对数的定义推导换底公式log log log c a c
b
b a =
log log m n a a n
b b m
=
1
log log a b b a =
对数的运算:加减运算
1、求值:(1)log 89log 2732 (2)lg 243
lg9
2、(1)设lg 2a =,lg3b =,试用a 、b 表示5log 12. (2)已知 2log 3 = a , 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56
3、 (1)若25
10a
b
==,则11
a b
+=
(2)设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== ,求证:z
y x
1211=+.
1、计算:
(1
)
4912
log 3log 2log ?- (2) 9
1
log 81log 251log 532?? (3)
4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ (4)2log 5log 4log 3log 5
4
3
2
???
(5) 0.21log 3
5
-;
(6)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).
(7)log 43·log 92+log 24
64; (8) log 932·log 6427+log 92·log 427.
2、(1)化简:532
111
log 7log 7log 7++;
3、已知:45log ,518,8log 3618
求==b
a (用含a ,
b 的式子表示) 4、(1)若 3a
=7b
=21,求1a +1
b
的值;
(2) 设4a
=5b
=m ,且 1a +2
b
=1,求m 的值.
5、已知x ,y ,z 为正数,3x =4y =6z
求证:1z -1x =1
2y
.
6、)2lg(2lg lg y x y x -=+已求y
x
2
log 的值 7、log 2748log 212-1
2
log 242;
8、计算下列各式的值:
(1)2lg2+lg3
1+12lg0.36+13lg8; (2)lg(3+5+3-5);
(3)log 28+43+log 28-48.
三、作业: 1.
82log 9
log 3
的值是 A .32 B .1 C .23 D .2
2
.3
的值是 A .16 B .4 C .3 D .2
3.2323223log 2log 3
(log 2log 3)log 3log 2
+-
-
的值是 A.6log 2 B.6log 3 C.2 D.1 4.如果01a <<,那么下列不等式中正确的是 A .113
2
(1)(1)a a -<- B .1(1)1a a +-> C .(1)log (1)0a a -+> D .(1)log (1)0a a +-< 5.若02log 2log m n >>时,则m 与n 的关系是 A .1m n >> B .1n m >> C .10m n >>> D .10n m >>>
6.若1x d <<,令
22(log )log log (log )d d d d a x b x c x ===,,,则
A .a b c <<
B .a c b <<
C .c b a <<
D .c a b <<
7.2
333
51
log 5log 15log 5log 3
?--的值是 A .0 B .1 C .5log 3 D .3log 5
8.若3log 1
24
x
=
,则x =_____________. 9.求下列各式中的x 的值: (1) 1464
x = (2) 2171x -= (3) 92x =
10.有下列五个等式,其中a>0且a ≠1,x>0 , y>0 ①log ()log log a a a x y x y +=+, ②log ()log log a a a x y x y +=?,
③1log log log 2
a a a x y y
=-,
④log log log ()a a a x y x y ?=?, ⑤22log ()2(log log )a a a x y x y -=-
将其中正确等式的代号写在横线上______________.
11.化简下列各式:
(1)14lg 23lg 5lg 5+- (2)3lg lg 70lg 37
+- (3) 2lg 2lg5lg 201+?-
12.利用对数恒等式log a
N a N =,求下列各式的值:
(1)534log 4log 5log 3111()()()453
+- (2) 25
941
log log 27log 12
32
35-+
13.已知3log 5a =,57b =,用a 、b 的代数式表示105log 63=________.
14.已知303033a b ==..,,
3log 03c =.,03log 3d =.,将a 、b 、c 、d 四数从小到大排列为_____________________.
15. 设正整数a 、b 、c (a ≤b ≤c )和实数x 、y 、z 、ω满足:ω30===z y x c b a ,
ω
1
111=++z y x , 求a b c ??的值.
当堂检测
1.
2
5()a -(a ≠0)化简得结果是( ). A .-a
B .a 2
C .|a |
D .a
2. 若 log 7[log 3(log 2x )]=0,则12
x =( ). A. 3 B.
C. D. 3. 已知35a b
m ==,且112a b
+=,则m 之值为( ).
A .15 B
C .
D .225
4. 若3a =2,则log 38-2log 36用a 表示为 .
5. 已知lg 20.3010=,lg1.07180.0301=,则
lg 2.5=
;110
2=
.
1. 化简:
(1)2
2
2lg5lg8lg5lg20(lg2)3
+++;
(2)()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.
2. 若()()lg lg 2lg2lg lg x y x y x y -++=++,求
x y
的值.
对数与对数运算(一)
1.log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是( ). A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ). A. 0
1ln10e ==与 B. 1()3
81118
log 223
-==-与 C. 12
3log 9293==与 D. 1
7log 7177==与
3.设lg 525x
=,则x 的值等于( ).
A. 10
B. 0.01
C. 100
D. 1000
4.设13log 82
x =,则底数x 的值等于( ).
A. 2
B. 12
C. 4
D. 14
5.已知432log [log (log )]0x =,那么12
x
-
等于( ).
A. 13
B.
C.
D.
6.若21
log 3
x =,则x = ; 若l o g 32x
=-,则x = . 7
.计算:81= ; 6
l g 0.1= .
8.求下列各式的值:(1)8;
(2)9
log
.
9.求下列各式中x 的取值范围:(1)1log (3)x x -+;
(2)12log (32)x x -+.
10.(1)设log 2a m =,log 3a n =,求2m n
a
+的值.
(2)设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =,且A B =,求a 的值.
对数与对数运算(二)
1.
B ). A. 1 B. -1 C. 2
D. -2
2.2
5log ()a -(a ≠0)化简得结果是( C ). A. -a B. a 2 C. |a | D. a
3.化简3log 1++的结果是( ). A.
1
2
B. 1
C. 2 4.已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于( ). A. 1 B. 2 C. 8
D. 12 5.化简3458log 4log 5log 8log 9???的结果是 ( ). A .1 B.
32
C. 2
D.3
6.计算2(lg5)lg2lg50+?= . 7.若3a =2,则log 38-2log 36= . ※能力提高 8.(1)已知18log 9a =,185b =,试用a 、b 表示18log 45的值;
(2)已知1414log 7log 5a b ==,,用a 、b 表示35log 28.
对数函数的定义: 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域为),0(+∞,值域为),(+∞-∞. 对数的四则运算法则: 若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质
例1.已知x = 4 9 时,不等式 log a (x 2–x – 2)>log a (–x 2 +2x + 3)成立, 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解:∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]>log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613>log a 1639. 而1613<16 39 . 所以y = log a x 为减函数,故0<a <1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ,解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2.求证:函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解:设0<x 1<x 2<1, 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0<x 1<x 2<1,∴ 12x x >1,2111x x -->1. 则2 1 12211log x x x x --?>0, ∴f (x 2)>f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3.已知f (x ) = log a (a –a x ) (a >1). (1)求f (x )的定义域和值域;(2)判证并证明f (x )的单调性. 解:(1)由a >1,a –a x >0,而a >a x ,则x <1. 故f (x )的定义域为( -∞,1), 而a x <a ,可知0<a –a x <a ,又a >1. 则log a (a –a x )<lg a a = 1. 取f (x )<1,故函数f (x )的值域为(–∞, 1). (2)设x 1>x 2>1,又a >1,∴1x a >2x a ,∴1x a a -<a-2x a , ∴log a (a –1x a )<log a (a –2x a ), 即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在(1, +∞)上为减函数.
对数与对数运算练习题 一. 选择题 —3 1 1. 2「=化为对数式为( ) 8 2. log 63 + log 62 等于() 3. 如果 lg x = Ig a + 2lg b — 3lg c ,贝S x 等于( ) A . a + 2b — 3c 4 .已知 a = log 32,那么 log 38 — 2log 36 用 a 表示为( ) A . a — 2 B. 5a — 2 C. 3a — (1 + a ) D. 3a — a — 1 n 1 + A . 6 D. log 65 A. log 12=- 3 8 B. Iog !( — 3) = 2 C . Iog 21= — 3 D Iog 2( — 3)= 8 2 3 B. a + b — c
5. 丄「= 的值等于() A. 2+\/5 B. 2 5
6. Logr 2的值为( ) A — 2 C. 7. 在b = log (a-2)(5 — a )中,实数a 的取值范围是( 的值为() A . 9 C. 7 A . a > 5 或 a <2 B. 2v a v 3 或 3v a v 5 C. 2 10. 若102x= 25,则x 等于() 1 A. lg 5 B . lg5 C . 2lg5 1 D 2l g 5 11. 计算log 89 ? log 932的结果为() A . 4 12 .已知log a x= 2, log b X = 1, log c x= 4(a, b, c, x>0且工1),则log x(abc)=( ) 二.填空题 1 . 2log 510 + = _____ . 2. __________________________________ 方程log 3(2 x —1) = 1 的解为x= _______________________________ . 3. ___________________________ 若lg(ln x) = 0,贝S x= . 4. 方程9x— 6 ?3x—7 = 0的解是 _____ 5 .若log 34 ? log 48 ? log 8m= log 416,贝U m= ______ . 6. ________________________________________ 已知log a2 = 一、自学指导:结合下列问题,请你用5分钟的时间独立阅读课本P-P 页例3完。 1、探究:根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a =(0a >,且1a ≠;0 c >,且1c ≠;0b >). 2、运用换底公式推导下列结论:log log m n a a n b b m = ;1log log a b b a = 【小组讨论】请大家用4分钟的时间交流问题的答案。 二、自学检测:(分钟) 1、求值:(1)log 89log 2732 (2)lg 243 lg9 2、(1)设lg 2a =,lg3b =,试用a 、b 表示5log 12. (2)已知 2log 3 = a , 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 3、 (1)若2510a b ==,则11a b += .(2)设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== ,求证:z y x 1211=+ . 三、当堂检测 1、计算: (1 )4912 log 3log 2log ?- (2) 9 1 log 81log 251log 532 ?? (3) 4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ (4)2log 5log 4log 3log 5432??? (5) 0.21log 35-; (6)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258). (7)log 43·log 92+log 24 64; (8) log 932·log 6427+log 92·log 427. 2、(1)化简:532111 log 7log 7log 7 ++ ;(2)设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ???=, 求实数m 的值. 3、已知:45log ,518,8log 3618求==b a (用含a , b 的式子表示) 1 1 1 4 = -2 3 81 = -4 3 (2)log 8 = 6 1 lg (8) log 1 (9) 2 log 24 (10) log 27 lg9 = 对数与对数运算基础练习 一、对数的概念与性质 1、把下列指数式写成对数式: 1 (1)23 = 8 (2)2 -1 = (3)27- 3 = (4) ( )m = 5.73 2 3 3 2、把下列对数式写成指数式: (1)log 9 = 2 (2)log 125 = 3 3 5 3、求下列各式中 x 的值: (1)log x = - 2 64 x (3)log 1 2 (3)lg100 = x (4) log 1 (4)- ln e 2 = x 4、求下列各式的值: ()log 125 5 (2) log 1 2 16 (3)lg1000 (4) 0.001 (5)log 15 (6)log 1 15 0.4 二、对数的运算 1、基础练习 9 (7)log 81 9 (11) 10 lg105 27 3 (12) log 64 16 (1) lg 2 + lg5 = (2) log 18 - log 2 = 3 3 (3) lg 243 15 (2) 3+ lg7-lg18 3232 43+l(2 (4)log9?log32=(5)log16?log81=(6)log(2-3) 89932(2+3) = 2、加强巩固 (1)1og2+l og32+l og20-l og4 151515lg2+lg5-lg8 lg50-lg40 (3)1g14-2lg7(4)lg4+lg5-1 2lg0.5+lg8 (5)(log2)2+log2?log3+log18 6666 (6)lg22+lg2?lg5+lg5 (7)(log+l og3)(log+l og2) 4839(8)10log10-10?log1+πlogπ 5 (9)log2+log27+4log13 29(10)(l o g9o g)4+log8+log log) 28393对数运算练习题
对数运算基础练习题
(完整版)对数与对数的运算练习题及答案