高一数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ?==
?-?，则()R A C B ?=（ ） A. {|12}x x <≤
B. {|13}x x <<
C. {|23}x x ≤<
D.
{|12}x x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
20x ->可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ?即可.
20x ->,得2x >,即(2,)B =+∞, 所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ?=(1,2]. 故选:A
【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
2. 方程31log 3x
x ??= ???
的解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C 【解析】 【分析】
分别作出函数31,log 3x
y y x ??== ???图象,即可根据图象交点个数确定解的个数. 【详解】分别作出函数31,log 3x
y y x ??== ???
图象,
由图可知，有2个交点，所以方程31log 3x
x ??= ???
的
解的个数是2，
故选：C
【点睛】本题考查根据函数图象求方程的根的个数，考查数形结合思想方法，属基础题. 3. 已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b <<
B. b c a <<
C. c a b <<
D.
c b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数2x
y =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】
1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<，
c a b ∴<<．
故选：C ．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f -=-，则
()()20172016f f +=（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 0
D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可． 【详解】
奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，
(0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x -+=+=--，
则(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称， 则(2017)(25281)f f f =?+=（1）(1)(1)1f =--=--=， (2016)(2528)(0)0f f f =?==，
则(2017)(2016)011f f +=+=， 故选D ．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期是解决本题的关键． 5. 若
11
0a b <<，则下列不等式：①a b ab +<；②||||a b >；③a b <；④2b a a b
+>中，正确的不等式是（ ） A. ①④ B. ②③
C. ①②
D. ③④
【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据11
0a b
<<判断出,a b 的关系，然后对四个不等式逐一分析，由此确定正确不等式的序号. 【详解】由于
11
0a b
<<，所以0b a <<，由此可知： ①0a b ab +<<，所以①正确. ②b a >，所以②错误. ③错误.
④由于0b a <<，所以
1b a >
，有基本不等式得2b a a b +>=，所以④正确 综上所述，正确不等式的序号是①④. 故选：A
【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查基本不等式，属于基础题. 6. 已知函数f （x ）=ln （–x 2
–2x +3），则f （x ）的增区间为 A. （–∞，–1） B. （–3，–1） C. [–1，+∞） D. [–1，1）
【答案】B 【解析】
【详解】由2230x x --+>，得31x -<<, 当31x -<<-时，函数2
23y x x =-+单调递增， 函数2
()ln(23)f x x x =--+单调递增； 当11x -<<时，函数2
23y x x =-+单调递减， 函数2
()ln(23)f x x x =--+单调递减, 选B.
点睛：解决对数函数综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 7. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A. 12π B.
32
3
π C. 8π D. 4π
【答案】A 【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为
2
3
，所以正方体的外接球的半径为3
，
所
以
该
球
的
表
面
积
为
4(3)212ππ
?
=，故选A.
【考点】 正方体的性质，球的表面积 【名师点睛】与棱长为a 的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都
相切的球，其半径分别为
3
2
a 、
2
a 和
2
2
a .
8. 函数()()sin 0,
2f x A x A πω????
=+>< ??
?
的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）
A. 向左平移6π
个单位长度 B. 向右平移
6π
个单位长度 C. 向左平移12
π
个单位长度
D. 向右平移12
π
个单位长度
【答案】D 【解析】 【
分析】
先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求?与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πω????
=+>< ??
?
的部分图象， 可得1
1,4
312
4
A T π
π
π
==
-
=
，即T π=，所以2ω=，
再根据五点法作图，可得212
2
π
π
??
+=
，求得3
π
?=
，
故()sin 23f x x π?
?=+ ??
?．
函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位，可得sin[2()]sin(2)1232
y x x πππ
=+
+=+
cos2x =的图象，
则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12
π
个单位长度可得()f x 的图象，
故选D ．
【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ω?=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9. 如图，已知OAB ?，若点C 满足()2,,AC CB OC OA OB R λμλμ==+∈，则1
1
λ
μ
+
=
（ ）
A.
13
B.
23
C.
29
D.
92
【答案】D 【解析】 【分析】
把2AC CB =转为12
33
OC OA OB =+，故可得,λμ的值后可计算11λμ+的值.
【详解】因为2AC CB =，所以()
2OC OA OB OC -=-，整理得到12
33
OC OA OB =+，所以12,33λμ=
=，119
2
λμ+=，选D. 【点睛】一般地，O 为直线l 外一点，若,,A B C 为直线l 上的三个不同的点，那么存在实数λ满足()1OC OA OB λλ=+-；反之，若平面上四个不同的点满足()1OC OA OB λλ=+-，则,,A B C 三点共线.
10. 已知向量a ，b 满足||3a =，||2b =，|2|213+=a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A.
6
π B.
4
π C. 2
3
π D.
3
π 【答案】D 【解析】 【分析】
转化|2|213+=a b ，为222(2)4()4()a b a a b b +=+?+，可得3a b ?=，由
cos ,||||
a b
a b a b ?<>=
即得解.
【详解】222|2|213(2)4()4()52a b a b a a b b +=∴+=+?+= 又22()||9,a a ==22()||4b b
3a b ∴?=
1
cos ,2
||||a b a b a b ?∴<>=
=
,3
a b π
∴<>=
故选：D
【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11. 若1
tan()2αβ-=
，1tan()3
αβ+=，则tan 2β等于（ ） A.
1
7 B.
43
C. 17
-
D. 43
-
【答案】C 【解析】
11tan()tan()132tan2tan[()()]11tan()tan()7
16
αβαββαβαβαβαβ-
+--=+--==
=-++?-+，故选C. 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可. 12. 若实数,x y
满足
xy >，则的最大值为
（ ） A.
22
- B.
22+ C. 422+ D.
42
2
-
【答案】D 【解析】
试题分析：由实数
,x y
满足
xy >，，设
{
2m x y
n x y
=+=+，
解
得
{
2x m n
y n m
=-=-，
则
224
(
2
x
x
y
y
x
y
m
n
m n
+
+
=
-
+
-
=-
，当且仅当
2n
m m n
=
，及
2n m
=时等号成立，所以的最大值为
42
2
-，故选D.
考点：基本不等式的应用.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________． 【答案】
3
π
【解析】 【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角. 【详解】
由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .
∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.
∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝.
又0
【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
14. 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________. 【答案】
43
【解析】 【分析】
正四棱锥P ABCD -中，2AB =，3AP =，设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，求出PO ，由此能求出该正四棱锥的体积.
【详解】解：如图，正四棱锥P ABCD -中，2AB =，3AP =，设正四棱锥的高为PO ，连结AO ， 则1
22
AO AC =
=， 在直角三角形POA 中，22321PO PA AO =
-=-=.
114
41333
P ABCD ABCD V S PO -∴=??=??=.
故答案为：
43
.
【点睛】本题考查正四棱锥的体积的求法，考查数据处理能力，运算求解能力，属于中档题.
15. 不等式
2
21
x x -≥-的解集是________. 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】
移项后通分，再转化为一元二次不等式来求解，注意分母不为零. 【详解】原不等式可化为
2
201x x --≥-即01x x ≤-，所以()1010
x x x ?-≤?-≠?， 故01x ≤<，所以原不等式的解集为[0,1). 故答案
：[0,1).
【点睛】本题考查分式不等式的解集， 此类不等式常利用符号法则转化为一元二次不等式来求解，转化时注意分母不为零，本题属于基础题.
16. 若关于x 的方程4(3)210x
x
a -++=有实数解，则实数a 的取值范围是________
【答案】1a ≥- 【解析】 【分析】
先由原方程得到413222
-++==+x x x
x
a ，由基本不等式求出22x x -+的最小值，根据题意得到(
)
min
322
-≥++x x
a ，进而可求出结果.
【详解】因为4(3)210x
x
a -++=可化为413222
-++==+x x x
x
a ，
又222-+≥=x x ，
当且仅当22-=x x ，即0x =时，取等号； 又关于x 的方程4(3)210x
x
a -++=有实数解，
所以只需(
)
min
3222-+≥+=x x
a ，
解得：1a ≥-. 故答案为1a ≥-
【点睛】本题主要考查根据方程有实根求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，会根据
基本不等式求最值即可，属于常考题型. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知()35
0,0,cos ,cos 2
2513
π
π
αβαβα<<
<<
=+=． （1）求sin β的值；
（2）求2sin2cos cos2α
αα
+的值．
【答案】（1）16
65
（2）12
【解析】
【详解】试题分析：
(1)利用题意可知()βαβα=+- ，结合两角和差正余弦公式可得16sin 65
β= ． (2)利用二倍角公式结合题意整理计算可得三角函数式的值为12. 试题解析：
（1）由()35
0,0,cos ,cos 22513π
π
αβαβα<<
<<
=+=
所以()412
sin ,sin 513
αβα=+=．
()()()sin sin sin cos cos sin ββααβααβαα??=+-=+-+?? 则1235416sin 13513565
β=
?-?= （2）因为35=cos α，4
sin 5
α=．
所以2222243
2sin22sin cos 5512cos cos22cos sin 34255ααααααα??
==
=+-????- ? ?????
． 18. 已知关于x 的不等式2
260,(0)kx x k k -+<≠ （1）若不等式的解集是{}
|32x x x <->-或，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围； （3）若不等式的解集为?，求k 的取值范围． 【答案】（1）25k =-
（2
）6k <-（3
）6
k ≥
【解析】
【
分析】
(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k 的值； (2)跟据题意2
4240,0k k ?=-<<解得即可, (3)根据题意,得0?≤且0k >,由此求出k 的取值范围
【详解】(1)∵不等式2
260,(0)kx x k k -+<≠的解集是{}
|32x x x <->-或,
∴k 0<且-3和-2是方程2260kx x k -+=的实数根,
由根与系数的关系,得2(3)(2)k
-+-=
,所以25k =-
；
(2)不等式的解集是R ,所以24240,0k k ?=-<<,解得6
k <-
(3)
不等式的解集为?,得2
4240,0k k ?=-≤>,解得k ≥ 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目．
19. 已知函数2
()2sin 24f x x x π??
=+- ??
?，,42x ππ??
∈????
. （1）求()f x 的值域；
（2）若不等式|()|2f x m -<在,42x ππ??∈????
上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[2,3]；（2）(1,4). 【解析】 【分析】
（1）先根据二倍角余弦公式以及辅助角公式化简函数解析式,再根据正弦函数性质求值域；（2）先根据绝对值定义化简不等式,再根据函数最值得结果. 【详解】（1）∵2
()2sin 24f x x x π??
=+
??
?
1cos 21sin 212sin 223x x x x x ππ?????
?=-+-=+=+- ? ????????
?，
又∵,42x ππ??∈?
???
， ∴
226
3
3x π
π
π≤-
≤
，即212sin 233π?
?≤+-≤ ??
?x ，∴()[2,3]f x ∈；
（2）由|()|2f x m -<恒成立，可得()2()2-<<+f x m f x 恒成立，
又∵,42x ππ??
∈????
，∴max ()2m f x >-且min ()2m f x <+，结合（1）知， ∴14m <<，即m 的取值范围是(1,4).
【点睛】本题考查二倍角余弦公式、辅助角公式、正弦函数性质、不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属中档题.
20. 已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足()2
2a bc b c -=-． （1）求角A 的大小；
（2）若a=3，sinc=2sinB ，求ABC 的面积．
【答案】（1）3
A π
=；（2）
2
【解析】 【分析】
(1)由()2
2a bc b c -=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得1
cos 2
A =
，结合范围()0,A π∈，即可求得A 的值；(2)由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，又,3
3a A π
==，
由余弦定理可解得,b c 的值，利用三角形面积公式即可得结果. 【详解】（1）∵()2
2b c =a bc --，可得：222b c a =bc +-，
∴由余弦定理可得：222b c a 1cos 222
bc A bc abc +-===，
又∵()0,A π∈，∴3
A π
=
（2）由sin =2sin C B 及正弦定理可得：c=2b ， ∵a=3，3
A π
=
，
∴由余弦定理可得：222222a =b c 2bccos =b c bc=3b A +-+-，
∴解得：
∴11bcsin =22ABC
S
A =
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 21. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，
且()210100040
10000
501450040x x x C x x x x ?+<
=?+-≥?
?
，，．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2018年的利润L （x ）（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．
【答案】（1）()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ?-+-<
=??
?-+≥ ?????
；（2）生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元． 【解析】 【分析】
（1）根据利润的定义，结合投入成本是分段函数，分类讨论求得利润函数.
（2）根据第一问利润函数，分040x <<和40x ≥两种情况进行分类讨论，当040x <<时
2()10(20)1500L x x =--+，用二次函数法求最值，当40x ≥时10000
()2000()=-+
L x x x
，用基本不等式法求最值，然后这两段中取最大的为函数的最大值即最大利润，此时x 的取值为最大利润时的产量. 【详解】（1）当040x <<时，
()225100101002500104002500L x x x x x x =?---=-+-；
当40x ≥时，1000010000
()5100501450025002000()L x x x x x x
=?--
+-=-+； ∴()2104002500,040
100002000,40x x x L x x x x ?-+-<
=??
?-+≥ ?????
． （2）当040x <<时，2
()10(20)1500L x x =--+， ∴当20x
时，()()201500max L x L ==；
当40x ≥
时，10000()2000()200020002001800L x x x =-+≤-=-=， 当且仅当10000
x x
=
，即100x =时，()()10018001500max L x L ==>； ∴当100x =时，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元． 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于难题. 22. 已知函数()1(0,1)x
x t
f x a a a a
-=+
>≠是定义域为R 的奇函数. （1）求实数t 的值；
（2）若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若()312f =
且()()2212x
x h x a mf x a
=+-在 [1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值. 【答案】（1）2t =（2）(3,5)-（3）2m = 【解析】 【分析】
（1）根据奇函数定义确定()00f =，代入可得实数t 的值，再利用定义证明2t =时，函数为
奇函数，（2）先研究函数单调性：为R 上的单调递增函数，再利用奇函数和单调性转化不等式()()()
()2
2
2
4044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->?+>-?+>-，最后再根据一元
二次不等式恒成立，利用判别式恒负求实数b 的取值范围；（3）先根据条件()3
12
f =，解出a 的值.再根据2212
2x
x
+
与122x
x -的关系，将函数()h x 转化为一元二次函数，根据对称轴与
定义区间位置关系讨论最小值取法，最后由最小值为2-，求出m 的值.
【详解】（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =， 所以()110t +-=，所以2t =， （2）由（1）知：()1
(0,1)x
x
f x a a a a =-
>≠， 因为()10f >，所以1
0a a
->，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以()1
x
x f x a a
=-
是R 上的单调递增， 又()f x 是定义域为R 的奇函数，
所以()
()()
()2
2
2
4044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->?+>-?+>-
即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以()2
1160b ?=--<，即35b -<<，
所以实数b 的取值范围为()3,5-. （3）因为()3
12f =
，所以132a a -=，解得2a =或12
a =-（舍去）， 所以()2
22111122222222222x
x x x x x x x h x m m ??????=+--=---+ ? ? ??????
?， 令()122x
x
u f x ==-
，则()2
22g u u mu =-+， 因为()122x
x f x =-在R 上为增函数，且1≥x ，所以()312
u f ≥=，
因为()()221
2
22x
x
h x mf x =+
-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()2
22g u u mu =-+在3,2
??+∞????
上的最小值为2-，
因为()()2
22222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32
m ≥
时， ()()2
min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去）， 当3
2m <
时， ()min 3173224g u g m ??==
-=- ???
，解得253122m =>， 综上可知：2m =.
【点睛】函数单调性的常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为
()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，
此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内；（4）求参数的取值范围或值.