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2009届高考数学快速提升成绩题型训练——立体几何中求角与距离

A

B

C D

A1

E B1

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——立体几何中求角与距离

C1高考数学快速提升成绩题型训练

——立体几何中求角与距离

1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形,PB ⊥面ABCD.

(1)若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体

积;

(2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD 与面PCD 所成的二面角

恒大于90°

2 如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,C 点到AB 1的距离为CE=

2

3

,D 为AB 的中点. (1)求证:AB 1⊥平面CED ;

(2)求异面直线AB 1与CD 之间的距离; (3)求二面角B 1—AC —B 的平面角.

5. 已知三棱锥P —ABC 中,PC ⊥底面ABC ,AB=BC , D 、F 分别为AC 、PC 的中点,DE ⊥AP 于E .

(1)求证:AP ⊥平面BDE ;

(2)求证:平面BDE ⊥平面BDF ;

(3)若AE ∶EP=1∶2,求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比.

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6.如图,几何体ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a, DC=a,

F、G分别为EB和AB的中点.

(1)求证:FD∥平面ABC;

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(2)求证:AF⊥BD;

(3) 求二面角B—FC—G的正切值.

10.如图:已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。

(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;

(II)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?证明你的结论

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11.如图,在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,且5

5sin =ADC ,又PA ⊥平面ABCD ,AD =3AB =3PA =3a 。 (I )求二面角P —CD —A 的正切值; (II )求点A 到平面PBC 的距离。

P

B

C

A D

12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA=CB=CC 1

=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点,G 是AA 1上一点,且AC 1⊥EG. (Ⅰ)确定点G 的位置;

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(Ⅱ)求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的余弦值.

13.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,⊥

?

=

∠PD

DAB,

60平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.

(1)证明平面PED⊥平面PAB;

(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值

(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1H⊥AP;

(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

·

B1

P

A

C D

A1

C1 D1

B

O

H

·

15.

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如图,在四棱锥中,底面ABCD 是正方形,侧棱底面ABCD ,,E是PC 的中点,作交PB于点F。

(I)证明

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平面;

(II)

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证明平面EFD;

(III)

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求二面角的大小。

16.如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

(I)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(II)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的余弦值.

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17.如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是

梯形,AB ∥CD ,AD ⊥DC ,CD=2,DD 1=AB=1,P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点。点P 到直线 AD 1的距离为

2

2

3 ⑴求证:AC ∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D 的余弦值

18.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=4,AA 1=8,E 、F 分别为AD 和CC 1的中点,O 1为下底面正方形的中心。

(Ⅰ)证明:AF ⊥平面FD 1B 1; (Ⅱ)求异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值;

A B C D A B C D P

Q

111

1

A B D C A 1D 1C 1

B 1E

F

O 1

H

20. 如图,已知四棱锥P—ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

(1)求点P到平面ABCD的距离;

(2)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值。

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答案:

1.(1)正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积

为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

PB

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,

∴PA⊥DA,

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角,

∠PAB=60°.

3

23

3331a a a V =?=

∴锥.

(2)不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形. 作AE ⊥DP ,垂足为E ,连结EC ,则△ADE ≌△CDE ,

CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.

设AC 与DB 相交于点O ,连结EO ,则EO ⊥AC ,

.2

2

a AD AE OA a =<<=∴

在.0)2)(2(2)2(cos ,2

222<-+=??-+=∠?AE OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中

故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.

2. (1)∵D 是AB 中点,△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ,∴CD ⊥AA 1.

∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1,又CE ⊥AB 1, ∴AB 1⊥平面CDE ; (2)由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1

∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段

∵CE=

23,AC=1 , ∴CD=.2

2 ∴2

1

)()(22=

-=CD CE DE ; (3)连结B 1C ,易证B 1C ⊥AC ,又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.

在Rt △CEA 中,CE=

2

3

,BC=AC=1,

∴∠B 1AC=600 ∴260

cos 12

1==

AB , ∴2)()(2

211=-=AB AB BB , ∴ 21

1==∠BC

BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠.

3. (1) 过D 向平面β做垂线,垂足为O ,连强OA 并延长至E.

DAE OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为二面角a —l —β的平面角..60,120 =∠∴=∠DAO DAE 3,2=∴==DO AB AD .

ABC ? 是等腰直角三角形,斜边AB=2.,1=∴?ABC S 又D 到平面β的距离DO=.3

.3

3

=

∴-ABC D V (2)过O 在β内作OM ⊥AC,交AC 的反向延长线于M,连结DM.则AC ⊥DM.∴∠DMO 为二面角

D —AC —B

的平面角. 又在△DOA

中,OA=2cos60°=1.且

.2

2

,45=

∴=∠=∠OM CAE OAM .6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ (3)在β平在内,过C 作AB 的平行线交AE 于F ,∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角.

ACF CAF DF CF AF CF AF AB ?=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形,又AF 等于C 到AB 的距离,即△ABC 斜边上的高,.1==∴CF AF

.7.7.7120cos 2222=∠∴==

∠∴=?-+=∴DCF tg CF

DF

DCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成的角为arctg .7

5. (1)∵PC ⊥底面ABC ,BD ?平面ABC ,∴PC ⊥BD .

由AB=BC ,D 为AC 的中点,得BD ⊥AC .又PC ∩AC=C ,∴BD ⊥平面PAC . 又PA ?平面、

(2)由BD ⊥平面PAC ,DE ?平面PAC ,得BD ⊥DE .由D 、F 分别为AC 、PC 的中点,得DF//AP .

由已知,DE ⊥AP ,∴DE ⊥DF. BD ∩DF=D ,∴DE ⊥平面BDF . 又 DE ?平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面BDF .

(3)设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2.则 h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3,

.312323

131

21=?=????==∴??----PBC PBF

PBC

A PBF

E ABC

P EBF P S h S h V V V V

故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 6. ∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点,

∴FG=2

1

EA ,又EA 、DC 都垂直于面ABC, FG=DC ,

∴四边形FGCD 为平行四边形,∴FD ∥GC ,又GC ?面ABC , ∴FD ∥面ABC.

(2)∵AB=EA ,且F 为EB 中点,∴AF ⊥EB ① 又FG ∥EA ,EA ⊥面ABC ∴FG ⊥面ABC ∵G 为等边△ABC ,AB 边的中点,∴AG ⊥GC. ∴AF ⊥GC 又FD ∥GC ,∴AF ⊥FD ②

由①、②知AF ⊥面EBD ,又BD ?面EBD ,∴AF ⊥BD.

(3)由(1)、(2)知FG ⊥GB ,GC ⊥GB ,∴GB ⊥面GCF. 过G 作GH ⊥FC ,垂足为H ,连HB ,∴HB ⊥FC. ∴∠GHB 为二面角B-FC-G 的平面角. 易求3

3

22

3,2

3

=

=∠∴=

a a GHB tg a GH .

QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1,连结P 1Q 1. ∵

12

5

1==QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1 . 由四边形PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q 1 而P 1Q 1?平面CDD 1C 1, 所以PQ ∥平面CDD 1C 1 (2) AD ⊥平面D 1DCC 1, ∴AD ⊥P 1Q 1, 又∵PQ ∥P 1Q 1, ∴AD ⊥PQ. (3)由(1)知P 1Q 1// PQ,

12

5QB DQ C Q DQ 11==,而棱长CD=1. ∴DQ 1=

175. 同理可求得 P 1D=17

12. 在Rt △P 1DQ 1中,应用勾股定理, 立得

P 1Q 1=171317517122

2

221=??

?

??+??? ??=+DQ D P .

8. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,设AE a =,则1(1,0,1)A ,1(0,0,1)D ,(1,,0)E a ,

(1,0,0)A ,(0,2,0)C 。

(Ⅰ)证明:由1(1,0,1)DA = ,1(1,1,1)D E a =--

11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ?=?--=-= ,有11DA D E ⊥

,于是11D E A D ⊥。 (Ⅱ)E 是AB 的中点,得(1,1,0)E 。

∴1(1,1,1)D E =- ,(1,2,0)AC =-

,1(1,0,1)AD =- 。 设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =,单位法向量为0n ,

由100n AC n AD ??=???=?? ?(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=???-=??2010x y x -+=??-+=?,解得112

x y =???=??。

于是1(1,,1)2n =,有01(1,,1)2122(,,)3331

114n ==++。

设点E 到平面1ACD 的距离为d ,则

102121(1,1,1)(,,)3333d D E n =?=-?= 。

所以点E 到平面1ACD 的距离为1

3

(Ⅲ)平面DEC 的法向量1(0,0,1)n =,设平面1D EC 的法向量2(,,1)n x y =。

又(1,2,0)EC a =--

,1

(0,2,1)DC =- 。 由2

2100

n EC n D C ??=???=??

,得(,,1)(1,2,0)0(,,1)(0,2,1)0x y a x y ?--=???-=? (2)0210x y a y -+-=???

-=?,解得12

1

2

a x y ?

=-????=??,于是21(1,,1)22a n =-。

设所求的二面角为θ,则4

π

θ=

有1221(0,0,1)(1,,1)222cos cos ,21

(1)1

24a DD n a θ?-=<>=

=-++ ,得21(1)1224a -++=。 解得23a =-,

所以,当AE=23-时,二面角1D EC D --的大小为

4

π

9. (1)取A 1C 1中点F ,连结B 1F ,DF ,∵D 1E 分别为AC 1和BB 1的中点,DF ∥AA 1,

DF=(1/2)AA 1,B 1E ∥AA 1,B 1E=(1/2)AA 1,∴DF ∥B 1E ,DF=B 1E ,∴DEB 1F 为平行四边形,∴DE ∥B 1F ,又B 1F 在平面A 1B 1C 1内,DE 不在平面A 1B 1C 1,∴DE ∥平面A 1B 1C 1

(2)连结A 1D ,A 1E ,在正棱柱ABC —A 1B 1C 1中,因为平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1,A 1C 1是平面A 1B 1C 1与平面ACC 1A 1的交线,又因为B 1F 在平面A 1B 1C 1内,且B 1F ⊥A 1C 1,,所以B 1F ⊥平面ACC 1A 1,又DE ∥B 1F ,所以DE ⊥平面ACC 1A 1所以∠FDA 1为二面角A 1—DE —B 1的平面角。并且∠FDA =(1/2)∠A DC ,设正三棱柱的棱长为1,因为∠AA C =900,D 是AC 的中点,所

以,45,90,2

2,220101111=∠∴=∠==

FDA DC A D A DC 即为所求的二面角的度数。 10.(I )连结DF ,DC ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱, ∴CC 1⊥平面ABC ,∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC

∵AB =AC ,D

BC

的中点,∴AD ⊥BC ,AD ⊥平面

BB 1C 1C

3'

∴DF 为EF 在平面BB 1C 1C 上的射影,

在△DFC 1中,∵DF 2=BF 2+BD 2=5a 2,21DC =21CC +DC 2=10a 2, 21FC =B 1F 2+211C B =5a 2, ∴21DC =DF 2+21FC ,∴DF ⊥FC 1

FC 1⊥EF

(II )∵AD ⊥平面BB 1C 1C ,∴∠DFE 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角 在△EDF 中,若∠EFD =60°,则ED =DFtg60°=3·a 5=a 15,

∴a 15>a 3,∴E 在DA 的延长线上,而不在线段AD 上 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角。

11. 解:(1)在底面ABCD 内,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,连结PE

P

B

A D

H

C

E

∵PA ⊥平面ABCD ,由三垂线定理知:PE ⊥CD ∵∠PEA 是二面角P —CD —A 的平面角 在Rt AED ?中,AD a ADE =∠=355,arcsin

∴=?∠=AE AD ADE a sin 355

在Rt PAE ?中,tan ∠=

=

PEA PA AE 53∴二面角P —CD —A 的正切值为53

(II )在平面APB 中,过A 作AH ⊥PB ,垂足为H ∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BC

又AB ⊥BC ,∴BC ⊥平面PAB ∴平面PBC ⊥平面PAB

∴AH ⊥平面PBC 故AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离 在等腰直角三角形PAB 中,AH a =

2,所以点A 到平面PBC 的距离为2a

12.

解法一:(Ⅰ)以C 为原点,分别以CB 、CA 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

则F (1,0,0),E (1,1,0),A (0,2,0),C 1(0,0,2),

)2,2,0(1-=AC

设G (0,2,h ),则.0,).,1,1(11=?∴⊥-=AC EG EG AC h EG ∴-1×0+1×(-2)+2h=0. ∴h=1,即G 是AA 1的中点. (Ⅱ)设),,(z y x m =是平面EFG 的法向量,则.,EG m FE m ⊥⊥

所以???=++-=?+?+?.0,0010z y x z y x 平面EFG 的一个法向量m =(1,0,1)

∵,2

1

2

222|

|||||sin 11=?=

??=AC m AC m θ ∴6π

θ=

, 即AC 1与平面EFG 所成角θ为

解法二:(Ⅰ)取AC 的中点D ,连结DE 、DG ,则ED//BC ∵BC ⊥AC ,∴ED ⊥AC.

又CC 1⊥平面ABC ,而ED ?平面ABC ,∴CC 1⊥ED. ∵CC 1∩AC=C ,∴ED ⊥平面A 1ACC 1. 又∵AC 1⊥EG ,∴AC 1⊥DG.

连结A 1C ,∵AC 1⊥A 1C ,∴A 1C//DG. ∵D 是AC 的中点,∴G 是AA 1的中点.

(Ⅱ)取CC 1的中点M ,连结GM 、FM ,则EF//GM ,

∴E 、F 、M 、G 共面.作C 1H ⊥FM ,交FM 的延长线于H ,∵AC ⊥平面BB 1C 1C , C 1H ?平面BB 1C 1C ,∴AC ⊥G 1H ,又AC//GM ,∴GM ⊥C 1H. ∵GM ∩FM=M ,

∴C 1H ⊥平面EFG ,设AC 1与MG 相交于N 点,所以∠C 1NH 为直线AC 1与平面EFG 所成角θ.

因为.6,2

1222sin ,2,2211πθθ=∴==∴==

N C H C 13. (1)证明:连接BD.

ADB DAB AD AB ?∴?=∠=,60, 为等边三角形.

E 是AB 中点,.DE AB ⊥∴

⊥PD 面ABCD ,AB ?面ABCD ,.PD AB ⊥∴

?DE 面PED ,PD ?面PED ,⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ?AB 面PAB ,⊥∴PED 面面PAB.

(2)解:⊥AB 平面PED ,PE ?面PED ,.PE AB ⊥∴ 连接EF ,?EF PED ,.EF AB ⊥∴

PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角.

设AD=2,那么PF=FD=1,DE=3. 在,1,2,7,===?PF EF PE PEF 中

,14

7

57

2212)7(cos 22=

?-+=

∠∴PEF

即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.14

7

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5 14、解(1)4

arctan

1717

APB ∠= (2)略

(3)3

22

15.方法一:

(I)证明:连结AC ,AC 交BD 于O 。连结EO 。

底面ABCD 是正方形,点O 是AC 的中点

在中,EO 是中位线,。

而平面EDB 且

平面EDB ,

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所以,平面EDB 。

(II)证明:底在ABCD 且底面ABCD ,

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① 同样由

底面ABCD ,得

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底面ABCD 是正方形,有

平面PDC

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平面PDC ,

② ………………………………6分

由①和②推得平面PBC 而

平面PBC , 又

,所以平面EFD

(III)解:由(II)知,,故

是二面角

的平面角

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由(II)知,

设正方形ABCD 的边长为

,则

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在中,

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在中,

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所以,二面角的大小为

方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点。设

(I)证明:连结AC,AC交BD于G。连结EG。依题意得

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底面ABCD是正方形,是此正方形的中心,故点G的坐标为且

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。这表明。

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而平面EDB且平面EDB,平面EDB。

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(II)证明:依题意得。又故

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由已知,且所以平面EFD。

(III)解:设点F的坐标为则

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从而所以

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由条件知,即

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解得

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点F

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的坐标为且

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即,故是二面角的平面角。

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16.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力,满分12分.

解法一:(I)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A;内的射影

∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,

于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.

连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.

∴D1E⊥AF?DE⊥AF.

∵ABCD是正方形,E是BC的中点.

∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.…………6分

(II)当D1E⊥平面AB1F时,由(I)知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC,

设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连结C1H,则CH是

C1H在底面ABCD内的射影.

C H⊥EF,即∠C HC是二面角C—EF—C的平面角.

在Rt △C 1CH 中,∵C 1C=1,CH=

41AC=4

2, ∴tan ∠C 1HC=

224

2

1

1==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22,从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.

解法二:以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 (1)设DF=x ,则A (0,0,0),B (1,0,0),D (0,1,0),

A 1(0,0,1),

B (1,0,1),D 1(0,1,1),E )0,2

1

,1(,F (x ,1,0)

F

AB E D CD F x x AF E D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AF AB E D 1111111

11111,.2

1

2

1

0,011)

0,1,(),1,0,1(),1,2

1

,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-?=???⊥⊥=-=?∴==--=∴ (1)当D 1E ⊥平面AB 1F 时,F 是CD 的中点,又E 是BC 的中点,连结EF ,则EF ∥BD. 连结AC ,设AC 与EF 交于点H ,则AH ⊥EF. 连结C 1H ,则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.

∴C 1H ⊥EF ,即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——立体几何中求角与距离

3

18

9898

3

||||cos ).

0,4

3

,43(),1,41,41(),

0,43

,43(),1,1,1(11111-

=?-=

??=

∠∴--==HC HA HC HA AHC HA HC H C

17、⑴连接CD 1 ∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的 中点。∴CD 1∥PQ 故CD 1∥平面BPQ 又D 1Q=AB=1,D 1Q ∥AB , 得平行四边形ABQD 1,故AD 1∥平面BPQ

C D A B P Q

1

111E F H

∴平面ACD 1∥平面BPQ

∴AC ∥平面BPQ (4分) ⑵设DD 1中点为E ,连EF ,则PE ∥CD ∵CD ⊥AD ,CD ⊥DD 1 ∴CD ⊥平面ADD 1 ∴PE ⊥平面ADD 1

过E 作EF ⊥AD 1于F ,连PF 。则PF ⊥AD 1,PF 为点P 到直线AD 1的距离 PF=

223,PE=2 ∴EF=22 又D 1E=2

1

,D 1D=1,∴AD=1

取CD 中点G ,连BG ,由AB ∥DG ,AB=DG 得GB ∥AD 。∵AD ⊥DC ,AD ⊥DD 1∴AD ⊥平面

DCC 1D 1,则BG ⊥平面DCC 1D 1

过G 作GH ⊥PQ 于H ,连BH ,则BH ⊥PQ ,故∠BHG 是二面角B-PQ-D 的平面角。 由△GHQ ∽△QC 1P 得GH=5

2,又BG=1,得tan ∠BHG=

2

5 ∴二面角B-PQ-D 大小为arctan

2

5

18、解 本题考查空间的线面关系,向量法及其运算。

(Ⅰ)证法一:如图建立空间直角坐标系。则D 1(0,0,0)、O 1(2,2,0) B 1(4,4,0)、E (2,0,8)、A (4,0,8)、B (4,4,

8)、

F (0,4,4)。 AF

=(-4,4,-4),1D F =(0,4,4), 1B F

=(-4,0,4)

1AF D F =0+16-16=0,1AF B F

=16+0-16=0

∴AF ⊥平面FD 1B 1.

证法二:连结BF 、DF ,则BF 是AF 在面BC 1上的射

影,

易证得BF ⊥B 1F ,

DF 是AF 在面DC 1上的射影,也易证得DF ⊥D 1F ,所 以AF ⊥平面FD 1B 1.

(Ⅱ)解法一:EB

=(2,4,0),1O F =(-2,2,4)

设EB 与1O F

的夹角为θ,则 11cos ||||

EB O F EB O F θ== 222222(2)420

24(2)24

?-+?++-++ =3030……

解法二:在B 1C 1上取点H ,使B 1H=1,连O 1H 和FH 。

易证明O 1H ∥EB ,则∠FO 1H 为异面直线EB 与1O F 所成角。

1

x Y

Z A B

D C A 1

D 1

C 1

B 1

E

F

O 1

A

B

D

C

A 1

D 1C 1

B 1

E F

O 1

H

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