数学建模——工厂生产计划模型
学院：数学与统计学院
专业：信息与计算科学
教师：郑小洋
姓名：杨秋燕
学号：11001010128
摘要
本文以工厂所获得的总收益为研究对象，采用了线性规划的分析方法，通过求解不同产品的生产计划以及按计划生产所获得的利润，解决了工厂为达到最大总收益的产品生产计划问题。
在问题一的求解过程中，以每月每种产品的销售量和生产量为自变量，以工厂所获得的收益为目标函数，结合各种约束条件，建立了一个动态规划方程组，将各月份各种产品生产的最佳配置转化为动态规划方程组的求解问题，得到了最大收益为6.9256万元。
问题二在问题一的基础上考虑了市场价格的变化及引入新机床两个因素，为使模型简化，首先考虑市场价格的变化对计划和收益的影响。然后假定市场价格不变，利用Lingo 软件，模拟出引入新机床对计划和收益的影响。它是问题一的拓展，通过更改约束方程，利用模型一的计算程序，从而得到拓展模型的最优解。
关键字：总收益销售量生产量动态规划
一、问题重述
某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：
收益10 6 8 4 11 9 3
磨0.5 0.70 0 0 0.3 0.2 0.5
垂直钻孔0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0
水平钻孔0.2 0 0.8 0 0 0 0.6
镗孔0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08
刨0 0 0.01 0 0.05 0 0.05
一月磨床一台
二月卧式钻床2台
三月镗床一台
四月立式钻床一台
五月磨床一台，立式钻床一台,上台下
六月刨床一台，卧式钻床一台
各种产品各月份的市场容量如下表：
一月500 1000 300 300 800 200 100
二月600 500 200 0 400 300 150
三月300 600 0 0 500 400 100
四月200 300 400 500 200 0 100
五月0 100 500 100 1000 300 0
六月500 500 100 300 1100 500 60
有存货50件。工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。不需要考虑排队等待加工的问题。
1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？（考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。注意，可假设每月仅有24个工作日。）
2、在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题( I )那样规定的月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月6中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？
二、模型假设
1. 机器除维修时期外，其他时间均能正常工作，
2. 不需要考虑排队等待加工的问题，
3. 产品在储存过程中不发生质量问题，
4.该工厂生产的产品除存货外，在不超过市场容量的情况下均能售出，
5.市场价格的变化对产品原料和销售价格均有影响.
三、模型分析及建立模型
1、符号说明
2、模型的分析
2．1需解决的问题
按照题意，需要解决的问题是给出一个优化的产品加工方案，方案应包括每月每种机床的加工各种产品的数量，以使得工厂所获得的收益最大。
2.2达到的目标
工厂的目标是获得最大利润，对于本题，产品生产的利润等于产品的收益乘以产品的
符号 意义
k A k 种设备的总数量
kj A 第k 种设备第j 个月的可用数量
i B 第i 种产品的单件收益 ij B 第j 个月第i 种产品的单件收益 ij P 第j 个月第i 种产品的生产量 ij L 第j 个月第i 种产品的存储量
ik T 第k 种设备生产每个i 产品的用时 ij V 第j 个月第i 种产品的市场容量 ij S 第j 个月第i 种产品的销售量 kj N 第k 个设备第j 月能用的数量
数量减去库存产品的存储费用。本题要达到的目标就是通过建立数学模型寻求收益的最大化。
2.3约束条件
由于利润等于产品的总收益减去库存产品的存储费用，就是说影响利润有产品的数量、库存产品的存储费用量两个因素，利用其约束条件将转化为求解动态规划方程组的问题，现分别对它的约束条件作如下分析。 （1）机床每月可工作时间的约束.
工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时，所以每台机器每月（按30 计算）最多可以工作441小时，即满足
7
1
411ik
ij kj i T
P N =?≤?∑；
（2）各种产品销售量的约束.
每种产品每月的销售量由市场容量及该种产品的存货量决定，题中已给出各种产品各月份的市场容量表及最大存货量100件，故销售量应小于等于市场容量与存储量之和即
100ij
L
≤；
(1)()ij i j ij S L P -≤+；
（3）六月份每种产品的存货应为50件.
6
50i L
=；
（4）机床停工维修时间的限制.
由于每个月份都有机床停工维修（见题表），经分析，当该种机器处于维修状态时，其可用台数k N 会减少从而影响各种产品的生产数量，进而影响总的销售额。
3、模型的建立与求解
3.1工厂合理安排各月份各种产品的生产使收益最大的模型 3.1.1模型的建立 （1）目标函数
题目的目标是寻求利润的最大化，而利润Y 为六个月的收益的和,即
∑==
6
1
j
j Y
Y ；
每月总收益j Y 由各品种产品的收益之和,即
ij 7
1
i j S B
Y i
?=
∑= ；
库存产品的存储费用为j 0.5L 可表示为
7
j 1
0.50.5ij i L L ==∑ ；
目标函数可表示为
max 6
7
1
7
j i 1
1
i 0.5()i ij j i B S L ===?-∑∑∑；
化简得
max
7
ij i 6
1
1(0.5)i
ij j L B
S ==?-∑∑ ；
(2) 约束条件
由以上分析可得到如下约束条件
7
1
411ik
ij kj i T
P N =?≤?∑.
ij ij S V ≤.
(1)()ij i j ij S
L P -≤+. 100ij
L
≤.
；
6
50i L
=.
(1).ij i j ij ij L L P S -=+-
00i L =
目标函数与约束条件的优化模型即为问题一的模型。 3.1.2模型的求解
我们根据建立的线性规划模型，通过lingo 软件编程（程序见附录1），得到了工 产品加工计划的最大值为6.9256万元。具体的生产安排计划见表1
表1 问题一的产品加工计划
3.1.3结果分析：
加工计划与当月能用的机床、市场容量、加工产品的时间及加工产品的单项收益有关，尽量在前期避免生产量大于销售量，不然会增加存储费用从而增加成本，尽量增大单项收益高、加工时间短的产品的生产量 3.2问题二的模型建立与求解
3.2.1、该问研究市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。为简化模型，我们先分析市场价格对计划和收益的影响，然后在此基础上，由小到大逐个增加五种机床的引进数量并分析总收益的变化趋势来反映其对引入新机床对计划和收益的影响。
市场价格对单个产品的售价和原材料成本均有影响，不妨假设，单个产品的收益月减少率为x ，则第j 个月单个产品的利润 ij B =1i B ·1
(1)
j x -- ；
其中1i B 为第1个月第i 个产品单件的收益。故可以建立总收益的目标
7
ij i 1
6
10.5)(i j i
j Y m L B
a S x ==?=-∑∑ ；
其它约束条件均不变。
当x 从0.01每次逐渐增加0.02时，利用lingo 软件（程序见附录2），得到对应每个x 值时的最大总收益，如下表2所示 表2不同x 值时的最大总收益
用EXCEL软件绘图，得到图1：
图1：最大收益率与市场价格与增长率的关系
从表中可以发现，最大总收益随x的增大而基本呈线性的减小，且总收益为正。
接着考虑市场价格不变，即单项产品收益不变时引入新机床对计划和收益的影响，因为磨床加工耗时比较长，所以考虑磨床的引进对总收益的影响。如首先讨论磨床的数量由4逐次增加至8的过程中，总收益Y的变化趋势来衡量引入磨床对总收益的影响。用lingo 软件进行求解（程序见附录3），分析结果发现引进磨床没有对总收益产生影响，总收益仍为69256元。再进行研究，发现引进立式钻床、卧式钻床对总收益也无影响。但当单独引进一台镗床时总收益变为80425元，比原来增加了11169元。当单独引进一台刨床时，总收益变为81786元，较原来增加了12530元。当引进一台镗床和一台刨床时，总收益为92955元，较原来增加了23699元。总收益共这四种结果，在引进机床无影响。
从引进机床的结果可以看出，原题中的机床维修对总收益并无很大影响。原因可能是总收益还受到市场容量以及存储量的限制，所以多引进机床并不能多生产。而引进镗床和刨床则会使生产方案发生变化，因为原有的这两台机床就很少，而且在某一月中还要进行维修。
3.2.2（1）模型的改进
由于机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修，对各种产品每月的加工数量的限制改变了。针对这个情况，对于问题三的模型，仍采用问题一的模型，只不过对约束条件进行了修改。
目标方程
max
7
ij
i
6
1
1
(0.5)
i ij
j
L
B S
=
=
?-
∑∑；
（2）约束条件
由以上分析，可得到如下约束条件
6
7
1
111
411(62)i ij j i T
P A ==?≤-∑∑.
6
7
11
411(66),ik
ij k j i T
P A ==?≤-∑∑ 2 5.k ≤≤
ij ij S V ≤.
(1)()ij i j ij S L P -≤+. 。 100ij
L
≤.
6
50i L
=.
(1).ij i j ij ij L L P S -=+-
00i L =
四、模型优缺点分析
1、模型的优点
1.在模型求解的时候，利用了专门求解规划问题的lingo 数学软件，求解速度很快，而且结果准确；
2.在模型的改进中，采用了动态规划模型，考虑不同变量之间的关系，求解全局最优解。
3.对工厂的最大总收益进行了研究分析，认为增加一台镗床和一台刨床更能提高最大总收益。 2、模型的缺点
1. 在题目中，我们没有考虑产品每天的存储费用，只是简单地把存储费用看作是月底的存储量与存储价格的积，这样不太全面，有失偏差；
2. 模型较为单一，并且没有用很好的检验方法来检验最大收益值。
五、模型推广
本模型是一个典型的线性规划模型，用来求解最大或最小目标函数值问题。此类问题很多，也有很多的推广应用价值。优化问题可以说是人们应用科学、工程设计、商业贸易等领域中最常遇到的一类问题。
这种用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型。虽然由于建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，模型的建立与求解并不需要耗费太多时间。如果在建模的基础上再赋予其现实意义，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。
六、参考文献
[1].袁新生邵大宏等《LINGO和excel在数学建模中的应用》科学出版社 2007年1
月出版
[2]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月.
[3]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材（三），湖南教育出版社，1998年5月.
七、附录
附录1.问题一中的程序代码
model:
sets:
m/1..6/:； !定义月份下标集；
k/1..7/:g； !定义产品种类；
b/1..5/:； !定义机床种类；
vol(m,k):v,p,l,s； !定义容量矩阵v,生产方案矩阵p,储存矩阵l和销售矩阵s；
time(b,k):t； !定义时间矩阵t；
endsets
data:
v=500 1000 300 300 800 200 100
600 500 200 0 400 300 150
300 600 0 0 500 400 100
200 300 400 500 200 0 100
0 100 500 100 1000 300 0
500 500 100 300 1100 500 60；
g=10 6 8 4 11 9 3；
t=0.5 0.7 0 0 0.3 0.2 0.5
0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0
0.2 0 0.8 0 0 0 0.6
0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08
0 0 0.1 0 0.05 0 0.05；
enddata
max=@sum(m(i):@sum(k(j):g(j)*s(i,j))-0.5*@sum(k(j):l(i,j)))； !目标函数；
@for(k(j):t(1,j)*p(1,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(1,j)*p(2,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(1,j)*p(3,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(1,j)*p(4,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(1,j)*p(5,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(1,j)*p(6,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(2,j)*p(1,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(2,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(3,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(4,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(2,j)*p(5,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(2,j)*p(6,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(3,j)*p(1,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(2,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(3,j)*p(3,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(4,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(5,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(6,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(4,j)*p(1,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(2,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(3,j)<=411*0)；
@for(k(j):t(4,j)*p(4,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(5,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(6,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(1,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(2,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(3,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(4,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(5,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(6,j)<=411*0)；
@for(k(j):s(1,j)-v(1,j)<=0)；
@for(k(j):s(2,j)-v(2,j)<=0)；
@for(k(j):s(3,j)-v(3,j)<=0)；
@for(k(j):s(4,j)-v(4,j)<=0)；
@for(k(j):s(5,j)-v(5,j)<=0)；
@for(k(j):s(6,j)-v(6,j)<=0)；
@for(k(j):s(1,j)-p(1,j)<=0)；
@for(k(j):s(2,j)-l(1,j)-p(2,j)<=0)；
@for(k(j):s(3,j)-l(2,j)-p(3,j)<=0)；
@for(k(j):s(4,j)-l(3,j)-p(4,j)<=0)；
@for(k(j):s(5,j)-l(4,j)-p(5,j)<=0)；
@for(k(j):s(6,j)-l(5,j)-p(6,j)<=0)；
@for(k(j):l(1,j)<=100)；
@for(k(j):l(2,j)<=100)；
@for(k(j):l(3,j)<=100)；
@for(k(j):l(4,j)<=100)；
@for(k(j):l(5,j)<=100)；
@for(k(j):l(6,j)=50)；
@for(k(j):l(1,j)-p(1,j)-s(1,j)=0)；
@for(k(j):l(2,j)-l(1,j)+p(2,j)-s(2,j)=0)；@for(k(j):l(3,j)-l(2,j)+p(3,j)-s(3,j)=0)；@for(k(j):l(4,j)-l(3,j)+p(4,j)-s(4,j)=0)；@for(k(j):l(5,j)-l(4,j)+p(5,j)-s(5,j)=0)；@for(k(j):l(6,j)-l(5,j)+p(6,j)-s(6,j)=0)；@for(vol(i,j):@gin(p(i,j)))；
@for(vol(i,j):@gin(s(i,j)))；
@for(vol(i,j):@gin(l(i,j)))；
@for(vol(i,j):@gin(v(i,j)))；
end
附录2.问题二中当x值变化时的Lingo程序代码
model:
sets:
m/1..6/:； !定义月份下标集；
k/1..7/:f,g； !定义产品种类；
b/1..5/:； !定义机床种类；
vol(m,k):v,p,l,s； !定义容量矩阵v,生产方案矩阵p,储存矩阵l和销售矩阵s；
time(b,k):t； !定义时间矩阵t；
endsets
data:
v=500 1000 300 300 800 200 100
600 500 200 0 400 300 150
300 600 0 0 500 400 100
200 300 400 500 200 0 100
0 100 500 100 1000 300 0
500 500 100 300 1100 500 60；
f=10 6 8 4 11 9 3；
t=0.5 0.7 0 0 0.3 0.2 0.5
0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0
0.2 0 0.8 0 0 0 0.6
0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08
0 0 0.1 0 0.05 0 0.05；
enddata
max=@sum(m(i):@sum(k(j):g(j)*s(i,j))-0.5*@sum(k(j):l(i,j)))； !目标函数；@for(k(j):g(j)-f(j)*(1-x)=0)；
x=0.01； !值每次递加0.02，直到0.19；
@for(k(j):t(1,j)*p(1,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(1,j)*p(2,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(1,j)*p(3,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(1,j)*p(4,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(1,j)*p(5,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(1,j)*p(6,j)<=411*4)；
@for(k(j):t(2,j)*p(1,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(2,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(3,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(4,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(2,j)*p(5,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(2,j)*p(6,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(3,j)*p(1,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(2,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(3,j)*p(3,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(4,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(5,j)<=411*3)；
@for(k(j):t(3,j)*p(6,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(4,j)*p(1,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(2,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(3,j)<=411*0)；
@for(k(j):t(4,j)*p(4,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(5,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(4,j)*p(6,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(1,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(2,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(3,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(4,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(5,j)<=411*1)；
@for(k(j):t(5,j)*p(6,j)<=411*0)；
@for(k(j):s(1,j)-v(1,j)<=0)；
@for(k(j):s(2,j)-v(2,j)<=0)；
@for(k(j):s(3,j)-v(3,j)<=0)；
@for(k(j):s(4,j)-v(4,j)<=0)；
@for(k(j):s(5,j)-v(5,j)<=0)；
@for(k(j):s(6,j)-v(6,j)<=0)；
@for(k(j):s(1,j)-p(1,j)<=0)；
@for(k(j):s(2,j)-l(1,j)-p(2,j)<=0)；
@for(k(j):s(3,j)-l(2,j)-p(3,j)<=0)；
@for(k(j):s(4,j)-l(3,j)-p(4,j)<=0)；
@for(k(j):s(5,j)-l(4,j)-p(5,j)<=0)；
@for(k(j):s(6,j)-l(5,j)-p(6,j)<=0)；
@for(k(j):l(1,j)<=100)；
@for(k(j):l(2,j)<=100)；
@for(k(j):l(3,j)<=100)；
@for(k(j):l(4,j)<=100)；
@for(k(j):l(5,j)<=100)；
@for(k(j):l(6,j)=50)；
@for(k(j):l(1,j)-p(1,j)-s(1,j)=0)；
@for(k(j):l(2,j)-l(1,j)+p(2,j)-s(2,j)=0)；@for(k(j):l(3,j)-l(2,j)+p(3,j)-s(3,j)=0)；@for(k(j):l(4,j)-l(3,j)+p(4,j)-s(4,j)=0)；@for(k(j):l(5,j)-l(4,j)+p(5,j)-s(5,j)=0)；@for(k(j):l(6,j)-l(5,j)+p(6,j)-s(6,j)=0)；@for(vol(i,j):@gin(p(i,j)))；
@for(vol(i,j):@gin(s(i,j)))；
@for(vol(i,j):@gin(l(i,j)))；
@for(vol(i,j):@gin(v(i,j)))；
end
附录3.问题二中引进磨床时的程序代码
model:
sets:
m/1..6/:； !定义月份下标集；
k/1..7/:g； !定义产品种类；
b/1..5/:； !定义机床种类；
vol(m,k):v,p,l,s； !定义容量矩阵v,生产方案矩阵p,储存矩阵l和销售矩阵s；
time(b,k):t； !定义时间矩阵t；
endsets
data:
v=500 1000 300 300 800 200 100
600 500 200 0 400 300 150
300 600 0 0 500 400 100
200 300 400 500 200 0 100
0 100 500 100 1000 300 0
500 500 100 300 1100 500 60；
g=10 6 8 4 11 9 3；
t=0.5 0.7 0 0 0.3 0.2 0.5
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enddata
max=@sum(m(i):@sum(k(j):g(j)*s(i,j))-0.5*@sum(k(j):l(i,j)))； !目标函数；@for(k(j):t(1,j)*p(1,j)<=411*3)； !每次运行时递加1，直到7；
@for(k(j):t(1,j)*p(2,j)<=411*4)； !每次运行时递加1，直到8；
@for(k(j):t(1,j)*p(3,j)<=411*4)； !每次运行时递加1，直到8；
@for(k(j):t(1,j)*p(4,j)<=411*4)； !每次运行时递加1，直到8；
@for(k(j):t(1,j)*p(5,j)<=411*3)； !每次运行时递加1，直到7；
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@for(k(j):t(2,j)*p(1,j)<=411*2)；
@for(k(j):t(2,j)*p(2,j)<=411*2)；
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end
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学模型按照不同的分类标准有许多种类: 1。按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型.概率模型，最优控制模型,规划论模型,马氏链模型. ２。按模型的特征分,有静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型. 3.按模型的应用领域分,有人口模型,交通模型,经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分,有预测模型，优化模型,决策模型，控制模型等。 ５.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型,灰箱模型,黑箱模型。 数学建模的十大算法： 1.蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法。) 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用matlａb作为工具。) 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用lingｏ、linｇdo软件实现) 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。) 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 7.网格算法和穷举法(当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的,而计算机只认得是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
学科评价模型（模糊综合评价法） 摘要：该模型研究的是某高校学科的评价的问题，基于所给的学科统计数据作出综合分析。基于此对未来学科的发展提供理论上的依据。 对于问题1、采用层次分析法，通过建立对比矩阵，得出影响评价值各因素的所占的权重。然后将各因素值进行标准化。在可共度的基础上求出所对应学科的评价值，最后确定学科的综合排名。（将问题1中的部分结果进行阐述） （或者是先对二级评价因素运用层次分析法得出其对应的各因素的权重（只选取一组代表性的即可），然后再次运用层次分析法或者是模糊层次分析法对每一学科进行计算，得出其权重系数）。通过利用matlab确定的各二级评价因素的比较矩阵的特征根分别为：4.2433、2、4.1407、3.0858、10.7434、7.3738、3.0246、1 对于问题2、基于问题一中已经获得的对学科的评价值，为了更加明了的展现各一级因素的作用，采用求解相关性系数的显著性，找出对学科评价有显著性作用的一级评价因素。同时鉴于从文献中已经有的获得的已经有的权重分配，对比通过模型求得的数值，来验证所建模型和求解过程是否合理。 对于问题3、主成份分析法，由于在此种情况下考虑的是科研型或者教学型的高校，因此在评价因素中势必会有很大的差别和区分。所以在求解评价值的时候不能够等同问题1中的方法和结果，需要重新建立模型，消除或者忽略某些因素的影响和作用（将问题三的部分结果进行阐述）。 一、问题重述
学科的水平、地位是评价高等学校层次的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科本身的发展有着极其重要的作用。而一个显著的方面就是在录取学生方面，通常情况下一个好的专业可以录取到相对起点较高的学生，而且它还可以使得各学科能更加深入的了解到本学科的地位和不足之处，可以更好的促进该学科的发展。学科的评价是为了恰当的学科竞争，而学科间的竞争是高等教育发展的动力，所以合理评价学科的竞争力有着极其重要的作用。鉴于学科评价的两种方法：因素分析法和内涵解析法。本模型基于某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在某一时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 通过计算每一级、每一个评价因素所占的权重，确定某一学科在评价是各因素所占的比重，构建评价等级所对应的函数。通过数值分析得出学科的评价值。需要解决一下几个问题： 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型祸教学型高校，请给出相应的学科评价模 型。 二、符号说明与基本假设 2.1符号说明 符号说明 S——评价数（评价所依据的最终数值） X——影响评价数值的一级因素所构成的矩阵
数学建模与数学实验 课程设计报告 学院数理学院专业数学与应用数学班级学号 学生姓名指导教师 2015年6月
工厂最优生产计划模型 【摘要】本文针对工厂利用两种原料生产三种商品制定最优生产计划的问题， 建立优化问题的线性规划模型。在求解中得到了在不同生产计划下收益最优化的各产品的产量安排策略、最大收益，以及最优化生产计划的灵敏度分析。 对于问题一，通过合理的假设，首先根据题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX。由题目中所得，工厂原料及价格的约束条件下运用lingo软件算出最优生产条件下最大收益为1920元，其次是不同产品的产量。 对于问题二，灵敏度分析是研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。对产品结构优化制定及调整提供了有效的帮助。根据问题一所给的数据，运用lingo软件做灵敏度分析。 关键词：最优化线性规划灵敏度分析 LINGO
一、问题重述 某工厂利用两种原料甲、乙生产A1、A2、A3三种产品。如果每月可供 应的原料数量（单位：t ），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品 的价格如下表所示： （1）试制定每月和最优生产计划，使得总收益最大； （2）对求得的最优生产计划进行灵敏度分析。 二、模型假设 （1）在产品加工时不考虑排队等待加工的问题。 （2）假设工厂的原材料足够多，不会出现原材料断货的情况。 （3）忽略生产设备对产品加工的影响。 （4）假设工厂的原材料得到充分利用，无原材料浪费的现象。 三、符号说明 Xij （i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）； Max 为最大总收益； A1，A2，A3为三种产品。 四、模型分析 问题一分析：对于问题一的目标是制定每月和最优生产计划，求其最大生产 效益。由题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数MAX 。由题目中所得，工厂原料工厂原料及价格的约束，列出约束条件。 问题二分析：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时， 最优基保持不变。通过软件数据进行分析。 五、模型建立与求解 问题一的求解： 建立模型： 题目的目标是寻求总利益最大化，而利润为两种原料生产的六种产品所获得 的利润之和。 设Xij （i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件） 则目标函数:max=12(x11+x21）+5(x12+x22)+4(x13+x23) 原料 每万件产品所需原料（t ） 每月原料供应量（t ） A1 A2 A3 甲 4 3 1 180 乙 2 6 3 200 价格（万元/万 件） 12 5 4
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模中的图论方法 一、引言 我们知道，数学建模竞赛中有问题A和问题B。一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是离散系统中的问题。由于我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比例较大，而离散数学比例较小。因此很多人有这样的感觉，A题入手快，而B题不好下手。 另外，在有限元素的离散系统中，相应的数学模型又可以划分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。但是这类问题在MCM中非常少见，事实上，由于竞赛是开卷的，参考相关文献，使用现成的算法解决一个P类问题，不能显示参赛者的建模及解决实际问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都尚未建立有效的算法，也许真的就不可能有有效算法来解决。命题往往以这种NPC问题为数学背景，找一个具体的实际模型来考验参赛者。这样增加了建立数学模型的难度。但是这也并不是说无法求解。一般来说，由于问题是具体的实例，我们可以找到特殊的解法，或者可以给出一个近似解。 图论作为离散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的许多方面都能提供有力的数学模型来解决实际问题，所以吸引了很多研究人员去研究图论中的方法和算法。应该说，我们对图论中的经典例子或多或少还是有一些了解的，比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。图论方法已经成为数学模型中的重要方法。许多难题由于归结为图论问题被巧妙地解决。而且，从历年的数学建模竞赛看，出现图论模型的频率极大，比如： AMCM90B－扫雪问题； AMCM91B－寻找最优Steiner树； AMCM92B－紧急修复系统的研制(最小生成树) AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题) CMCM93B－足球队排名(特征向量法) CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立顶点集、最小覆盖等用来证明最优性) CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路) 等等。这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。要说明的是，这里图论只是解决问题的一种方法，而不是唯一的方法。 本文将从图论的角度来说明如何将一个工程问题转化为合理而且可求解的数学模型，着重介绍图论中的典型算法。这里只是一些基础、简单的介绍，目的在于了解这方面的知识和应用，拓宽大家的思路，希望起到抛砖引玉的作用，要掌握更多还需要我们进一步的学习和实践。
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。 步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
８ 《商场现代化》２００６年７月（中旬刊）总第４７３期 ２０世纪８０年代初，汪培庄提出了对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价模型，此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面，广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。本文简单介绍模糊综合评价法的数学模型方法。 一、构造评价指标体系 模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图，如图所示： 二、确定评价指标体系的权重 确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。本文根据绿色供应链评价体系的层次结构特点，采用层次分析法确定其权重。尽管层次分析法中也选用了专家调查法，具有一定的主观性，但是由于本文在使用该方法的过程中，对多位专家的调查进行了数学处理，并对处理后的结果进行了一致性检验，笔者认为，运用层次分析法能够从很大程度上消除主观因素带来的影响，使权重的确定更加具有客观性，也更加符合实际情况。 在此设各级指标的权重都用百分数表示，且第一级指标各指标的权重为Ｗｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ为一级指标个数。一级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗ１，…，Ｗｉ，…Ｗｎ） 各一级指标所包含的二级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗｉ１，…，Ｗｉｓ，…Ｗｉｍ），ｍ为各一级指标所包含的二级指标个数，ｓ＝１，２，…，ｍ。 各二级指标所包含的三级指标权重向量为： Ｗｉｓ＝（Ｗｉｓ１，…Ｗｉｓ２，…Ｗｉｍｑ），ｑ为各二级指标所包含的三级指标个数。三、确定评价指标体系的权重建立模糊综合评价因素集将因素集Ｘ作一种划分，即把Ｘ分为ｎ个因素子集Ｘ１，Ｘ２，…Ｘｎ，并且必须满足： 同时，对于任意的ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，均有 即对因素Ｘ的划分既要把因素集的诸评价指标分完，而任一个评 价指标又应只在一个子因素集Ｘｉ中。 再以Ｘｉ表示的第ｉ个子因素指标集又有ｋｉ个评价指标即：Ｘｉ＝｛Ｘｉ１，Ｘｉ２，…，ＸｉＫｉ｝，ｉ＝１，２，…，ｎ 这样，由于每个Ｘｉ含有Ｋｉ个评价指标，于是总因素指标集Ｘ其有 个评价指标。 四、 进行单因素评价，建立模糊关系矩阵Ｒ 在上一步构造了模糊子集后，需要对评价目标从每个因素集Ｘｉ上进行量化，即确定从单因素来看评价目标对各模糊子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵： 其中ｓｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）表示第ｉ个方案，而矩阵Ｒ中第ｈ行第ｊ列元素ｒｈｊ表示指标Ｘｉｈ在方案ｓｊ下的隶属度。对于隶属度的确定可分为两种 情况：定量指标和定性指标。 （１）定量指标隶属度的确定 对于成本型评价因素可以用下式计算： 对于效益型评价因素可以用下式计算：对于区间型评价因素可以用下式计算：上面三个式子中：ｆ（ｘ）为特征值，ｓｕｐ（ｆ），ｉｎｆ（ｆ）分别为对应于同一个指标的所有特征值的上下界，即是同一指标特征值的最大值和最小 模糊综合评价法的数学建模方法简介 任丽华 东营职业学院 ［摘 要］ 本文一种数学模型方法构造了一种对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价法，主要从构造评价指标体系，确定评价指标体系的权重，确定评价指标体系的权重，建立模糊综合评价因素集，进行单因素评价、建立模糊关系矩阵Ｒ，计算模糊评价结果向量Ｂ等五个方面介绍这种评价方法。 ［关键词］ 绿色供应链绩效评价 模糊综合评价法 数学模型方法 流通论坛
数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
工厂生产计划最优化问题小组成员:何光,岳峥,魏维健,高志强,苏文辉
背景介绍 某厂生产三种产品Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，每种产品要经过A,B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，它们以A1，A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，它们以B1，B2，B3表示。产品Ⅰ可在A，B任何一种规格设备上加工。产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效时台以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使工厂利润最大。
解:对产品I来说,设以A1,A2完成A工序的产品分别为X1,X2件,转入B工序时,以 B1,B2,B3完成B工序的产品分别为X3,X4,X5件;对产品II来说,设以A1,A2完成A工序的产品分别为X6,X7件,转入B工序时,以B1完成B工序的产品为X8件;对产品III来说,设以A2完成A工序的产品为X9件,则以B2完成B工序的产品也为X9件.由上述条件可得: A工序加工的对应产品总量=B工序加工的对应产品总量 I ：X1+X2=X3+X4+X5 II：X6+X7=X8 III：X9=X9 任何设备不能超过其有效台时 产品利润=产品单价-原料费 工厂最终利润=产品利润×产品总量-总的设备费用
由题目所给的数据可得数据模型为: MAX Z=(1.25-0.25)x(X 1+X 2 )+(2.00-0.35)x(X 6 +X 7 )+(2.80-0.50)x X 9-300/6000 x (5X 1 +10X 6 )-321/10000 x(7X 2 +9X 7 +12X 9 )- 250/4000 x(6X 3+8X 8 )-783/7000 x(4X 4 +11X 9 )-200/4000 x 7X 5 s.t. 5X 1+10X 6 <=6000 7X 2+9X 7 +12X 9 <=10000 6X 3+8X 8 <=4000 4X4+11X9<=7000 7X 5<=4000 X 1+X 2 =X 3 +X 4 +X 5 X 6+X 7 =X 8 X 1,X 2 ,X 3 ,X 4 ,X 5 ,X 6 ,X 7 ,X 8 ,X 9 >=0
数学建模
论文题目： 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作，和. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）. 请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.
一、摘要 在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻
时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<）和拟合度R-S q的值是否更大（越大，说明模型越好）。 首先，假设用药剂量、性别和血压组别与病痛减轻时间之间具有线性关系，我们建立了模型Ⅰ。对模型Ⅰ用m i n i t a b 软件进行回归分析，结果偏差较大，说明不是单纯的线性关系，然后对不同性别分开讨论，增加血压和用药剂量的交叉项，我们在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，用药剂量对病痛减轻时间不显着，于是我们有引进了用药剂量的平方项，改进模型Ⅱ建立了模型Ⅲ，用m i n i t a b 软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了女性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模型： Y=1x 3x 1x 3x 2 1 x 对模型Ⅱ和模型Ⅲ关于男性病人用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差依然较大，于是改进模型Ⅲ建立了模型Ⅳ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了男性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模 型：Y=1x1x 3x 2 1 x关键词止痛剂药剂量性别病痛减轻时 间
第11章第2题 摘要 本题分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，可视为两因素方差分析，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。 试验的目的是分析化肥的四个不同水平以及小麦品种的三个不同水平对小麦产量有无显着性影响。 关键词：方差分析显着性化肥种类小麦品种
一．问题重述 为了分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，把一块试验田等分成36个小块，分别对3种种子和四种化肥的每一种组合种植3 小块田，产量如表1所示（单位公斤），问不同品种、不同种类的化肥及二者的交互作用对小麦产量有无显着影响。 二．问题分析 本题意在分析四种化肥和三种小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，为两因素方差分析问题，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。通过对这两种因素的不同水平及交互作用的分析，从而分析 4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响。 三．模型假设 1.假设只有化肥种类和小麦品种两个因素，其他因素对试验结果不构成影响。 2.假设不存在数据记录错误。 3.假设每一块试验田本身各项指标相同，不会影响结果。 四．符号说明 数字1,2,3,4——不同的化肥种类 数字1,2,3——不同的小麦品种 五．模型建立 将化肥种类和小麦品种视为两个因素，四种化肥种类看作是化肥种类的四个不同水平，三个小麦品种看作是小麦品种的三个不同水平，将表1的数据进行整理，如表2所示。
六．模型求解 将表2数据导入到spss软件中，进行两因素方差检验，得到结果如下：表3
教师评价模型_数学建 模
教师评价模型 一、摘要 学校是一个充满着评价人的场所，每时每刻都在对各个人进行评价。毫不 夸张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。 由于教师职业劳动的特殊性，它是复杂劳动。不能仅仅用工作量来评价 教师的劳动，同时评价教师的人员纷繁复杂，方式多种多样。评价教师的标准 往往束缚着学校的教学质量，教师教学的积极性。所以教师评价的确定就显的 很重要。 新课程强调：评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评 价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体应从单一 转向多元。 那么如何公正、客观地评价教师的同时，有效地保护教师的教学积极性和 帮助提高学校的办学水平呢？ 此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端，从另一角度更加合理地分析、评价，就是为了更公平，公正地对教师做出合理的评价，从而促进学生发 展和教师提高。 本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。 从（1）教师对自己的评价，（2）学生对教师的评价；（3）由专家组对教师的评价的角度出发，通过量化，加权，得出结果。然后确定三方面的比重来评价 教师。同时通过确定教师自评与他人评价的比值范围，而确定这次评价是否有效。 在各个方面采用的数学模型如下：
1、教师对自己的评价： 教师对自己的满意度，既体现教师的主人翁意识也保护教师的教学积 极性。 16 1160i i i P Q D ( i ∈[1,16]) (Q 表示教师自评的得分 Pi 表示教师对自己各项符合度而打的分数 Di 表示对教师自评要求各项所加给的权重 ) 2、学生对教师的评价： 表明以学生为主体，体现了模型的客观性，公平、公开的原则。 90j i ij i d c a ij a =ij n u ij a =A （U ，V ） （ U 为评价的主要因素， V 为评价因素分等。 C i 为学生对教师的各项评价要求所付的权重 N 为填写有效调查表的人数） 3、由专家组成通过听课对教师的评价： 表明专家对教师指导性，帮助教师提高教学水平。体现了评价的权威 性，真实性。同时也是作为教师提拔的一个方面。 （1）建立综合评价矩阵51ij ij ik k c g c （2）综合评价 B=A ⊕R=（b 1,b 2,……，b m ）
五邑大学 数学建模 课程考核论文 2010-2011 学年度第 2 学期 010 20 30 40 50 60 70 8090 第一季度第三季度 东部西部北部 论文题目 抑制物价快速上涨问题 得分 学号 姓名（打印） 姓名（手写） ap0808221 林加海 ap0808204 陈荣昌 指导老师—邹祥福
——2011.6.20 抑制物价快速上涨问题 摘要 本文通过一个多元线性回归模型较好地解决了影响物价因素的问题。使我国经济快速发展的同时，使百姓得到真的实惠，又保证了经济的长远的发展。 物价问题比较复杂。在本次实验中我们参阅大量资料把影响物价的的因素主要概括括需求性因素（消费，投资，进出口，政府支出等）、货币性因素（货币供给量）、结构性因素（房地产价格，农产品价格等）以及其他因素（如预期因素等）。 总结出原先物价计算方法的不足之处，需要建立一种新的计算和预测的方法。首先，为了确定物价和影响因素之间的关系我们用了多元线性回归，从国家统计局找到相关数据经过挑选，建立了函数关系，为了使函数更具有说服力我们进一步用了残差分析，检验所得到的结果的合理性 。本文利用matlab 软件实现了拟合出多元线性回归函数y=86.4798967193207+0.00441024146152813*x1+4.32730555279258e-007*x2+0.00377788223112076*x3+2.70211635024846e-006*x4+7.58738000216411e-005*x5，置信度95％，且20.932609896853743,_R F ==检验值8.30338450288840>，但是显著性概率.α=005相关的0.055839341752489056>0.p =。再利用逐步回归的方法，拟合出Y=94.4958+0.00771506*x1+5.8917e-007*x2+0.00250019*x3+1.90595e-006*x4+ 6.62396e-005*x5.93269896853743R =200，修正的R 2值.R α =20897797，F_检验值＝26.3535，与显著性概率相关的p 值＝..<000106754005，残差均方RMSE ＝0.204517，以上指标值都很好，说明回归效果比较理想。通过对物价形成及演化问题的讨论，提出以量化分析为基础的调节物价的方法，深入分析找出影响物价的主要因素，并就此分析现在物价的上涨情况，根据《关于稳定消费价格总水平保障群众基本生活的通知》，根据模型分析给出抑制物价的政策建议，并对未来的形势走向根据模型给出预测。 关键字：物价，逐步回归分析，上涨因素，预测，多元回归分析
生产计划安排最优化模型 摘要 本文是针对工厂生产计划的安排对总利润的影响问题，通过对题目的分析，建立线性规划模型，利用Lingo软件对模型进行编程求出最优解，最终完整地解决这一问题。 分析题意，可知总利润=总销售利润-总存储费用，据此我们建立了本题的目标函数。同时依据题目的要求，可以得出对目标函数的约束条件可分为各种产品每个月的产量约束，各种产品每个月的存储量约束，各种产品每个月的生产时间约束，然后根据这三种约束条件可得出各个约束式，因此，已知目标函数与约束六个月的最大利润条件，再通过利用Lingo软件进行编程求出最优解，最终得出 为937115元。 从Lingo软件的求解中，可以得出各个月的生产计划安排，同时我们对各个月的生产计划表进行分析，发现各个月都有不生产的产品，而这些产品销售量都符合各个月的最大需求量要求，而特别的是一月份无生产产品VII，经过对题目的分析，发现生产产品VII所需的单位设备所需台时，比生产其他产品的单位设备所需台时要耗时，因此不生产产品VII是符合最大利润要求，从而得出各个月的生产计划安排都符合题意要求。 最后根据求解结果对每个月生产情况的合理性进行了分析，得出的结论是:根据模型所建立的生产计划是科学合理的。 关键字:生产计划，线性规划，lingo 问题重述
企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义。 已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下。 产品 I II III IV V VI VII 大约利润/元 100 60 80 40 110 90 30 该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。 单位所需产品台时 I II III IV V VI VII 设备 磨床 0.5 0.7 / / 0.3 0.2 0.5 立钻 0.1 0.2 / 0.3 / 0.6 / 水平钻 0.2 / 0.8 / / / 0.6 镗床 0.05 0.03 / 0.07 0.1 / 0.08 刨床 / / 0.01 / 0.05 / 0.05 从1月到6月，维修计划如下:1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。 又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示。 I II III IV V VI VII 1月 500 1000 300 300 800 200 100 2月 600 500 200 0 400 300 150 3月 300 600 0 0 500 400 100 4月 200 300 400 500 200 0 100
数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。 一、数学建模的相关概念 原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。 数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。 二、教学模型的分类 数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。 三、数学建模的常用方法 1.类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，
答卷编号（参赛学校填写）： 答卷编号（竞赛组委会填写）： 论文题目：学科评价模型(A) 组别：本科生 参赛队员信息(必填)： 姓名专业班级及学号联系电话参赛队员1 08生物技术一班0886 参赛队员2 08生物技术一班1680 参赛队员3 08生物技术一班0698
答卷编号（参赛学校填写）： 答卷编号（竞赛组委会填写）： 评阅情况（学校评阅专家填写）：学校评阅1. 学校评阅2. 学校评阅3. 评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1. 省赛评阅2. 省赛评阅3.
学科评价模型 摘要本学科评价模型采用了指标体系法，其所具有的客观公正性使之成为目前大学学科评价的主流方法。学科评价一方面取决于指标体系本身设计是否科学，另一方面则取决于原始数据和指标的可比性。由于本题目并没有给出具体的哪13个学科，而不同学科之间在某些方面存在着不同程度上的差异性。所以，我们采用层次分析法分配权重以及灰色多层次分析法处理数据，从而使评价结果更加客观公正。学科评价应分类别、分层次进行，不同的类别和层次适用于不同的情形。比如科研教学并重型高校的学科评价模型与科研型或者教学型高校的学科评价模型会有所区别。同时，在学科评价体系中，指标分级是必要的，我们将题目所给的指标分为三级。通过模型的建立及求解，我们得出了各学科各指标的评价结果，以及各学科的综合实力评价结果，并对结果进行横向分析和纵向分析，为大学学科评估及资源优化提供了较为合理的依据。 关键词层次分析法，权重, 灰色多层次分析法，关联度
一 问题的重述 学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。 二 合理的假设 1、假设各学科所属领域以及学科特点的差异不对本评估体系产生影响 2、假设某些权威杂志对特定的学科没有偏重 3、假设国家和社会对各学科没有任何偏重 4、假设各学科培养出的人才素质没有差异 5、假设专家对学科各指标相对重要性的评判合理、客观、全面。 三 符号的说明 ijk C ：各级指标 ik C :(i=1,2,3····n;k=1,2,····m)第i 个参评学科中第k 个指标的原始数据 *k C :最优指标集 S ：综合分析评价值 A ：目标向量 ij D ：表示i D 对j D 的相对重要性数值 ij P ：判断矩阵)3,2,1,m 3,2,1(n j i ：特征向量 max ：最大特征值 CR ：判断矩阵的随机一致性比率 CI ：判断矩阵的一般一致性指标 RI ：平均随机一致性指标 i W ：各个分向量的权重系数 *W :第三指标权重分配矩阵