一、填空题（每小题2分）
1、复数i 212--的指数形式是
2、函数w =
z
1将Z S 上的曲线()1122
=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是
3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i
i +1=
5、积分()?+--+i
dz z 22
22=
6、积分
?==1sin 21z dz z
z
i π
7、幂级数()∑∞
=+0
1n n n
z i 的收敛半径R=
8、0=z 是函数
z e z
1
1
1--的 奇点 9、=???
?
??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ）
A 无意义
B 等于1
C 是复数其实部等于1
D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ）
A i i 2<
B 零的辐角是零
C 仅存在一个数z,使得
z z -=1 D iz z i
=1
3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛
D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ）
A
i 2321- B 2
23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ）
A z
1sin 1
B z 1cos
C z ctg e 1
D Lnz
6、下列积分之值不等于0的是( ) A
?
=-1
2
3z z dz B
?
=-1
2
1z z dz C
?=++1242z z z dz
D ?=1
cos z z dz
7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ）
A ()∑∞
=+-02121n n n
n z （z <1） B ()∑∞
=+-0
1221n n n n z
（z <1）
C ()∑∞
=++-012121n n n
n z （z <1） D ()∑∞=-0
221n n n n z
（z <1）
8、幂级数n n n z 20
1)1(∑∞
=+-在1 A 211z - B 211z + C 112-z D 2 11z +- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则() =-?dz i a z z C 2 cos （ ） A 0 B e π 2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1 A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）对任何复数z,2 2z z =成立 2、（ ）若a 是()z f 和()z g 的一个奇点,则a 也是()()z g z f +的奇点 3、（ ）方程01237=+-z z 的根全在圆环21< 4、（ ）z=∞是函数()= z f () 2 5 1z z -的三阶极点 5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分） 1、已知())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值 2、计算积分? =--22 )1(2 5z dz z z z 3、将函数()1 1 +-= z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围 4、计算实积分I=?∞+++0 2 22 ) 4)(1(dx x x x 5、求2 11 )(z z f += 在指定圆环+∞<-z 共形映射成单位圆1 ()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L 五、证明题（每小题7分） 1、设（1）函数)(z f 在区域D 内解析 （2）在某一点D z ∈0有0)(0)(=z f n ，（Λ,2,1=n ） 证明：)(z f 在D 内必为常数 2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1 1 i e π6 54-， 2 2 1 = u ， 3 (2k+1)i π,(k=0,Λ2,1±±)， 4 ?? ? ??+-ππk i e e 242 ln (k=0,Λ2,1±±) 5 3i -, 6 0 , 7 2 1 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1- 二 单选题（每小题2分，共20分） 1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分） 1? 2 ? 3 ∨ 4 ∨ 5 ? 四 计算题（每小题6分，共36分） 1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3Λ分 y x v u = y dx ay x 22+=+ x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分 解得:1,2-====c b d a 6Λ分 2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0 及二阶极点z=1 2Λ分 2)1(2 5)(Re 0 2 -=--= ==z z z z z f s 22 25)(Re 1 2 1 1== ' ?? ? ??-====z z z z z z z f s 分5Λ ? =--22 )1(2 5z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6Λ分 3 解：()1 1 +-= z z z f = ()n n n z z z 12112 11111 2 10-??? ??--=-+-=+- ∑∞ = …4分 （1-z <2） …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个 一阶极点i,2i …1分 I=?∞+∞-++dx x x x ) 4)(1(21222 …2分 =[ ])(Re )(Re 221 2z sf z f s i i z i z ==+π …3分 =]i z i z i z z z z i z z i 22 2 2 2 ) 2)(1()4)((==+++???++π …5分 = 6 π …6分 5 解：) )((1 )(i z i z z f +-= …1分 = i z i i z -+ -211)(12 …3分 = ∑∞ =---0 2 )()2()1()(1 n n n n i z i i z +∞<- i z i z +- 2Λ分 2 )(2i z i k w +=' …3分 0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 i z i z i w +-= …6分 五 证明题（每小题7分，共14分） 1 证明:设)(:0D k R z z k ?<- )(z f Θ在0z 解析 由泰勒定理 ∑ ∞ =-=000) ()(! ) ()(n n n z z n z f z f )(D k z ?∈ …2分 由题设 0)(0)(=z f n ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ?∈ …4分 由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ? 2Λ分 (1）()z f 及()z ?在1≤z 解析 (2）1=z 上，()55==n z z f ()1111+=+≤+≤+=e e e e z z z z ?<5 4Λ分 故在1=z 上()()z z f ?>，由儒歇定理在1=z 内 ()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(? …7分 一、填空题（每小题2分） 1、()() 32 3sin 3cos 5sin 5cos ????i i -+的指数形式是 2、i i = 3、若0 ==+r z dz z 1ln 4、若v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是 5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，则m = 6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()?? ? ???'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞ =0! n n n z 的收敛半径R= 8、0=z 是函数z z 1 sin 5的 奇点 9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、若函数()z f 在区域D 内解析，则函数()z f 在区域D 内（ ） A 在有限个点可导 B 存在任意阶导数 C 在无穷多个点可导 D 存在有限个点不可导 2、使2 2z z =成立的复数是（ ） A 不存在 B 唯一的 C 纯虚数 D 实数 3、? ==-22 )1(cos z dz z z （ ） A －i πsin1 B i πsin1 C －2i πsin1 D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是（ ） A 2 23i - B 223i -- C i D i - 5、π=z 是 π -z z sin 的（ ） A 可去奇点 B 一阶极点 C 一阶零点 D 本质奇点 6、函数()()() 411 ++= z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式 有m 个，则m=( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7、下列函数是解析函数的为（ ） A xyi y x 222-- B xyi x +2 C )2()1(222x x y i y x +-+- D 33iy x + 8、在下列函数中，()0Re 0 ==z f s z 的是（ ） A ()21z e z f z -= B ()z z z z f 1 sin -= C ()z z z z f cos sin += D ()z e z f z 1 11--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，则() =-?dz i a z z C 2 cos （ ） A 0 B e π 2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1 A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β C )1(>--=a a z a z e w i β D )1(<--=a a z a z e w i β 三、判断题（每小题2分） 1、（ ）幂级数∑∞ =0n n z 在z <1内一致收敛 2、（ ）z=∞是函数 2 cos 1z z -的可去奇点 3、（ ）在柯西积分公式中，如果D a ?，即a 在D 之外，其它条件 不变，则积分 ()=-?dz a z z f i C π210，()D z ∈ 4、（ ）函数()=z f z ctg e 1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数 5、（ ）解析函数的零点是孤立的 四、计算题（每小题6分） 1、计算积分() ?+-C dz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段 2、求函数()()() 2 11+-=z z z z f 在所有孤立奇点（包括∞）处的留数 3、将函数()i z i z z f -- +=1 1在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分() ? +C z z dz 1 2 2 , C:122 2+=+y y x ， 5、计算实积分I=? +π θ θ 20 cos a d )1(>a 6、求将单位圆1 使符合条件021=?? ? ??L ，()11-=L 五、证明题（每小题7分） 1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析 2、证明：在0=z 解析，且满足的n n f 21121= ??? ??-，n n f 21 21=??? ??（Λ2,1=n ）的函数()z f 不存在 一填空题（每小题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分） 1 ? 19i e ，2 ππ k e 22 --(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 9 6 n - ， 7 ∞+ ， 8 本质， 9 21< - 二 单选题（每小题2分，共20分） 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 6 C 7 C 8 D 9 A 10 A 三 判断题（每小题2分，共10分） 1? 2 ? 3 ∨ 4 ? 5 ? 四 计算题（每小题6分，共36分） 1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3Λ分 () ?+-C dz ix y x 2 ＝()?+-1 21dt it t =3 21i +- 6Λ分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1Λ分 1-=z 为()z f 二阶极点 2Λ分 ()41 1Re 1 1 -=' ??? ??-=-=-=z z z z z f s 3Λ分 ()()4 1 1Re 1 2 1 = += ==z z z z z f s 5Λ分 ()0Re =∞ =z f s z …6分 3 解：()i z i z z f -- +=11=? ????? ? ?-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()() 10211+∞ =--+--∑n n n n i i z i z …5分 （0 一个一阶极点i z = …1分 ()011Re 0 20=' ?? ? ??+===z z z z f s …3分 ()i i z z z f s i z i z 21 ) (1 Re 2- =+= == …5分 所以原式＝π2i π-=??? ? ? -i 210 …6分 5 解：令θi e z = iz dz z z a I z ? =-++ =112 1 …1分 = [][] ?=-----+--122) 1()1(2z a a z a a z dz i …3分 被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z 121)(Re 2 1 2-= -+-=a z f s a a z …5分 I=1 21 21 2222-= -a a i i ππ …6分 6解：221 2 112121-- =-- =??? ??=z z k z z k L w 2Λ分 ()12 1212111-=-=-- =k k L 所以2=k 4Λ分 于是所求变换 2 122212 --=-- =z z z z w 6Λ分 五 证明题（每小题7分，共14分） 1 证明： 设f(z)=u （x ，y ）+iv （x ，y ） )(z f = u （x ，y ）-iv （x ，y ） )(z f i = v （x ，y ）-i u （x ，y ） 2Λ分 f （z ）在D 内解析，x y y x v u v u -==, )(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4Λ分 比较f （z ）的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程 且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7Λ分 2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在 且满足n n f 21121= ??? ??-，n n f 21 21=?? ? ??（Λ2,1=n ） 2Λ分 Θ点列? ?????n 21=n 21 以0=z 为聚点 在点列??????n 21上,n n f 21 21=?? ? ?? 由解析函数的唯一性定理 在0=z 的邻域内()z f =z 5Λ分 但在这个邻域内又有n n f 21121= ?? ? ??-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7Λ分
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