《固体物理学》习题解答
( 仅供参考)
参加编辑学生
柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）
指导教师
黄新堂
华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月
第一章 晶体结构
1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出
这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解：
氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －
组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：
12
3()2()2()2a a a ?
=+??
?=+??
?=+??
a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为：
,,.a a a =??
=??=?
a i
b j
c k
2. 六角密集结构可取四个原胞基矢
123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。 解：
(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢
上的截矩分别为：１，１，1
2
-，１。所以，
其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1
2
-，∞。所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的
比为：
简立方：
6π；六角密集：6；金刚石：
。 证明：
由于晶格常数为a ，所以：
(1)．构成简立方时，最大球半径为2
m a
R =
，每个原胞中占有一个原子， 3
34326m a V a π
π??∴== ???
36
m V a π∴
=
(2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子，
3
3
4223m V π?∴=?=????
3
2m V a ∴
=
(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子，
3
3
4443m V π?∴=?=????
346
m V a ∴
= (4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知
m =
c 。原胞底面边长为2m R 。每个晶胞占有两个原子， 3
3482233
m m m V R R ππ∴=?=，
原胞的体积为：()23
2sin 60m m m
V R R ==
2
6m V V ∴
==
(5)．构成金刚石结构时，
1
4
的体对角线长度等于两个最大球半径，即：
24
m R a =
，每个晶胞包含8个原子，
3
3
4883m V π?∴=?=????
38m V a ∴=
4. 金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分
析的方法证明这一夹角为10928' 。 证明：
如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶
格常数为１。选择体对角线AB 和CD
，用坐标表示为
{1,1,1}-和{1,1,1}-。
所以,其夹角的余弦为：
1
cos 3AB CD AB CD
θ==-
1
arccos()109283
θ'∴=-=
5. 试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a 。 解：
如图所示，面ABCD 即(110)面，面CDE 即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a ，则
在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD ，
其面积为2a =，所以其原子数面密度为：
2
= 在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG ，
其面积为：22)sin 3π=， 所以其原子数面密度为：
2
=
6. 若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每
个原胞内包含几个原子，设立方边长为a 。 解：
这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：
11
8132582
?++??=（个）
7. 底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个
侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？ 解：
这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：
底心立方：1
818?=
侧心立方：11
84382
?+?=
边心立方：11
812484
?+?=
8. 试证六角密集结构中 1.63c a == 解：
如图所示，ABC 分别表示六角密集结构中中间
层的三个原子，Ｄ表示底面中心的原子。DABC 构成一个正四面体，为长为a 。DO ABC ⊥面，则
2
c
DO =
1,2326
DE a OE a a =
== ，且DO OE ⊥
则由勾股定理得，OD ==，
23c OD a ∴==
， 1.633c a ==≈
第二章 晶体中的衍射
1. 试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。
方法1：
面心立方：
123()2()2()
2a
a
a
=
+=+=+a j k a k i a i j （1）
由正格子和倒格子的转换关系
1232313122()/2()/2()/b a a b a a b a a πππ=?Ω=?Ω=?Ω
（2） 其中：123()a a a Ω=??
得：
1232()
2()2()
b i j k a b i j k a
b i j k a
πππ=-++=-+=+- （3）
在体心立方中
123()
2()2
()
2
a a i j k a a i j k a
b i j k =-++=-+=+-
（4）
由（2）式可得
1232()
2()2()
b j k a a k i a a i j a
πππ=+=+=+ （5）
比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。
方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：
2i j i j a b πδ?= 10{ij
δ=,
i j i j =≠
由此可得面心立方的倒格子基矢：1232()
2()2()
b i j k a b i j k a
b i j k a
πππ=-++=-+=+-
同理可得体心立方的倒格子基矢：1232()
2()2()
b j k a a k i a
a i j a
πππ=+=+=+
比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。 2.
,,a b c
为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（h k l ）的晶 面间距为
2221/2[(/)(/)(/)]hkl d h a k b l c -=++
解：,,,a ai b b j c ck === ()a b c abc Γ=??=
由
19(2.2.7)p 知
*
*
*
2()/2()/2()/a b c b c a c a b πππ=?Γ=?Γ=?Γ
可得：
***222a i
a b j b c k
c
πππ===
∴ **
*222h k ha kb lc hi k j lk a b c πππ=++=++
再由22p 中h k
和hkl d 的关系：2/h hkl k d π= 可得：
22222()()()h k l hkl
h
d k π??===++?? 得证。
3. 六角密集结构如取如下原胞基矢
12,,2222
a a a i a j a i a j c ck =+
=-+= 试写出其倒格子基矢。
方法一：
2
12()()()22a a a a c i j i j ck c ??Ω=??=+?-+
?=????
1222()/(3)3b a c i j a
ππ∴=?Ω=+
2122()/(3)3b c a i j a
π
π=?Ω=-+ 解得。 '
1222()/c a a k c
ππ=?Ω=
方法二：由正格子和倒格子之间的关系：2i j ij a b πδ?=
可得：
1112132,,03b b b a a
π=
==
2121232,,03b b b a a
π=-
== '
'
'
31323320,0,c c c c
π===
1222()/(3)3b a c i j a
ππ∴=?Ω=+
2122()/(3)3b c a i j a
π
π=?Ω=
-+ '
1222()/c a a k c
ππ=?Ω=
4. 如X 射线沿简立方原胞的Oz 负方向入射，求证当2
2/2/()a l k l λ=+和
2222cos ()/()l k l k β=-+时，衍射光线在yz 平面上，β为衍射线和Oz 轴的夹角。
证明：简立方的原胞的正格子基矢为：
123a ai a a j a ak
===
3a Ω= 其倒格矢为：
123222,
b i
a b j
a b k a πππ===
222h k hi k j lk a a a
πππ∴=++
由图可知：
sin cos 2β
θ===
22222
21/2221/2221/2
2sin 22sin 22()()()h l a k l m k l k l l k m k l k l λ
θπ
θλ
ππλ==+=++=+++=+ 21/2
2将，得：
2m （h ）a h
当m=1，2h =0时，上式可以成立
当h=0时，h k 只有,k j 分量，即0k 只有k 分量，而0
h k k k -= ,k 亦只有y ，z 分量，即衍射光线在yz 平面上。
5. 设在氯化钠晶体中， 位于立方晶胞的（0 0 0） ，（1/2 1/2 0） ，（1/2
0 1/2）与（0 1/2 1/2）诸点；而Cl -位于（1/2 1/2 1/2），（0 0 1/2），（0 1/2 0）与（1/2 0 0）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。 解：
25p 中的（2.4.11）可知：
2
2
cos 2()sin 2()j j j j j j j j j j f mhu mkv mlw f mhu mkv mlw ππ??
∞+++
??????++????
∑∑mh,mk,ml I
对于氯化钠晶胞：
cos ()cos ()cos ()cos ()cos cos cos Na Na Na Na cl cl cl cl f f mk mh f mk ml f mh ml f mk mh ml f ml f mk f mh πππππππ++++----??∞++++++++??
++++++mh,mk,ml I
（1）当衍射面指数全为偶数时，216()Na cl I f f +-∞+衍射强度最大， （2）当衍射面指数全为奇数时，2
16()Na cl I f f +-∞-由于cl -与Na +
具有不同的散
射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。
6. 试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为f 。
解：几何结构因子
()j
ik r j j
F k f e ?=∑ 其中j j j j r u a v b w c =++
'''**
*0()h k l hkl K k k K mK m ha kb lc =-===++ ***
2()/,2()/,2()/,a b c b c a c a b πππ=?Γ=?Γ=?Γ
()a b c Γ=??
为晶胞的体积。
j j j j r u a v b w c =++ 。
金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（0 0 0）， （1/2 1/2 1/2 ），（1/2 0 1/2），（0 1/2 1/2），（1/4 1/4 1/4），（3/4 3/4 1/4），（3/4 1/4 3/4），（1/4 3/4 3/4）且八个原子为同种原子，
∴金刚石型结构的几何结构因子为：
111()()()()222
331313133()
()
()
222
222
222
()i m h k l i m h k i m h l i m l k i m h k l i m h k l i m h k l F K f fe fe fe fe fe
fe fe
πππππππ+++++++++++=+++++++
7. 设一二维格子的基矢10.125a nm =,20.250a nm =,12a a
与夹角a=120
，试画出
第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢12,b b
与正格子基矢间有如下关系：
10
2,{i j ij ij b a πδδ?==
,
i j i j =≠
解：
120.125;0.250a nm a nm == 令
11,a a a ai == 则
2a a i a j =-
122222i j ij
b a b i j b j a πδπππ?=∴=+=
，
122b b i j
b j
=== 令。则
b +）b 中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。
8. 铜靶发射0.154nm λ=的X 射线入射铝单晶，如铝（1 1 1）面一级布拉格
反射角19.2θ= ，试据此计算铝（1 1 1）面族的间距d 与铝的晶格常数。 解：
**22211
a i
b j k
a a a h k l m πππ=======
*，，c ，
2222h h k i j k k a a a a
ππππ=++=
，
2sin hkl d θλ=
0.2342sin19.2
hkl d nm λ
=
≈
2220.405h hkl hkl
hkl k d a d a nm
πππ=
=
=
=
第三章 晶体的结合
1. 试证明以等间距排列的一维离子晶体的马德隆常数等于2ln2。
证明：设相邻原子间的距离为r ，一个原子的最近邻、次近邻……原子均有2个，
该晶体的马德隆常数为：
M=222
2234
-+-+……
=111
2(1234
-+-……）
=2111
[(1)]n n n
∞-=-∑
=2ln 2
∴ 得证
2. 由实验测得NaCl 晶体的密度为 2.16g/cm 3 , 它的弹性模量为 2.14×1010
N/m 2 ，试求NaCl 晶体的每对离子内聚能c
U N
。（已知马德隆常数M=1.7476, Na 和Cl 的原子量分别为23和35.45）
解：NaCl 晶体中Na +和Cl -的最近距离为0r
晶胞基矢长为 20r ， 一个晶胞中含有四对正负离子对 ∴ 一个原胞（一个NaCl 分子）的体积为：
30
2v r ==6
23
(2335.45)102.16 6.0210m N ρ-+?=
?? ∴ NaCl 晶体中的正负离子的平衡间距为：
8
0 2.82100.282
r c m n m -=?=
由晶体体积弹性模量的公式：
2
4
00
(1)36m n Me B r πεβ-= ， 并且由于NaCl 晶体为面心立方结构，参数β=2，故由上式可得：
4
002
361m r n B Me
πεβ=+ =1294
10192
36 3.148.85102(0.28210)1 2.41101.7476(1.610)--??????+???? =7.82
由平衡时离子晶体的内聚能公式：
2001
(1)4c NMe U r n
πε=--，
将n=7.82代入得NaCl 晶体的每对离子的内聚能为：
2001
(1)4c U Me N r n
πε=-- =1921219
1.7476(1.610)1
(1)4 3.148.85100.282107.82
---??--?????
18
1.2410
J
-=-?
3. LiF 晶体具有NaCl 结构，已由实验测得正负离子间的最近距离0r =0.2014nm(1
摩尔的内聚能c U ＝1012.8kJ/mol, 以孤立离子系统的内能为能量的零点)。试计算该晶体的体积弹性模量m B ，并与它的实验植1026.7110/N m ?进行比较。
解： 由平衡时离子晶体的内聚能公式：2001(1)4c NMe U r n πε=--，其中M=1.784
计算1mol 的内聚能时，N=Na=6.02×1023 ，且0r =0.2014，计算得： n=1
002
4(1)c r U NMe
πε-+
=199323192
4 3.148.85100.201410(1012.810)
[1]6.0210 1.748(1.610)---??????-?+???? =6.33
∴ 2
400
(1)36m n Me B r πεβ-= LiF 晶体具有NaCl 结构，将 β=2，n =6.33, 0r =0.2014代入上式得：晶体的弹性模量为:
24
00(1)36m n Me B r πεβ-== 7.242×101 0 (N/m 2)
相对误差为：7.242 6.71
100%7.9%6.71
-?=
4. 试说明为什么当正负离子半径比/ 1.37r r -+>时不能形成氯化铯结构，当
/ 2.41r r -+>时不能形成氯化钠结构，当/ 2.41r r -+>时，将形成什么结构？
已知：RbCl, AgBr, BeS 的正负离子半径分别为：
r +（nm ） r -(nm)
RbCl, 0.149 0.181 AgBr, 0.113 0.196 BeS 0.034 0.174
若把它们看成典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似把正负离子都看成是硬小球，试计算这些晶体的点阵常数。
解： （1）要形成氯化铯的体心立方结构，正负离子的直径必须小于立方体的边
长，考虑密堆积，体对角线上的离子相切。 即： 2)
r a r r -+-<=
=+ 可得： /1.37
r r -+<
= 故，/ 1.37r r -+>时，不能形成氯化铯结构。
要形成氯化钠的面心立方结构，考虑密堆积，取面上的离子观察。
即：2)r d r r -+-<=+
∴ /2.41
r r -+<
= 故，/ 2.41r r -+>时，不能形成氯化钠结构，将形成配位数更低的闪锌矿结构。 （2）RbCl,
0.184
1.215 1.370.149
r r -+==< 为氯化铯结构 晶格常数为：
)(0.1810.149)0.381
a r r nm +-=
+=+= AgBr,
0.196 1.73 1.370.113
r r -+==> 为氯化钠结构 晶格常数为：
2()2(0.1960.113)0
a r r n m +-=+=?+= BeS ：
0.174
5.118 2.410.034
r r -+==> 为闪锌矿结构 晶格常数为：
)(0.0340.174)0.34a r r nm +-=+=+=
5. 由气体分子的实验测得惰性气体Xe 的伦纳德——琼斯势参数
0.02,0.398
e V n m εσ==在低温下Xe 元素形成面心立方的晶体，试求Xe 晶体的晶格常数a,每个原子的内聚能
c
U N
及体积弹性模量Bm 。若对Xe 晶体施加压力82/610N m P =?。试在近似假定体积弹性模量不变的情况下，计算这些晶体的晶格常数a 将变为多少？并求这时的内聚能c
U N
将变为多少？
解：原子间的平衡间距为 ：0 1.09 1.090.3980.434r nm nm σ≈=?=
因结构为立方晶体，则晶格常数为：0.614a nm == 每个原子的内聚能为：
8.68.60.020.172c
U eV N
ε≈-=-?=- 体积弹性模量：3931975750.02(0.39810) 1.610Bm εσ----≈=????? =3.81×109 N/m 2 由体积弹性模量的定义式可知：(
)T P Bm V V
?=-? ∴ 0
0ln V
V dV V
P Bm Bm V V =-=-?
因为：3V N r β= 故 P 0
3ln
r Bm r =- ∴ 89
610
33.8110
00.4340.412
P Bm
e
e nm r r ?-
-??=?== ∴ 晶格常数
0.583nm a == /1.09
r
σ=
内聚能 2/
612()8.60.149275
c U r A Bm N A σε?=-≈-?=-
6. 原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz 相互正交、归一，请证明由sp3 杂化后的未
配对电子轨道
1,2,3,4????也相互正交归一：
*
(,1,2,3,4)
i j ij d i j ??τδ==?
如已知在球面极坐标中，轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz 可写成：
22()s R r =
22()cos x p R r θ?
=
22()sin y p R r θ?
=
22()z p R r θ
=
请求出杂化轨道1,2,3,4????在球面坐标中的表达式并由此求出杂化轨道具有
最大值的方向。
解：（1） 原子轨道波函数2s,2Px,2Py,2Pz 相互正交、归一
且11
(2222)2
x y z s p p p ?=+++
21(2222)2x y z s p p p ?=--+
31
(2222)2x y z s p p p ?=-+-
41
(2222)2
x y z s p p p ?=+--
**121
(2222)(2222)4
x y z x y z d s p p p s p p p d ?ττ?=+++--+∴??
****1[22222222]
41
(1111)
40
x x y y z z s s d p p d p p d p p d ττττ=--+=--+=????
其余同理可证，波函数1,2,3,4????相互正交。
*
*111
(2222)(2222)4
x y z x y z d s p p p s p p p d ?ττ?=++++++∴??
*****1
(2222)(2222)41[22222222]
41
(1111)41
x y z x y z x x y y z z s p p p s p p p d s s d p p d p p d p p d τττττ=
++++++=+++=+++=?????
其余同理可证，波函数1,2,3,4????归一。
∴ 亦可以证明 *(,1,2,3,4)i j i j d i j
??τδ==? （2）1,2,3,4????在球面坐标中的表达式为：
12
22
32
42
()cos sin)
()cos sin)
()cos sin)
()cos sin) R r
R r
R r
R r
?θ?θ?θ
?θ?θ?θ
?θ?θ?θ
?θ?θ?θ=+++
=-
=+-
=+
（3）
1,
?具有最大值时1,1,
0,0,
θ?
??
??
==
??
(s i n c o s)c o s s i
??θθ
+=
s i n?= s i n c o s
??
=
t a nθ= 2,
?具有最大值时2,2,
0,0,
θ?
??
??
==
??
(s i n c o s)c o s s i
??θθ
-+=
2
s i n?=±s i n c o s
??
=t a nθ= 3,
?具有最大值时3,3,
0,0,
θ?
??
??
==
??
(c o s s i n)t a n
??θ
-=
2
s i n?=±s i n c o s0
??
+=t a nθ= 4,
?具有最大值时4,4,
0,0,
θ?
??
??
==
??
(s i n c o s)t a n
??θ
-=s i n?= s i n c o s0
??
+=t a nθ=轨道具有最大值时，概率最大，即波函数的模的平方有最大值：
*2
i i
P??
?=
=
∴对
1,
?
2
1
2
1
?
θ
?
?
?
=
?
?
=
?
1
1
54.73
45
θ
?
=
=
同理可得：
020254.73225θ?== 0303144.73135θ?== 0
40
4144.73
315
θ?==
7. sp 2
杂化轨道可写成12)x s p ?=
，22)x y s p p ?=，
32)x y s p p ?=
在球面系中写出轨道表达式，
并求杂化轨道最大值的方向。
解：
在球坐标系中：由22()s R r =
22()cos x p R r θ?=
22()sin y p R r θ?=
22()z p R r θ=
可得：
123cos )cos sin )cos sin )
?θ??θ?θ??θ?θ?=+==
-
1,?具有最大值时
1,
1,0,0,θ?
????==?? c o s
c o s 0
θ?= c o s 0c o s 1θ?==± 或 s i n 0
s i n 1
θ?==± s i n s i n
θ?= 2,?具有最大值时 2,
2,
0,0,
θ?
????==?? cos sin 0θ?θ?+= sin cos 0θ?θ?=
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）
16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。
固体物理练习题 1.晶体结构中，面心立方的配位数为 12 。 2.空间点阵学说认为 晶体内部微观结构可以看成是由一些相同的点子在三维空间作周期性无限分布 。 3.最常见的两种原胞是 固体物理学原胞、结晶学原胞 。 4.声子是 格波的能量量子 ，其能量为 ?ωq ，准动量为 ?q 。 5.倒格子基矢与正格子基矢满足 正交归一关系 。 6.玻恩-卡曼边界条件表明描述有限晶体振动状态的波矢只能取 分立的值 ， 即只能取 Na 的整数倍。 7.晶体的点缺陷类型有 热缺陷、填隙原子、杂质原子、色心 。 8.索末菲的量子自由电子气模型的四个基本假设是 自由电子近似、独立电子近似、无碰撞假设、自由电子费米气体假设 。 9.根据爱因斯坦模型，当T→0时，晶格热容量以 指数 的形式趋于零。 10.晶体结合类型有 离子结合、共价结合、金属结合、分子结合、氢键结合 。 11.在绝对零度时，自由电子基态的平均能量为 0F 5 3E 。 12.金属电子的 B m ,23nk C V = 。 13.按照惯例，面心立方原胞的基矢为 ???? ?????+=+=+=)(2)(2) (2321j i a a k i a a k j a a ，体心立方原胞基矢为 ???? ?????-+=+-=++-=)(2)(2) (2321k j i a a k j i a a k j i a a 。 14 .对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢k a j a i a R ???22++=正交的倒格子晶面族的面
指数为 122 , 其面间距为 a 32π 。 15.根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为 7大晶系 ，对应的只有14种 布拉伐格子。 16.按几何构型分类，晶体缺陷可分为 点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷 。 17. 由同种原子组成的二维密排晶体，每个原子周围有 6 个最近邻原子。 18.低温下金属的总摩尔定容热容为 3m ,bT T C V +=γ 。 19. 中子非弹性散射 是确定晶格振动谱最有效的实验方法。 1.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ 原子间存在相互作用力。 2.简述倒格子的性质。 P29~30 3. 根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献而在低温时必须考虑？ 4.线缺陷对晶体的性质有何影响？举例说明。 P169 5.简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：P9组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：P9将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 6.为什么许多金属为密积结构?
一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，
它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵)
1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：
一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=??
固体物理经典复习题及答案
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1 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空 间无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶 体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢
11级第一次(作业) 请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题(针对自己感兴趣的某个方面)，形成一份报告，阐述自己的看法，要求2000字以上。(已经在第一次课布置，11月1日前后上交) 11级固体物理第2次习题和思考题 1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？ 答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 2.解释Bravais 点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的Bravais 点阵。 答：晶体的部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为Bravais 点阵。氯化钠晶体的Bravais 点阵可参照书p8的图1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。 3.说明金刚石结构是复式点阵的原因。 答：金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引8条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度而成。Bravais 点阵包含两个原子。 4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。 答：面心立方的三个基矢为： ??? ? ?????+=+=+=)(2)(2)(2321i k a a k j a a j i a a ρρρρρρρρρ 其体积为 4 3 a ，根据倒格矢的定义得： ???? ? ????-+=???=++-= ???=+-= ???=)(2)(2)(2)(2)(2)(23212 13321132321321k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρ ρ ρρρρρρ ρρππππππ 可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。反之亦然。 5、翻看资料，试画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1)氯化铯； (2)硅； (3)砷化镓； (4)硫化锌 答：(1)氯化铯为简单立方，氯离子处于立方的顶角组成子晶格，铯离子处于立方的顶角组成 子晶格，两套子晶格沿着体对角线移开一半体对角线长度，使得氯离子子晶格的体心 恰好有一个铯离子，铯离子子晶格的体心恰好有一个氯离子。元胞就是简单立方。一 个元胞里有一个氯离子和一个铯离子；配位数为6。 (2)硅为复式格子，硅原子组成面心立方子晶格，两套子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度，形
固体物理总复习题 一、填空题 1．原胞是 的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含 个原子。 2．在三维晶格中，对一定的波矢q ，有 支声学波， 支光学波。 3．电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 形式，式中 在晶格平移下保持不变。 4．如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 ；能带的表示有 、 、 三种图式。 5．按结构划分，晶体可分为 大晶系，共 布喇菲格子。 6．由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为 格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。 7．电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为 ；没有任何电子占据的能带，称为 ；导带以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为 ；最下面的一个空带称为 ；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 。 8.基本对称操作包 括 ， ， 三种操作。 9.包含一个n 重转轴和n 个垂直的二重轴的点群叫 。 10.在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为 。 11.具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为 。 12.在自由电子近似的模型中， 随位置变化小，当作 来处理。 13.晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作 处理。这是晶体中描述电子状态的
模型。 14.固体可分 为，， 。 15.典型的晶格结构具有简立方结 构，，，四种结构。 16.在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在 K= 处 断开，能量的突变为。 17.在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电 子共有化运动的轨道称为，表达式 为。 18．爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动，忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。 19．固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在即存在于。 20．晶体的五种典型的结合形式是、、、、。 21．两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是 的电子。 22．固体能带论的三个基本假设是：、、 。 23．费米能量与和因素有关。 二、名词解释 1．声子；2.；布拉伐格子；3. 布里渊散射；4. 能带理论的基本假设. 5．费米能；6. 晶体的晶面；7. 喇曼散射；8. 近自由电子近似。 9.晶体；10. 布里渊散射；11. 晶格；12. 喇曼散射； 三、简述题 1．试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。 2．什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？
《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010） 正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b
第一章 1.凝聚态物质包括哪些？-液体、固体、介于其间的软物质（液晶、凝胶等） 2.固体可分为哪些类型？-晶体、准晶体、非晶体 3.什么是晶格？什么是晶体结构？晶体中原子的规则排列称为晶格；晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构 。 4.常见的晶体结构有哪些？-简单立方晶体结构sc 、体心立方晶体结构bcc 、密堆晶体结构、金刚石晶体结构、NaCl 结构、CsCl 晶体结构、闪锌矿晶体结构、钙钛矿（ABO3）结构 5.什么是配位数？-XX 晶体结构的配位数是多少？配位数：每个原子周围最近邻原子数；简单立方晶体结构（配位数6）、体心立方结构（8）、面心立方结构（12）、六角密堆结构（12）、金刚石晶体结构（4） 6.试画出简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构图。 7.举例说明什么是简单晶格？什么是复式晶格？-简单晶格（布拉维格子）：所有原子完全等价，作从一个原子到另一任意原子的平移，晶格完全复原，如sc 、fcc 、bcc 结构形成的晶格；复式格子：晶格结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子，作从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子的平移，晶格不能复原，如hcp 结构、金刚石结构、NaCl 结构 8.什么是基元？简单晶格和复式晶格的基元各有什么特点？-一个最小的、完全等价的基本结构单元；简单晶格的基元只含一个原子，复式晶格的基元中含两个以上的原子或离子。 9.什么是结点？什么是点阵？点阵与晶体结构的逻辑关系是什么？-就晶格的平移对称性而言，忽略结构中基元内原子分布的细节，用来代表基元的几何点成为结点；点阵是反映晶格平移对称性的分位点的无限阵列；<点阵>+<基元>=<晶体结构> 10.什么是点阵的基矢？什么是破缺的平移对称性？-对于一个给定的点阵，可以使矢量332211→→→→++=a l a l a l R l 的三个不共面的基本平移矢量a1、a2、a3；晶格并不对任意的平移不变，而只对一组离散平移矢量RL （L 为小写取整数）具有不变性的性质。 11.对于一个点阵通常可以定义哪三种元胞？-初基元胞、单胞、维格纳-塞茨元胞（W-S 元胞） 12.画图表示sc 、bcc 、fcc 点阵的基矢和元胞的选择方式。-课本P8, 13.按通常约定，写出sc 、bcc 、fcc 点阵的基矢和元胞体积。-元胞的体积：)(321→→→??=Ωa a a =a^3 sc:a1=ai,a2=aj,a3=ak; bcc:a1=a/2(-i+j+k),a2=a/2(+i-j+k),a3=a/2(+i+j-k);fcc:a1=a/2(j+k),a2=a/2(k+i),a3=a/2(i+j) P9 14.什么是单胞？什么是晶轴？什么是晶格常数？-单胞：为直观反映点阵的宏观对称性而选择的一个非初基元胞；晶轴：单胞的三条棱a 、b 、c ；晶格常数：长度a 、b 、c 15.sc 、bcc 和fcc 点阵的单胞和初基元胞有什么关系？-sc 点阵：单胞体积=初基元胞体积；bcc 点阵：单胞体积=2倍初基元胞体积；fcc 点阵：单胞体积=4倍初基元胞体积 16.简要说明维格纳-塞茨（W-S ）元胞的构造过程。-把结点同所有其他结点用直线连接起来，做这些连线的中垂面，这些面包围的最小多面体，构成W-S 元胞 17.什么是晶列？什么是晶向指数？什么是晶面？-点阵的结点看成分布在一系列相互平行的直线上，这些直线称为一族晶列；如果一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的平移矢量为332211→→→→++=a l a l a l R l ，则记[L1L2L3]为晶向指数；点阵的结点看成分布在一系列平行且等距的平面上，这些平面称为一族晶面； 18.在sc 点阵中表示出[100]、[110]和[111]等晶向。P12 19.试在sc 点阵中标出（100）、（110）和（111）三个晶面族。P14 20.晶面指数和密勒指数有什么不同？-晶面指数：以基矢为坐标系，密勒指数：以单胞的三条棱为坐标系 21.什么是正空间？什么是倒空间？什么是正点阵？什么是倒点阵？-正空间：坐标空间；倒空间：坐标空间的傅里叶变换；正点阵：用来描述晶体正空间的性质的晶体的点阵；倒点阵：正点阵的傅里叶空间 23.证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方、面心立方的倒格子是体心立方。-倒格矢分别用b1、b2、b3表示。 把a1、a2、a3带入上式可得：
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原着、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。
固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。
4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1，单斜2，正交 4，四角 2，立方3，三角1，六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能 量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 6.惰性气体晶体：惰性气体所形成的晶体是最简单的晶体，其晶态原子的电子分布非常接近于自由态原子的电子分布，在晶体中，这些惰性气体原子尽可能紧密地堆积在一起。惰性气体原子具有闭合电子壳层，电荷分布是对称的。 7.德拜模型：德拜模型是德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。
如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈体心立方3π/ 8 ≈面心立方2π/ 6 ≈六方密排2π/ 6 ≈金刚石3π/16 ≈ 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有
证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α= 2ln 2 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有 根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。 则马德隆常数为 当x =1时，有 所以α= 2ln 2
第一章 晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。 （1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R ， 所以 ()33 344330.526 2n R R K V R πππ?==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4 个原子半径，所以a = 33 3 44 2330.68n R R K V ππ??===? ?? （3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a, 所以a = 33 3 444330.74n R R K V ππ??====? ?? (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线 1 4 长，体对角线为8R = 33 3 448330.34n R R K V ππ??===? ?? 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 210991803
3、证明：倒格子原胞体积为()3 * 2c v v π= ，其中v c 为正格子原胞的体积。
4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111 速度，生长速度等就不一样。 解：（1FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 () 321h h h 332211b h b h b h K h ++=