课时作业11二次函数的图像
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，其图像开口最小的是()
A．f(x)＝3x2B．f(x)＝1
2x
2＋x－1
C．f(x)＝－1
2x
2－x D．f(x)＝－4x2＋1
【解析】在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其图像开口越小．
【★答案☆】 D
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()
【解析】选项A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c 的图像开口向下，矛盾；选项B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y
＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝－b
2a>0，矛盾；选项D，y＝ax ＋b中，a<0，b<0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．【★答案☆】 C
3．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是()
A．－4 B．4
C．－2 D．2
【解析】二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4.
【★答案☆】 A
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确的是()
A．a>0，b<0，c>0 B．a<0，b<0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b>0，c>0 【解析】因为抛物线开口向下，所以a<0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，
所以－b
2a>0，所以b>0，
因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0.
【★答案☆】 D
5．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得图像对应的函数解析式为() A．y＝2x2B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
【解析】将y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y＝2(x＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2(x＋2)2的图像，故选D.
【★答案☆】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)＝________.
【解析】∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴{(－4)2－4b＋c＝c，(－2)2－2b＋c＝－2，解得b＝4，c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
【★答案☆】x2＋4x＋2
7．将二次函数y＝－2x2的顶点移到(－3,2)后，得到的函数的解析式为________．
【解析】因为二次函数y＝－2x2的顶点为(0,0)，所以要将其顶点移到(－3,2)，只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，所以平移后的函数解析式为y＝－2(x＋3)2＋2.
【★答案☆】y＝－2(x＋3)2＋2
8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A，B，顶点为
C，则△ABC的面积是________．
【解析】y＝－x2－2x＋3＝(－x＋1)(x＋3)＝－(x＋1)2＋4，
由题意，令A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，
所以S△ABC＝1
2×4×4＝8.
【★答案☆】8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y＝x2－2x＋1，求该二次函数的解析式．
【解析】将y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得解析式为
y＝(x＋2)2＋b(x＋2)＋c＋3＝x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7.
令x2＋(b＋4)x＋2b＋c＋7＝x2－2x＋1，
比较对应项系数可得{b＋4＝－2，2b＋c＋7＝1，
解得{b＝－6，c＝6.
∴所求函数解析式为y＝x2－6x＋6.
10．已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．
【解析】(1)配方得y＝2(x－1)2－8.
因为a＝2>0，
所以函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，
顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x －10123
y 0－6－8－60
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像．
如图所示：
(2)由图像得，函数与x 轴的交点坐标为A (－1,0)，B (3,0)，
与y 轴的交点坐标为C (0，－6)．
所以S △ABC ＝12|AB |·|OC |＝12×4×6＝12.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总过的点是( )
A ．(1,3)
B ．(1,0)
C ．(－1,3)
D ．(－1,0)
【解析】 由题意知x 2＋2x －y ＋m (1－x )＝0恒成立，
所以????? x 2＋2x －y ＝0，1－x ＝0，解得????? x ＝1，y ＝3，
所以图像总过点(1,3)．
【★答案☆】 A
12．已知y ＝1与函数f (x )＝x 2－|x |＋a 的图像有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 由函数f (x )＝x 2－|x |＋a ＝???
? ????x －122＋a －14，x >0，?
????x ＋122＋a －14，x ≤0的大致图像知f (x )min ＝f ? ????12＝f ? ????－12＝a －14，f (0)＝a ，若y ＝1与y ＝f (x )有两个交点，则有a <1或a －14＝
1，即a <1或a ＝54.
【★答案☆】 ??????????a ??? a <1或a ＝54 13．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．
【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
由f (x －2)＝f (－x －2)
得对称轴为x ＝－b 2a ＝－2，
所以b ＝4a .
因为图像在y 轴上的截距为1，所以c ＝1，
又|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |
＝22， 所以b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，
所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.
14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交
点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且x 21＋x 22＝269，试问：该抛物线是由y ＝－3(x
－1)2的图像向上平移几个单位长度得到的？
【解析】 由题意可设所求抛物线的解析式为
y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得
y ＝－3x 2＋6x －3＋k .
由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3，
∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，
即4－2(3－k )3＝269.解得k ＝43.
∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位长度
二次函数练习题 班级 姓名 成绩 二次函数所描述的关系 1.下列函数中，哪些是二次函数？ 1 “、 (1) y=3(x-1)2+1 (2) y=x + (3) x F 列函数中：① y= — x 2;②y=2x :③y=22+x 2 — x 3；④m=3 — t — t 2是二次函数的是 s=3-2t (4) y= —⑸y=(x+3) 2-x 2 ⑹ v=10 n r2 x x 2 若y= ( 1) x m 6m 5是二次函数，则m=() —1 B . 7 C . — 1或7 D .以上都不对 F 列各关系式中，属于二次函数的是 (x 为自变量) 1 2 y= x 8 B . y= .. x 2 1 1 C . y= 2 x y=ax 2+bx+c(a , b , C 是常数)是二次函数的条件是 a M 0, b M 0, C M 0 B . a<0, b M 0, C M 0 C . a>0, 1 自由落体公式h= gt 2(g 为常量),h 与t 之间的关系是 2 A.正比例函数 下列结论正确的是 A . y=ax 2是二次函数 B .二次函数自变量的取值范围是所有实数 C .二次方程是二次函数的特例 D .二次函数的取值范围是非零实数 已知函数 y=(m 2— m)x 2+(m — 1)x+m+1. (1) 若这个函数是一次函数， (2) 若这个函数是二次函数， 函数 A . b 丰 0, C M 0 (其中x 、t 为自变量). 2 D . y=a x B. 一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2 如果函数y=x k 3k 2 +kx+1 求 m 的值; 求 m 的值 是二次函数，贝U k 的值一 —定是 2 10 .如果函数y=(k — 3) x k 3k 2+kx+1是二次函数，则k 的值一定是 11. 下列函数属于二次函数的是( ) 1 y=x —— x B . y= (x — 3) 2 — x 2 1 C . y= 2 -x x D . y=2 (x + 1) 2 — 1 12. 在半径为 cm 的圆面上，从中挖去一个半径为 o x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm ，贝V y 与x 的函 数关系式为( A . y= x 2 — 5 2 B . y= (5 — x ) 2 2 .y= —( x + 5) D . y= — x + 25 结识抛物线 y=ax 2 1 .函数y= ax 2 a 2 2a 6 是二次函数，当 a= ____ 时，其图象开口向上；当 a= ____ 时，其图象开口向下 2.填右表并填空： 抛物线y=2x2的顶点坐标是 __________ 」对
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集， R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
A B = 真子集 A ≠ ?B （或 B ≠ ?A ） B A ?，且B 中至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子 集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成
§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 (北师大版)高一数学必修1全套教案 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结 构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必 修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时， 北师大版二次函数测试题及答案 北师大版二次函数测试题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 北师大版《函数概念》说课教案 教材分析 一、本课时在教材中的地位及作用 教材采用北师大版（数学）必修1，函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中。本章节9个课时，函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响。 本节课《函数概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据 二、教学目标 理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义域、值域。 通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。 通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。 三、重难点分析确定 根据上述对教材的分析及新课程标准的要求，确定函数的概念既是本节课的重点，也应该是本章的难点。 四、教学基本思路及过程 本节课《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课（借助小黑板）从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用，也为进一步学习函数 星火教育讲义 教学步骤： 一、新授内容 1．函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 例题精解 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数642 12 ++= x x y 的图象 【解】 )128(21 642122++=++=x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 25 0 23- -2 2 3- 0 25 … 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01>Θ ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b Θ，2029)5(431)5(44422=-?-?-?=-a b ac x -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3 二次函数练习题 班级 姓名 成绩 二次函数所描述的关系 1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)2+1 （2）y=x ＋ x 1 （3）s=3-2t （4）y=x x -21 (5)y=(x+3)2-x 2 (6) v=10πr 2 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．若y=（m ＋1）x 5 62--m m 是二次函数，则m=（ ） A ．－1 B ．7 C ．－1或7 D ．以上都不对 4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) A ．y = 8 1x 2 B ．y =12 -x C ．y = 21x D ．y =a 2x 5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是 A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 B ．a <0，b ≠0，c ≠0 C ．a >0，b ≠0，c ≠0 D ．a ≠0 6．自由落体公式h = 2 1gt 2 (g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7．下列结论正确的是 A ．y =ax 2是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数的取值范围是非零实数 8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值; (2)若这个函数是二次函数，求m 的值 9．如果函数y=x 2 32+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______ 10．如果函数y=(k －3) x 2 32+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______ 11．下列函数属于二次函数的是（ ） A ．y=x － x 1 B ．y=（x －3）2－x 2 C ．y=21x －x D ．y=2（x ＋1）2 －1 12． 在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x ㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y ㎝2 ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=πx 2 －5 B ．y=π（5－x ）2 C ．y=－（x 2 ＋5） D ．y=－πx 2 ＋25π 结识抛物线y=ax 2 第二章二次函数 二次函数的应用（1） 一、知识点 1. 利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2. 求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标 知识与技能： 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 过程与方法： 1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断 能力． 2. 通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感与态度： 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经 验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2. 能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3. 进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 三、重点与难点 重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境，引入新知( 放幻灯片2、3、4) 1.(1) 请用长20 米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2) 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ 设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； ⑵当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3) 若墙的最大可用长度为8 米，求围成花圃的最大面积. 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知( 放幻灯片5、6、7) 综合测试题(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2016·四川理，1)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是（ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．已知集合A ＝{x |0 A．log34 专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲 【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2 的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … x2…9 4 1 0 1 4 9 … 2x2…18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝ x2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y ＝ax 2 ＋bx ＋c ＝a(x 2 ＋b x a )＋c ＝a(x 2 ＋b x a ＋224b a )＋c － 24b a 2 24()24b ac b a x a a -=++ ， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --， 对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a - 时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝2 44ac b a -． 二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 必修1全册综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分． 满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2011·新课标文)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( ) A．2个B．4个 C．6个D．8个 2．(2012·银川高一检测)设函数f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( ) A．f(a＋1)＝f(2) B．f(a＋1)>f(2) C．f(a＋1) －x )，则x 的取值范围是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．0 一元二次函数综合练习题 1、二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，则下列四个结论错误的是A． B． C． D． 2、已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 第2题第3 题第4题 3、二次函数 的图象如图，下列判断错误的是（） A． B． C． D． 4、二次函数 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A．a＜0 B．c＞0 C． ＞0 D． ＞0 5、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离 ，则该运动员的成绩是( ) A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m 6、抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表中可知，下列说法正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7、抛物线 = 与坐标轴交点为（） A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．三个交点 8、二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（） A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2 9、若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（） A.0 B.±1 C.±2 D.± 10、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b2-4ac>0④ 中，正确的结论有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11、抛物线 高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ?；两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n -个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 （ %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩ A ∪=U 反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相 二次函数 知识回顾 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 例1（基础）.二次函数2 365 y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4） 习题精练 1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a x 与 正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（） 2、若二次函数5 2+ + =bx x y配方后为k x y+ - =2)2 (则b、k的值分别为（） A .0 5 B .0. 1 . 5 . 1 3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．2 1 2y x =- D ．212 y x = 4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ） A ．223y x x =-+ B ．223y x x =-- C ．223y x x =+- D ．223y x x =++ 5. 若2y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ） 新北师大版高一必修一期末测试卷（共2套 附解析） 综合测试题(一) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2016·全国卷Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝ ( ) A ．(－3，－32) B ．(－3，3 2) C ．(1，3 2 ) D ．(3 2 ，3) 2．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6 x －3 的定义域( ) A ．(2,3) B ．(2,4] C ．(2,3)∪(3,4] D ．(－1,3)∪(3,6] 3．下列各组函数，在同一直角坐标中，f (x )与g (x )有相同图像的一组是 ( ) A ．f (x )＝(x 2)1 2 ，g (x )＝(x 1 2 )2 B ．f (x )＝x 2－9 x ＋3 ，g (x )＝x －3 C ．f (x )＝(x 1 2 )2，g (x )＝2log 2x D ．f (x )＝x ，g (x )＝lg10x 4．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 5．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是 ( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．0 § 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b a c a b -- ，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - 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