A

B

C D

A1

E B1

C1高考数学快速提升成绩题型训练

——立体几何中求角与距离

1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD.

（1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体

积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角

恒大于90°

2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

2

3

，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；

（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.

5. 已知三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ．

（1）求证：AP ⊥平面BDE ；

（2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；

（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比．

6.如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，

F、G分别为EB和AB的中点.

（1）求证：FD∥平面ABC；

（2）求证：AF⊥BD；

(3) 求二面角B—FC—G的正切值.

10．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。

（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；

（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论

11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且5

5sin =ADC ，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。 （I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC 的距离。

P

B

C

A D

12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1

=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置；

（Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的余弦值.

13.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，⊥

?

=

∠PD

DAB,

60平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值

14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值

(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；

(Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

·

B1

P

A

C D

A1

C1 D1

B

O

H

·

15.

如图，在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧棱底面ABCD ，，E是PC 的中点，作交PB于点F。

(I)证明

平面；

(II)

证明平面EFD；

(III)

求二面角的大小。

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.

（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1—EF—A的余弦值.

17.如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是

梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD=2，DD 1=AB=1，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点。点P 到直线 AD 1的距离为

2

2

3 ⑴求证：AC ∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D 的余弦值

18.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=8，E 、F 分别为AD 和CC 1的中点，O 1为下底面正方形的中心。

（Ⅰ）证明：AF ⊥平面FD 1B 1； （Ⅱ）求异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值；

A B C D A B C D P

Q

111

1

A B D C A 1D 1C 1

B 1E

F

O 1

H

20. 如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

（1）求点P到平面ABCD的距离；

（2）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值。

答案：

1.（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积

为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

PB

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角，

∠PAB=60°.

3

23

3331a a a V =?=

∴锥.

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形. 作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，

CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角.

设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，

.2

2

a AD AE OA a =<<=∴

在.0)2)(2(2)2(cos ,2

222<-+=??-+=∠?AE OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中

故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.

2. （1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1.

∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面CDE ； （2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1

∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段

∵CE=

23，AC=1 , ∴CD=.2

2 ∴2

1

)()(22=

-=CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC , ∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.

在Rt △CEA 中，CE=

2

3

，BC=AC=1,

∴∠B 1AC=600 ∴260

cos 12

1==

AB ， ∴2)()(2

211=-=AB AB BB , ∴ 21

1==∠BC

BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠.

3. (1) 过D 向平面β做垂线，垂足为O ，连强OA 并延长至E.

DAE OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为二面角a —l —β的平面角..60,120 =∠∴=∠DAO DAE 3,2=∴==DO AB AD .

ABC ? 是等腰直角三角形，斜边AB=2.,1=∴?ABC S 又D 到平面β的距离DO=.3

.3

3

=

∴-ABC D V （2）过O 在β内作OM ⊥AC,交AC 的反向延长线于M,连结DM.则AC ⊥DM.∴∠DMO 为二面角

D —AC —B

的平面角. 又在△DOA

中，OA=2cos60°=1.且

.2

2

,45=

∴=∠=∠OM CAE OAM .6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ （3）在β平在内，过C 作AB 的平行线交AE 于F ，∠DCF 为异面直线AB 、CD 所成的角.

ACF CAF DF CF AF CF AF AB ?=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形，又AF 等于C 到AB 的距离，即△ABC 斜边上的高,.1==∴CF AF

.7.7.7120cos 2222=∠∴==

∠∴=?-+=∴DCF tg CF

DF

DCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成的角为arctg .7

5. (1）∵PC ⊥底面ABC ，BD ?平面ABC ，∴PC ⊥BD ．

由AB=BC ，D 为AC 的中点，得BD ⊥AC ．又PC ∩AC=C ，∴BD ⊥平面PAC ． 又PA ?平面、

（2）由BD ⊥平面PAC ，DE ?平面PAC ，得BD ⊥DE ．由D 、F 分别为AC 、PC 的中点，得DF//AP ．

由已知，DE ⊥AP ，∴DE ⊥DF. BD ∩DF=D ，∴DE ⊥平面BDF ． 又 DE ?平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BDF ．

（3）设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2．则 h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3,

.312323

131

21=?=????==∴??----PBC PBF

PBC

A PBF

E ABC

P EBF P S h S h V V V V

故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶1 6. ∵F 、G 分别为EB 、AB 的中点，

∴FG=2

1

EA ，又EA 、DC 都垂直于面ABC, FG=DC ，

∴四边形FGCD 为平行四边形，∴FD ∥GC ，又GC ?面ABC ， ∴FD ∥面ABC.

（2）∵AB=EA ，且F 为EB 中点，∴AF ⊥EB ① 又FG ∥EA ，EA ⊥面ABC ∴FG ⊥面ABC ∵G 为等边△ABC ，AB 边的中点，∴AG ⊥GC. ∴AF ⊥GC 又FD ∥GC ，∴AF ⊥FD ②

由①、②知AF ⊥面EBD ，又BD ?面EBD ，∴AF ⊥BD.

（3）由（1）、（2）知FG ⊥GB ，GC ⊥GB ，∴GB ⊥面GCF. 过G 作GH ⊥FC ，垂足为H ，连HB ，∴HB ⊥FC. ∴∠GHB 为二面角B-FC-G 的平面角. 易求3

3

22

3,2

3

=

=∠∴=

a a GHB tg a GH .

QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1，连结P 1Q 1. ∵

12

5

1==QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1 . 由四边形PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q 1 而P 1Q 1?平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C 1 （2） AD ⊥平面D 1DCC 1， ∴AD ⊥P 1Q 1， 又∵PQ ∥P 1Q 1， ∴AD ⊥PQ. （3）由（1）知P 1Q 1// PQ,

12

5QB DQ C Q DQ 11==，而棱长CD=1. ∴DQ 1=

175. 同理可求得 P 1D=17

12. 在Rt △P 1DQ 1中，应用勾股定理, 立得

P 1Q 1=171317517122

2

221=??

?

??+??? ??=+DQ D P .

8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AE a =，则1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ，

(1,0,0)A ，(0,2,0)C 。

（Ⅰ）证明：由1(1,0,1)DA = ，1(1,1,1)D E a =--

，

11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ?=?--=-= ，有11DA D E ⊥

，于是11D E A D ⊥。 （Ⅱ）E 是AB 的中点，得(1,1,0)E 。

∴1(1,1,1)D E =- ，(1,2,0)AC =-

，1(1,0,1)AD =- 。 设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =，单位法向量为0n ，

由100n AC n AD ??=???=?? ?(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=???-=??2010x y x -+=??-+=?，解得112

x y =???=??。

于是1(1,,1)2n =，有01(1,,1)2122(,,)3331

114n ==++。

设点E 到平面1ACD 的距离为d ，则

102121(1,1,1)(,,)3333d D E n =?=-?= 。

所以点E 到平面1ACD 的距离为1

3

。

（Ⅲ）平面DEC 的法向量1(0,0,1)n =，设平面1D EC 的法向量2(,,1)n x y =。

又(1,2,0)EC a =--

，1

(0,2,1)DC =- 。 由2

2100

n EC n D C ??=???=??

，得(,,1)(1,2,0)0(,,1)(0,2,1)0x y a x y ?--=???-=? (2)0210x y a y -+-=???

-=?，解得12

1

2

a x y ?

=-????=??，于是21(1,,1)22a n =-。

设所求的二面角为θ，则4

π

θ=

。

有1221(0,0,1)(1,,1)222cos cos ,21

(1)1

24a DD n a θ?-=<>=

=-++ ，得21(1)1224a -++=。 解得23a =-，

所以，当AE=23-时，二面角1D EC D --的大小为

4

π

。

9. （1）取A 1C 1中点F ，连结B 1F ，DF ，∵D 1E 分别为AC 1和BB 1的中点，DF ∥AA 1，

DF=（1/2）AA 1，B 1E ∥AA 1，B 1E=（1/2）AA 1，∴DF ∥B 1E ，DF=B 1E ，∴DEB 1F 为平行四边形，∴DE ∥B 1F ，又B 1F 在平面A 1B 1C 1内，DE 不在平面A 1B 1C 1，∴DE ∥平面A 1B 1C 1

（2）连结A 1D ，A 1E ，在正棱柱ABC —A 1B 1C 1中，因为平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，A 1C 1是平面A 1B 1C 1与平面ACC 1A 1的交线，又因为B 1F 在平面A 1B 1C 1内，且B 1F ⊥A 1C 1，，所以B 1F ⊥平面ACC 1A 1，又DE ∥B 1F ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1所以∠FDA 1为二面角A 1—DE —B 1的平面角。并且∠FDA =（1/2）∠A DC ，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA C =900，D 是AC 的中点，所

以,45,90,2

2,220101111=∠∴=∠==

FDA DC A D A DC 即为所求的二面角的度数。 10．（I ）连结DF ，DC ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC

∵AB ＝AC ，D

为

BC

的中点，∴AD ⊥BC ，AD ⊥平面

BB 1C 1C

3＇

∴DF 为EF 在平面BB 1C 1C 上的射影，

在△DFC 1中，∵DF 2＝BF 2＋BD 2＝5a 2，21DC ＝21CC ＋DC 2＝10a 2， 21FC ＝B 1F 2＋211C B ＝5a 2， ∴21DC ＝DF 2＋21FC ，∴DF ⊥FC 1

FC 1⊥EF

（II ）∵AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠DFE 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角 在△EDF 中，若∠EFD ＝60°，则ED ＝DFtg60°＝3·a 5＝a 15，

∴a 15＞a 3，∴E 在DA 的延长线上，而不在线段AD 上 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角。

11. 解：（1）在底面ABCD 内，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，连结PE

P

B

A D

H

C

E

∵PA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理知：PE ⊥CD ∵∠PEA 是二面角P —CD —A 的平面角 在Rt AED ?中，AD a ADE =∠=355，arcsin

∴=?∠=AE AD ADE a sin 355

在Rt PAE ?中，tan ∠=

=

PEA PA AE 53∴二面角P —CD —A 的正切值为53

（II ）在平面APB 中，过A 作AH ⊥PB ，垂足为H ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC

又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ∴平面PBC ⊥平面PAB

∴AH ⊥平面PBC 故AH 的长即为点A 到平面PBC 的距离 在等腰直角三角形PAB 中，AH a =

2，所以点A 到平面PBC 的距离为2a

12.

解法一：（Ⅰ）以C 为原点，分别以CB 、CA 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

则F （1，0，0），E （1，1，0），A （0，2，0），C 1（0，0，2），

)2,2,0(1-=AC

设G （0，2，h ），则.0,).,1,1(11=?∴⊥-=AC EG EG AC h EG ∴－1×0+1×（－2）+2h=0. ∴h=1，即G 是AA 1的中点. （Ⅱ）设),,(z y x m =是平面EFG 的法向量，则.,EG m FE m ⊥⊥

所以???=++-=?+?+?.0,0010z y x z y x 平面EFG 的一个法向量m =（1，0，1）

∵,2

1

2

222|

|||||sin 11=?=

??=AC m AC m θ ∴6π

θ=

， 即AC 1与平面EFG 所成角θ为

6π

解法二：（Ⅰ）取AC 的中点D ，连结DE 、DG ，则ED//BC ∵BC ⊥AC ，∴ED ⊥AC.

又CC 1⊥平面ABC ，而ED ?平面ABC ，∴CC 1⊥ED. ∵CC 1∩AC=C ，∴ED ⊥平面A 1ACC 1. 又∵AC 1⊥EG ，∴AC 1⊥DG.

连结A 1C ，∵AC 1⊥A 1C ，∴A 1C//DG. ∵D 是AC 的中点，∴G 是AA 1的中点.

（Ⅱ）取CC 1的中点M ，连结GM 、FM ，则EF//GM ，

∴E 、F 、M 、G 共面.作C 1H ⊥FM ，交FM 的延长线于H ，∵AC ⊥平面BB 1C 1C ， C 1H ?平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥G 1H ，又AC//GM ，∴GM ⊥C 1H. ∵GM ∩FM=M ，

∴C 1H ⊥平面EFG ，设AC 1与MG 相交于N 点，所以∠C 1NH 为直线AC 1与平面EFG 所成角θ.

因为.6,2

1222sin ,2,2211πθθ=∴==∴==

N C H C 13． （1）证明：连接BD.

ADB DAB AD AB ?∴?=∠=,60, 为等边三角形.

E 是AB 中点，.DE AB ⊥∴

⊥PD 面ABCD ，AB ?面ABCD ，.PD AB ⊥∴

?DE 面PED ，PD ?面PED ，⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ?AB 面PAB ，⊥∴PED 面面PAB.

（2）解：⊥AB 平面PED ，PE ?面PED ，.PE AB ⊥∴ 连接EF ，?EF PED ，.EF AB ⊥∴

PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角.

设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,1,2,7,===?PF EF PE PEF 中

,14

7

57

2212)7(cos 22=

?-+=

∠∴PEF

即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.14

7

5 14、解（1）4

arctan

1717

APB ∠= （2）略

（3）3

22

15.方法一：

(I)证明：连结AC ，AC 交BD 于O 。连结EO 。

底面ABCD 是正方形，点O 是AC 的中点

在中，EO 是中位线，。

而平面EDB 且

平面EDB ，

所以，平面EDB 。

(II)证明：底在ABCD 且底面ABCD ，

① 同样由

底面ABCD ，得

底面ABCD 是正方形，有

平面PDC

而

平面PDC ，

② ………………………………6分

由①和②推得平面PBC 而

平面PBC ， 又

且

，所以平面EFD

(III)解：由(II)知，，故

是二面角

的平面角

由(II)知，

设正方形ABCD 的边长为

，则

在中，

在中，

所以，二面角的大小为

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设

(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得

底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且

。这表明。

而平面EDB且平面EDB，平面EDB。

(II)证明：依题意得。又故

由已知，且所以平面EFD。

(III)解：设点F的坐标为则

从而所以

由条件知，即

解得

。

点F

的坐标为且

即，故是二面角的平面角。

且

16．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.

解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影

∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，

于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF.

连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.

∴D1E⊥AF?DE⊥AF.

∵ABCD是正方形，E是BC的中点.

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.…………6分

（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，

设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是

C1H在底面ABCD内的射影.

C H⊥EF，即∠C HC是二面角C—EF—C的平面角.

在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=

41AC=4

2， ∴tan ∠C 1HC=

224

2

1

1==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.

解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），

A 1（0，0，1），

B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,2

1

,1(，F （x ，1，0）

F

AB E D CD F x x AF E D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AF AB E D 1111111

11111,.2

1

2

1

0,011)

0,1,(),1,0,1(),1,2

1

,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-?=???⊥⊥=-=?∴==--=∴ （1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.

∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.

3

18

9898

3

||||cos ).

0,4

3

,43(),1,41,41(),

0,43

,43(),1,1,1(11111-

=?-=

??=

∠∴--==HC HA HC HA AHC HA HC H C

17、⑴连接CD 1 ∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的 中点。∴CD 1∥PQ 故CD 1∥平面BPQ 又D 1Q=AB=1，D 1Q ∥AB ， 得平行四边形ABQD 1，故AD 1∥平面BPQ

C D A B P Q

1

111E F H

∴平面ACD 1∥平面BPQ

∴AC ∥平面BPQ （4分） ⑵设DD 1中点为E ，连EF ，则PE ∥CD ∵CD ⊥AD ，CD ⊥DD 1 ∴CD ⊥平面ADD 1 ∴PE ⊥平面ADD 1

过E 作EF ⊥AD 1于F ，连PF 。则PF ⊥AD 1，PF 为点P 到直线AD 1的距离 PF=

223，PE=2 ∴EF=22 又D 1E=2

1

，D 1D=1，∴AD=1

取CD 中点G ，连BG ，由AB ∥DG ，AB=DG 得GB ∥AD 。∵AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1∴AD ⊥平面

DCC 1D 1，则BG ⊥平面DCC 1D 1

过G 作GH ⊥PQ 于H ，连BH ，则BH ⊥PQ ，故∠BHG 是二面角B-PQ-D 的平面角。 由△GHQ ∽△QC 1P 得GH=5

2，又BG=1，得tan ∠BHG=

2

5 ∴二面角B-PQ-D 大小为arctan

2

5

18、解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。

（Ⅰ）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D 1（0，0，0）、O 1（2，2，0） B 1（4，4，0）、E （2，0，8）、A （4，0，8）、B （4，4，

8）、

F （0，4，4）。 AF

=（-4，4，-4），1D F =（0，4，4）， 1B F

=（-4，0，4）

1AF D F =0+16-16=0，1AF B F

=16+0-16=0

∴AF ⊥平面FD 1B 1.

证法二：连结BF 、DF ，则BF 是AF 在面BC 1上的射

影，

易证得BF ⊥B 1F ，

DF 是AF 在面DC 1上的射影，也易证得DF ⊥D 1F ，所 以AF ⊥平面FD 1B 1.

（Ⅱ）解法一：EB

=（2，4，0），1O F =（-2，2，4）

设EB 与1O F

的夹角为θ，则 11cos ||||

EB O F EB O F θ== 222222(2)420

24(2)24

?-+?++-++ =3030……

解法二：在B 1C 1上取点H ，使B 1H=1，连O 1H 和FH 。

易证明O 1H ∥EB ，则∠FO 1H 为异面直线EB 与1O F 所成角。

1

x Y

Z A B

D C A 1

D 1

C 1

B 1

E

F

O 1

A

B

D

C

A 1

D 1C 1

B 1

E F

O 1

H