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第1章离散时间的马尔可夫链

§1 随机过程的基本概念

定义1 设(,,)P ΩF 是概率空间，(, )E E 是可测空间，T 是指标集. 若对任何

t T ∈，有:t X E Ω→，且t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于

(,)E E 中的随机过程，

在无混淆的情况下简称{(), }t X t T ω∈为随机过程，称(,)E E 为状态空间或相空间，称E 中的元素为状态，称T 为时间域. 对每个固定的ω∈Ω，称()t X ω为{}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为E 值随机元. 有时()t X ω也记为

()()(, )t t X X X t X t ωω===

设T ?R ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流）

，即 ① t t T ?∈??F F ，且t F 是σ代数； ② , , s t s t T s t ?∈

X t T ∈?∈F E ，则称{}, t X t T ∈是{}t F 适应的随机过程，或适应于{}

t F 的随机过程. 特别地，若令

1(, , )(())t s s s t

s T

X s t s T X σσ-≤∈≤∈ F E

是由{}, , s X s t s T ≤∈所生成的σ代数，则{}, t X t T ∈是{}t F 适应的随机过程.

当1(, )(, )E =R E B 时，称{}, t X t T ∈为实值随机过程；当(, )(, )E =C

C E B 时，称{}, t X t T ∈为复值随机过程；

当(, )(, )n n

E =R E B

时，称{}, t X t T ∈为n 维随机过程；

当E 是可列集（有限集）时，称{}, t X t T ∈为可列（有限）随机过程；当, T =+R R 或[], a b 时，称{}, t X t T ∈为连续参数的随机过程；当T =Z 或+

Z 时，称{}, t X t T ∈为离散参数的随机过程（随机序列）；

当, (), n

T =+R R Z 或() (2)n

n ≥+Z 时，称{}, t X t T ∈为随机场.

随机过程的四种类型：

（1）指标集T 离散，状态空间E 离散的随机过程；（2）指标集T 离散，状态空间E 连续的随机过程；（3）指标集T 连续，状态空间E 离散的随机过程；（4）指标集T 连续，状态空间E 连续的随机过程.

然而，以上分类是表面的，更深刻的是按随机过程的概率结构而分类.

例如：马尔可夫（Markov ）过程、平稳过程、独立增量过程、二阶矩过程、正态过程、泊松（Poisson ）过程、生灭过程、分枝过程、更新过程、鞅等.

对于随机过程{}, t X t T ∈而言，可以这样设想，有一个作随机游动的质点M ，以t X 表示在时刻t 质点M 的位置，于是{}, t X t T ∈描绘了质点M 所作的随机运动的变化过程，一般把“t X x =”形象地说成“在时刻t 质点M 处于状态x ”.

定义2 设{}, t X t T ∈是概率空间(,,)P ΩF 上的、以(,)E E 为状态空间的随机过程，T =+R （或R 或直线上的任一区间）.如果A ?∈E ，有

{}(,):(,), (,)()t t T X t A T ωωω∈?Ω∈∈?B

则称{}, t X t T ∈是可测的.

设{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果, ,t T A ?∈∈E 有

[]{}[]()(,):(,)0, , (,)0, t

u u t X t A t ωωω∈?Ω∈∈?B F

则称{}, t X t T ∈关于{}, t t T ∈F 循序可测. 命题1 设:t X E Ω→， ()t t

X t T ∈?∈F E ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增

的子σ代数. 如果{}, t X t T ∈关于{}, t t T ∈F 循序可测，则{}, t X t T ∈是可测的. 定义3 设{}, t X t T ∈是随机过程，称

{}{}():(), , t t t F x P X x P X x x t T ωω≤=≤∈?∈R

为随机过程{}, t X t T ∈的一维分布函数；称

{}1212,12121212(,),, ,, ,t t t t F x x P X x X x x x t t T ≤≤∈?∈R

为随机过程{}, t X t T ∈的二维分布函数；一般地，称

{}

1212,,,1212(,,,),,,n n t t t n t t t n F x x x P X x X x X x ≤≤≤

1212,,,, ,,,n n x x x t t t T ∈?∈R

为随机过程{}, t X t T ∈的n 维分布函数；而称

{}

12,,,1212(,,,):,,,,1n t t t n n F x x x t t t T n ∈≥ F

为随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族.

随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族F 具有下列性质：

1. 对1n ?≥，12,,,n t t t T ?∈ ，及12,,,n t t t 的任意排列12,,,n i i i t t t ，有

121212,,,,,,12(,,,)(,,,)i i i n n n t t t i i i t t t n F x x x F x x x = （对称性）

2. 对1m n ?≤≤，有

12121,,,12,,,,,,12(,,,)(,,,,,,)m m m n t t t m t t t t t m F x x x F x x x +=+∞+∞ （相容性）

注若知道了随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族F ，便知道了这一随机过程中任意有限个随机变量的联合分布，也就可以完全确定它们之间的相互关系. 可见，随机

过程的有限维分布函数族能够完整地描述随机过程的统计特征. 但是在实际问题中，要知道随机过程的有限维分布函数族是不可能的，因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过程.

定义4 设{}, t X t T ∈是随机过程，称

()d ()()(d ), t t t m t EX x F x X P t T ωω+∞

-∞

==∈?

为{}, t X t T ∈的均值函数；称

2()(()), t t D t DX E X m t t T =-∈

为{}, t X t T ∈的方差函数；称

(,)Cov(,)(())(()), ,s t s t C s t X X E X m s X m t s t T =--∈

为{}, t X t T ∈的协方差函数；称

(,)(), ,s t R s t E X X s t T =∈

为{}, t X t T ∈的相关函数.

注若{}, t X t T ∈是复值随机过程，则方差函数的定义为

()(), t D t E X m t t T =-∈

协方差函数的定义为

(,)(())(()), ,s t C s t E X m s X m t s t T =--∈

随机过程第五章连续时间的马尔可夫链

第五章连续时间的马尔可夫链 5.1连续时间的马尔可夫链考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X 定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意 121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有 })(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++ =})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链. 由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关. 记(5.1)式条件概率一般形式为 ),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率. 定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij = 其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij 以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程. 假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记 i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有 },{}{t h P s h t s h P i i i >=>+> 可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布. 由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;

马尔可夫链蒙特卡罗在实践中的应用

2012年第12期吉林省教育学院学报 No.12，2012 第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE Vol .28（总300期） Total No .300 收稿日期：2012—11—14 作者简介：孟庆一（1989—），女，吉林长春人，新加坡籍华人，英国伦敦大学数学系，本科生，研究方向：MCMC 统计学。浅议马尔可夫链蒙特卡罗在实践中的应用孟庆一 (英国伦敦大学，英国伦敦) 摘要：本文概括地介绍了马尔可夫链蒙特卡罗(Markov chain Monte Carlo ———MCMC )，一种随机模拟贝叶斯推断的方法。主要的抽样方法包括吉布斯采样(Gibbs Sampling )和Metropolis －Hastings 算法。本文也对MCMC 主题和应用的拓展进行了讨论。关键词：马尔可夫链;蒙特卡罗;Gibbs 抽样;Metropolis －Hastings 中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1671—1580(2012)12—0120—02 统计学中的贝叶斯推理在过去的几十年里有前所未有的突破，统计学家们发现了一种非常简单，但又非常强大的模拟技术，统称为MCMC 。这种技术可以运用到各种复杂的贝叶斯范例和实际情况。贝叶斯推理：贝叶斯方法把所给的模型里所有的未知量的不确定性联系在一起。利用所知的信息，贝叶斯方法用联合概率分布把所有未观察到的数量综合起来，从而得出的推论。在这里，给定已知的未知分布被称为后验分布。有关未知量的推理被称为预测，它们的边缘分布称作为预测分布。贝叶斯推理根据贝叶斯规则计算后验概率： P （H |E ）= P （E |H ）·P （H ） P （E ）然而，在大多数情况下，所给的模型的复杂性不允许我们运用这个简单的操作。因此，我们需要使用随机模拟，或蒙地卡罗技术来代替。概述MCMC ： MCMC 采用未知量的高维分布，为难度极高的模拟复杂模型的问题提供了一个答案。一个马尔可夫链是一个序列的随机变量X 1，X 2，X 3，．．．这个序列有马尔可夫的属性———给予目前的状态，未来和过去的状态是独立的。从数学公式上看， Pr （X n +1=x |X 1=x 1，X 2=x 2，…，X n =x n ）=Pr （X n +1=x |X n =x n ）X i 的可能的值可数的集合S 称为链的状态空间。幸运的是，在马尔可夫链里，我们也有与大数定律和中心极限定理类似的定理。另外一个问题存在于如何建立一个马尔可夫链的极限分布与所需的分配一模一样。一种可行的解决方案是Gibbs 抽样。它是基于一个马尔可夫链，其前身的依赖性是由模型中出现的条件分布所决定的。另一种可能性是Metropolis －Hastings 算法。它是基于一个马尔可夫链，其前身的依赖性是分裂成两个部分：一个是建议，另一个是接受这一建议。 Metropolis －Hastings 算法： Metropolis －Hastings 算法，可以从任何概率分布中抽取样品，只要求是可计算函数的密度成正比。在贝叶斯的应用程序中，归一化因子计算往往是非常困难的，所以，和其他常用的抽样算法一样，能够在不知道这个比例常数的情况下产生样本是Metropolis －Hastings 算法的重要特征。该算法的总体思路是产生一系列在一个马尔可夫链里的样品。在足够长的时间后，所生成的样品的分布与分布相匹配。该算法基本上按如下方式工作（这是一个特殊的例子，其建议密度是对称的情况下）：首先，选择一个任意的概率密度Q （x'|x t ），这表明一个新的采样值x'给定样本值x t 。对于简单的Metropolis 算法，这个建议密度必须是对称的Q （x'| 21

第五章连续时间的Markov链

第五章连续时间的马尔可夫链第四章我们讨论了时间和状态都是离散的M arkov 链，本章我们研究的是时间连续、状态离散的M arkov 过程，即连续时间的M arkov 链. 连续时间的M arkov 链可以理解为一个做如下运动的随机过程：它以一个离散时间M arkov 链的方式从一个状态转移到另一状态，在两次转移之间以指数分布在前一状态停留. 这个指数分布只与过程现在的状态有关，与过去的状态无关（具有无记忆性），但与将来转移到的状态独立. 5.1 连续时间马尔可夫链的基本概念定义 5.1 设随机过程{(),0}X t t ≥，状态空间{,1}n I i n =≥，若对任意的正整数 1210n t t t +≤<<< 及任意的非负整数121,,,n i i i I +∈ ，条件概率满足 {}111122()|(),(),,()n n n n P X t i X t i X t i X t i ++==== {}11()|()n n n n P X t i X t i ++=== （5.1）则称{(),0}X t t ≥为连续时间的M arkov 链. 由定义知，连续时间的M arkov 链是具有M arkov 性（或称无后效性）的随机过程，它的直观意义是：过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下，将来时刻1n t +的状态只依赖于现在的状态而与过去的状态无关. 记(5.1)式条件概率的一般形式为 {()|()}(,)ij P X s t j X s i p s t +=== （5.2）它表示系统在s 时刻处于状态i ，经过时间t 后在时刻s t +转移到状态j 的转移概率，通常称它为转移概率函数.一般地，它不仅与t 有关，还与s 有关. 定义 5.2 若(5.2)式的转移概率函数与s 无关，则称连续时间M arkov 链具有平稳的转移概率函数，称该M arkov 链为连续时间的齐次（或时齐）M arkov 链. 此时转移概率函数简记为(,)()ij ij p s t p t =.相应地，转移概率矩阵简记为()(()),(,,0)ij P t p t i j I t =∈≥. 若状态空间{0,1,2,}I = ，则有 ()00010210 11 12 012() ()() ...()()()()()... ... .. ....()()( )...... .. .... ij n n n p t p t p t p t p t p t P t p t p t p t p t ?? ? ? ?== ? ? ?? ? （5.3）假设在某时刻，比如说时刻0，M arkov 链进入状态i ，在接下来的s 个单位时间内过程未离开状态i （即未发生转移），我们要讨论的问题是在随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少？由M arkov 性知，过程在时刻s 处于状态i 的条件下，在区间[,] s s t +

马尔可夫链

马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。 1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ???=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ???≤<<<，以及任意状态12,, ,k i i i E ∈，都有条件概率 11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ???=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称 {()0,1,2,}X n n ???=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ???=，是状态空间{0,1,2, }E =上的马尔可夫链，条件概率 (,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、（5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ???=，在m 时刻的k 步转移概率。 k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。特别地，当1k =时， (,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ???=，是状态空间{0,1,2,}E ???=上的马尔可夫链，矩阵 0001010 11101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) (,) n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ?? ???? ? ?=? ?????? ? （5-20）称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。当1k =时，(,1)P m 称为一步转移概率矩阵。对于齐次马尔可夫链，容易推得k 步转移概率矩阵与一步转移概率矩阵具有关系 ()(),,1k P m k P m =????，1,2,k ???= （5-21）

课上练习题_离散时间马尔科夫链 423

1、4.23 Trials are performed in sequence. If the last two trials were successes, then the next trial is a success with probability 0.8; otherwise the next trial is a success with probability 0.5. In the long run, what proportion of trials are successes? 2、4.32 Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off?

3、Let ri denote the long-run proportion of time a given irreducible Markov chain is in state i. Explain why ri is also the proportion of transitions that are into state i as well as being the proportion of transition that are from state i. 4、4.44 Suppose that a population consists of a fixed number, say, m, of genes in any generation. Each gene is one of two possible genetic types. If any generation has exactly i (of its m) genes being type 1, then the next generation will have j type 1 genes with probability j m j m i m m i j m- ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? . Let Xn denote the number of type 1 genes in the nth generation, and assume that X0 = i. (a) Find E[Xn] (b) What is the probability that eventually all the genes will be type 1?

马尔可夫链预测方法及其一类应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学马尔可夫链预测方法及其一类应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义概率论自1654年创立以来, 已由最初的博弈分析问题发展成为现今的方法论综合性学科. 而其中随机过程已经是现代概率论发展的必然性. 在这其中, 马尔可夫在1906年的"大数定理关于相依变量的扩展"（Extension de la loi de grands bombers etc）论文中首次创立的马尔可夫链已经成为了概率论的重中之重. 马尔可夫是世界上著名的数学家、社会学家. 他所研究的范围非常的广泛, 涉及到概率论、数论、数的集合、函数逼近论、数理统计、微分方程等方面. 马尔可夫在1906~1912年间, 他提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图示, 后人把这种图示以他的姓氏命名为马尔可夫链(Markov Chain). 在当时, 马尔可夫开创性地采用了一种对无后效性的随机过程的研究范式, 即在已知当前状态的情况下, 过程的未来状态与其过去状态无关, 这就是现在大家非常熟悉了解的马尔可夫过程. 在现实生活当中, 有许多过程都能被看作成马尔可夫过程. 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动等等. 也正是由于马尔可夫链在生活中所具有的普遍存在性, 马尔可夫链理论才被广泛应用于近代的物理学, 生物学, 地质学, 计算机科学, 公共事业, 教育管理、经济管理、以及企业人员管理、桥梁建筑等各个领域. 马尔可夫链运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路, 丰富了预测的内容. 其大体上可以分为以下几个步骤: 首先, 把现象看作成为一个系统, 并对该系统进行科学的划分. 根据系统的实际和需要划分出多个状态, 系统所划分出来的各个状态就是要预测的内容. 其次, 对现象各种状态的状态概率进行统计测定, 也就是判定出系统当前处于什么状态. 然后, 对各系统未来发展的每次转移概率进行预测, 就是要确定出系统是如何转移的. 最后, 根据系统当前的各种状态和转移概率矩阵, 推测出系统经过若干次转移后, 到达

第章离散时间的马尔可夫链

第1章离散时间的马尔可夫链 §1 随机过程的基本概念定义1 设(,,)P ΩF 是概率空间，(, )E E 是可测空间， T 是指标集. 若对任何t T ∈，有 :t X E Ω→，且t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于(,)E E 中的随机过程，在无混淆的情况下简称{(), }t X t T ω∈为随机过程，称(,)E E 为状态空间或相空间，称E 中的元素为状态，称T 为时间域. 对每个固定的ω∈Ω，称()t X ω为 {}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为E 值随机元. 有时()t X ω也记为设 T ?R ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即 ① t t T ?∈??F F ，且t F 是σ代数； ② , , s t s t T s t ?∈

马尔可夫链预测方法及其一类应用【文献综述】

文献综述数学与应用数学马尔可夫链预测方法及其一类应用马尔可夫性是俄国数学家A.A.Mapkov 在1906年最早提出的. 但是, 什么是马尔可夫性呢? 一般来讲,认为它是“相互独立性”的一种自然推广. 设有一串随机事件,...,,...,,121n n A A A A -中（即n A 属于概率空间（P ,,ξΩ）中的σ代数ξ，1≥n ）, 如果它们中一个或几个的发生, 对其他事件的发生与否没有影响, 则称这一串事件是相互独立的（用概率空间（P ,,ξΩ）的符号表示, 即))()(11n m n m n n A P A P X I ===, 推广下, 如果在已知,...,1+n n A A 中的某些事件的发生, 与,,...,,121-n A A A 中的事件发生与否无关, 则称这一串事件{1:≥n A n }具有马尔可夫性. 所以说, 马尔可夫性可视为相互独立性的一种自然推广. 从朴素的马尔可夫性, 到抽象出马尔可夫过程的概念, 从最简单的马尔可夫过程到一般的马尔可夫过程, 经历了几十年的发展过程. 它有极其深厚的理论基础, 如拓扑学、函数论、几何学、近世代数、泛函分析. 又有很广泛的应用空间, 如随机分形、近代物理、公共事业中的服务系统、电子信息、计算技术等. 在现实世界中, 有很多过程都是马尔可夫过程, 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动, 车站排队问题等等, 都可视为马尔可夫过程. 所谓马尔可夫链是指时间连续(或离散)、状态可列、时间齐次的马尔可夫过程. 之所以要研究这种过程, 一方面是由于它的理论比较完整深入, 可以作为一般马尔可夫过程及其他随机过程的借鉴; 二是由于它在自然科学和许多实际问题(如遗传学、教育学、经济学、建筑学、规则论、排队论等)中发挥着越来越大的作用. 自从我国著名数学家、教育家、中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔可夫理论引入国内以后, 我国数学家对马尔可夫过程的研究也取得了非常好的效果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔可夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔可夫过程

课上练习题_连续时间马尔科夫链 619

6.2 Suppose that a one-celled organism can be in one of two states-either A or B. An individual in state A will change to state B at an exponential rate α; an individual in state B divides into two new individuals of type A at an exponential rate β. Define an appropriate continuous-time Markov chain for a population of such organisms and determine the appropriate parameters for this model. 6.3 Consider two machines that are maintained by a single repairman. Machine i functions for an exponential time with rate μbefore breaking down, i = 1,2. The repair times (for either i machine) are exponential with rate μ. Can we analyze this as a birth and death process? If so, what are the parameters? If not, how can we analyze it?

马尔可夫性与马尔可夫链

马尔可夫性与马尔可夫链【教学目标】 1．掌握马尔可夫性与马尔可夫链。 2．熟练运用马尔可夫性与马尔可夫链解决具体问题。 3．亲历马尔可夫性与马尔可夫链的探索过程，体验分析归纳得出马尔可夫性与马尔可夫链，进一步发展学生的探究、交流能力。【教学重难点】重点：掌握马尔可夫性与马尔可夫链。难点：马尔可夫性与马尔可夫链的实际应用。【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习马尔可夫性与马尔可夫链，这节课的主要内容有马尔可夫性与马尔可夫链，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解马尔可夫性与马尔可夫链内容，形成初步感知。（2）首先，我们先来学习马尔可夫性，它的具体内容是： 1n X +的随机变化规律与0X ，1X ，…1n X -的取值都没有关系，随机变量序列{}n X 的所具有的这类性质称为马尔可夫性它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：马尔可夫性描述了一种_____。解析：状态序列可以给学生一定的提示。根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：序列所有可能取值的集合，被称为_____。（3）接着，我们再来看下马尔可夫链内容，它的具体内容是：

一般地，我们称具有马尔可夫性的随机变量序列{}n X为马尔可夫链。它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。例：请同学们查询资料，判断马尔可夫链与布朗运动是否有联系解析：马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：请写出马尔科夫链满足的两个假设。三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了马尔可夫性与马尔可夫链（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测 1．请同学们写出马尔可夫性的定义。 2．请同学们写出马尔科夫链的定义。 3．请同学们写出马尔科夫性和马尔科夫链之间的联系。

马尔可夫链

马尔可夫过程编辑词条一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。目录马尔可夫过程离散时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链生灭过程一般马尔可夫过程强马尔可夫过程扩散过程编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗

马尔可夫链模型讲解

马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

连续隐马尔科夫链模型简介

4.1 连续隐马尔科夫链模型（CHMM）在交通规划和决策的角度估计特定出行者的确切的出行目的没有必要，推测出行者在一定条件下会有某种目的的概率就能够满足要求。因此本文提出一种基于无监督机器学习的连续隐马尔科夫链模型（CHMM）来识别公共自行车出行链借还车出行目的，根据个人属性、出行时间和站点土地利用属性数据，得到每次借还车活动属于某种出行目的的概率，进一步识别公共自行车出行链最可能的出行目的活动链。 4.1.1连续隐马尔科夫链模型概述隐马尔可夫链模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种统计模型，它被用来描述一个含有隐含未知状态的马尔可夫链。隐马尔可夫链模型是马尔可夫链的一种，其隐藏状态不能被直接观察到，但能通过观测向量序列推断出来，每个观测向量都是通过状态成员的概率密度分布表现，每一个观测向量是由一个具有相应概率密度分布的状态序列产生。本文将隐马尔科夫链和混合高斯融合在一起，形成一个连续的隐马尔科夫链模型（CHMM），并应用该模型来识别公共自行车出行链借还车活动目的。连续隐马尔科夫链模型采用无监督的机器学习技术，用于训练的数据无需是标记的数据，该模型既不需要标记训练数据，也没有后续的样本测试，如提示-回忆调查。相反，该模型仅利用智能卡和总的土地利用数据。后者为隐藏活动提供额外的解释变量。出行链内各活动的时间和空间信息是从IC卡数据获得，相关土地利用数据是根据南京土地利用规划图和百度地图POI数据获得。在本文的研究中，一个马尔可夫链可以解释为出行者在两个连续活动状态之间的状态转换，确定一个状态只取决于它之前的状态，一个状态对应一个出行者未知的借还车活动[48-50]。本研究坚持传统的马尔可夫过程的假设，将它包含进无监督的机器学习模型。“隐藏马尔可夫”源于一个事实，即一系列出行链的活动是不可观察的。对于CHMM，高斯混合模型负责的是马尔可夫链的输入端，每一个活动模式下的隐藏状态都有属于一个特征空间的集群输出概率，每个集群是观察不到的，隐藏状态集群的数量必须事先给出。一些研究者称这些集群为二级隐状态[51]。

1140503102450451连续时间马尔可夫链

5 连续时间马尔可夫链 5.1引言本章中我们考虑与离散时间马尔可夫链类似的连续时间马尔可夫链。如离散情形一样，它们由马尔可夫性刻画，即已知现在的状态时将来与过去独立。在5.2节中。我们定义连续时间马尔可夫链且把它们与第四章的离散时间马尔可夫链相联系。在5.3节中，我们引入一类重要的连续时间马尔可夫链，即所谓生灭过程。这些过程可用作在任何时刻其总量的变化仅为一个单位的群体的模型。在5.4节中，我们导出两组描述系统的概率规律的微分方程——向前与向后方程。5.5节的内容是确定连续时间马尔可夫链的有关的极限（或长时间后的）概率。在5.6节中，我们考虑时间可逆的问题。其中，我们证明一切生灭过程是时间可逆的，而后阐明这事实对于排队系统的重要性。在这一节中也提供了时间可逆性对随机群体模型的应用。在5.7节中，我们阐明逆向链的重要性，即使过程不是时间可逆的。利用它我们研究排队网络模型。导出爱尔朗消失公式，分析共用加工系统。5.8节中我们表面如何“一致化”马尔可夫链——对于数值计算有用的一种技巧。 5.2连续时间马尔可夫链考虑取非负整数值的连续时间随机过程(){}t ,0X t 3，与第四章中给出的离散时间马尔可夫链的定义类似，过程(){}t ,0X t 3称为连续时间马尔可夫链，如果对一切,0s t 3及非负整数,i j ，()x u ，0u s ＃，有 ()()()(){}|X ,X ,0P X t s j s i u x u u s +===? ()(){}|P X t s j X s i =+== 换言之，连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程，即已知现在s 时是状态及一切过去的状态的套件下在将来时刻t s +的状态的条件分布只依赖现在的状态而与过去独立。若又有()(){}|P X t s j X s i +==与s 无关则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或其次的转移概率。将假定我们所考虑的马尔可夫链都有平稳转移概率。假设在某时刻，比如说时刻0，马尔可夫链进入状态i ，而且假设在接下来的s 个单位时间中过程未离开状态i （即未发生转移）。在随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢？为了回答这个问题。注意到因为在时间s 过程处于状态i ，从马尔可夫性得在区间[],s s t +中它仍然处于状态i 的概率正是他处于状态i 至少t 个单位时间的（无条件）概率。也即若以i t 记过程在转移到另一状态之前停留在状态i 的时间，则对一切,0s t 3有 {}{}|i i i P s t s P t t t t >+>=>

马尔可夫链应用于天气预报

马尔可夫链应用于天气预报摘要：在《概率论与随机过程》课中学习了马尔可夫链，马尔可夫过程因其无后效性、遍历性和时齐性，在科学研究、天气预测、农业预测、市场预测等方面应用非常广泛。本文通过对马尔可夫链理论和切普曼－柯尔莫哥洛夫方程的探讨，结合天气因素、降水情况的不确定性和无后效性等诸多特点，构建了基于天气预报的马尔可夫链预测模型，文中给出了马尔可夫链的一步转移概率矩阵和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以预报短期天气情况，达到预测天气的目的。关键字：马尔可夫链天气预报转移概率切普曼－柯尔莫哥洛夫方程 1 引言天气变化情况与人们的生产、生活息息相关，是人们普遍关注的重点问题之一。所以天气预报的准确性与时效性就显得尤为重要，否则将对人们带来不便，甚至有可能带来重大经济和人员损失。本文借助随机过程中著名的马尔可夫链模型，以某日天气的状态转移数据为例，建立了天气情况预测模型，并借助该模型应用马尔可夫链的遍历性，对未来天气的变化趋势作出了预测分析。由于马尔可夫过程应用广泛，它的重要特征是无后效性和遍历性。因此，运用马尔可夫链，只需要最近或现在的动态资料则可按转移概率可预测将来，这样就可以很方便地达到预测天气变化的目的。 2 马尔可夫链预测模型 2.1 马尔可夫链的概念和特性马尔可夫过程是指具有以下特性的过程：过程X(t)（或系统）在时刻t 0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t ＞t 0所处状态的条件分布与过程在时刻t 0之前所处的状态无关，只与时刻t 0所处的状态有关，这种特性称为马尔可夫性或无后效性。则称X(t)为马尔可夫过程。马尔可夫链实际上就是状态和时间都是离散的马尔可夫过程。这一特性可用分布函数来确切地表出：设随机过程{X(t),t ∈T}，状态空间为χ，若对于t 的任意n 个值t 1

连续马尔科夫过程的转移概率及应用

《随机过程》课程设计（论文）题目: 连续马尔科夫过程的转移概率及应用学院：理学院专业：应用统计学班级： 13090501 学生姓名：张志达学生学号： 1309050131 2015年 12 月 29 日

摘要选取 1978 ～ 2009 年四川农村居民人均生活消费值的 32 个样本，首先，通过 Markov 预测法预测未来生活消费水平的增长速度以 10% ～ 20% 的概率较大; 然后，为提高预测精度，在传统 ARMA 模型中加入时间变量 t 进行建模并预测，预测结果表明平均相对误差率为 1． 56% ，其中 2006 ～ 2009 年的相对误差的绝对值均小于 0． 5% ; 最后，将 Markov 预测和 ARMA 模型对2010 ～ 2012 年的预测结果对比，发现两者在生活消费增长幅度上吻合，预测结果可靠。结果表明，在与目前相似的政策力度下，短期内四川省农村居民消费需求将持续增长，需进一步扩大消费市场。关键词农村居民; 生活消费; Markov 预测

目录一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用 (4) 二.连续时间马尔可夫链基本理论 (5) 2.1定义 (5) 2.2转移概率 (5) 三. 马尔可夫过程研究的问题的分析 (7) 数据来源与研究方法 (7) 2.计算状态转移概率矩阵 (8) 3.结果与分析 (10) 四结论和展望 (11) 五.参考文献 (12) 六计算结果及程序 (12)

一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后， W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用012,,......x x x 分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{},0n x n ≥ 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。