椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1：已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
练习：
1.6=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
2.10=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
3.10=成立的充要条件是（ ）
A.
2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22
1925
x y +=
4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是
5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ；
6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线
例1.方程
22
11625
x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 （二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；
例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
（四）定义法求轨迹方程；
例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；
练习：
1、动圆P 与圆2
2
1:(4)81C x y ++=内切与圆2
2
2:(4)1C x y -+=外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。 2、已知动圆C 过点A (2,0)-，且与圆222:(2)64C x y -+=相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；
（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB ?=的点，求点P 的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1
2
，求此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题
椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；
椭圆22
22
1(0)x y a b a b
+=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PFF ?中，12FPF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ①122PF PF a +=； ②2
2
21
2
122cos 4c PF PF PF PF α=
+
-；
③12
121sin 2
PF F S PF PF α?==2tan 2
b α?。（b 短轴长）
例：知椭圆2211625
x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求
1PF 、2PF 及
12cos F PF ∠；
练习：
1、椭圆22
1x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；
12F PF ∠的大小为 ；
2、P 是椭圆
22
1259
x y +=上的一点，1F 和2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=。 （1）求12F PF ?的面积；
（2）求点P 的坐标。
题型四.椭圆的几何性质
例 1.已知P 是椭圆22
221x y a b
+=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距
为c ，则12PF PF ?的最大值与最小值之差为
例2.椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭
圆的离心率为 ；
例3.若椭圆
22
114
x y k +=+的离心率为12，则k = ；
例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且0
1215PF F ∠=，
02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为
题型五.求范围
例1.方程22
22
1(1)
x y m m +=-焦点在x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；
题型六.求离心率
例 1. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直
线AB
，则椭圆的离心率e =
例2.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，
则椭圆的离心率为
例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；
练习
1、（2010南京二模）以椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准
线交于A 、B 两点，已知O AB ?是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；
2、已知A B C 分别为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点、上顶点、和左焦点，若0
90ABC ∠=，则
该椭圆的离心率为 ；
3、（2012年新课标）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线32a
x =上一
点,?21F PF 是底角为30的等腰三角形,则
E 的离心率为 （ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45
4、椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等
比数列,则此椭圆的离心率为______
题型七.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆2
2
916144x y +=相切、相交、相离？
例2.曲线222
22x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。
例 3.过点
例4.
（二）弦长问题
例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为
3
13
4，求点A 的坐标。
例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点， 若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为2
2
，求,a b 的值。
例3.椭圆120
452
2=+y x 的焦点分别是1F 和2F
，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ?的面积是20，求直线方程。
（三）弦所在直线方程
例1.已知椭圆
22
1164
x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；
例2.已知一直线与椭圆224936x y +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；
例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3
2
=
e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为
（1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ?的面积； （2）当OAB ?的面积最大时，求椭圆E 的方程．
（四）关于直线对称问题
例1.已知椭圆22
143
x y +=，试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；
例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率3
2
2=e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线2
1
-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。
题型八.最值问题
例1
．若(P -，2F 为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。
结论1：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ,00(,)P x y 为椭圆内一点，(,)M x y 为椭圆上任意一
点，则2MP MF +的最大值为12a PF +,最小值为12a PF -； 例2．(2,6)P -,2F 为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。
结论2设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ，00(,)P x y 为椭圆外一点，(,)M x y 为椭圆上任意一
点，则2MP MF +的最大值为12a PF +，最小值为2PF ;
2.二次函数法
例3．求定点(,0)A a 到椭圆122
22=+b
y a x 上的点之间的最短距离。
结论3：椭圆122
22=+b
y a x 上的点(,)M x y 到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公
式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范
围。
3.三角函数法
例4．求椭圆14
2
22=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值；
4.判别式法
例4的解决还可以用判别式法
结论5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
题型九.轨迹问题
例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是
例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程。
例3.已知圆22
:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。
椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
椭圆定义：平面内一动点到两定点1F ，2F 的距离和等于常数
2a （ 大于12F F =2c ）点的集合叫椭圆；即
12
|2}{M MF MF a P +==
注：当a c
>时轨迹为椭圆；当a c
=时轨迹为线段12F F ；当a c
<时无轨迹。
例1：已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
练习：
1.6=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
2.10=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
3.10=成立的充要条件是（ ）
A.
2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22
1925
x y +=
4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是
5.过椭圆2
2
941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ；
6.设圆2
2
(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
题型二. 椭圆的方程
（一）由方程研究曲线
例1.方程22
11625
x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；
例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22
9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等
差数列时顶点A 的轨迹；
练习1、动圆P 与圆221:(4)81C x y ++=内切与圆222:(4)1C x y -+=外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。
练习2、已知动圆C 过点A (2,0)-，且与圆222:(2)64C x y -+=相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；
（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB ?=的点，求点P 的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1
2
，求此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题
椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；
椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PFF ?中，
12FPF α=∠，则当
P 为短轴端点时α最大，且 ①
122PF PF a +=；
②2
2
21
2
122cos 4c PF PF PF PF α=+
-；
③12
121
sin 2
PF F
S PF PF α?=
=2tan 2b α?。（b 短轴长）
例：知椭圆
22
11625
x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；
练习：
1、（2009北京）椭圆
22
192
x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ；
2、P 是椭圆
22
12516
x y +=上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ?的面积等于
()
A 3
3
16 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 3、P 是椭圆
22
1259
x y +=上的一点，1F 和2F 为左右焦点，若1260F PF ∠=。 （1）求12F PF ?的面积；
（2）求点P 的坐标。
题型四.椭圆的几何性质
例 1.已知P 是椭圆22
221x y a b
+=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距
为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为
例2.椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭
圆的离心率为 ；
例3.若椭圆
22
114
x y k +=+的离心率为12，则k = ； 例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，0
21
75PF F ∠=，则椭圆的离心率为
题型五.求范围
例1.方程22
22
1(1)
x y m m +=-焦点在x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；
题型六.求离心率
例 1. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直
线AB
，则椭圆的离心率e =
例2.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，
则椭圆的离心率为
例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；
1、（2010南京二模）以椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准
线交于A 、B 两点，已知O AB ?是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；
2、已知A B C 分别为椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点、上顶点、和左焦点，若0
90ABC ∠=，则
该椭圆的离心率为 ；
3、（2012年新课标）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线32a
x =上一
点,?21F PF 是底角为30的等腰三角形,则
E 的离心率为 （ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．45
4、椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等
比数列,则此椭圆的离心率为______
题型七.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？
例2.曲线22222x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值范围。
例3.过点)0 ,3(-P 分析：的斜率一定要存在，3-=my x 了运算。
解：设11(,),(A x y B |||211y OP S AOB ?=
?把3-=my x 代入椭圆方程得：0124)332(3222=-++-y my y m ，即 0336)43(22=--+my y m ，4
336221+=
+m m
y y ，43322
1+-=m y y 481444
314312)43(108||2
2
222221++=+++=-x m m m m y y 3)13(1
33443133443394222222+++?=++?=++=m m m m m m 232341
33133422=≤++
+=m m m
∴3223=?≤
S ，此时1
331322+=
+m m 36
±=m
令直线的倾角为α，则tan
2α==±
即OAB ?面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为2
6
±。 例4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。
（二）弦长问题
例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦
长为
3
13
4，求点A 的坐标。 分析：若直线y kx b =+与圆锥曲线(,)0f x y =相交于两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，
则弦PQ 的长度的计算公式为||1
1||1||212212
y y k
x x k PQ -+=-+=， 而21221214)(||x x x x x x -+=
-，因此只要把直线y kx b =+的方程代入圆锥曲线(,)0f x y =方程，消
去y （或x ），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设0(,0)A x （00x >），则直线l 的方程为0y x x =-，设直线l 与椭圆相交于11(,)P x y 、22(,)Q x y ，
由022
212
y x x x y =-??+=?，可得2200342120x x x x -+-=， 34021x x x =+，3
12
22
021-=?x x x ，则
2
02
020212
21212363
234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-
∴||13
144212x x x -?+=，即2
023********x -??= ∴204x =，又00x >，∴02x =，∴(2,0)A ；
例2.椭圆22
1ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，
若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为2
2
，求,a b 的值。
例3.椭圆120
452
2=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ?的面积是20，求直线方程。
（三）弦所在直线方程
例1.已知椭圆
22
1164
x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；
例2.已知一直线与椭圆224936x y +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；
例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率3
2
=
e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB
的比为
（1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ?的面积； （2）当OAB ?的面积最大时，求椭圆E 的方程．
解：（1）设椭圆E 的方程为12222=+b y a x
，由c e a ==a 2=3b 2
故椭圆方程22233x y b +=；
设1122(,),(,)A x y B x y ，由于点(1,0)C -分有向线段AB 的比为2．
∴???????=+-=+0
3
213
2212
1y y x x ，即???-=+-=+21212)1(21y y x x
由???+==+)
1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于1122(,),(,)A x y B x y
两点
?????
????
+-=+-=+>-+-=13331360)23)(13(4362
2
2212
2212224k b k x x k k x x b k k k Δ 而122222211333
|||2||||(1)||||1|22222
OAB S y y y y y k x k x ?=-=--==+=+ ⑥
由①④得:222131x k +=-+，代入⑥得：2
3||
(0)31OAB k S k k ?=≠+. （2
）因23||3313||||
OAB k S k k k ?==≤=
++, 当且仅当,3
3
±
=k OAB S ?取得最大值． 此时121x x +=-，又∵1
2
213
x x +=-，∴121,2x x =-=-； 将12,x x 及213
k =代入⑤得3b 2=5，∴椭圆方程22
35x y +=．
③
④
⑤
例 4.已知110
22(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22
143
x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。
（四）关于直线对称问题
例1.已知椭圆22
143
x y +=，
试确定m 的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4y x m =+对称；
例2.已知中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长等于6，离心率3
2
2=e ，试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同两点,A B ，且线段AB 恰被直线2
1
-=x 平分？若存在，求出直线l 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。
题型八.最值问题
例1
．若(P -，2F 为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。
分析：欲求2MP MF +的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义
212MF a MF =-, 1F 为椭圆的左焦点。
解：212MP MF MP a MF +=+-，连接1PF
2M 由三角形三边关系知111PF MP MF PF -≤-≤ 当且仅当M 与1M 重合时取右等号、M 与2M 因为1210,2a PF ==，所以2max ()12MP MF +=, 2min ()8MP MF +=；
结论1：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ,00(,)P x y 为椭圆内一点，(,)M x y 为椭圆上任意一
点，则2MP MF +的最大值为12a PF +,最小值为12a PF -； 例2．(2,6)P -,2F 为椭圆
116
252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MP MF +的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，2PF 交椭圆于M ，此点使2MP MF +值最小，求最大值方法同例1。 解：212MP MF MP a MF +=+-，连接1PF
并延长交椭圆于点M 1， 则M 在M 1处时1MP MF -取最大值1PF ；
∴2MP MF +最大值是10+37，最小值是41。
结论2设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为12,F F ，00(,)P x y 为椭圆外一点，(,)M x y 为椭圆上任意一
点，则2MP MF +的最大值为12a PF +，最小值为2PF ;
2.二次函数法
例3．求定点(,0)A a 到椭圆122
22=+b
y a x 上的点之间的最短距离。
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA ，转化为,x y 的函数求最小值。
解：设(,)P x y 为椭圆上任意一点，
2
22222211
()()1(2)122
PA x a y x a x x a a =-+=-+-
=-+-
由椭圆方程知x 的取值范围是[
（1）若2a ≤
，则2x a =时，min PA =
（2）若a >,则x =min PA a =
（3）若2
a <-,则min PA a =
结论3：椭圆122
22=+b
y a x 上的点(,)M x y 到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公
式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范
围。
3.三角函数法
例4．求椭圆14
2
22=+y x 上的点(,)M x y 到直线:24l x y +=的距离的最值；
解：三角换元d = ∵142
22=+y x ∴令()R y x ∈???==θθ
θsin cos 2
则)24d πθ==+-
当sin()14
π
θ+
=时min d =
；当sin()14πθ+=-时,max d =结论4：若椭圆
12
2
22=+b y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。 4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。令直线:20m x y c ++=将2x y c =--代入椭圆方程整理得2
2
8440y cy c ++-=，由△=0解得
c =±c =-时直线:20m x y +-=与椭圆切于点P ， 则P 到直线l 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m 与l 的距离，
所以min 5
d =；
c =:20m x y ++=与椭圆切于点Q ，则Q 到直线l 的距离为最大值，且最大值就是两
平行直线m 与l 的距离，所以max d =
。
结论5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题,可转化为与l 平行的直线m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
例5.已知定点(A -，点F 为椭圆22
11612
x y +=的右焦点，点M 在该椭圆上移动时，求2AM MF +的最小值，并求此时点M 的坐标；（第二定义的应用）
例3．已知1F 、2F 分别为椭圆
22
110064
x y +=的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为(2,6)-，P 为椭圆上的一个动点，试分别求：
（1）25
3
PM PF +的最小值； （2）2PM PF +的取值范围． 解：（1）
44
3
，此时点P 为过点M 且垂直于l 的线段与椭圆的交点； （2）由椭圆的定义知1220PF PF +=，故2120PM PF PM PF +=+-，
①1110PM PF MF -≤=，故230PM PF +≤
（当且仅当P 为有向线段1MF 的延长线与椭圆的交点时取“=”）； ②1110PF PM MF -≤=，故2120()10PM PF PF PM +=--≥; （当且仅当P 为有向线段1MF 的反向延长线与椭圆的交点时取“=”） 综上可知，2PM PF +的取值范围为[10,30];
题型九.轨迹问题
例1．到两定点(2,1)，(2,2)--的距离之和为定值5的点的轨迹是
例2．已知点(3,0)A ，点P 在圆221x y +=的上半圆周上(即y ＞0)，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程。
例3.已知圆22
:(3)100C x y -+=及点(3,0)A -，P 是圆C 上任一点，线段PA 的垂直平分线l 与PC 相交于Q 点，求Q 点的轨迹方程。
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
椭圆知识点 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质 椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122 22=+b x a y )0(>>b a 的简单几何性质
1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a += 2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长a b 2 2 3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。 4.焦点三角形的面积2 tan 2 21θ b S F PF =?，其中21PF F ∠=θ 5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤． (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程： ①依据上述判断设方程为2222b y a x +=1)0(>>b a 或22 22a y b x +=1)0(>>b a ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2 2 22b y a x +>1, 点在椭圆外。 7.直线与椭圆的位置关系 设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． (1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点． 8.弦长公式： 若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
椭圆知识点总结复习 1. 椭圆的定义： （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参 数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB 上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线： 两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 例二：设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦 点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP 平行，求离心率e
2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共 点T ，且椭圆的离心率2 e = （1）求椭圆的方程 （2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：2 121 2 AT AF F =. ?4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 例五：已知椭圆22 221x y a b +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右 准线的距离为____（答：10/3）； 例六：椭圆1342 2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ， 使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3 6 2( -） ； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：0||S c y =，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；
椭圆的基本知识 1．椭圆的定义：把平面与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12 2=+b a （a ＞ b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0) 不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线 向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相 关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得 x 2 ＋(2y )2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2 ， 即c 2＝a 2－b 2 ． 7.椭圆的几何性质：
椭 圆 1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c). 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2 +ny 2 =1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法 . ,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x 0 , y 0 ), 则x ＝x 0, y ＝ 2 0y 得x 0＝x ， y 0＝2y. ∵x 02 ＋y 02 ＝4, 得x 2 ＋(2y)2 ＝4, 即.14 2 =+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2 ，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里． 5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b)、B 2(0, b)是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a,0)、A 2(a,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2 ． a A 1y O F 1F 2 x B 2 B 1 A 2c b y O F 1F 2x M c c x F 2 F 1 O y M c c y x P O P ' M
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ()c 2. 椭圆的几何性质:以 ()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?, 2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且 22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -= 越小， 椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2 2c a b -=越大，椭圆越接近圆。
椭圆常见题型总结 1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决; 0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的 ① PF [ PF 2 2a ； 人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 2 2 2 3、椭圆的中点弦： 设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点, a b M(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB 4、椭圆的离心率 求椭圆离心率时注意运用： e C , a 2 b 2 C 2 a 2 2 若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(a a b 椭圆 x 2 y2 !(a b a b PF i F 2 中，F 1PF 2 ，则当P 为短轴端点时 最大，且 ②4C 2 2 PF i 2 PF 2 2 PF 1 PF 2 COS ③ S PF 1F 2 1 1|PF i |PF 2 sin 2 =b tan ( b 短轴长) 2 2、直线与椭圆的位置关系： 直线y 2 kx b 与椭圆笃 a 2 b 1(a b 0)交于 b 2X o ； ~2~ ； a y 。 范围：0 e 1, e 越大，椭圆就越扁。 5、椭圆的焦半径 b 0)上任一点，焦点
为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径 PF i a ex o , PR a ex o ； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定 a 2, b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程; ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程; ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为 Ax 2 By 2 1； 椭圆方程的常见题型 2 x 2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆 y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程 4 的轨迹方程是（ ） 2 x 2 “ C y 1 4 6、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方 2 2 a ， b ,从而求出标 1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线 10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程 3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为 10,则M 的轨迹为（ A 椭圆 B 圆 4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 2 4y 2 2 2 2 2 A 乞匕1 B x L 1 15 10 10 15 C 直线 D 线段 36有共冋焦点的椭圆为 （ ) 2 2 2 2 C0匕1 x D — 工1 5 10 10 5 2 2 5、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点M A 4x 2 y 2 1 B x 2 4y 2 1
（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：
【椭圆】 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦 点的距离叫作椭圆的焦距。 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ） （1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ,其中2 22b a c -=； （2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 2、两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以122 22=+b y a x )0(>>b a 为例） 1、对称性： 对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形;并且 是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围: 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 a x ≤, b y ≤。
3、顶点： ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ,),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4、离心率: ① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ② 因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 椭圆与双曲线常见题型总结(附答案) 椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。 椭圆的知识点总结（一） 一、椭圆的定义 1、椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离和等于常数(2a ，且2a>|F 1F 2|）点的轨迹叫做椭圆。 说明：两个定点F 1（c ，0）、F 2（-c ，0）叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c ）； 建立合适的坐标系，椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为2a ，椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为2b 。 2、椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当0 二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程 ● 焦点在x 轴，22 22x 1y a b +=（a>b>0） ● 焦点在y 轴，22 22x 1y b a +=（a>b>0） 椭圆上任意一点到F 1，F 2距离的和为2a ，F 1，F 2之间的距离为2c 。而公式中的b2=a2-c2，b 是为了书写方便设定的参数，同时在椭圆的图像中，b 代表短轴的一半。 ● 当焦点位置不明确时，方程可设为2 2 m 1x ny +=（m>0，n>0，且m≠n ），即标准方程 的统一形式。 ● 根据椭圆的第一定义推导标准方程： 考虑焦点在x 轴的情况（焦点在y 轴的情况类似），根据椭圆的第一定义，建立坐标系，以F 1，F 2的连线为x 轴，F 1，F 2的中垂线为y 轴。 1222222222222 222222242222,)F -,0F ,022()44()444()() 22p x y c c a a x c y a x c y a xc a x c y a xc a x a xc a c a y a a xc x c a ==-++=--+=-??-+=-??-++=-+设点坐标为（，坐标为（），坐标为（）222224222222222222422222422224222222222222222222 22)() 1x a c a y a x c b a c a x a a b a y a x a b a x a a b a y a x a x b a b a y x b x b a y a b x y a b ++=+=-+-+=+-+-+=+--+=-+=+=令，代入，有 （ ● 根据椭圆的第二定义推导标准方程： 椭圆题型归纳大全 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y += 4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程； 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19 82 2=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82 +=k a ，92 =b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得 4191=-k ，即4 5 -=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离： 0? 椭圆各类题型分类汇总 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 例5 已知动圆P 过定点()03， -A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+ y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴 端点为 1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 3.第二定义应用 例1 椭圆112 162 2=+ y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标． 例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距 离． 例3 已知椭圆15 92 2=+ y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆1492 2=+ y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使 AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用 考点11 椭圆 1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ． 45 B ．35 C ．25 D ．15 【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出a 、b 、c 的关系，再转化为a 、c 间的关系，从而求出e . 【规范解答】选B .Q 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,∴ 2b a c =+， ∴ 224()b a c =+，即： 22242b a ac c =++，又 222a b c =+， ∴ 224()a c -=222a ac c ++，即 223250a ac c --=，()(35)0a c a c +-=，∴ 0a c +=（舍去）或 350a c -=，∴ 3 5 c e a = =，故选B . 2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?u u u r u u u r 的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值. 【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P 为动点，依题意写出OP FP ?u u u r u u u r 的表达式，进而转化 为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C ，设()00P x ,y ，则2222 0000x y 3x 1y 3434 +==-即，又因为()F 1,0- ()2000OP FP x x 1y ∴?=?++u u u r u u r 2001x x 34=++()2 01x 224 =++，又[]0x 2,2∈-， () []OP FP 2,6∴?∈u u u r u u r ，所以 ()max 6OP FP ?=u u u r u u u r . 3.（2010·海南高考理科·T20）设12,F F 分别是椭圆E:22 221x y a b +=（a>b>0）的左、右焦 点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列. （Ⅰ)求E 的离心率； （Ⅱ）设点P （0,-1）满足PA PB =,求E 的方程.高中数学椭圆题型完美归纳(经典)
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