何教学活动都要使学生学会所教的内容,对于高中物理课程来说,就是要学会物理学的内容,否则无论知识与技能还是过程与方法、情感态度价值观的教育都无从谈起。落实三维课程目标的前提是学懂物理学! 要学懂物理学,有很多应该注意的事情,但有极其重要的一条,那就是循序渐进。一个5米高的峭壁,没有专门的工具、没有经过专门训练的人难以攀登,而泰山高1 524米,一般的人都能爬上去,这是因为泰山路上开凿了所有健康人都能接受的台阶。 教学也是这样。凡是教学中的难点,一般说来都是新内容与学生已有的认知之间存在较大的落差。正确分析这个落差,搭好合适的“台阶”,正是教学艺术性之所在。教科书的作用之一是做好教师的助手。编者在分析难点,帮助教师搭设教学台阶这方面做了很多工作。 1. 矢量的教学 编者是通过以下几个阶段来引导学生学习的。
(1)通过位移初步接触矢量 几十年来,我国高中物理教科书既有从力开始的,也有从运动学开始的;国外教科书也是这样。两种安排各有道理。课标教科书从运动学开始,目的之一是使矢量的教学能循序渐进。 在高中阶段,对矢量的认识要突出两点:方向性和加法法则。对于高一学生来说,两者都不容易。如果先学力,学了方向性后,几乎立即就要学习相加的法则,两个难点相距太近。因此,新教科书先学位移,通过位移初步接触矢量。在《必修1》第一章第2节说“像位移这样的物理量叫做矢量,它既有大小又有方向……”这里描述了矢量的一个特征,但不是下定义。 (2)通过思考与讨论?领悟?到矢量相加具有特殊的规律 《必修1》第一章第2节有个“思考与讨论”:一位同学从操场中心A出发,向北走了40 m,到达C点,然后又向东走了30 m,到达B点……你能通过这个实例总结出矢量相加的法则吗? 这里并不要求学生完整地得出平行四边形或三角形的法则,但一定要让学生思考。只要能够认识到最终的位移并不是把40 m与30 m相加就可以得到的,这就可以了。教学中要设法让学生心里存疑。新课程不是鼓励学生的探究精神吗?存疑就是教师预先埋伏下的问题,探究的开始。学生会不自觉地对这个问题做出或浅或深的猜想与假设……这对于后来的学习是很有意义的。 (3)通过实验探索矢量相加的法则 《必修1》第三章,学生通过实验了解了力相加的法则,为矢量的完整定义打下了基础。 (4)矢量的定义
A r r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确 r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?= ? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+
精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/d95060132.html, 浅谈高中物理矢量教学 作者：杨庆华 来源：《速读·上旬》2017年第06期 摘要：在高中物理教学中矢量贯穿始终，是高中物理的重点和难点之一。矢量教学需要 循序渐进，让同学们一步一步地厘清矢量概念，掌握矢量运算的法则，提高运用矢量规律分析解决问题的能力。 关键词：矢量；概念；运算法则；误区；应用 在高中物理教学中矢量贯穿始终：运动学中有位移、速度、加速度；力学中有力、动量、冲量；电磁学中有电场强度、磁感应强度等。矢量是高中物理的基础知识，用矢量规律分析解决问题是学生必备的能力。矢量作为高中物理的重点和难点之一，如何进行教学，笔者作了如下的尝试。 1矢量概念的教学 学生在初中物理学习中，没有接触过有方向的物理量，进入高中后，开始涉及矢量问题。让学生建构一个良好的矢量观，为以后的高中物理矢量学习打好基础，高一物理矢量概念的教学显得尤为重要。 在人教版《物理必修1》出现的第一个矢量是位移，教学中让学生结合生活实际理解位移的概念，然后比较矢量与标量的不同：在物理学中，像位移这样的物理量叫矢量，它既有大小又有方向；而温度、质量这些物理量叫标量，它们只有大小，没有方向。这样使学生对矢量有一个初步的认识，知道矢量的方向性。学习到的另一个矢量是速度，对速度和速率这两个概念应进行严格的区分，速度是矢量，既有大小，又有方向，而速率是不强调方向。进一步加深学生对矢量方向性的印象。 加速度是高中物理学习中最重要的概念之一，加速度是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值。要理解加速度的方向性，必须先理解速度变化量的方向性，加速度的方向与速度变化量的方向一致。所以在加速度的教学中，特别重视直线运动中加速度的方向与速度大小变化的讨论，进一步强调加速度是矢量，它不仅有大小，也有方向。 严谨的矢量概念安排在第三章——相互作用，力描述的是物理间的相互作用，力的概念很抽象，力的矢量运算较复杂。在学习到本章第四节——力的合成，可以得出完整的矢量概念：既有大小又有方向，运算时遵从平行四边形定则的物理量叫做矢量。至此矢量概念教学才算完成，学生也才会真正清楚什么是矢量。 2矢量运算法则的教学
高中物理模型组合２７讲（Word 下载）矢量运算模 型 ［模型概述］ 矢量及运确实是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，因此在进行模块讲解之前，我们有必要熟练把握矢量的运算规律。 ［模型讲解］ 例. 〔2005年安丘市统考〕 如图1所示，平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为G 。在平行四边形内任取一点O ，作矢量OA 、OB 、OC 、OD ，那么这四个矢量所代表的四个共点力的合力等于〔 〕 图1 A. 4OG B. 2AB C. 4GB D. 2CB 解析：如图2所示，延长OG 至P ，使GP ＝OG ，连结PA 、PB 、PC 、PD ，得平行四边形AODP 和平行四边形COBP 。由力的平行四边形定那么明白，矢量OA 、OD 所代表的两个共点力F F A D 、的合力F AD 可用矢量OP 表示，即F OP OG AD ==2。 图2 同理，矢量OB 、OC 所代表的两个共点力F F B C 、的合力F BC 也可用矢量OP 表示，即F OP OG BC ==2。 从而，F F F F A B C D 、、、四个共点力的合力F F F OG AD BC =+=4。因此A 项正确。 评点：由于题中的O 点是任取的，各力的大小和方向无法确定，通过直截了当运算确信行不通。但考虑到平行四边形的对角线互相平分这一特点咨询题就解决了。事实上对该部分的考查往往是从专门的角度进行的，如θ＝0°，90°，120°，180°等。 总结：〔1〕当两分力F 1和F 2大小一定时，合力F 随着θ角的增大而减小。当两分力间
矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量()mV 、冲量()F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量()m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1F a F m m ==?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用AB ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：c o s A B A B θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。c o s W F S F S θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为sin M Fr θ=。带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F qV B =?，大小为sin F q vB θ=?（若是负电荷受力方向与此相反） 例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？ 解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。
沪科版高中物理必修一第2讲《区分矢量与标量，理解位移与路 程》教案 高中阶段的物理量分为两类：一类是有大小、有方向的物理量，称为矢量；另一类是有大小、没有方向的物理量，称为标量．两类物理量在表达、运算、比较等方面都是不同的．1．矢量和标量 (1)矢量：既有大小又有方向的物理量．如：力、速度、位移等． ①矢量可以用带箭头的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的指向表示矢量的方向． ②同一直线上的矢量，可用正、负表示方向．若矢量与规定的正方向相同，则为正；若矢量与规定的正方向相反，则为负． (2)标量：只有大小没有方向的物理量．如：长度、质量、温度等． ①有些标量也带正、负号，但标量的正、负号与矢量的正、负号意义是不同的，它不表示方向．对于不同的标量，正、负号的意义也是不同的，如：温度的正、负表示比零摄氏度高还是低，电荷量的正、负表示是正电荷还是负电荷． ②标量的运算遵从算术法则． (3)大小比较：①比较两个矢量大小时比较其绝对值即可；②比较两个标量大小时，需比较其代数值． 2．位移和路程 (1)位移：表示质点位置变化的物理量，是由初位置指向末位置的有向线段．线段的长度表示位移的大小，有向线段的指向表示位移的方向． (2)路程：物体运动轨迹的长度，它不表示质点位置的变化． 路程和位移的比较：
才等于路程．因此，质点运动过程中的位移大小总是小于或等于路程 对点例题 某学生参加课外体育活动，他在一个半径为R 的圆形跑道上跑步，从O 点沿圆形跑道逆时针方向跑了4.75圈到达A 点，求它通过的位移和路程． 思路点拨 位移是矢量，求某一过程的位移，既要求出大小，还要标明方向．描述物体在平面内的曲线运动时，需要建立平面直角坐标系．当物体做曲线运动时，其位移的大小与路程是不相等的，且路程大于位移的大小． 解题指导 如图所示，有向线段OA 即为该学生通过的位移 s ＝R 2＋R 2＝2R ，位移方向与x 轴的夹角为φ＝45°. 通过的路程为L ＝4×2πR ＋34×2πR ＝192 πR . 答案 见解题指导 技巧归纳 解运动学问题时，画出运动示意图可帮助分析问题，特别是运动过程较复杂时，运动示意图可使运动过程清晰．此外，对于定量计算的问题，若是直线运动，就画直线坐标系；若是曲线运动，就画平面直角坐标系，并将运动的轨迹在坐标系上画出． 如图1所示，一边长为10 cm 的实心立方体木块，一只昆虫从A 点爬到G 点．求： 图1 (1)该昆虫的位移； (2)该昆虫的最短路程． 答案 (1)10 3 cm ，方向由A 指向G (2)10 5 cm 解析 (1)昆虫的位移为A 指向G 的有向线段，大小为10 3 cm ，方向由A 指向G
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b | 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | (2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b | ，所以向量a 与 向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b | 成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0 平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案] (1)C (2)D [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上． 突破点(二) 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算：加法、减法、数乘 2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 平面向量的线性运算 [例1] (1)在△ABC 中，u u u r AB ＝c ，u u u r AC ＝b .若点D 满足u u u r BD ＝2u u u r DC ，则u u u r AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13 c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且u u u u r AN ＝12u u u r NC ，P 是BN 上一点，若u u u r AP ＝m u u u r AB ＋29 u u u r AC ，则实 数m 的值是________． [解析] (1)由题可知u u u r BC ＝u u u r AC －u u u r AB ＝b －c ，∵u u u r BD ＝2u u u r DC ，∴u u u r BD ＝23u u u r BC ＝23(b －c )，则u u u r AD ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋1 3 c ，故选D. (2)如图，因为u u u u r AN ＝12u u u r NC ，所以u u u u r AN ＝13u u u r AC ，所以u u u r AP ＝m u u u r AB ＋29 u u u r AC ＝ m u u u r AB ＋23u u u u r AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13 . [答案] (1)D (2)1 3 [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求． 平面向量共线定理的应用 [例2] 设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若u u u r AB ＝a ＋b ，u u u r BC ＝2a ＋8b ，uuu r CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．
高中物理的数学基础——矢量篇（其一）百度贴吧高中物理吧@浪漫主义学派 2020年2月8日
1绪论 物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力、力矩等，除数量的大小外还具有一定的方向，这类物理量叫做矢量。人教版高中物理教科书早在必修一便讲述了位移、速度等矢量，但却没有详细论述这个数学概念的始末。高中数学教材虽然比较充分地做了这些工作，但大部分同学直到高中二年级才有机会一览其面目。余是以为此文，以期不使矢量成为众人之拦路虎也。 余在此不打算引入过多的物理背景来介绍这个概念，亦不希望大家被纷繁芜杂的数学公式绕晕。余愿力求每一个高一新生都看得懂此文。所以我在参考其他教材的基础上，将矢量的相关知识点进行降维处理。另一方面，本文也要拓展一些高中数学教材上不曾讲过之物，如矢量的外积等。本人才疏学浅，难免有错漏或不宜之处，还请各路大神斧正。 本文中大量知识点被放在练习题的位置上，读者请务必认真对待练习题，勿浪费练习之神奇效用。 2矢量及其相关定义 数学上，既有大小又有方向的量被称为矢量（或向量）。我们常常用一条有方向的线段，即有向线段来表示矢量。 图1表示的是以A 点为起点，以B 点为终点的有向线段，其可代表一 个矢量，记作?→AB 。有时也可以用一个带箭头的字母来表示一个矢量，例 如 v 。有些打印稿也使用粗体字母来表示矢量，例如v ，其意义与 v 相同。 但需要注意的是，使用描粗英文字母的方法手写向量是不规范的行为，应 改用标于其上的箭头。其中，有向线段的长度表示矢量的大小，箭头的方 向表示矢量的方向。 图1:矢量?→AB 如果两个矢量a 和b 的长度相等且方向相同，我们就说这两个矢量是相等的，记作a =b 。 也就是说，经过平行移动后能完全重合的矢量是相等的。矢量的大小叫做矢量的模，用绝对值符号来表示。如矢量?→AB 的模记作|?→ AB |。模等于单位长度的矢量叫做单位矢量。模等于0的矢量叫做零矢量，也记作0或 0。此时可见矢量符号非常重要，如果省略则意义完全改变。由于零矢量的起点与终点重合，所以它的方向可以看作任意的。 现在我们来考虑两个矢量之间的夹角。对于两个矢量a 和b 而 言，我们总是可以通过平移的操作使它们的起点重合，如图2所示。 此时图示的角φ即为两个矢量之间的夹角，并记为?(a ,b )。我们规 定0?≤φ≤180?。当两个矢量方向完全相同时，它们的夹角为0?。 当两个矢量方向完全相反时，它们的夹角为180?。若两个矢量同向 或者反向，我们称这两个矢量平行。若两个矢量间的夹角等于90?， 我们称这两个矢量垂直。图2:矢量a 和b 之间的夹角零矢量是个特殊的矢量。由于零矢量的方向任意，所以零矢量和任意矢量的夹角大小均可以在0?到180?间任意取值。可以认为，零矢量与任意其他向量平行，也可以认为零矢量与任意
§1 矢量的基本知识和运算法则 1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A 矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。 两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。如图5－2所示。两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。 2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。 对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。 10N F 图5－1 A /A /A A /A A /A A = /A A ≠ /A A =- 图5－ 2 C A B A B C += C A B ()A B A B C -=+-= C A B A B C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C D E A B C D E +++= A B C D E B D A C E +++= 图5－4
3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反 如动量() mV 、冲量() F t ??都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。动量的变化量() m V ?也是矢量，其方向与V ?相同。 矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量 1K ，如加速度1 F a F m m = =?，方向与F 相同。 4．矢量A 与矢量B 相乘 一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ?表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。即：cos A B AB θ?=。如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。cos W F S FS θ=?= 另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ?表示，矢量积A B C ?=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。 sin C A B θ=?，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积， 矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。 注意：A B B A ?≠?，A B ?与B A ?大小相等，方向相反。 如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =?，大小为
y 第一章质点运动学主要容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动程 ()r r t =r r 运动程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度向是曲线切线向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动
第2点区分矢量与标量，理解位移与路程 高中阶段的物理量分为两类：一类是有大小、有方向的物理量，称为矢量；另一类是有大小、没有方向的物理量，称为标量．两类物理量在表达、运算、比较等方面都是不同的． 1．矢量和标量 (1)矢量：既有大小又有方向的物理量．如：力、速度、位移等． ①矢量可以用带箭头的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的指向表示矢量的方向． ②同一直线上的矢量，可用正、负表示方向．若矢量与规定的正方向相同，则为正；若矢量与规定的正方向相反，则为负． (2)标量：只有大小没有方向的物理量．如：长度、质量、温度等． ①有些标量也带正、负号，但标量的正、负号与矢量的正、负号意义是不同的，它不表示方向．对于不同的标量，正、负号的意义也是不同的，如：温度的正、负表示比零摄氏度高还是低，电荷量的正、负表示是正电荷还是负电荷． ②标量的运算遵从算术法则． (3)大小比较：①比较两个矢量大小时比较其绝对值即可；②比较两个标量大小时，需比较其代数值． 2．位移和路程 (1)位移：表示质点位置变化的物理量，是由初位置指向末位置的有向线段．线段的长度表示位移的大小，有向线段的指向表示位移的方向． (2)路程：物体运动轨迹的长度，它不表示质点位置的变化． 路程和位移的比较： 路程位移 区 别 描述质点实际运动轨迹的长度描述质点位置的变化 有大小，无方向既有大小，又有方向 与质点的运动路径有关与质点的运动路径无关，只由初、末位置决定 联 系 都是描述质点运动的空间特征 都与一段时间相关，是过程量 一般来说，位移的大小不等于路程，只有质点做单向直线运动时，位移的大小 才等于路程．因此，质点运动过程中的位移大小总是小于或等于路程 对点例题某学生参加课外体育活动，他在一个半径为R的圆形跑道上跑步，从O点沿圆形跑道逆时针方向跑了4.75圈到达A点，求它通过的位移和路程． 思路点拨位移是矢量，求某一过程的位移，既要求出大小，还要标明方向．描述物体在平
第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2-+++=m ⑵ 1=t s,2=t s 时，j i r 5.081-= m ；2114r i j =+m ∴ 213 4.5r r r i j ?=-=+m ⑶0t =s 时，054r i j =-；4t =s 时，41716r i j =+ ∴ 140122035m s 404 r r r i j i j t --?+= ===+??-v ⑷ 1d 3(3)m s d r i t j t -==++?v ，则：437i j =+v 1s m -? (5) 0t =s 时，033i j =+v ；4t =s 时，437i j =+v 24041 m s 44 j a j t --?= ===??v v v (6) 2d 1 m s d a j t -==?v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x =+，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x ===v v v v 得：2 d d (26)d a x x x ==+v v 两边积分 210 d (26)d x x x =+? ?v v v 得：2322 250x x =++v ∴ 1m s -=?v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为θ=2+33t ，式中θ以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2==== ωβθω ⑴ s 2=t 时，2 s m 362181-?=??==βτR a 2 222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a τ?== 即：βωR R =2 ，亦即t t 18)9(2 2=，解得：9 23= t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t θ=+=+? = 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为α=0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2=t 时，4.022.0=?== t αω 1s rad -? 则0.40.40.16R ω==?=v 1s m -? 064.0)4.0(4.022=?==ωR a n 2 s m -? 0.4 0.20.0a R τα==?=2s m -? 22222 s m 102.0)08.0()064.0(-?=+=+= τa a a n 与切向夹角arctan()0.06443n a a τ?==≈?
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的 区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一 直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求 两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量 的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
高中物理：标量和矢量的理解 [探究导入](1)像位移这样的物理量叫作矢量，既有大小又有方向．我们初中物理学习过许多物理量，比如体积、密度、质量、温度、力等，这些物理量中，哪些是矢量？哪些是标量？ 提示：体积、密度、质量和温度这几个物理量只有大小，没有方向，所以都是标量；而力有大小也有方向是矢量． (2)矢量和标量的算法有什么不同？ 提示：两个标量相加遵从算术加法的法则．两个矢量相加满足平行四边形定则(第三章学习)． 1．矢量的表示方法 (1)图示表示：用带箭头的线段表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向． (2)数字表示：先建立坐标系并规定正方向，然后用正负数来表示矢量，“＋”号表示与坐标系规定的正方向一致，“－”号表示与坐标系规定的正方向相反；数字的大小表示矢量的大小． 2．矢量和标量的区别 (1)矢量有方向，标量没有方向． (2)标量的运算法则为算术运算法则，即初中所学的加、减、乘、除等运算方法；矢量的运算法则为以后要学到的平行四边形定则． (3)矢量大小的比较要看其数值的绝对值大小，绝对值大的矢量大，而“－”只代表方向． [典例3](多选)下列关于矢量(位移)和标量(温度)的说法正确的是() A．两个运动的物体位移大小均为20 m，这两个位移一定相同 B．做直线运动的两个物体的位移x甲＝1 m，x乙＝－3 m, 则x甲＜x乙 C．温度计读数有正负，其正号表示温度的方向 D．温度计读数时正的温度一定大于负的温度，正负不能代表方向 [解析]位移是矢量，大小相等，方向不一定相同，所以这两个位移不一定相同，A错；矢量比较大小时，比较绝对值即可，B正确；温度是标量，只有大小，没有方向，正号表示比零摄氏度高，负号表示比零摄氏度低，正的温度一定高于负的温度，C错，D对．[答案]BD