【真题】15年山东省枣庄市滕州五中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)

2014-2015学年山东省枣庄十六中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知函数，则=．2．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．3．（5分）已知||=1，||=，且，的夹角为，则|﹣|的值为．4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x），若∥，则实数x=．5．（5分）在等差数列{a n}中，若a2=5，a5=2，则a7=．6．（5分）已知函数，若函数f（x）的零点所在的区间为（k，k+1）（k∈Z），则k=．7．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为．8．（5分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（2014）=．10．（5分）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为．11．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB=2，C=，点E，F为AB边的三等分点，则=．12．（5分）已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．14．（5分）已知等比数列{a n}的首项为，公比为，其前n项和为S n，若对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（14分）已知集合．（1）若A∩B=A，求a的取值范围；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象如何变换得来，请详细说明．17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．18．（16分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；②设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式．（Ⅱ）求梯形部件ABCD面积y的最大值．19．（16分）已知整数列{a n}满足a3=﹣1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2．20．（16分）已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x﹣12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2﹣x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1﹣t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．2014-2015学年山东省枣庄十六中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知函数，则=8．【解答】解：f（﹣4）=24=16，∴f[f（﹣4）]=f（16）=log416=2；∵log2=﹣log26＜0，∴f（log2）==6，∴f[f（﹣4）]+f（log2）=8．故答案是8．2．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．3．（5分）已知||=1，||=，且，的夹角为，则|﹣|的值为1．【解答】解：|﹣|2=+=1﹣2×cos+3=4﹣3=1，故|﹣|=1，故答案：1．4．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x），若∥，则实数x=﹣4．【解答】解：向量=（1，2），=（﹣2，x），且，可得：x=﹣2×2=﹣4．故答案为：﹣4．5．（5分）在等差数列{a n}中，若a2=5，a5=2，则a7=0．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，a5=2，∴d==﹣1，∴a7=a5+2d=2﹣2=0故答案为：0．6．（5分）已知函数，若函数f（x）的零点所在的区间为（k，k+1）（k∈Z），则k=1．【解答】解：由于函数，可得f（1）=0﹣1=﹣1＜0，f（2）=ln2﹣=ln＞ln1=0，故函数f（x）的零点所在的区间为（1，2），故k=1，故答案为：1．7．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．【解答】解：y′=﹣5e x，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．8．（5分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（2014）=﹣．【解答】解：由函数的图象可得A=5，周期T==11﹣（﹣1）=12，∴ω=．再由五点法作图可得（﹣1）+φ=0，∴φ=，故函数f（x）=5sin（x+）．故f（2014）=5sin（+）=5sin=5sin（336π﹣）=5sin（﹣）=﹣5sin=﹣，故答案为：﹣．10．（5分）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．【解答】解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣11．（5分）已知△ABC为等腰直角三角形，AB=2，C=，点E，F为AB边的三等分点，则=．【解答】解：因为△ABC为等腰直角三角形，AB=2，C=，点E，F为AB边的三等分点，所以=0，∠A=∠B=45°，所以=（）•（）==0++﹣=；故答案为：．12．（5分）已知函数是偶函数，直线y=t与函数y=f（x）的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB=BC，则实数t的值为．【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以x＞0时恒有f（﹣x）=f（x），即x2﹣bx+c=ax2﹣2x﹣1，所以（a﹣1）x2+（b﹣2）x﹣c﹣1=0，所以，解得a=1，b=2，c=﹣1，所以f（x）=，由t=x2+2x﹣1，即x2+2x﹣1﹣t=0，解得x=﹣1±，故x A=﹣1﹣，x B=﹣1+，由t=x2﹣2x﹣1，即x2﹣2x﹣1﹣t=0，解得x=1±，故x C=1﹣，因为AB=BC，所以x B﹣x A=x C﹣x B，即2=2﹣2，解得t=﹣，故答案为：﹣．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．【解答】解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}的首项为，公比为，其前n项和为S n，若对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为．【解答】解：∵等比数列{a n}的首项为，公比为，∴S n==令t=，则，S n=1﹣t，∴∵S n﹣的最小值为﹣，最大值为，∴对任意n∈N*恒成立，则B﹣A的最小值为=．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（14分）已知集合．（1）若A∩B=A，求a的取值范围；（2）若A∩B≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）解得A=（﹣1，0]；B=（a+1，a+4）∵A∩B=A 则A⊆B即为﹣4＜a≤﹣2；（2）A∩B≠∅，即满足解得﹣5＜a＜﹣1；答：A∩B=A时，a的取值范围是﹣4＜a≤﹣2；A∩B≠∅，a的取值范围是﹣5＜a ＜﹣1．16．（14分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos（2x+）+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）函数f（x）的图象可由y=sinx的图象如何变换得来，请详细说明．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）﹣cos（2x+）+2cos2x=所以：，（2）令：）解得：所以：f（x）增区间为，同理求得：f（x）减区间为（3）变换步骤：（答案不唯一）y=sinx所有的横标变为原来的得到：y=sin2x所有点向左平移个单位得到：所有点的纵标伸长原来的2倍得到：所有的点向上平移一个单位得到：．17．（14分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=318．（16分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为y平方米．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设CD=2x（米），将y表示成x的函数关系式；②设∠BOC=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式．（Ⅱ）求梯形部件ABCD面积y的最大值．【解答】解：如图所示，以直径AB所在的直线为x轴，线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，过点C作CE垂直于x轴于点E，（I）①∵CD=2x，∴OE=x（0＜x＜1），，∴=，②∵，∴OE=cosθ，CE=sinθ，∴，（II）（方法1）由①可知，y=（x+1），∴，令t=﹣x4﹣2x3+2x+1，∴t'=﹣4x3﹣6x2+2=﹣2（2x3+3x2﹣1）=﹣2（x+1）2（2x﹣1），令t'=0，解得，x=﹣1（舍），∴当时，t'＞0，则函数t在（0，）上单调递增，当时，t'＜0，则函数在（，1）上单调递减，∴当时，t有最大值，∴y max=，答：梯形部份ABCD面积y的最大值为平方米．（方法2）由①可知，y=（x+1），∴，令y'=0，∴2x2+x﹣1=0，（2x﹣1）（x+1）=0，∴，x=﹣1（舍），∵当时，y'＞0，则函数y在（0，）上单调递增，当时，y'＜0，则函数y在（，1）上单调递减，∴当时，，答：梯形部份ABCD面积的最大值为平方米．（方法3）由②可知，∴y'=[（sinθ+sinθcosθ）]'=（sinθ）'+（sinθ•cosθ）'=cosθ+cos2θ﹣sin2θ=2cos2θ+cosθ﹣1，令y'=0，∴2cos2θ+cosθ﹣1=0，解得，即，cosθ=﹣1（舍），∵当时，y'＞0，则函数y在上单调递增，当时，y'＜0，则函数y在上单调递减，∴当时，，答：梯形部份ABCD面积的最大值为平方米．19．（16分）已知整数列{a n}满足a3=﹣1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求出所有的正整数m，使得a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2．【解答】解（1）设数列前6项的公差为d，d为整数，则a5=﹣1+2d，a6=﹣1+3d，d为整数，又a5，a6，a7成等比数列，所以（3d﹣1）2=4（2d﹣1），解得d=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分当n≤4时，a n=n﹣4，由此a5=1，a6=2，数列第5项起构成以2为公比的等比数列．当n≥5时，a n=2n﹣5，故通项公式为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分（2）由（1）知数列{a n}为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，16，…当m=1时等式成立，即﹣3﹣2﹣1=﹣6=（﹣3）（﹣2）（﹣1）；等式成立．当m=3时等式成立，即﹣1+0+1=0；等式成立．当m=2、4时等式不成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分 当m ≥5时，即a m +a m +1+a m +2=2m ﹣5（23﹣1），a m a m +1a m +2=23m ﹣12． 所以a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2．；故所求的m=1，或m=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣15分20．（16分）已知函数，设曲线y=f （x ）在与x 轴交点处的切线为y=4x ﹣12，f′（x ）为f （x ）的导函数，且满足f′（2﹣x ）=f′（x ）． （1）求f （x ）； （2）设，求函数g （x ）在[0，m ]上的最大值；（3）设h （x ）=lnf′（x ），若对一切x ∈[0，1]，不等式h （x +1﹣t ）＜h （2x +2）恒成立，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）求导数可得f′（x ）=x 2+2bx +c ∵f′（2﹣x ）=f′（x ），∴f′（x ）关于x=1对称，∴b=﹣1与x 轴交点处的切线为y=4x ﹣12，设交点为（a ，0），则f （a ）=0，f′（a ）=4 ∴在（a ，0）处的切线为：y=4（x ﹣a ）+0=4x ﹣4a=4x ﹣12，∴4a=12，∴a=3 由f'（3）=9﹣6+c=3+c=4得：c=1 由f （3）=×27﹣32+3+d=0得：d=﹣3 所以有：2+x ﹣3（2）=x |x ﹣1|当x ≥1时，g （x ）=x （x ﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣）2﹣，函数为增函数 x ＜1时，g （x ）=﹣x 2+x=﹣（x ﹣）2+，最大为g （）= 比较g （m ）=m （m ﹣1）与得：m ≥时，m （m ﹣1）≥因此，0＜m时，g （x ）的最大值为m ﹣m 2；时，g （x ）的最大值为； m ＞时，g （x ）最大值为m 2﹣m（3）h （x ）=ln （1﹣x ）2． ∵h （x +1﹣t ）＜h （2x +2） ∴ln （t ﹣x ）2＜ln （2x +1）2 ∴（t ﹣x ）2＜（2x +1）2 ∴|t ﹣x |＜2x +1 ∴﹣2x ﹣1＜t ﹣x ＜2x +1 ∴﹣x ﹣1＜t ＜3x +1 ∵x ∈[0，1]且上式恒成立∴t ＞﹣x ﹣1的最大值且t ＜3x +1的最小值 ∴﹣1＜t ＜1 则有﹣1＜t ＜0． ：∵（t ﹣x ）2＞0 ∴t ≠x ∵x ∈[0，1] ∴t ∈（﹣1，0）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmn n na a m n Na a-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

2024-2025学年山东省枣庄市高三上学期第一次联考数学检测试题1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01．卷一（选择题共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1. 已知集合M ={1,2,3,4},N ={3,5}，则M ⋂N 等于（）．A. {3}B. {1,3}C. {2,3,4}D. {1,2,3,4,5}【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解.{1,2,3,4},N ={3,5}{3}，根据交集的定义可知M ⋂N =.【详解】由集合M =故选：A ．） B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知实数a >b ，则“ac >bc ”是“c >0”的（A. 充分不必要条件C. 充要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】实数a >b ，则a -b >0，当ac >bc 时，ac -bc =c (a -b )>0，因此c >0，当c >0时，而a >b ，则ac >bc ，所以“ac >bc ”是“c >0”的充要条件.故选：C3. 已知复数(2)()i x y x y +--实部和虚部分别为5和1-，则实数x 和y 的值分别是（ ）A. 2，1- B. 2，1C. 1-，2D. 1，2-【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算即得.【详解】由复数(2)()i x y x y +--的实部和虚部分别为5和1-，得25()1x y x y +=⎧⎨--=-⎩，所以2,1x y ==.故选：B 4. 函数()f x 的定义域是（ ）A. [)4,+∞B. (],2-∞-C. []2,4-D. (][),24,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】先由函数有意义得130x --≥，解该不等式即可得解.【详解】要使函数有意义，则130x --≥，即13x -≥，所以13x -≥或13x -≤-，解得4x ≥或2x ≤-，所以函数的定义域为(][),24,-∞-⋃+∞.故选：D.5. 若m 是2和8的等比中项，则实数m 的值是（ ）A. 5 B. 5-或5C. 4D. 4-或4【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果.【详解】依题意，228m =⨯，所以4m =±.故选：D6. 已知角a 终边上一点()3,4P -，则sin 2α的值为（ ）的A. 45-B.35C.2425D. 2425-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数定义和二倍角的正弦公式即可得到答案.【详解】由题意得4sin 5α==-，3cos 5α==，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：D.7. 过直线20x y ++=与40x y --=的交点且与直线210x y ++=垂直的直线方程为（ ）A. 250x y ++= B. 250x y +-=C. 250x y -+= D. 250x y --=【答案】D 【解析】【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得.【详解】由2040x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =⎧⎨=-⎩，则所求方程的直线过点(1,3)-，设所求直线方程为20x y m -+=，于是21(3)0m ⨯--+=，解得5m =-，所以所求直线方程为250x y --=.故选：D8. 如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++=（ ）A. ABB. ACC. ADD. BD【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的加法法则计算即得.【详解】在矩形ABCD 中，AO OB AD AB AD AC =+++=.故选：B9. 已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为()2,0）A. 22125x y += B. 22154x y +=C. 2215x y += D. 2215y x +=【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆焦点坐标与离心率公式得到关于,,a b c 的方程组，解之即可得解.【详解】由题可得椭圆焦点在x轴上，且222212c a c b a c a b c=⎧⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，所以椭圆的标准方程是2215x y +=.故选：C.10. 某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】把几何体的正视图和俯视图置于长方体中，作出原几何体即可.【详解】在长方体MNQP ABCD -中，由俯视图为正方形及一条对角线知，4条侧棱,,,AM BN CQ DP 上各有一个点为几何体的顶点，则左视图不可能为圆，A 不是；正视图为直角三角形，则棱,,MP AD BC 上各有一个点为几何体的顶点，左视图若为B 选项对应图形，则俯视图没有正方形的那条对角线，B 不是；左视图若为D 选项对应图形，则棱,MN PQ 上各有一个点为几何体的顶点，此时正视图不符合要求，D 不是；当点P A B C D ,,,,都为几何体的顶点时，几何体为四棱锥P ABCD -，其正视图和俯视图都符合题意，左视图为选项C 对应的三角形.故选：C11. 已知()tan 3π3α-=，且α是第二象限角，则sin α等于（ ）A.B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系得到方程组，解出即可.【详解】()tan 3πtan 3αα-=-=，则sin tan 3cos ααα==-，又因为22sin cos 1αα+=，且α第二象限角，所以sin α=.是故选：C.12. 如图所示，动点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上沿A B C D →→→运动，x 表示动点P 由A 点出发所经过的路程，y 表示APD △的面积，则函数y =f (x )的大致图像是（ ）．AB.C. D.【答案】A 【解析】【分析】分[]0,1x ∈，[]1,2x ∈，[]2,3x ∈求出解析式，然后可知图象.【详解】当[]0,1x ∈时，2xy =，是一条过原点的线段；当[]1,2x ∈时，12y =，是一段平行于x 轴的线段；当[]2,3x ∈时，32xy -=，图象为一条线段.故选：A ．13. 已知向量()()1,3,2,4a b =-=-，若()4320a b a c +-+= ，则向量c 的坐标为（ ）A. ()1,1-B. (−1,1)C. ()4,6-D. ()4,6-【答案】D 【解析】【分析】利用向量的坐标运算求解.【详解】向量()()1,3,2,4a b =-=-，若()4320a b a c +-+=，.则()()()()4322321,332,44,6c a b a a b =---=--=----=-.故选：D.14. 已知圆的圆心为()1,2-，且直线34140x y -+=与圆相切，则圆的标准方程为（ ）A. ()()221225x y -++= B. ()()22125x y -++=C. ()()221225x y ++-= D. ()()22125x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】由直线与圆相切结合点到直线距离公式求出圆的半径r 即可得解.【详解】因为直线34140x y -+=与圆相切，设圆的半径为r ，则5r ，所以圆的标准方程为()()221225x y -++=.故选：A.15. 计算：cos 7.5cos52.5sin 7.5sin 52.5- 等于（）A.12B.C.D. 【答案】A 【解析】【分析】根据两角和余弦公式即可得到答案.【详解】()1cos 7.5cos52.5sin 7.5sin 52.5cos 7.552.5cos 602-=+==.故选：A16. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，,M N 分别为,PC AC 上的点，且//MN 平面PAD ，则下列说法正确的是（ ）.A. //MN PDB. //MN PAC. //MN ADD. 以上均有可能【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理判断即可.【详解】直线MN ⊂平面PAC ，//MN 平面PAD ，平面PAC 平面PAD PA =，所以//MN PA .故选：B17. 在213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式的项数是（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A 【解析】【分析】先由二项式系数公式求出n ，再由二项式展开式定理即可得解.【详解】由题得2646n n =⇒=，所以二项式6213x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的项数是617+=.故选：A.18. 将5名志愿者分配到4个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种【答案】B 【解析】【分析】将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1，再将这4组志愿者分配到4个不同的社区，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1，再将这4组志愿者分配到4个不同的社区，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为2454C A 240=.故选：B.19. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ）A.322B.16C.323D.18【答案】B 【解析】【分析】求出从24个节气中选择4个节气的情况，和四个节气中含有“立春”的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.【详解】从24个节气中选择4个节气，共有424C 种情况，这四个节气中含有“立春”的情况有323C 种情况，故这4个节气中含有“立春”的概率为323424C 1C 6=.故选：B20. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 边的垂线，垂足为1A ，过点1A 作AC 边的垂线，垂足为2A ，过点2A 作1AC 边的垂线，垂足为3A ，…，依此类推．设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，678A A a =，则7a 等于（ ）A.14B.18C.116D.132【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，结合等腰直角三角形的性质可得数列{}n a 为等比数列，进而求出7a .【详解】依题意，数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即1n n a a +=，因此数列{}n a是首项11a ==，公比q =111n n n a a q --==，所以6718a ==.故选：B卷二（非选择题 共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡相应题号的横线上）21. 已知正方体的表面积为24，若球与正方体的各个面均相切，则该球的体积是________．【答案】4π3##4π3【解析】【分析】求出正方体的棱长，再利用球的体积公式求出体积.【详解】设正方体的棱长为a ，由正方体的表面积为24，得2624a =，解得2a =，因此与正方体的各个面均相切的球半径112R a ==，所以该球的体积是34π4π33V R ==.故答案为：4π322. 已知sin x =时，当()0,2πx ∈时，x =________．【答案】3π或23π.【解析】【分析】根据三角函数的性质即可得到答案.【详解】因为sin x =，()0,2πx ∈，则3x π=或23π.故答案为：3π或23π.23. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组)(单位：人).学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为___________.篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020【答案】30【解析】【分析】由篮球组的人数及抽取的人数求出分层抽样的抽样比，进而可得书画组、乐器组抽取的人数，再根据分层抽样的意义计算即得.【详解】依题意，篮球组60人抽取12人，则分层抽样的抽样比为121605=，由分层抽样的意义知，书画组40人抽取的人数为14085⋅=人，从而乐器组抽取的人数为3012810--=，于是得101205a =+，解得30a =，所以a 的值为30.故答案：3024. 设随机变量X ～162B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()3P x == _____【答案】【解析】【详解】试题分析：因为1(6,)2X B ~，满足二项分布，所以3336115(3)()(2216P X C ===考点：1．二项分布公式；25. 已知0a >且1a ≠，若函数(1)5,(,2)(),[2,)x a x x f x a x ∞∞-+∈-⎧=⎨∈+⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0,1)[3,)∞⋃+【解析】【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解.【详解】函数(1)5,(,2)(),[2,)x a x x f x a x ∞∞-+∈-⎧=⎨∈+⎩在(,)-∞+∞上单调，当()f x 在(,)-∞+∞上单调递减时，210012(1)5a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得01a <<；为当()f x 在(,)-∞+∞上单调递增时，21012(1)5a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-+≤⎩，解得3a ≥，所以实数a 的取值范围是(0,1)[3,)∞⋃+.故答案为：(0,1)[3,)∞⋃+三、解答题（本大题5个小题，共40分．请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上）26. 已知()f x 是二次函数，且()()()14,01,34f f f ===．（1）求()f x 的解析式；（2）若[]1,5x ∈-，求函数()f x 的最小值和最大值．【答案】（1）()241f x x x =-++； （2）min ()4f x =-，max ()5f x =．【解析】【分析】（1）设二次函数为()2,0f x ax bx c a =++≠，根据题意，列出方程组，求得,,a b c 的值，即可求解；（2）根据二次函数的性质，求得函数()f x 的单调区间，进而求得其最值.【小问1详解】解：设二次函数为()2,0f x ax bx c a =++≠，因为()()()14,01,34f f f ===，可得41934a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得1,4,1a b c =-==，所以函数()f x 的解析式()241f x x x =-++．【小问2详解】解：函数()241f x x x =-++，开口向下，对称轴方程为2x =，即函数()241f x x x =-++在[]1,2-单调递增，在[]2,5单调递减，所以()()min ()154f x f f =-==-，()max ()25f x f ==．27. 设等差数列{a n }满足35a =，109a =-（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值【答案】a n =11-2n,n=5时，S n 取得最大值【解析】【详解】试题分析：解：（1）由a n =a 1+（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得,a 1+9d=-9，a 1+2d=5,解得d=-2，a 1=9，,数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,（2）由（1）知S n =na 1+(1)2n n -d=10n-n 2．因为S n =-（n-5）2+25．所以n=5时，S n 取得最大值．考点：等差数列点评：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．28. 如图所示，,A B 是海面上位于东西方向的两个观测点，(53AB =+海里，D 点位于A 观测点北偏东45︒，且B 观测点北偏西60︒的位置，C 点位于B 观测点南偏西60︒，且BC =海里．现D 点有一艘轮船发出求救信号，C 点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求：（1）DB 的距离；（2）该救援船到达D 点所需要的时间．【答案】（1）海里（2）1小时【解析】【分析】（1）结合已知图形，在ABD △中利用正弦定理转化求解DB 的长.（2）在DBC △中利用余弦定理求出DC ，然后求解出该救援船到达D 点所需的时间．【小问1详解】由题意可知，904545DAB ∠=︒-︒=︒，906030DBA ∠=︒-︒=︒，则()180ADB DAB DBA ∠=-∠+∠ ()1804530=︒-︒+︒105=︒，而()sin105sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，在ADB中，(53AB =+，由正弦定理可得sin sin DB AB DAB ADB∠∠=，即sin 45DB =∠︒=DB =（海里）．【小问2详解】在DBC △中，60DBC ∠=︒，由余弦定理可得2222cos60DC DB BCDB BC =+-⨯⨯⨯︒222cos60=+-⨯︒900=，所以30DC =，则时间为30130=（小时），所以该救援船到达D 点需要的时间为1小时.29. 设函数()()12log 10f x ax =-，且()32f =-．（1）求a 的值；（2）求使()0f x ≥的x 的取值范围．【答案】（1）2a =；（2）9,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数式与指数式的互化可求得实数a 的值；（2）利用对数函数的单调性可得出关于实数x 的不等式，即可求得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：由已知可得()()123log 1032f a =-=-，可得1034a -=，解得2a =.【小问2详解】解：由（1）可得()()12log 102f x x =-，由()0f x ≥可得01021x <-≤，解得952x ≤<.因此，使()0f x ≥的x 的取值范围为9,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭.30. 已知函数21()cos cos 2f x x x x =-+ ()x R ∈（1）求()f x 的周期及单调增区间；（2）若5[0,]12x π∈时，求()f x 的最大值与最小值.【答案】（1）T π=，[,],63k k k Z ππππ-+∈；（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数性质求周期与增区间，（2）根据正弦函数性质求最值.【详解】（1）()1cos22f x x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的周期T π=单调增区间：222,,26263k x k k k k Z πππππππππ⎡⎤-≤-≤+⇒-+∈⎢⎥⎣⎦（2）520212663x x ππππ≤≤⇒-≤-≤ ()()min max 10,;,123x f x x f x π==-==当【点睛】本题考查正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查分析求解能力，属中档题.。

2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．22．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．753．（5分）下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜75．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．（5分）如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（）A．a2＞b2B．C．D．7．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．12 B．24 C．48 D．968．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米9．（5分）数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是（）A．2007×2008 B．2008×2009 C．20092D．2009×201010．（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A．1.14a B．1.15a C．10（1.15﹣1）a D．11（1.15﹣1）a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，则公比q=．12．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=．13．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块14．（5分）在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步．15．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＞0的解集是B，若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则：（1）求A∩B；（2）求a+b．16．（12分）a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12，bc=48，角A为锐角．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）已知b+c=14，求边长a．17．（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？18．（14分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{2an}是等比数列；＞2S n的成立的n的集合．（3）求使得S n+219．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．20．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．2014-2015学年山东省枣庄市滕州一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为Πn，则Π2013的为（）A．﹣ B．﹣1 C．D．2【解答】解：由a1=2，a n+1=1﹣，得，数列的项开始重复出现，呈现周期性，周期为3．且Π3=a1a2a3=﹣1，2013=3×671，所以Π2013=（﹣1）671=﹣1故选：B．2．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=1053．（5分）下列不等式（1）m﹣3＞m﹣5；（2）5﹣m＞3﹣m；（3）5m＞3m；（4）5+m＞5﹣m其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1）∵﹣3＞﹣5，∴m﹣3＞m﹣5，对于（2）∵5＞3，∴5﹣m＞3﹣m，对于（3）当m﹣0时，不成立，对于（4）当m=﹣1时，不成立，故正确的个数为2个，故选：B．4．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选：C．5．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2﹣2abcosC∴cosC===﹣＜0∴角C为钝角．6．（5分）如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（）A．a2＞b2B．C．D．【解答】解：由于实数a＞b＞0，故a2＞b2＞0，故A正确．由于实数a＞b＞0，可得，故B正确．由于实数a＞b＞0，可得，故C正确．由于实数a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴2﹣a＜2﹣b，即，故D 不正确，故选：D．7．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．12 B．24 C．48 D．96【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=，S4=20，∴S4=4×+d=20，解得公差d=3，∴S6=6a1+d=6×+15×3=48，故选：C．8．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米【解答】解：由题意，如图，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°∴AB=700米故选：C．9．（5分）数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+2n，那么a2009的值是（）A．2007×2008 B．2008×2009 C．20092D．2009×2010【解答】解：∵a1=0，a n+1=a n+2n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，…，a2009﹣a2008=4016，∴a2009=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a2009﹣a2008）=0+2+4+…+4016==2008×2009．故选：B．10．（5分）某厂去年产值为a，计划在5年内每年产值比上一年增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（）A．1.14a B．1.15a C．10（1.15﹣1）a D．11（1.15﹣1）a【解答】解：由题意，去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a+10%a，即a（1+0.1）=1.1a 第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a（1+0.1）2=1.12a依此类推，第五年是a（1+0.1）5=1.15a∴五年总产值为：1.1a+1.12a+…+1.15a==11（1.15﹣1）a故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11．（5分）在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，则公比q=2．【解答】解：在等比数列{a n}中，已知a3=4，a6=32，q3==8，∴q=2．故答案为：2．12．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=2．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=45°，BC=3，∴由正弦定理=得：AC===2．故答案为：213．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．14．（5分）在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．【解答】解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1化简得x2﹣x﹣a2+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈故答案为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步．15．（12分）已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＞0的解集是B，若不等式x2+ax+b＜0的解集是A∩B，则：（1）求A∩B；（2）求a+b．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3＜0解得﹣1＜x＜3，∴A={x|﹣1＜x＜3}由x2+x﹣6＞0解得x＜﹣3或x＞2，∴B={x|x＜﹣3或x＞2}∴∴A∩B=（2，3）（2）由不等式x2+ax+b＜0的解集是x2+ax+b=0，设x2+ax+b=0的两个实数根为x1、x2，则有，根据韦达定理，得：，解得，∴a+b=1．16．（12分）a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12，bc=48，角A为锐角．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）已知b+c=14，求边长a．【解答】解：（Ⅰ）由S=bcsinA，得12=×48×sinA，△ABC∴sinA=，∵A为锐角，∴A=60°；（Ⅱ）∵b+c=14，cosA=，bc=48，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=196﹣144=52，解得：a=2．17．（14分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分）…（5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）由（I）作出可行域如图．…（9分）由方程组得交点M（20，10）…（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）18．（14分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，4S2=S4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{2an}是等比数列；＞2S n的成立的n的集合．（3）求使得S n+2【解答】解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d由题意得：解得：a 1=1，d=2∴a n=2n﹣1（2）依题，数列{}是首项为2，公比为4的等比数列（3）由a1=1，d=2，a n=2n﹣1得S n=n219．（14分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故，∵A∈（0，π）∴A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．20．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列{a n}的通项a n；（3）设数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由得，a2=2a1=2，2a3=2S2，则a3=a1+a2=3，由3a4=2S3=2（a1+a2+a3），得a4=4；（2）当n＞1时，由na n=2S n①，得（n﹣1）a n=2S n﹣1②，+1﹣（n﹣1）a n=2（S n﹣S n﹣1），化简得na n+1=（n+1）a n，①﹣②得na n+1∴（n＞1）．∴a2=2，，…，，以上（n﹣1）个式子相乘得（n＞1），又a1=1，∴；（3）∵，∴=．。

山东省枣庄市滕州二中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1．集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )A．3 B．11 C．8 D．12考点：集合的表示法．专题：集合．分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数．解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选：B．点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题．2．直线的倾斜角α=( )A．30°B．60°C．120°D．150°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求．解答：解：可得直线的斜率为k==，由斜率和倾斜角的关系可得tanα=，又∵0°≤α≤180°∴α=30°故选A点评：本题考查直线的倾斜角，由直线的方程求出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题．3．直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是( )A．1 B．C．D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．专题：压轴题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．4．已知，则f（log23）=( )A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质．专题：计算题．分析：本题考查分段函数求值，以及对数的运算性质与指数的运算性质，需先判断log23的取值范围，然后代入相应的解析式求值解答：解：由题意的，，∵2=log24＞log23＞log22=1，∴f（log23）=f（1+log23）=f（2+log23）=f（3+log23）=（）3+log23=故选B．点评：本题对对数积的运算性质连续运用，并且在解题过程中须注意自变量取值范围的判断，是分段函数与对数运算性质、指数运算性质综合考查的一道好题．5．若方程lnx+x﹣5=0在区间（a，b）（a，b∈Z，且b﹣a=1）上有一实根，则a的值为( ) A．5 B．4 C．3 D．2考点：二分法的定义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令f（x）=lnx+x﹣5，则函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由题意可得f（a）=lna+a ﹣5＜0，且f（a+1）=ln（a+1）+a+1﹣5＞0，结合所给的选项，可得结论．解答：解：令f（x）=lnx+x﹣5，则函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．再由f（a）f（a+1）＜0可得 f（a）=lna+a﹣5＜0，且f（a+1）=ln（a+1）+a+1﹣5＞0．经检验，a=3满足条件，故选：C．点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．6．函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数的表达式为( )A．B．C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的表达式的形式结合图象，求出B，A，求出函数的周期，得到ω，函数经过（2，3）以及φ的范围求出φ的值，得到选项．解答：解：由题意可知A=2，B=1，T==6，ω==，因为函数经过（2，3）所以3=2sin（×2+φ）+1，|φ|＜，φ=﹣，所以函数的表达式为；故选A．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数图象的应用，注意周期的求法以及φ的求法是本题的关键，考查计算能力．7．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2…（2n﹣1）（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是( )A．2k+1 B．2k+3 C．2（2k+1）D．2（2k+3）考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k 时左边的式子，即得所求．解答：解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故选：C．点评：本题考查用数学归纳法证明等式，用n=k+1时，左边的式子除以n=k时，左边的式子，即得所求．8．若正数x，y满足x+y=1，且≥4对任意x，y∈（0，1）恒成立，则a的取值范围是( )A．（0，4] B． D．∴③满足条件，∴③正确．④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1﹣0=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0=1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．点评：本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力．二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在上的最小值是﹣15．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：先求导y′=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），从而判断函数的单调性，再求最小值即可．解答：解：y′=6x2﹣6x﹣12=6（x﹣2）（x+1），则y=2x3﹣3x2﹣12x++5在上单调递减，在上单调递增，∴y min=2×8﹣3×4﹣12×2+5=﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题考查了导数的应用，属于基础题．12．（文）若实数x，y满足则s=x+y的最大值为9．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数s=x+y的最大值．解答：解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=88．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质知S11=（a1+a11）=，由此能够求出结果．解答：解：等差数列{a n}中，∵a4+a8=16，∴S11=（a1+a11）===88．故答案为：88．点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．14．已知函数f（x）=e x﹣x2的导函数为f′（x），y=f（x）与y=f′（x）在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程f′（x）﹣f（a）=0在x∈（﹣∞，a]上有两解，则实数a 的取值范围是在（ln2，+∞）单调递增，要使满足题意，则由（1），（3）可知a≥2设h（a）=2﹣2ln2﹣e a+a2，h′（a）=﹣e a+2a＜0在a≥2恒成立，所以h（a）=2﹣2ln2﹣e a+a2在（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分5分．（选修4-2：矩阵与变换）15．设矩阵A=，B=（）（t为参数），则（AB）﹣1=．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：AB=，设=，可得=，解出即可．解答：解：AB=，设=，∴=，解得a=6，b=﹣2，c=3，d=﹣1，∴（AB）﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了矩阵的运算、逆矩阵的求法，考查了计算能力，属于基础题．（选修4-4：极坐标与参数方程）16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先将直线l的极坐标方程化为普通方程，再将曲线C的参数方程化为普通方程，再利用两曲线的方程解答：解：∵直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y=x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2=4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离为：，∴|AB|=2=2=．故答案为：．点评：本题考查了极坐标方程、参数方程转化为普通方程，还考查了求圆中的弦长，本题难度不大，属于基础题．（选修4-5：不等式选讲）17．函数y=的最大值等于2．考点：基本不等式．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由于y≥0，考虑平方法，化简整理，再由二次函数的值域，即可得到最大值．解答：解：由于y≥0，则y2=x﹣1+5﹣x+2=4+2=4+2当x=3时，y2取最大值4+2×2=8，即有y的最大值为2．故答案为：点评：本题考查函数的最值，考查可化为二次函数的最值的方法，注意运用平方法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．18．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合A，函数g（x）=2x﹣a（x≤2）的值域为集合B．（1）求集合A，B；（2）若集合A，B满足A∪B=A，求实数a的取值范围．考点：对数函数的定义域；并集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解一元二次不等式求得A，再由x≤2，指数函数的单调性求得函数g（x）的值域B．（Ⅱ）由A∪B=A可得B⊆A，从而得到4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）A={x|x2﹣2x﹣3}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或 x＞3}，再由x≤2，可得 0＜2x≤22=4，∴函数g（x）=2x﹣a≤4﹣a，求g（x）=2x﹣a＞0﹣a=﹣a．故B=（﹣a，4﹣a]．（Ⅱ）∵A∪B=A；∴B⊆A，∴4﹣a＜﹣1或﹣a≥3，解得 a＞5或a≤﹣3，∴实数a的取值范围为{a|a＞5，或a≤﹣3}．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性的应用，求函数的值域，两个集合间的包含关系，属于基础题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．20．数列{a n}的前n项和为S n=2n+1﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用公式，能求出数列{a n}的通项公式；利用等差数列的通项公式和等比数列的性质能求出数列{b n}的通项公式．（Ⅱ）由c n=，利用裂项求和法能求出数列{c n}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）因为S n=2n+1﹣2，所以，当n=1时，a1=S1=21+1﹣2=2=21，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2n=2n，又a1=S1=21+1﹣2=2=21，也满足上式，所以数列{a n}的通项公式为．b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b9成等比数列，得（2+2d）2=2×（2+8d），解得d=0（舍去）或d=2，所以数列{b n}的通项公式为b n=2n．（Ⅱ）c n=数列{c n}的前n项和：T n==1﹣=1﹣=．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．已知向量；令，（1）求f（x）解析式及单调递增区间；（2）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（3）若f（x）=，求的值．考点：平面向量的综合题；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性；三角函数的最值．专题：综合题．分析：（1）由向量，知==++2，由此能求出f（x）解析式及单调递增区间．（2）由f（x）=2+2cos（x+），，知，由此能求出f（x）=2+2cos（x+）的最大值和最小值．（3）由f（x）=，知，由此能够求出的值．解答：解：（1）∵向量，∴==++2=2+2cos（x+），增区间是：﹣π+2kπ，k∈Z，∴，k∈Z，∴f（x）解析式为f（x）=2+2cos（x+），单调递增区间是，k∈Z．（2）∵f（x）=2+2cos（x+），，∴，∴当时，f（x）=2+2cos（x+）有最大值2+；当时，f（x）=2+2cos（x+）有最小值2﹣．（3）∵f（x）=，∴，所以．点评：本题考查平面向量的综合应用，综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的灵活运用，合理地进行等价转化．22．如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．23．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．解答：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．点评：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。

2014-2015学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知全集为R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x＜﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}3．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位4．（5分）已知平面向量，满足||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B．C． D．5．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，则的值为（）A．0 B．1 C．D．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”7．（5分）同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．8．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，当且仅当n≥7时数列{S n}递增，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣16，﹣14]B．（﹣16，﹣14）C．[﹣16，﹣14）D．[﹣16，﹣14]10．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y=f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣或二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．（5分）函数f（x）=x（3lnx+1）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为．12．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ﹣μ=．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=．14．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是．15．（5分）设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（12分）已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，数列的前n项和为S n，若S n＞，试求n的最小值．19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，tanA=2．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求角B的大小．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．2014-2015学年山东省莱芜市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵复数z====﹣1+i，∴复数对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数对应的点的在第二象限，故选：B．2．（5分）已知全集为R，集合A={x|x2﹣x﹣2≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x＜﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A={x|﹣1＜x＜2}．故选：C．3．（5分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：=，∴为了得到函数的图象，只需把函数y=sin2x的图象向右平移个单位．故选：D．4．（5分）已知平面向量，满足||=||=2，（+2）•（﹣）=﹣2，则与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：设与的夹角为θ，由题意可得+﹣2b2=﹣2，即4+2×2×cosθ﹣2×4=﹣2，解得cosθ=．再结合θ∈[0，π]，∴θ=，故选：B．5．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，则的值为（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：当x∈（﹣1，0）时，f（x）=2﹣x，由题意函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得其周期是2，又log2（4）=，∴=f（）=f（+2）=f（）=﹣f（﹣）=﹣=﹣，故选：D．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题B．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件C．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”【解答】解：对于A，命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题，显然不正确，应该推出至少一个是真命题，所以A不正确．对于B，已知x∈R，则“x＞1”不能推出“x＞2”，反之成立，所以前者是后者的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以B不正确．对于C，命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是：a＜b则am2＜bm2，逆命题显然不正确，因为m=0时不成立．判断为逆命题是真命题，是错误的，所以C 不正确；对于D，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x≤0”符号特称命题与全称命题的否定关系，是正确的，所以D正确．故选：D．7．（5分）同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．【解答】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（﹣）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[﹣，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x﹣）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x﹣∈[﹣，]，故y=sin（2x﹣）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．8．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，当且仅当n≥7时数列{S n}递增，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣16，﹣14]B．（﹣16，﹣14）C．[﹣16，﹣14）D．[﹣16，﹣14]【解答】解：∵a n=2n+λ，∴a1=2+λ，∴S n===n2+（λ+1）n，由二次函数的性质和n∈N可知：6.5＜＜7.5即可满足题意，解不等式可得﹣16＜λ＜﹣14故选：B．10．（5分）下面四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R）的导函数y=f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A．B．﹣ C．D．﹣或【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1）=（x+a）2﹣1，则f′（x）的图象开口向上，排除（2）（4），若是（1）则，对称轴关于y轴对称，则2a=0，即a=0，f（x）=x3﹣x+1，∴f（﹣1）=﹣+1+1=，若对应的图象应为（3），则函数过原点，a2﹣1=0，解得a=1，或a=﹣1且对称轴x=﹣a＞0，即a＜0，∴a=﹣1∴f（x）=x3﹣x2+1，∴f（﹣1）=﹣﹣1+1=﹣，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分．11．（5分）函数f（x）=x（3lnx+1）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=4x ﹣3．【解答】解：把x=1代入f（x）=x（3lnx+1）得，f（1）=1，∴切点的坐标为：（1，1），由f′（x）=[x（3lnx+1）]′=3lnx+4，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=4，∴在点x=1处的切线方程为：y﹣1=4x﹣4，故答案为：y=4x﹣3．12．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λ﹣μ=．【解答】解：如图所示，∵，∴，化为．∵，∴λ=，μ=，∴λ﹣μ=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=．【解答】解：由正弦定理，∴故答案为14．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是（﹣∞，0] ．【解答】解：y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0．实数a的取值范围是（﹣∞，0]．故填：（﹣∞，0]．15．（5分）设数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且满足2a n+1+S n=3（n∈N*）．则满足＜＜的所有n的和为7．【解答】解：∵2a n+1+S n=3，∴2a n+2+S n+1=3，两式相减得2a n+2+S n+1﹣2a n+1﹣S n=0，即2a n+2+a n+1﹣2a n+1=0，则2a n+2=a n+1，当n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足2a2=a1，即2a n+1=a n，则即数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，则前n项和为S n==3﹣3•（）n，==1+（）n，若＜＜，则＜1+（）n＜，即＜（）n＜，则7＜2n＜17，则n=3或4，则3+4=7，故答案为：7三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．16．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2，当x=1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，∴f′（x）=3ax2+2bx，由题意可知，解得a=﹣2，b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=﹣2x3+3x2，∴f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1），令f′（x）=﹣6ax2+6x=﹣6x（x﹣1）=0可解得，x=0或x=1；∵f（﹣）=1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=﹣4；故函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值为﹣4．17．（12分）已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），记f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值．【解答】解：（Ⅰ）已知向量=（sinx+cosx，2cosx），=（sinx+cosx，cosx），所以：f（x）=•=（sinx+cosx）2+2cos2x=，令：（k∈Z），解得：，所以函数f（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）；（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0在区间（0，π）内有两个零点x1，x2所以：，即：，因为：x∈（0，π），所以：，解得：，．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+a2=15，a42=9a1a5．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，数列的前n项和为S n，若S n＞，试求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a42=9a1a5得，a42=9a32，即q2=9，因为各项均为正数，所以解得q=3，由2a1+a2=15得，2a1+3a1=15，解得a1=3，所以a n=3n；（Ⅱ）因为a n=3n，所以b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=1+2+3+…+n=，则=2（），所以S n=2[（1﹣）+（）+（）+…+（）]=2（1﹣）=，由解得，n＞39，所以n的最小值为40．19．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，tanA=2．（Ⅰ）求tan C的值；（Ⅱ）求角B的大小．【解答】解：（Ⅰ）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若3b=5ccosA，利用正弦定理得：3sinB=5sinCcosA所以：3sin（A+C）=5sinCcosA展开解得：3sinAcosC=2sinCcosA即：3tanA=2tanC由tanA=2．解得：tanC=3（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C=πtanB=﹣tan（A+C）=0＜B＜π所以：B=20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵数列{a n}满足a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．∴，∴，∴是等差数列．（Ⅱ）解：∵数列{a n}满足a1=1，∴，由（Ⅰ）知：是等差数列．∴．∴．（Ⅲ）解：由得：S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）2n﹣1，…①2S n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣1）2n，…②将①﹣②得：﹣S n=1+2•21+2•22+2•23+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n，即：﹣S n=1+（2•21+2•22+2•23+…+2•2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n，=1+﹣（2n﹣1）•2n，=﹣3+（3﹣2n）•2n，∴S n=（2n﹣3）•2n+3．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣6．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x）＞成立．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=时，f（x）min=f（）=﹣．（Ⅱ）解：对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx≥﹣x2+ax﹣6恒成立，即a≤lnx+x+对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=lnx+x+，则==，∵x∈（0，+∞），∴x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（2，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴x∈（0，+∞）时，h（x）存在唯一极小值h（2），即为最小值，∴h（x）min=h（2）=5+ln2，∵a≤lnx+x +对x∈（0，+∞）恒成立，只需a≤h（x）min即可，∴a≤5+ln2．（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有f（x ）＞恒成立，由（Ⅰ）可知，f（x）=xlnx在x∈（0，+∞）时，当且仅当x=时，f（x）min=f （）=﹣，设m（x）=﹣，x∈（0，+∞），则m′（x）=，∴x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．∴当且仅当x=1时，m（x）取得极大值也是最大值m（1），∴m（x）max=m（1）=﹣，∴，∴对一切x∈（0，+∞），都有f（x ）＞成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则p的值为（）A．10 B．6 C．4 D．24．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x5．（5分）已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln 26．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．67．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．38．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线l 1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．310．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=．17．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（1）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．（2）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．20．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．21．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？22．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．2014-2015学年山东省枣庄市滕州二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）关于空间两条不重合的直线a、b和平面α，下列命题正确的是（）A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a∥α，b⊂α，则a∥bC．若a∥α，b∥α，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【解答】解：选项A，根据线面平行的判定定理可知，缺一条件a⊄α，故不正确选项B，若a∥α，b⊂α，a与b有可能异面，故不正确选项C，若a∥α，b∥α，a与b有可能异面，相交，平行，故不正确选项D，若a⊥α，b⊥α，则a∥b，满足线面垂直的性质定理，故正确故选：D．2．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x﹣5=0相切，则p的值为（）A．10 B．6 C．4 D．2【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣5=0化成标准方程，得（x﹣2）2+y2=9，∴圆心为C（2，0），半径r=3，又∵抛物线y2=2px（p＞0），∴抛物线的准线为x=﹣，∵抛物线的准线与圆相切，∴准线到圆心C的距离等于半径，得|2﹣（﹣）|=3，解之得p=2（舍负）．故选：D．4．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选：C．5．（5分）已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C． D．ln 2【解答】解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．6．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B．2 C．3 D．6【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选：A．7．（5分）设图F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：由双曲线的定义得：|PF1|﹣|PF2|=2a，（不妨设该点在右支上）又|PF1|+|PF2|=3b，所以，两式相乘得．结合c2=a2+b2得．故e=．故选：B．8．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：A．9．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．10．（5分）△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3）D．=1（x＞4）【解答】解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是2．【解答】解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．12．（5分）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．【解答】解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分13．（5分）如果直线l将圆C：（x﹣2）2+（y+3）2=13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为．【解答】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2，原点到直线l的距离为2，当斜率存在时，设为k，则直线的方程为y+3=k（x﹣2），整理得kx﹣y﹣2k﹣3=0，原点到直线l的距离d=，d2=，整理得（4﹣d2）k2+12k+9﹣d=0，△=144﹣4（4﹣d2）（9﹣d）≥0，求得0＜d≤，故坐标原点O到直线l的最大距离为．故答案为：14．（5分）若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）15．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为．【解答】解：由椭圆方程及PF1=4可知PF2=6﹣4=2，所以cos∠F1PF2===﹣，所以∠F1PF2=π，故答案为：．16．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=2．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为217．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的最大值是+1．【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），则|++|≤|++|+||=+1．∴|++|的最大值是+1，故答案为：+1．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（1）已知命题P：函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．（2）已知命题p：方程2x2+ax﹣a2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数y=log a（1﹣2x）在定义域上单调递增，∵y=1﹣2x为减函数，∴0＜a＜1，∴命题P为真命题时，0＜a＜1，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，∴a=2或，解得﹣2＜a≤2，∴命题Q为真命题时，1＜a≤2，∵P∨Q是真命题，∴P，Q一真一假，或P，Q均为真当P为真，Q为假时，a为空集当P为假，Q为真时，﹣2＜a≤0，1≤a≤2，当P，Q均为真时，0＜a＜1∴实数a的取值范围（﹣2，2]（2）由2x2+ax﹣a2=0得（2x﹣a）（x+a）=0，∴x=或x=﹣a，∴当命题p为真命题时||≤1或|﹣a|≤1，∴|a|≤2，即﹣2≤a≤2又“只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤0”，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴当命题q为真命题时，a=0或a=2．∵命题“p或q”为假命题，∴a＞2或a＜﹣2．即a的取值范围为{a|a＞2或a＜﹣2}．19．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点（4，﹣）（Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F1MF2的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率e=∴设所求双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）则由点（4，﹣）在双曲线上知λ=42﹣（﹣）2=6∴双曲线方程为x2﹣y2=6（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上则32﹣m2=6∴m2=3由双曲线x2﹣y2=6知F1（2，0），F2（﹣2，0）∴∴，故点M在以F1F2为直径的圆上．=×2C×|M|=C|M|=2×=6（Ⅲ）S△F1MF220．（13分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，∴a=2，b=，c=，∴椭圆C的离心率e==；（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则∵OA⊥OB，∴=0，∴tx0+2y0=0，∴t=﹣，∵，∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=x02+y2++4=x2+++4=+4（0＜x2≤4），因为≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8．∴线段AB长度的最小值为2．21．（14分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？【解答】解：（1）如图，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABF=∠BCE，∴．设AF=4x（m），则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴BE=（3x+60）m．∵，∴CE=（m）．∴（m）．∴，解得：x=20．∴BE=120m，CE=90m，则BC=150m；（2）如图，设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，∵∠POM=∠PQC=90°，∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm，则OP=m，PM=m．∴PC=m，PQ=m．设⊙M半径为R，∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．解得：10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时，保护区面积最大．22．（14分）设抛物线Γ：y2=2px（p＞0）过点（t，）（t是大于0的常数）．（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点C，D满足|FA|=|FC|，|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当时，求直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线R：y2=2px（p＞0）过点（t，），∴2t=2pt，∴p=1，∴抛物线R的方程为y2=2x；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=x﹣m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，可得x2﹣2（m+1）x+m2=0，△=8m+4＞0，∴m＞﹣，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2，∴|x1﹣x2|=2，y1+y2=2，y1y2=﹣2m，∵|FA|=|FC|，∴x C=﹣x1，∴k AC==，直线AC的方程为x﹣y1y+x1=0，①同理直线BD的方程为x﹣y2y+x2=0，②由①②可得E（﹣m，1），=（+x1）（y1﹣1），S△BEF=（+x2）（y2﹣1），∴S△AEFS△BEF=[（2m+1）2+4]（2m+1），∴S△AEF在△ABF中，|AB|=|x1﹣x2|=2，F到直线AB的距离为d=，=|2m﹣1|∴S△ABF∵，∴=，∴m=或m=﹣，∴直线AB的方程为y=x﹣或y=x+．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2023-2024学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|12＜2x＜2}，B={x|y=lg(x+1)}，则A∪（∁R B）＝（）A．∅B．（﹣∞，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）2．若z是方程x2+x+1＝0的一个虚数根，则z2−z=（）A．0B．﹣1C．√3i D．﹣1或√3i3．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），则（）A．当m＜0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，并除去（﹣1，0），（1，0）两点B．当m＜0时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，并除去（﹣1，0），（1，0）两点C．当m＞0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，并除去（﹣1，0），（1，0）两点D．当m＞0时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的双曲线，并除去（﹣1，0），（1，0）两点4．已知圆C1：(x+1)2+(y+1)2=1，圆C2：x2+y2−4x−4y−1=0，则两圆的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．45．已知f(x)=2cos2x+√3sin2x，x∈(0，2π)，则f（x）的零点之和为（）A．43πB．103πC．143πD．10π6．翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六条航线．甲、乙、丙、丁、戊、已6人各选择一条不同航线体验．已知甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班．则不同的体验方案有（）A．56种B．72种C．96种D．144种7．已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2．用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（）A．32B．√5232C．√43D．√143−18．斜率为−12的直线l分别与x轴，y轴交于M，N两点，且与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，在第一象限交于A，B两点，且|MA|＝|NB|，则该椭圆的离心率为（）A．√32B．√63C．√22D．12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．一组数据x 1，x 2，x 3，…，x 10满足x i ﹣x i ﹣1＝2（2⩽i ⩽10），若去掉x 1，x 10后组成一组新数据．则新数据与原数据相比（ ） A ．极差变小 B ．平均数变大 C ．方差变小D ．第25百分位数变小10．设m →=(−1，3)，n →=(1，2)，则（ ） A ．|m →−2n →|=10B ．(m →−2n →)⊥m →C ．若(m →−2n →)∥(km →+n →)，则k =−12D ．n →在m →上的投影向量为12m →11．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝4，D 是棱CC 1上任一点，则（ ）A ．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为48+8√3B ．三棱锥A 1﹣ABD 的体积为16√33C ．△A 1BD 周长的最小值为8√2+4 D ．三棱锥A 1﹣ABD 外接球的表面积最小值为100π312．已知定义在R 上的连续函数f （x ），其导函数为f ′（x ），且f(0)=e ，f(12)=1，函数y =f ′(x +12)为奇函数，当x ＞12时f ′（x ）＞f （x ），则（ ）A ．f （1）＝eB ．f （2）＞e 2C ．∃x 0∈R ，f （x 0）＜1D ．f （e 0.1）＞f （﹣ln 1.1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线y =e 2x−1x在点（1，y 0）处的切线方程为 ．14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−10，S 33−S 22=1，则S 10＝ ． 15．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，∠APB ＝120°，点C 为底面圆周上的一个动点，当△P AC 的面积取得最大值时，sin ∠AOC ＝ ．16．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，过C 上的动点M （不为原点）作C 的切线l ，作ON ⊥l 于点N ，直线MF 与ON 交于点A ，点B(√5，0)，则|AB |的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，n 2a n +1＝（n +1）2a n ． （1）求a n ； （2）设b n =n+1a n ⋅a n+2，求证：b 1+b 2++b n ＜516．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为平行四边形，M ，N 分别为AB ，DD 1的中点． （1）证明：DM ∥平面A 1BN ；（2）若底面ABCD 为矩形，AB ＝2AD ＝4，异面直线DM 与A 1N 所成角的余弦值为√105，求B 1到平面A 1BN 的距离．19．（12分）现有甲，乙两个训练场地可供某滑雪运动员选择使用．已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选择一个场地进行训练．若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为35；若前一次选择乙场地，那么下次选择甲场地的概率为15．（1）设该运动员前两次训练选择甲场地次数为X ，求E （X ）；（2）若该运动员第二次训练选了甲场地，试分析该运动员第一次去哪个场地的可能性更大，并说明理由．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2a +b cos A ﹣c ＝b tan B sin A ． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，求sinA+sinB sinC的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax +alnx ，a ∈R ． （1）若f （x ）是增函数，求a 的取值范围；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围． 22．（12分）已知双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0，过右焦点F （2，0）且斜率为k 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．（1）求C的方程；（2）①若B点关于x轴的对称点为E，求证直线AE恒过定点M，并求出点M的坐标；②若k⩾3，求△AEF面积的最大值．2023-2024学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x|12＜2x ＜2}，B ={x|y =lg(x +1)}，则A ∪（∁R B ）＝（ ）A ．∅B ．（﹣∞，1）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）解：∵集合A ＝{x |12＜2x ＜2}＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |y ＝lg （x +1）}＝{x |x ＞﹣1}，∴∁R B ＝{x |x ≤﹣1}，则A ∪（∁R B ）＝{x |x ＜1 }． 故选：B ．2．若z 是方程x 2+x +1＝0的一个虚数根，则z 2−z =（ ） A ．0B ．﹣1C ．√3iD ．﹣1或√3i解：x 2+x +1=(x +12)2+34=0，z 是方程x 2+x +1＝0的一个虚数根，则z =−12+√32i 或z =−12−√32i ，z +z =−1，z 2+z +1＝0，则z 2＝﹣z ﹣1，故z 2−z =−z −1−z =−(z +z)−1=0． 故选：A ．3．已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于m （m ≠0），则（ ）A ．当m ＜0时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，并除去（﹣1，0），（1，0）两点B ．当m ＜0时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆，并除去（﹣1，0），（1，0）两点 C ．当m ＞0时，顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，并除去（﹣1，0），（1，0）两点D ．当m ＞0时，顶点C 的轨迹是焦点在y 轴上的双曲线，并除去（﹣1，0），（1，0）两点 解：设C （x ，y ），又A （﹣1，0），B （1，0）， ∴k AC ⋅k BC =y x+1⋅yx−1=m ，m ≠0， ∴顶点C 的轨迹方程为mx 2﹣y 2＝m ，m ≠0，对A ，B 选项，当m ＜0时，顶点C 的轨迹方程可化为：x 2+y 2−m=1，若﹣m ＝1时，顶点C 的轨迹为单位圆，除去（﹣1，0），（1，0）两点，∴A ，B 选项均错误； 对C ，D 选项，当m ＞0时，顶点C 的轨迹可化为：x 2−y 2m=1，此时顶点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，并除去（﹣1，0），（1，0）两点， ∴C 选项正确，D 选项错误． 故选：C ．4．已知圆C 1：(x +1)2+(y +1)2=1，圆C 2：x 2+y 2−4x −4y −1=0，则两圆的公切线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，圆C 1：(x +1)2+(y +1)2=1，其圆心为（﹣1，﹣1），半径r ＝1，圆C 2：x 2+y 2−4x −4y −1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝9，其圆心为（2，2），半径R ＝3， 圆心距d ＝3√2，由于3√2＞3+1，两圆外离，有4条公切线． 故选：D ．5．已知f(x)=2cos 2x +√3sin2x ，x ∈(0，2π)，则f （x ）的零点之和为（ ） A ．43πB ．103π C ．143π D ．10π解：f(x)=2cos 2x +√3sin2x =cos2x +1+√3sin2x =2sin(2x +π6)+1，令f （x ）＝0，即sin(2x +π6)=−12，故2x +π6=−π6+2kπ，k ∈Z 或2x +π6=7π6+2kπ，k ∈Z ，解得x =π2+kπ，k ∈Z 或x =−π6+k π，k ∈Z ， x ∈（0，2π），则x =π2，3π2，5π6或11π6，故f （x ）的零点之和为π2+3π2+5π6+11π6=14π3．故选：C ．6．翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六条航线．甲、乙、丙、丁、戊、已6人各选择一条不同航线体验．已知甲不去沈阳、哈尔滨，乙和丙乘坐同一方向的航班．则不同的体验方案有（ ） A ．56种B ．72种C ．96种D ．144种解：根据题意，分3步进行分析：①甲不去沈阳、哈尔滨，则甲有4种选择，②乙和丙乘坐同一方向的航班，则乙丙的选法有C 21A 22=4种，③最后3人任意排列，有A 33=6种选法， 则有4×4×6＝96种选法． 故选：C ．7．已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2．用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为（ ）A ．32B ．√5232C ．√43D ．√143−1解：设正四棱台补全后的上底面对应的小正四棱锥的高为t ， 则根据题意可得tt+2=13，∴t ＝1， 设截面正方形边长为x ，截面与上底面的距离为h ， 则tt+ℎ=1x ，∴11+ℎ=1x ，∴h ＝x ﹣1， 又截得的两部分几何体体积相等，∴截面上部分的小正四棱台的体积等于原正四棱台的体积的一半， ∴13×(12+x 2+x)(x −1)=12×13×(12+32+3)×2， ∴x 3﹣1＝13，∴x =√143，∴截面与上底面的距离h ＝x ﹣1=√143−1． 故选：D ．8．斜率为−12的直线l 分别与x 轴，y 轴交于M ，N 两点，且与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，在第一象限交于A ，B 两点，且|MA |＝|NB |，则该椭圆的离心率为（ ）A ．√32B ．√63C ．√22 D ．12 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设AB 的中点P （x 1+x 22，y 1+y 22），{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，作差整理可得y 1−y 2x 1−x 2•y 1+y 2x 1+x 2=−b 2a 2，即k OP •k AB =−b 2a 2， 设直线AB 的方程为y =−12x +m ，可得M （2m ，0），N （0，m ），因为|MA |＝|NB |，可得|BM |＝|AN |， 即AB 的中点P 也是MN 的中点，所以P （m ，m 2），所以k OP =m 2m =12，所以12•（−12）=−b2a 2，即b 2a 2=14，所以椭圆的离心率e=ca=√1−b2a2=√1−14=√32．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．一组数据x1，x2，x3，…，x10满足x i﹣x i﹣1＝2（2⩽i⩽10），若去掉x1，x10后组成一组新数据．则新数据与原数据相比（）A．极差变小B．平均数变大C．方差变小D．第25百分位数变小解：∵一组数据x1，x2，x3，…，x10满足x i﹣x i﹣1＝2（2⩽i⩽10），∴x2＝x1+2，x3＝x1+4，•，x9＝x1+16，x10＝x1+18，对于A，原来的极差为x10﹣x1＝18，去掉x1，x10后，极差为x9﹣x2＝14，极差变小，故A正确；对于B，原来的平均数为110（x1+x2+•+x10）=10x1+9010=x1+9，去掉x1，x10后的平均数为18（x1+x2+•+x8）=8x1+728=x1+9，平均数不变，故B错误；对于C，原来的方差为110[（x1﹣x1﹣9）2+（x2﹣x1﹣9）2+•+（x10﹣x1﹣9）2]＝33，去掉x1，x10后的方差为18[（x2﹣x1﹣9）2+（x3﹣x1﹣9）2+•+（x9﹣x1﹣9）2]＝21，方差变小，故C正确；对于D，10×25%＝2.5，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即x3，去掉x1，x10后组成一组新数据．8×25%＝2，故从小到大排列，选择第2个数和第三个数作为第25百分位数，即x3+x42∵x3＜x3+x42，第25百分数变大，故D错误．故选：AC．10．设m→=(−1，3)，n→=(1，2)，则（）A．|m→−2n→|=10B．(m→−2n→)⊥m→C．若(m→−2n→)∥(km→+n→)，则k=−12D．n→在m→上的投影向量为12m→解：根据题意，依次分析选项：对于A，m→=(−1，3)，n→=(1，2)，则m→−2n→=（﹣3，﹣1），故|m→−2n→|=√9+1=√10，A错误；对于B ，（m →−2n →）•m →=（﹣1）×（﹣3）+3×（﹣1）＝0，则有（m →−2）⊥m →，B 正确； 对于C ，若（m →−2n →）∥（k m →+n →），可以设（m →−2n →）＝λ（k m →+n →），则有m →−2n →=λk m →+λn →， 必有{1=λk−2=λ，则有k =−12，C 正确；对于D ，n →在m →上的投影向量n →⋅m →|m →|m →|m →|=n →⋅m →|m →|2m →=−1+61+9m →=12m →，D 正确．故选：BCD ．11．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝4，D 是棱CC 1上任一点，则（ ）A ．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为48+8√3B ．三棱锥A 1﹣ABD 的体积为16√33C ．△A 1BD 周长的最小值为8√2+4 D ．三棱锥A 1﹣ABD 外接球的表面积最小值为100π3解：对于A ，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝4，所以正三棱柱的表面积为S =3×42+2×12×42×sin π3=48+8√3，故A 正确；对于B ，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 于E ，则E 为AB 的中点， 依题可知平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ，又CE ⊂平面ABC ，则CE ⊥平面A 1ABB 1，则|CE |为点C 到平面A 1ABB 1的距离， 正三角形ABC 中，可求得|CE|=2√3，又因为D是棱CC1上任一点，且CC1∥平面A1ABB1，所以点D到平面A1ABB1的距离等于点C到平面A1ABB1的距离，设点D到平面A1ABB1的距离为h，则ℎ=2√3，则V A1−ABD =V D−A1AB=13×S△A1AB×ℎ=13×4×42×2√3=16√33，故B正确；对于C，由侧面展开图所示，△A1BD周长l=A1B+A1D+BD≥4√2+√42+82=4√2+4√5，所以其最小值为4√2+4√5，故C错误；对于D，依题知，三棱锥A1﹣ABD外接球与四棱锥D﹣A1ABB1重合，半径设为R，球心设为O，G为AB的中点，则DG=2√3，且CC1∥平面A1ABB1，所以当CC1与球外切时，球的半径最小，此时，点D位于CC1的中点，如图所示：OG2+GB2＝OB2，则(2√3−R)2+8=R2，解得R=5√33，表面积为4πR2=100π3，故D正确．故选：ABD．12．已知定义在R上的连续函数f（x），其导函数为f′（x），且f(0)=e，f(12)=1，函数y=f′(x+12)为奇函数，当x＞12时f′（x）＞f（x），则（）A．f（1）＝e B．f（2）＞e2C ．∃x 0∈R ，f （x 0）＜1D ．f （e 0.1）＞f （﹣ln 1.1）解：A 项，∵f(0)=e ，f(12)=1，y =f ′(x +12)为奇函数，∴函数y =f(x +12)为偶函数，则f(x +12)=f(−x +12)，∴f （1）＝f （0）＝e ，故A 正确； B 项，令g(x)=f(x)e x ，当x ＞12时，g ′(x)=f′(x)e x −f(x)e x e 2x=f′(x)−f(x)e x ＞0， ∴g （x ）在（12，+∞）上单调递增，∴g(2)=f(2)e 2＞g(1)=f(1)e1=ee =1，f （2）＞e 2，B 正确； C 项，∵当x ＞12时，g(x)=f(x)e x ＞g(12)=f(12)e 12=1e 12＞0，∴f '（x ）＞f （x ）＞0，f （x ）在（12，+∞）上单调递增，又f(x +12)=f(−x +12)⇒f （x ）的图象关于直线x =12对称，∴f （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，则f （x ）在x =12取得最小值为1，∴不存在x 0∈R ，f （x 0）＜1，C 错误；D 项，令h （x ）＝e x ﹣x （x ＞0），则h '（x ）＝e x ﹣1＞0，h （x ）单调递增， h （x ）＝e x ﹣x ＞h （0）＝e 0﹣0＝1，即e x ＞x +1（x ＞0）， ∴e 0.1＞1+0.1＝1.1⇒e 0.1−12＞1.1−12=0.6，令φ（x ）＝ln （1+x ）﹣x （x ＞0），则φ′(x)=11+x −1=−x1+x＜0，φ（x ）单调递减． φ（x ）＝ln （1+x ）﹣x ＜φ（0）＝ln （1+0）﹣0⇒ln （1+x ）＜x （x ＞0）， ∴ln 1.1＝ln （1+0.1）＜0.1⇒12−(−ln1.1)＜12+0.1=0.6，∴e 0.1与12的差大于12与−ln1.1的差，又函数f （x ）的图象关于x =12对称，当x ＞12时，函数f （x ）单调递增，∴f （e 0.1）＞f （﹣ln 1.1），D 正确； 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y =e 2x−1x 在点（1，y 0）处的切线方程为 ex ﹣y ＝0 ． 解：曲线y =e 2x−1x，故y′=2e2x−1x−e2x−1x2，当x＝1时，y＝e，y′＝e．故曲线y=e2x−1x在点（1，y0）处的切线方程为：y﹣e＝e（x﹣1），即ex﹣y＝0．故答案为：ex﹣y＝0．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=−10，S33−S22=1，则S10＝﹣10．解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝na1+(n−1)n2d，故S nn=a1+n−12d，则有S n+1n+1−S nn=d2，数列{S nn}是公差为d2的等差数列，若a1=−10，S33−S22=1，即S11=−10，d2=1，则S1010=S11+9×d2=−1，变形可得S10＝﹣10．故答案为：﹣10．15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，点C为底面圆周上的一个动点，当△P AC的面积取得最大值时，sin∠AOC＝2√23．解：根据题意，设P A＝PB＝2a，取AC的中点D，连接PD、OD，由于∠APB＝120°，则∠APO＝60°，则有AO=√3a，当P A与PC垂直时，△P AC的面积最大，此时△P AC为等腰直角三角形，又由P A＝PB＝2a，则AC＝2√2a，则有AD=√2a，故OD=√OA2−AD2=a，则有sin∠AOD=ADOA=√2√3，cos∠AOD=ODOA=1√3，又由∠AOC＝2∠AOD，则sin∠AOC＝2sin∠AOD cos∠AOD=2√2 3．故答案为：2√2 3．16．O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，过C上的动点M（不为原点）作C的切线l，作ON⊥l于点N，直线MF与ON交于点A，点B(√5，0)，则|AB|的取值范围是[1，5]．解：由题意得F（0，2），设M(m，m28)，m≠0，设切线方程为y−m28=k(x−m)，联立C：x2＝8y得，x2﹣8kx+8km﹣m2＝0，由Δ＝64k2﹣4（8km﹣m2）＝0得，4k＝m，则直线ON的斜率为−1k=−4m，直线ON的方程为y=−4mx，直线FM的方程为y−2=m28−2m−0x，即y=(m8−2m)x+2，联立y=−4mx与y=(m8−2m)x+2得(m8−2m)x+2=−4mx，其中当m＞0时，m8+2m≥2√m8⋅2m=1，当m＜0时，m8+2m≤−1，解得x A=−2m8+2m，则x A∈[﹣2，0）∪（0，2]，由于y Ax A=−4m，则m=−4x Ay A，将m=−4x Ay A代入x A=−2m8+2m中得，x A=−2−x A2y A+y A−2x A，整理可得x A22y A+y A2=2，即x A2+y A2=4y A，故点A的轨迹方程为x2+（y﹣2）2＝4，且x∈[﹣2，0）∪（0，2]，点A的轨迹为以Q（0，2）为圆心，半径为2的圆（去掉（0，0），（0，4）两个点），连接QB，则|QB|+2为|AB|的最大值，|QB|﹣2为|AB|的最小值，最大值为√|OQ|2+|OB|2+2=√4+5+2=5，最小值为√|OQ|2+|OB|2−2=√4+5−2=1，且由对称性可得，（0，0），（0，4）两点与B 的距离等于T ，E 到B 的距离， 综上，|AB |的取值范围为[1，5]． 故答案为：[1，5]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }中，a 1＝1，n 2a n +1＝（n +1）2a n ． （1）求a n ； （2）设b n =n+1a n ⋅a n+2，求证：b 1+b 2++b n ＜516．解：（1）∵a 1＝1，n 2a n +1＝（n +1）2a n ， ∴a n+1(n+1)2=a n n2，{a nn 2}为常数列． ∴a n n 2=a n−1(n−1)2=⋯=a 112=1，故a n =n 2．证明：（2）∵b n =n+1a n ⋅a n+2=n+1n 2⋅(n+2)2=14[1n 2−1(n+2)2]，∴b 1+b 2++b n =14[(11−132)+(122−142)+(132−152)++(1(n−2)2−1n 2) +(1(n−1)2−1(n+1)2)+(1n 2−1(n+2)2)] =14[1+14−1(n+1)2−1(n+2)2] ＜516． 18．（12分）如图，直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面为平行四边形，M ，N 分别为AB ，DD 1的中点． （1）证明：DM ∥平面A 1BN ；（2）若底面ABCD 为矩形，AB ＝2AD ＝4，异面直线DM 与A 1N 所成角的余弦值为√105，求B 1到平面A 1BN 的距离．解：（1）证法一：连接AB 1，交A 1B 于点E ，连接NE ，ME ，则E 为A 1B 的中点， 因为M 为AB 的中点，所以ME ∥AA 1，且ME =12AA 1，因为N 为DD 1的中点，所以DN ∥AA 1，DN =12AA 1，所以ME ∥DN ，且ME ＝DN ，所以四边形EMDN为平行四边形，所以EN∥DM，又因为DM⊄平面A1BN，EN⊂平面A1BN，所以DM∥平面A1BN．证法二：取AA1中点为E，连接ED，EM，因为E为AA1的中点，N为DD1的中点，所以A1E∥DN，且A1E＝DN，所以四边形A1EDN为平行四边形，所以DE∥A1N．又因为DE⊄平面A1BN，A1N⊂平面A1BN，所以DE∥平面A1BN，因为M为AB的中点，所以EM∥A1B，又因为EM⊄平面A1BN，A1B⊂平面A1BN，所以EM∥平面A1BN．又因为EM⊂平面DEM，DE⊂平面DEM，EM∩DE＝E，所以平面DEM∥平面A1BN．又因为DM⊂平面DEM，所以DM∥平面A1BN．（2）由题意知，AB，AD，AA1两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2t （t ＞0），则B （4，0，0），D （0，2，0）， A 1（0，0，2t ），M （2，0，0），N （0，2，t ），B 1(4，0，2t)，DM →=(2，−2，0)，A 1N →=(0，2，−t)． 设异面直线DM 与A 1N 所成角为θ， 则cosθ=|cos〈DM →，A 1N →〉|=|DM →⋅A 1N →||DM →|⋅|A 1N →|=|−4|√2+(−2)⋅√2+(−t)=√2√4+t =√105，解得t ＝1，故A 1（0，0，2），N （0，2，1），B 1（4，0，2），则A 1B →=(4，0，−2)，A 1N →=(0，2，−1)，BB 1→=(0，0，2) 设平面A 1BN 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，B 1到平面A 1BN 的距离为d ．所以{A 1B →⋅n →=4x −2z =0A 1N →⋅n →=2y −z =0，取z ＝2，得n →=(1，1，2)． 所以d =|B 1B →⋅n →||n →|=|0×1+0×1+2×2|√1+1+2=46=2√63，即B 1到平面A 1BN 的距离为2√63． 19．（12分）现有甲，乙两个训练场地可供某滑雪运动员选择使用．已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选择一个场地进行训练．若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为35；若前一次选择乙场地，那么下次选择甲场地的概率为15．（1）设该运动员前两次训练选择甲场地次数为X ，求E （X ）；（2）若该运动员第二次训练选了甲场地，试分析该运动员第一次去哪个场地的可能性更大，并说明理由．解：已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选择一个场地进行训练，若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为35，若前一次选择乙场地，那么下次选择甲场地的概率为15，设A i ＝“第i 次去甲场地训练”，A i =“第i 次去乙场地训练”，i ＝1，2， 则A i 与A i 对立，P(A 1)=P(A 1)=12，P(A 2|A 1)=35，P(A 2|A 1)=15．（1）依题意，该运动员前两次训练选择甲场地次数为X 的可能取值为0，1，2， P(X =0)=P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2|A 1)=12×(1−15)=25，P(X=1)=P(A1A2∪A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=12×(1−35)+12×15=310，P(X=2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=12×35=310，所以E(X)=0×25+1×310+2×310=910；（2）若该运动员第二次训练选了甲场地，则第一次选择甲场地的概率更大．P(A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=12×35+12×15=25，所以P(A1|A2)=P(A1A2)P(A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A2)=12×3525=34，P(A1|A2)=P(A1A2)P(A2)=P(A1)P(A2|A1)P(A2)=12×1525=14，因为34＞14，所以该运动员第一次选择甲场地的可能性更大．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2a+b cos A﹣c＝b tan B sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，求sinA+sinBsinC的取值范围．解：（1）因为2a+b cos A﹣c＝b tan B sin A，所以2a−cb=tanBsinA−cosA=sinBsinA−cosAcosBcosB=−cos(A+B)cosB=cosCcosB，所以2a cos B﹣c cos B＝b cos C，由正弦定理得，2sin A cos B＝sin B cos C+cos B sin C＝sin（B+C）＝sin A，因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以sinA≠0，cosB=12，所以B=π3．（2）因为△ABC为锐角三角形，B=π3，所以{0＜C＜π20＜A=2π3−C＜π2，解得C∈(π6，π2)，所以sinA+sinBsinC=sin(C+π3)+sinπ3sinC=12sinC+√32cosC+√32sinC=√32⋅cosC+1sinC+12=√32⋅2cos2C22sin C2cos C2+12=√3 2⋅1tan C2+12，因为C ∈(π6，π2)，所以C 2∈（π12，π4），而tan π12=tan （π3−π4）=tan π3−tan π41+tan π3tan π4=3−11+√3=2−√3， 所以tan C2∈（2−√3，1），所以√32⋅1tan C 2+12∈(√3+12，2+√3)，故sinA+sinB sinC的取值范围是(√3+12，2+√3)．21．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax +alnx ，a ∈R ． （1）若f （x ）是增函数，求a 的取值范围；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，求实数λ的取值范围． 解：（1）由f （x ）＝x 2﹣ax +alnx ，得f ′(x)=2x −a +a x(x ＞0)．∵函数f （x ）在其定义域上单调递增，∴2x 2﹣ax +a ⩾0（x ＞0）． 设g （x ）＝2x 2﹣ax +a （x ＞0），①当a ＜0时，函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，只需g （0）＝a ⩾0，无解． ②当a ⩾0时，只须g(a 4)=8a−a 28⩾0，解得0⩽a ⩽8，综上，实数a 的取值范围为[0，8]．（2）由（1）知，f ′(x)=2x −a +a x =2x 2−ax+ax(x ＞0)，∵f （x ）有两个极值点为x 1，x 2， ∴f ′(x)=2x 2−ax+ax=0在（0，+∞）上有两个不同的根， 此时方程2x 2﹣ax +a ＝0在（0，+∞）上有两个不同的根．则Δ＝a 2﹣8a ＞0，且x 1+x 2=a 2＞0，x 1⋅x 2=a2＞0，解得a ＞8．若不等式f （x 1）+f （x 2）＜λ（x 1+x 2）恒成立，则λ＞f(x 1)+f(x 2)x 1+x 2恒成立．∵f(x 1)+f(x 2)=x 12−ax 1+alnx 1+x 22−ax 2+alnx 2=aln(x 1x 2)−a(x 1+x 2)+(x 12+x 22)=aln a 2−14a 2−a ．设ℎ(a)=2ln a 2−12a −2(a ＞8)，则ℎ′(a)=2a −12=4−a2a，∵a ＞8，∴h ′（a ）＜0，∴h （a ）在（8，+∞）上递减， ∴h （a ）＜h （8）＝4ln 2﹣6，∴λ⩾4ln 2﹣6， ∴λ的取值范围为[4ln 2﹣6，+∞）．22．（12分）已知双曲线C的渐近线方程为√3x±y=0，过右焦点F（2，0）且斜率为k的直线l与C相交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）①若B点关于x轴的对称点为E，求证直线AE恒过定点M，并求出点M的坐标；②若k⩾3，求△AEF面积的最大值．解：（1）不妨设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1，a＞0，b＞0，因为双曲线C的渐近线方程为√3x±y=0，所以{ba=√3a2+b2=4，解得a=1，b=√3，则C的方程为x2−y23=1；（2）①证明：不妨直线l的方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），因为B点关于x轴的对称点为E，所以E（x2，﹣y2），联立{x 2−y23=1y=k(x−2)，消去y并整理得（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3＝0，由韦达定理得x1+x2=4k2k2−3，x1⋅x2=4k2+3k2−3，所以k AE=y1+y2x1−x2=k[(x1+x2)−4]x1−x2，此时直线AE的方程为y+y2=k[(x1+x2)−4]x1−x2(x−x2)，即y=k[(x1+x2)−4]x1−x2⋅[x−x2−y2(x1−x2)k(x1+x2)−4k]=k[(x1+x2)−4]x1−x2⋅[x−kx2⋅(x1+x2)−4kx2+k(x2−2)(x1−x2)k[(x1+x2)−4]]=k[(x1+x2)−4]x1−x2⋅[x−2x1x2−2(x1+x2)(x1+x2)−4]=k[(x1+x2)−4]x1−x2⋅(x−2×4k2+3k2−3−2×4k2k2−34k2k2−3−4)=k[(x1+x2)−4]x1−x2⋅(x−6k2−312k2−3)=k[(x1+x2)−4]x1−x2⋅(x−12)，所以直线AE恒过定点M(12，0)；②k⩾3时，S△AEF=S△AMF−S△EMF=12MF⋅|y1+y2|=12×32×k×|x1+x2−4|=34×k×|4k2k2−3−4|=34×12kk2−3=9kk2−3，不妨令f(x)=9xx2−3，x⩾3，可得f′(x)=9(x2−3)−9x⋅2x(x2−3)2=−9x2−27(x2−3)2＜0，所以函数f（x）在[3，+∞）上单调递减此时f（x）≤f（3）=9 2，则△AEF面积的最大值为9 2．。

2024-2025学年山东省滕州市高三上学期12月月考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合，集合，则集合（ ）

Axyx



322BxZxAB

A． B． C． D．0,100,1

0,1

2. 复数方程解的个数为（ ）2zz

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个3. 已知非零向量 ,若向量 在 方向上的投影向量为 ,则 （ 𝑎=(0,𝑡),𝑏=(1,−4)𝑏𝑎2𝑎𝑡=

）

A. -2 B. -4 C. 2 D. 4

4. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则sin30,tan135

（）cos2

A. B. C. D. 35-

354

54

5

5. 已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积60为，则该圆锥的体积为（ ）16π

A. B. C. D. 72π36π24π16π

6. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）2,0e,0xxaxx

fx

axx





R

aA. B. C. D. [1,)[0,1][1,1](,1]

7.已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（ 322()3fxxaxbxa

1x()fx

）A. 3B. 18C. 3或18D. 不存在

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=[﹣1，3），∵A为奇数集合，∴A∩B={﹣1，1}，故选：C．2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x 轴上方．故选：B．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在[0，]上两个交点．由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为[，+∞]故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．【解答】解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵AC=AD，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，∵a=，S=，△ABC∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e ﹣1或a=时，函数F （x ）有且仅有一个零点； 当a ＜e ﹣1或a ＞时，函数F （x ）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （0）=0； ∴对x ＞0时，有f （x ）＞0，则e x ﹣1＞x ； 故对任意x ＞0，g （x ）=ln （e x ﹣1）﹣lnx ＞0； 所以，要证f [g （x ）]＜f （x ）， 只需证：∀x ＞0，g （x ）＜x ；只需证：∀x ＞0，ln （e x ﹣1）﹣lnx ＜x ； 即证：ln （e x ﹣1）＜lnx +lne x ； 即证：∀x ＞0xe x ＞e x ﹣1；所以，只要证：∀x ＞0xe x ﹣e x +1＞0； 令H （x ）=xe x ﹣e x +1，则H′（x ）=xe x ＞0； 故函数H （x ）在（0，+∞）上单调递增； ∴H （x ）＞H （0）=0；∴对∀x ＞0，xe x ﹣e x +1＞0成立，即g （x ）＜x ， ∴f [g （x ）]＜f （x ）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn mna a a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmn n na a m n Na a-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质第21页（共21页）。

山东省枣庄市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）(2018·枣庄模拟) 已知全集，则集合（）A .B .C .D .2. （1分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则该几何体的体积是（）A .B .C .D .3. （1分）等差数列-3，-7，-11，...,的一个通项公式为（）A . 4n-7B . -4n-7C . 4n+1D . -4n+14. （1分）已知x，y满足，则的最小值是（）A . 0B .C .D . 25. （1分）(2018·龙泉驿模拟) 函数在区间上的图象大致为（）A .B .C .D .6. （1分） (2017高一下·承德期末) 已知a，b是两条直线，α是一个平面，则下列判断正确的是（）A . a⊥α，b⊥α，则a⊥bB . a∥α，b⊂α，则a∥bC . a⊥b，b⊂α，则a⊥αD . a∥b，b⊂α，a⊄α，则a∥α7. （1分）(2020·银川模拟) 若，则的值为（）A .B .C .D .8. （1分） (2017高一下·河北期末) 以下列函数中，最小值为2的是（）A . y=x+B . y=3x+3﹣xC . y=1gx+ （0＜x＜1）D . y=sinx+ （0＜x＜）9. （1分）(2017·厦门模拟) 已知双曲线的中心在原点O，左焦点为F1 ，圆O过点F1 ，且与双曲线的一个交点为P，若直线PF1的斜率为，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=± xC . y=± xD . y=± x10. （1分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2020高三上·长春开学考) 等差数列中，，且，则公差 ________.12. （1分） (2019高一上·哈尔滨期末) 先将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到函数的图象，函数的解析式为________.13. （1分） (2020高一上·林芝期末) 已知直线：，直线：，若，则 ________．14. （1分） (2018高二上·武邑月考) 已知，则取最小值是________．15. （1分） (2019高三上·如皋月考) 若向量满足，，则与的夹角为________．16. （1分） (2017高一下·龙海期中) 在等差数列{an}中，S4=4，S8=12，则S12=________．17. （1分）(2019·湖北模拟) 已知函数，若关于的方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共10分)18. （2分） (2019高一下·安徽月考) 已知函数的图象的一条对称轴为 .（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.19. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 各项为正数的数列满足：， .（1）求的通项公式；（2）求证： .20. （2分）在三棱锥V﹣ABC中，VA=VB，CA=CB．求证：AB⊥VC21. （2分）已知抛物线经过点B（﹣1，0）、C（3，0），交y轴于点A（0，3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线第一象限上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，请求出MN+2ON的最大值，及此时点M坐标．22. （2分） (2020高二上·舒城开学考) 设函数满足， .（1）求函数的解析式和值域；（2）设函数，对任意，有恒成立，试求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共10分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。