2012年浙江大学819数学分析考研真题
浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：数学分析（A ）（819）
考生注意：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（15分) 设n 为正整数，121()(1)cos ,n n f x t xtdt x R -=-∈?.
证明：
212()2(21)()4(1)(),2n n n x f x n n f x n n f x n --=---≥.
二、（15分) 设f 在
[]0,1上连续，且对任意[],0,1x y ∈有： ()()()22x y f x f y f ++≤. 证明：
101()()2f x dx f ≥?.
三、（20分) 设实数
,1λλ<，求0()ln(1cos )f x dx πλλ=+?.
四、（20分) 设函数:,(0)i f R R a i +→≥为实数，且对充分大的x ，有 10()n n a a f x a x x =++++
证明：1
()n f n ∞=∑收敛的充要条件是
010a a ==. 五、（20分) 如果任意0ε>，存在N ，当,n m N >时，有m n x x ε-<，则称数列{}n x 为
cauchy 数列.证明：函数f 在有界区间A 上一致连续的充要条件是对A 中任意cauchy 数列{}n x ，数列{}()n f x 为cauchy 数列.
六、（30分) 设()f x 在0x =的邻域内有连续的一阶导数，且
(0)0,(0)1f f '''==.
求()30()ln(1)lim x f x f x x →-+.
七、（30分) 设实数4λ>-，数列{}n x 满足2111,,122n n x x x x n λ
+==+≥. 试讨论数列
{}n x 的收敛性.