1.某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票，参加与抽奖活动，奖品是3种瓶装饮料，他们分别是：绿茶（500ml），红茶（500ml），和可乐（600ml）抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成5个扇形区域，每个区域上分别写有“可”，“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动是一次“有效随机转动”；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品的名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应的奖品一瓶，不相同时，不能获取任何奖品。
根据以上规则，回答下列问题
（1）、求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）、有一名顾客，凭本超市购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或画树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率；
2.小昕的口袋中有5把相似的钥匙，其中2把钥匙（记为A1，A2）能打开教室前门锁，而剩余的3把钥匙（记为B1，B2，B3）不能打开教室前门锁。
（1）请求出小昕从口袋中随便摸出一把钥匙就能打开教室前门锁的概率。
（2）请用树状图或列表等方法，求出小昕从口袋中第一次随机摸出的一把钥匙不能打开教室前门锁（摸出的钥匙不再放回）。而第二次随机摸出的一把钥匙正好能打开教室前门锁的概率。
3.小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市.由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三人意见不统一.在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定.规则如下：
①在一个不透明的袋子中装一个红球（延安）、一个白球（西安）、一个黄球（汉中）和一个黑球（安康），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；
②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；
③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止.
按照上面的规则，请你解答下列问题:
（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？
（2）已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？
4.七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止．
（1）请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）；
（2）求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率．
5.小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的. 规定①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元.
（1）问小美得到小兔玩具的机会有多大?
（2）假设有100人次玩此游戏, 估计游戏设计者可赚多少元?
6.现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者需交赞助费5元，活动规则如下：
图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字（若指针指在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止）．若两个指针最后所指的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；若数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；若数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖．此次活动所收集到的赞助费除支付获奖人员外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活．（1）分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；
（2）若此次活动共有2000人次参与，那么活动结束后，至少将为贫困生收集到多少赞助费．
7.某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次摇奖的机会.已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机中一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）：
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；
（2）如果一个顾客当天在本店购物满88元，若只考虑获得最多的礼品卷，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由.
8.如图，四边形ABCD是矩形，AD=2AB，AB=6，E为AD中点，M为CD上任意一点，PE⊥EM交BC于点P，EN平分∠PEM交BC于点N。
（1）若△PEN为等腰三角形，请直接写出∠DEM所有的可能的值；
（2）当DM=1时，求PN的值；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，当时，求DK+KG+GP的最小值和最大值。
9.问题探究：
(1)如图①，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，∠BAC=120°，则△ABC的面积为__________(用
含a的代数式表示).
（2）△AOD与△BOC为两个等腰直角三角形，两个直角顶点O重合，OA=OB=OC=OD=a，若△AOD与△BOC不重合，连接AB、CD，求四边形ABCD面积的最大值.
问题解决：
如图③，点O为某电视台所在位置，现要在距离电视台5km的地发修建四个电视信号中转站，分别记为A、B、C、D.若要使OB与OC夹角为150°，OA与OD夹角为90°(∠AOD与∠BOC不重合且点O、A、B、C、D在同一平面内)，则符合题意的四个中转站所围成的四边形面积有无最大值?如果有，求出最大值，如果没有，请说明理由.
10. 小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题情境：如图①，四边形ABCD是矩形，△ABE是等边三角形，M为矩形ABCD内的一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
则BN________BM，EN________AM(填“＞”、“＜”或“＝”)；
(2)问题迁移：如图②，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝5，F为矩形ABCD内的任意一点，小明发现AF＋BF＋CF存在最小值，请你求出这个最小值，并说明理由；
(3)实际应用：如图③，矩形ABCD是一个货场，BC＝1000米，AB＝600米，B、C是入口，线段AD为经过货场的部分铁路线，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线AD上任取一点H作为发货站点，并铺设公路BP、CP以及HP，设铺设公路总长L＝BP＋CP＋HP，是否存在一点P和一
点H，使得L有最小值？若存在，请求出此时L的值，若不存在，请说明理由．
11.如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD
之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD 上，则当∠EAF与∠BAD满足∠BAD=2∠EAF 关系时，仍有EF=BE+FD．
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，
40米，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=)
现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF，
）