题型一：绝对值方程
教师备课提醒：由于绝对方程会以“解普通一元一次方程”为基础，所以授课老师在讲解本部分内容 时候根据班级情况复习普通的一元一次方程解法． 含绝对值的一次方程的解法
⑴形如 ax + b = c (a ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①当c < 0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；
②当c = 0 时，原方程变为 ax + b = 0 ，即 ax + b = 0 ，解得 x = - b
；
a ③当c > 0 时，原方程变为 ax +
b =
c 或 ax + b = -c ，解得 x = c - b 或 x = -c - b
．
a a ⑵形如 ax +
b = cx + d (a
c ≠ 0) 型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ；
2
动点问题
知识互联网
②分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ． ⑶形如 ax + b = cx + d (ac ≠ 0) 型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知cx + d ≥ 0 ，求出 x 的取值范围；
②根据绝对值的代数意义将原方程化为两个方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ； ③分别解方程 ax + b = cx + d 和 ax + b = -(cx + d ) ； ④将求得的解代入cx + d ≥ 0 检验，舍去不合条件的解．
【例题1】 ⑴若 x + 5 = 2 ，则
x = ?．
⑵若 3x + 1 = 4 ，则 x = ?．
⑶解关于 x 的绝对值方程： 1 1 - 2x - 1
= 1 ．
3 6
【解析】 ⑴ x = -3 或 x = -7 ；⑵ x = 1 或
x = - 5 ；⑶ x = 9 或 x = - 5 3 4 4
【例题2】 ⑴ 2x + 3 = 4 - x ；
⑵ -3x + 2 = 3 + x ．
【解析】 ⑴ x = 1 或 x = -7 ；⑵ x = - 1 或 x = 5 3 4 2
【例题3】 ⑴若 5x + 6 = 6x - 5 ，则 x = ?．
⑵解方程 【解析】
⑴11； 4x + 3 = 2x + 9 ． ⑵解法一：
令4x + 3 = 0 得 x = - 3
，将数分成两段进行讨论：
4
①当 x ≤- 3 时，原方程可化简为： -4x - 3 = 2x + 9 ， x = -2 在 x ≤- 3
的范围内，是方程
4 4 的解．
②当 x >- 3 时，原方程可化简为： 4x + 3 = 2x + 9 ， x = 3 在 x >- 3
的范围内，是方程的
4 4 解．
综上所述 x = -2 和 x = 3 是方程的解． 解法二：
依据绝对值的非负性可知 2x + 9 ≥ 0 ，即 x ≥ - 9
．原绝对值方程可以转化为
2
① 4x + 3 = 2x + 9 ，解得： x = 3 ，经检验符合题意． ②
4x + 3 = -(2x + 9 ，解得 x = -2 ，经检验符合题意． 综合①②可知 x = -2 和 x = 3 是方程的解．
例题赏析
1. 数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值，②两点间的距离=
右端点表示的数- 左端点表示的数。 例如：
a ，
b 两点的距离可表示为b - a ，也可表示为 a - b 或者 b - a
2. 点在数轴上运动时，满足左减右加，即一个点表示的数为 a ，向左运动 b 个单位后表示的数为
a -
b ；向右运动 b 个单位后所表示的数为
a +
b 。
3. 线段中点坐标：如上图，线段 ab 的中点所表示的数是
a +
b 2
4. 解绝对值方程例如 10 -19t = 4t + 7 ．
【例题4】 如图，已知数轴上的三点 A 、B 、C ，若 AC =120，点 B 为线段 AC 的中点，且点 C 对应
的数为 40. （1） 点 A 对应的数是 ；点 B 对应的数是 . （2） 动点 P 、Q 分别从 A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点 R 从 A 出发向右运动， 点 P 、Q 、R 的速度分别为 2 个单位长度每秒、5 个单位长度每秒、1 个单位长度每秒. ①当点 Q 追上点 P 时，求此时点 R 对应的数是多少？
②若点 M 为线段 PR 的中点，点 N 为线段 RQ 的中点，运动多少秒时恰好满足 MR =RN ？
（2014 年育才期末第 30 题）
【解析】
⑴ -80 ； -20
⑵① p = -80 - 2t ； q=40 - 5t ； r = -80 + t 若点 Q 追上点 P,
则 p =q ，即-80 - 2t = 40 - 5t ，解得t = 40 当t = 40 ，则
②
m = -80 - 1 t ； n = 3
t 2 2
MR = m - r = - 1 t - 80 + 80 - t = 3
t
2 2
RN = r - n = -80 + t + 20 + 2t = -60 + 3t
MR =RN
题型二：数轴上动点问题
思路导航
例题赏析
即-60 + 3t =
3
t
2
解得：t =
40 或
40
3
【例题5】如图，A、B、C 是数轴上的三点，O 是原点，BO=3，AB=2BO，5AO=3CO．（1）写出数轴上点A、C 表示的数；
（2）点P、Q 分别从A、C 同时出发，点P 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运
动，点Q 以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为线段AP 的中点，点N
在线段CQ 上，且CN=
2
3
CQ．设运动的时间为t（t＞0）秒．
①数轴上点M、N表示的数分别是（用含t的式子表示）；
②t 为何值时，M、N 两点到原点O 的距离相等？
（2014 校级期末）
【解析】⑴点A、C 表示的数分别是﹣9，15；
⑵①m=t﹣9，n=15﹣4t；
② OM =m -o =-9 +t
ON =n -o = 15 -4t
∵OM =ON
∴ -9 +t = 15 -4t
解得：t = 2 或
24
5
∴t=2 秒或t=
24
秒时，M、N 两点到原点O 的距离相等．
5
【例题6】如图，已知A、B、C 是数轴上三点，对应的数分别是-10 ，2，6，点O 为原点，动点P、Q 分别从A、C 出发，分别以每秒6 个单位和3 个单位的速度沿数轴正方向运动，M 为
AP 的中点，N 在线段CQ 上，且CN=
1
CQ，设运动时间为t （t > 0 ）.
3
（1）求点M、N 对应的数（用含t 的式子表示）.
（2）t 为何值时，OM=2BN.
（3）若点P 运动到点B 后，点P 继续按原方向原速度运动，但点Q 立即以每秒3 个单位的速度掉头沿数轴负方向运动，当点Q 到达点C 后点P、Q 同时停止运动. 从点Q
MB
掉头开始到停止运动，
CQ
说明理由.
的值改变吗？如果不改变，请求出这个值；如果改变请
（2014 年西大附中期末）
【解析】
⑴
m
= a + p = -10 + (-10 + 6t ) = 3t -10
2 2 n - c = 1
CQ
3
∴n = 6 + t
⑵ OM= m - o = 3t -10
BN=n-b = t + 4 ∵ OM=2BN
∴ 3t -10 = t + 4 ．
解得： t = 2
或18
5
综上所述： t = 2
或18 ．
5
⑶ t = 2 时，P 到达 B 点，此时 m = 3t - 10 = -4 ， q = 3t + 6 = 12 ，
Q 掉头需要用 2 秒返回 C 点，在整个过程中，M 始终在 B 点左侧， MB = 2 - (3t - 10) = 12 - 3t ， CQ = ??12 - (t - 2) ? 3?? - 6 = 12 - 3t ， MB = 12 - 3t = 1．
CQ 12 - 3t
【例题7】
如图，在长方形 ABCD 中，AB =12 厘米，BC =6 厘米，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动，如果 P 、Q 同时出发，用 t （秒）表示移动的时间，那么：
（1） 如图 1，当 t 为何值时，线段 AQ 的长度等于线段 AP 的长度？
（2） 如图 2，当 t 为何值时，AQ 与 AP 的长度之和是长方形 ABCD 周长的 1
？
4 （3） 如图 3，点 P 到达 B 后继续运动，到达 C 点后停止运动；Q 到达 A 后也继续运动，
当 P 点停止运动的同时点 Q 也停止运动．当 t 为何值时，线段 AQ 的长度等于线段 CP 长度的一半？
（2014 校级期末）
【解析】
⑴由题意可得：QD =tcm ，AQ =（6﹣t ）cm ，AP =2tcm ，
题型三：面积问题
例题赏析
则6﹣t=2t，
解得：t=2；
⑵由题意可得：QD=tcm，AQ=（6﹣t）cm，AP=2tcm，则6﹣t+2t= ×2×（6+12），
解得：t=3；
⑶由题意可得：AQ=（t﹣6）cm，CP=（18﹣2t）cm，
则t﹣6= 1
（18﹣2t），2
解得：t=7.5．
【例题8】如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，点E 是CD 的中点，动点P 从A 点出发，以每秒2cm 的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若设点P 运动的时间是t 秒，
那么当t 取何值时，△APE 的面积会等于10？
（2013 重庆校级期末）
图1 图2 图3
【解析】解：①如图1，当点P 在AB 上，即0＜t≤4 时，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=6，AB=CD=8．
∵AP=2t，
1
∴S△APE=
2
×2t×6=10，
解得t= 5 ．
3
②如图2，当点P 在BC 上，即4＜t≤7 时，∵E 是DC 的中点，
∴DE=CE=4．
∵BP=2t﹣8，PC=6﹣（2t﹣8）=14﹣2t．
∴S= 1
（4+8）×6﹣
1
×（2t﹣8）×8﹣
1
（14﹣2t）×4=10，2 2 2
解得：t=7.5＞7 舍去；
③当点P 在EC 上，即7＜t≤9 时，
2 ?
2
3PE
=18﹣2t ．
∴S △APE = 1
（18﹣2t ）×
6=10， 2 解得：t = 22
．
3
总上所述，当 t = 5 或 22
时△APE 的面积会等于 10．
3 3
【例题9】
如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，H 为 AD 上一点，并且 AH :HD =1:3，动点 E 从 A 出发，沿A → B → C → D 以每秒 1 个单位的速度运动，同时，动点 F 从 C 出发，沿
C →
D → A → B 以每秒
3 个单位的速度运动，设运动时间为t . （1）AH = ，HD = .
（2） 当 t = 时，E 、F 第一次相遇. （3） 当 E 、F 运动到第二次相遇前一秒时，求△EHF 的面积. （4） 记为 H 、E 、F 为顶点的三角形的面积为 S ，如果 F 、E 第一次相遇时两点就停止运
动，请用含 t 的代数式表示 S ，并写出 t 的取值范围.
（2014 年一外期末第 28 题）
【解析】
⑴1 ； 3
⑵4 ⑶3 ⑷①S = 2 ?
0 < t < 4 ?
3 ? ? ? ② S = 7 - 3 t 2 (
4 ≤ t < 7 )
2 2
3 3 ③ S = 3 t 2 - 7 ? 7 ≤ t < 8 ? ? ?
④ S = 4 - t ? 8 ≤ t ≤ 4 ?
3 ? ? ?
【练习1】 解方程 4x + 3 = 2x + 9 【解析】
令4x +
3 = 0 得
x = - 3
，将数分成两段进行讨论： 4
①当 x ≤ - 3 时，原方程可化简为： -4x - 3 = 2x + 9 ， x = -2 在 x ≤ - 3
的范围内，是方程
4 4
的解．
②当 x >- 3 时，原方程可化简为： 4x + 3 = 2x + 9 ， x = 3 在 x >- 3
的范围内，是方程的
4 4
解．
综上所述：原方程的解是 x = -2 和 x = 3 ．
【练习2】 解方程： - x
+ 3 = -1 + x
2
3
【解析】
原方程整理得：
- x + 3 = -1 + x 或- x + 3 = -?
-1 + x ? ， 2 3 2
3 ? ?
?
∴原方程的解为 x =
24
， x = 12 ． 5
【练习3】 如图已知点 A 、 B 、C 是数轴上三点，点C 表示的数为6 ， BC = 4 ， AB = 12 .
⑴数轴上点 A 表示的数是 ，点 B 表示的数是
； ⑵动点 P 、Q 同时从 A 、C 出发，点 P 以每秒6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
点Q 以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向左运动，M 为 AP 的中点，N 在线段CQ 上，
且CN = 1 CQ ，设运动时间为t （
t ＞ 0 ）秒. 3
①当t = 1时，求数轴上点 M 表示的数.
②求数轴上点 M 、 N 表示的数（用含t 的式子表示）. ③ t 为何值时，原点O 恰为线段 PQ 的中点.
【解析】
⑴∵C 表示的数为 6，BC =4， ∴OB =6﹣4=2， ∴B 点表示 2． ∵AB =12，
复习巩固
∴AO=12﹣2=10，∴A 点表示﹣10；
⑵①由题意得：
当t =1 时，m =-10 + 3t
m =-10 + 3t =-10 + 3?1 =-7
②m =-10 + 3t ；n = 6 -t
③ p =-10 + 6t ；q= = 6 - 3t
∵原点O 恰为线段PQ 的中点.
∴o =p + q
=
-10 + 6t + 6 - 3t
= 0 2 2
解得：t =
4
3
【练习4】如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为﹣10，OB = 3OA ，点M 以每秒3 个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2 个单位长度的速度从点O 向右运动（点
M 、点N 同时出发）
（1）数轴上点B 对应的数是．
（2）经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？
（3）当点M 运动到什么位置时，恰好使AM = 2BN ？
【解析】⑴OB=3OA=30．
故 B 对应的数是30；
⑵设经过的时间为t
m =-10 + 3t ；n = 2t
则OM =o -m = 10 - 3t
ON =n -o = 2t
若点M 、点N 分别到原点O 的距离相等
即OM =ON
∴10 - 3t = 2t
解得t = 2 或10
∴经过2 秒或10 秒，点M、点N 分别到原点O 的距离相等；
⑶AM =m -a = 3t ；BN =b -n = 30 - 2t ；m =-10 + 3t
∵ AM=2BN
∴2 30 - 2t = 3t
解得：t =60
或60 7
当t =60
或60 时，7
m = -10 + 3t =
110
或170 7 即点 M 运动到110
或 170 位置时，恰好使 AM =2BN ．
7
【练习5】 如图所示，在数轴上点 A 、 B 、C 表示的数分别为﹣2，1，6，点 A 与点 B 之间的距离
表示为 AB ，点 B 与点C 之间的距离表示为 BC ，点 A 与点C 之间的距离表示为
AC ． （1）则 AB = ， BC = ， AC = ；
（2） 点 A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，同
时，点 B 和点C 分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动．请问：
BC - AB 的值是否随着运动时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，
请求其值；
（3） 由第（1）小题可以发现， AB + BC = AC ．若点C 以每秒 3 个单位长度的速度向左
运动，同时，点 A 和点 B 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 2 个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间 t 的变化， AB 、 BC 、 AC 之间是否存在类似于（1）
的数量关系？请说明理由．
【解析】 ⑴由图可得，AB =3，BC =5，AC =8，
⑵ a = -2 - t b = 1 + 2t c = 2 + 5t BC = c - b = 5 + 3t
AB = b - a = 1 + 2t + 2 + t = 3 + 3t
BC - AB = (2 + 5t ) - (3 + 3t ) = 2
故 BC ﹣AB 的值不会随着时间 t 的变化而改变； ⑶由题意得，AB =t +3，
BC =5﹣5t （t ≤1 时）或 BC =5t ﹣5（t ＞1 时）， AC =8﹣4t （t ≤2 时）或 AC =4t ﹣8（t ＞2 时），
当 t ≤1 时 ，AB +BC =（t +3）+（5﹣5t ）=8﹣4t =AC ， 当 1＜t ≤2 时，BC +AC =（5t ﹣5）+（8﹣4t ）=t +3=AB ， 当 t ＞2 时，AB +AC =（t +3）+（4t ﹣8）=5t ﹣5=BC ．
【练习6】
如图，若点 A 在数轴上对应的数为 a ，点 B 在数轴上对应的数为b ，且 a ， b 满足 a + 2 + (b - 1)2
= 0 ．点 A 与点 B 之间的距离表示为 AB （以下类同）．
（1） 求 AB 的长；
（2） 点C 在数轴上对应的数为 x ，且 x 是方程2x - 2 = 1
x + 2 的解，在数轴上是否存在
2
点 P ，使得 PA + PB = PC ？若存在，求出点 P 对应的数；若不存在，说明理由； （3） 在（1）、（2）的条件下，点 A ， B ， C 开始在数轴上运动，若点 A 以每秒 1 个单位
长度的速度向左运动，同时，点 B 和C 分别以每秒 4 单位长度和 9 个单位长度的速度向右运动，经过 t 秒后，请问： AB - BC 的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．
【解析】
⑴∵|a +2|+（b ﹣1）2=0， ∴a =﹣2，b =1，
∴线段 AB 的长为：1 - (-2) =3；
⑵存在．
由方程 2x ﹣2= 1
2
所以点
C
x +2，得 x = 8 ，
3 8
在数轴上对应的数为 ．
3
设点 P 对应的数为 m ，
若点 P 在点 A 和点 B 之间，m ﹣（﹣2）+1﹣m = 8 ﹣m ，解得 m = - 1
；
3 3
若点 P 在点 A 右边，﹣2﹣m +1﹣m = 8 ﹣m ，解得 m = - 11
．
3 3
所以 P 对应的数为- 1 或- 11
．
3 3 ⑶A ′B ′﹣B ′C ′= (5t + 3) - (5t + 1) = 2
所以 AB ﹣BC 的值是否随着时间 t 的变化而不变．
【练习7】 小刘和小周分别站在正方形的对角 A 、C 两点处，小刘以 2 米/秒的速度走向点 D 处，途
中位置记为 P ；小周以 3 米/秒的速度走向点 B 处，途中位置记为Q ．已知正方形的边长为 8 米，E 在 AB 上，AE =6 米，记三角形 AEP 的面积为S 1，三角形BEQ 的面积为S 2．假设两人同时出发，运动的时间为t （秒）． （1） 用含 t 的代数式表示下列线段的长度：
AP = ；PD = ；BQ = ；CQ = ． （2） 当 t 为何值时 PD =CQ ？ （3） 他们出发后多少秒时，S 1= S 2？
【解析】
⑴2t ，8﹣2t ，8﹣3t ，3t ； ⑵由题意得 8﹣2t =3t ， 解得 t = 8 ．
5
∴当 t = 8
时，PD =CQ ；
5
⑶设他们出发后
t 秒钟时S 1=S 2，则小刘t 秒钟所走路程为 2t 米，即AP =2t 米； 小周 t 秒钟所走路程为 3t 米，则 BQ =（8﹣3t ）米；
S 1 = 1 ? AC ? AP = 1 ? 6 ? 2t = 6t
2 2
S 2 = 1 ? BQ ?BE = 1
? (8 - 3t ) ? 2 = 8 - 3t
2
2 由题意得8 - 3t = 6t
解得 t = 8
．
9
∴他们出发后 8
秒时，S 1=S 2．
9
【练习8】 如图，AC ⊥ CB ，垂足为C 点，AC = CB =8cm ，点Q 是 AC 的中点，动点 P 由 B 点出发，
沿射线 BC 方向匀速移动．点 P 的运动速度为 2cm /s ．设动点 P 运动的时间为ts ．为方便
说明，我们分别记三角形 ABC 面积为S ，三角形 PC Q 的面积为S 1，三角形 P A Q 的面积为S 2，三角形ABP 的面积为S 3．
（1） S 3= cm 2
（用含t 的代数式表示）； （2） 当点P 运动几秒， 1 ，说明理由；
S 1= 4
S
（3） 请你探索是否存在某一时刻，使得S 1=S 2=S 3？若存在，求出t 值；若不存在，说明
理由．
【解析】
⑴由题意，得
S 3= 2t ? 8 =8t ．
2
⑵由题意，得
当 0≤t ≤4 时，S 1
= (8 - 2t ) ? 4 =16﹣4t ，
2 当t ＞4 时，S 1 =
(2t - 8) ? 4 =4t ﹣16，
2
∴当 16﹣4t = 1 4 解得：t =2， 1
×8×8× 1
时，
2
1 当 4t ﹣16= 4 ×8×8× 时，
2
解得：t =6．
∴当点P 运动 2 秒或 6 秒时， 1
；
S 1= 2
S
⑶由题意，得 16﹣4t =8t ，
解得：t = 4
．
3 ∴当t = 4
时，S 1=S 2=S 3．
3
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3，点D是边AB上的动点（点D 与点A、B不重合），过点D作DE⊥AB交射线AC于E，连接BE，点F是BE的中点， 连接CD、CF、DF．（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设AD=x，CE=y．①直接写出y关于x的函数关系式及定义域；②求证：△CDF是等边三角形； （2）如果BE=2，请直接写出AD的长．
2.已知：三角形纸片ABC中，∠C=90°，AB=12，BC=6，B′是边AC上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点B′重合，折痕与BC、AB分别相交于E、F．（1）设BE=x，B′C=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （2）当△AFB′是直角三角形时，求出x的值．
3.已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3， 2） （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值； （3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN ∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
4.已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°． （1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上， ①求证：△BDE≌△ADC； ②若DC=3，求AE的长； （2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．
苏教版中考数学压轴题动 点问题 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
运动变化型问题专题复习 【考点导航】 运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型．【答题锦囊】 例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形 （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由． 例２如图2，直角梯形CD ，AD=4，DC=3，动点P从点 A出发，沿A→D→C→B方向移动，动点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段 PQ平分梯形ABCD （1）求y与x的函数关系式，并求出x y ，的取值范围；（2）当PQ∥AC时，求 x y ，的值； （3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． 例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2 为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由； (2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 例４如图7①，一张三角形纸片ABC沿斜边AB的中线CD把这张 纸片剪成 11 AC D ?和 22 BC D ? 11 AC D沿直线 2 D B（AB）方向平 移（点 12 ,,, A D D B始终在同一直线上），当点.在平移过程中，11 C D与 2 BC交于点E, 1 AC与222 C D BC 、分别交于点F、P. ⑴当 11 AC D ?平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的 1 D E与 2 D F的数量关系，并证明你的猜想； ⑵设平移距离 21 D D为x， 11 AC D ?与 22 BC D ?重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围； ⑶对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原ABC ?面积的 1 4 .若存在，求x的值；若不存在，请说明理由. 【中考预 测】 ⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图8②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC Q B M 图1 ＡC D Q P Ｂ 图2 1 2 2 D ① 2 1 ②
1．三角形的两条边长分别是3cm 和4cm,一个内角为40,那么满足条件，且彼此不全等的三角形共有? 个 ２.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形B ＣＤＥ 的外部时,则∠Ａ与∠1、∠2之间的数量关系是（ ） Ａ．∠A =∠1－∠2 Ｂ.2∠A ＝∠1－∠2 C ．３∠A =2∠1－∠2 Ｄ.３∠A ＝2(∠1－∠２) 3.CD 经过BCA ∠顶点C 的一条直线,CA CB =.E F ，分别是直线CD 上两点,且 BEC CFA α∠=∠=∠. (1）若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E F ，在射线CD 上,请解决下面的问题: ①如图１,若90BCA ∠=,90α∠=, 则BE CF ;EF ｜BE -AF ｜（填“>”,“<”或“=”）； ②如图2,将(1）中的已知条件改成∠B ＣA=６0°，∠α=１２０°,其它条件不变,（１)中的结论__＿_______。（填“成立”、“不成立”） ③若0180BCA <∠<,请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． (２）如图３,若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF BE AF ，，三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)_＿＿___＿_＿____＿______． 10.数学课上,老师让同学们按要求折叠长方形纸片． 第一步:先将长方形的四个顶点标上字母A ,Ｂ，C ，D (如图１2)； 第二步：折叠纸片，使A Ｂ与CD 重合,折出纸痕MN ，然后打开铺平; 第三步：过点D 折叠纸片，使A 点落在折痕MN 上的Ａ’处，折痕是DL .这时，老师说：“A ’L 的长度一定等于ＬＤ的一半.”同学们经过测量果然如此.为了解开其中的奥秘，老师设置了几个思考题,请同学们完成: （１）△ALD 与△A ’ＬD 关于LD 对称吗？ （2）AD ＝A ’D 吗？∠ADL =∠A ’DL 吗?∠LA ’D 是直角吗？ (3）连接A Ａ’，△A ’ＡＮ与△A ’DN 对称吗? （4)A ’Ａ=A ’Ｄ吗？△A ’AD 是什么三角形？ (５)请同学们完整地说明A ’L ＝2 1 LD 的理由. 11．如图2,在等边△ABC 中，取ＢD ＝CE ＝AF ,且D ，Ｅ，Ｆ非所在边中点，由图中找出3个全等三角形 1（ E D C B A 2 (第2题) A B C E F D D A B C E F A D F C E B （图1） （图2） （图3） B C M D A A′ L 图12 N
八年级下数学压轴题及 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
八年级下数学压轴题 1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB 的数量关系：； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）
2．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F． （1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理 由．
3．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． 求证：CE=CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°， AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角 梯形ABCD的面积．
2017年八年级下册数学期末压轴题汇编 1.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为(3,4)一次函数 2 3 y x b =-+的图象与边OC AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE.点M是线段DE上的一个动点. (1)求b的值；(2)连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方的平面内的一点，当四边形OM DN是菱形时，求点N的坐标；
2.如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q， ⑴求证：PA=PQ；⑵用等式表示PB2、PD2、AQ2之间的数量关系，并证明； ⑶点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为2，则AQ的中点M移动的路径为---------------；（直接写出答案）
3.已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，PC=4（如图1）； (1)求AB的长； (2)擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点(点M与点P、A不重合).N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN.过点M作MH PB，垂足为H，连结MN交PB于点F(如图2). ①若M是PA的中点，求MH的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化?若变化，说明理由，若不变，求出线段FH的长度；
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=9，动点P从D点出发沿DA以每秒1个单位的速度向A点运动，动点Q从B点出发沿BC以每秒3个单位的速度向C点运动．两点同时出发，当Q点到达C点时，点P随之停止运动．设点P运动的时间为t秒； （1）求t的取值范围； （2）求t为何值时，PQ与CD相等？
2016年中考数学压轴题动点问题 一、选择题 1. （2016·湖北鄂州）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s. 设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是（） 【考点】动点函数的图像问题. 【分析】分别判断点P在AB、在BM上分别运动时，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)的变化情况进行求解即可. 2.（2016年浙江省台州市）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（） A．6 B．2+1 C．9 D． 【考点】切线的性质． 【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值 故选C． 3.（2016年浙江省温州市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB
方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（） A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 4．（2016.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（） A．B． C． D． 【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
七年级数学上册期末压轴题汇编 一、线段类: 1．（本题8分）如图，点C为线段AB上一点，D为AC的中点，点E为线段BD的中点 (1) 若CD＝2CB，AB＝10，求BC的长 (2) 若CE＝BC，求 2.（本题12分）如图，点P是定长线段AB上一定点，C点从P点、D点从B点同时出发分别以每秒a、b 厘米的速度沿直线AB向左运动，并满足下列条件： ①关于m、n的单项式2m2n a与－3m b n的和仍为单项式 ②当C在线段AP上，D在线段BP上时，C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC (1) 直接写出：a＝________，b＝________ (2) 判断＝________，并说明理由 (3) 在C、D运动过程中，M、N分别是CD、PB的中点，运动t秒时，恰好t秒时，恰好3AC＝2MN，求此时 的值
3.（本题8分）如图1，点A、B分别在数轴原点O的左右两侧，且OA＝OB，点B对应的数是10 (1) 求A点对应的数 (2) 如图2，动点M、N、P分别从原点O、A、B同时出发，其中M、N均向右运动，速度分别为4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，点P向左运动，速度为5个单位长度/秒．设它们运动时间为t秒，当点P是MN 的中点时，求t的值 4.（本题12分）如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AC＝2AB，点A对应的数是40 (1) 若AB＝60，求点C到原点的距离 (2) 如图2，在(1)的条件，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左(2) 运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒，经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度 (3) 如图3，在(1)的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运 动过中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点，证明的值不变．若其他条件不变，将R的速度改为3个单位长度/秒，10秒后，的值为________
C2 C1 A2 B2 B1 O1 O A1 D C B A 八年级（下）数学精选压轴题、新题 1. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形C OBB 1 ，对角线相交于 点 1 A；再以C A B A 1 1 1 、为邻边作第2个平行四边形C C B A 1 1 1 ，对角线相交于点 1 O；再以 1 1 1 1 C O B O、为邻边作第3个平行四边形1 2 1 1 C B B O……依此类推.（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形 1 OBB C、第2个平行四边形 111 A B C C和第6个平行四边形的面积。 2、如图，菱形ABCD的对角线长分别为b a、，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011的面积用含b a、的代数式表示为． 3、在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高，∠A的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求证：CFGE是菱形。 4．如图，在梯形ABCD中，,6,5,30 AD BC AC BD OCB ==∠=?，求BC+AD的值及梯形面积. 5.已知数x1,x2,x3,x4, …,x n的平均数是5，方差为2，则3x1+4,3x2+4, …,3x n+4的平均数是_______________，方差是_______________. 6、一组数据 0，-1，5，x，3，-2的极差是8，那么x的值为（） A、6 B、7 C、6或-3 D、7或-3 7．观察式子： a b3 ，－ 2 5 a b ， 3 7 a b ，－ 4 9 a b ，……，根据你发现的规律知，第8个式子为． 8、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图，依此规律第10个图形的周长为。 …… 第一个图第二个图第三个图 9、如图，矩形ABCD对角线AC经过原点O，B点坐标为（―1，―3），若一反比例函数 x k y=的图象过点D，则其解析式为。 _F _A_B _C _D _E _G B C A D O
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 26．（本题满分10分） 已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2. （1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分） （2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5分） D (第26题图1) D C A B E (第26题图2) F H G
26．解：（1）如图①，过点G作于M.…………………………………………（1分） 在正方形EFGH中， . …………………………………………………………（1分） 又∵， ∴⊿AH E≌⊿BEF…………………………………………………………（1分）同理可证：⊿MFG≌⊿BEF. …………………………………………………………（1分）∴GM=BF=AE=2. ∴FC=BC-BF=10.…………………………………………………………（1分）（2）如图②，过点G作于M.连接HF.…………………………………………（1分） …………………………………………………（1分） 又 ∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………………………………………（1分） ∴GM=AE=2.……………………………………………………………（1分） …………………………………………（1
如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点. (1) 求点的坐标. (2) 请判断△的形状并说明理由. (3) 动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀 速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于. 设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.
（2014?济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M ，是否存在这样的点P， 使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在抛物线上．本 问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 答： 解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点， ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA =5，AC =10， ∴OC ===．∵S△OAC=OC ?AD=OA?AC，∴AD=．∴AA′=，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°，∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt △A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4）， 当x =﹣3时，y=×（﹣3）2+3﹣=4．所以，点A ′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y =x +…（9分）设点P 的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点M为（x，x+）． ∵PM∥AC， ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM= AC．又点M在点P的上方，∴（x+）﹣（x2﹣x﹣）=10． 解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2时，y=﹣． ∴当点P运动到（2，﹣）时，四边形PACM是平行四边形． 点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、 勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问的要点是求对称点A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解．
初一数学期末练习试卷 1. 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式c b a c b a a -+-++-的值等于（ ） A ．a B ．b a 22- C ．a c -2 D ．a - 2.当2=x 时，代数式13++bx ax 错误！未找到引用源。的值为6，那么当2-=x 时，这个代数式的值是（ ） A ．1 B ．4- C ．6 D ．5- 3.如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( )A. 669 ； B. 670； C.671； D. 672. 4.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列0S ，将其中的每个数换成该数在0S 中出现的次数，可得到一个新序列．例如序列0S ：（4，2，3，4，2），通过变换可得到新序列1S ：（2，2，1，2，2）．若0S 可以为任意序列，则下面的序列可以作为1S 的是( ) A ．（1，2，1，2，2） B ．（2，2，2，3，3） C ．（1，1，2，2，3） D ．（1，2，1，1，2） 5.七年一班同学一起玩报数游戏，第一位同学从1开绐报数，当报到尾数是7或7的倍数的数时，则必须跳过该数报下一个数，如： 位置 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 十 五 … 报出 的数 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 15 16 18 … 按这种方法报数，在全班同学都准确报出的情况下，最后一位同学报出的数是61， 则这个班有学生 人． 6.一楼梯共有n 级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶或3级台阶，设从地面到 第n 级台阶所有不同的走法为M 种. （1）当n =2时，M= 种；（2）当n =8时，M= 种. 7.图1是一个边长为2的等边三角形和一个四边均长为1的四边形的组合图形，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），…，则第1个图形的周长是 ；第4个图形的周长是 . 图1 图2 图3 … 第3题
C 2 C 1A 2 B 2 B 1 O 1 O A 1 D C B A 八年级下册数学经典压轴题、新题 1. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1，对角线相交于点 1A ；再以C A B A 111、为邻边作第2个平行四边形C C B A 111，对角线 相交于点1O ；再以1111C O B O 、为 邻边作第3个平行四边形1211C B B O ……依此类推. （1）求矩形ABCD 的面积； （2）求第1个平行四边形1OBB C 、第2个平行四边 形 111A B C C 和第6个平行四边形的面积。 2、如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2011B 2011C 2011D 2011的面积用含 b a 、的代数式表示为 ． 3、在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 的高，∠A 的平分线AE 交CD 于F ，交BC 于E ，EG?AB 于G ，求证：CFGE 是菱形。 4．如图，在梯形ABCD 中， ,6,5,30AD BC AC BD OCB ==∠=?P ，求 BC+AD 的值及梯形面积. 5.已知数x 1,x 2,x 3,x 4, …,x n 的平均数是5，方差为2，则 3x 1+4,3x 2+4, …,3x n +4的平均数是_______________，方差是_______________. 6、一组数据 0，-1，5，x ，3，-2的极差是8，那么x 的值为（ ） A 、6 B 、7 C 、6或-3 D 、7或-3 7．观察式子：a b 3，－25a b ，37a b ，－4 9 a b ，……，根据你发现的规律知，第8个式子为 ． 8、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图， 依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 9、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为 （―1，―3），若一反比例函数 x k y = 的图象过点D ，则其 解析式为 。 第16题图 10．下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 _________ ． 11．若关于x 的分式方程 无解，则常数m 的值为 _________ ． _F _A _B _C _D _E _G B C A D O
华师大版初二年下册综合压轴题 1．若点(m ，n )在函数12+=x y 的图象上，则代数式124+-n m 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 2. 如图，点P 是反比例函数x y 6 = （0>x ）的图象上的 任意一点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构 成矩形OAPB ，点D 是矩形OAPB 内任意一点，连接 DA 、 DB 、DP 、 DO ，则图中阴影部分的面积是 （ ） A ．1 ； B ． 2； C ．3； D ． 4. 3．若点(m ，n )在函数12+=x y 的图象上，则代数式124+-n m 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 4. 观察下列等式：n a =1，1211a a -=，2 31 1a a -=，…；根据其蕴含的规律可得（ ）． A. n a =2013 B. n n a 12013-= C. 112013-=n a D. n a -=112013 5．设函数x y 3 =与1y x =-的图象的交点坐标为（a ，b ），则11a b -的值为（ ） A ．3- B ．3 C ．31- D ．3 1 6．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校． 图中的折线表示小亮的行程()s km 与所花时间()min t 之间的函数关系，下列说法错误的．．． 是（ ）． A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100/m min D ．公交车的速度是350/m min 7．如图所示，一只小虫在折扇上沿O →A →B →O 路径爬行，能大致描述小虫距出发点O 的距离s 与时间t 之间的函数图象是 （ ） 8．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步．．到离家较远的绿岛 公园，打了一会儿太极拳后跑步．．回家．下面能反映当天小华的 爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（ ）． 第2题
中考专题——动点问题详细分层解析（一） 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=32NH=2132?OP=2. (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+23363 1,解得6=x .经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363 12=+x ,解得0=x .经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2. 二、应用比例式建立函数解析式 例2 如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. H M N G P O A B 图1 x y
26．（本题满分10分） 已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在 矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2. （1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（5分） （2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式 表示）；（5分） D (第26题图1) F D C A B E (第26题图2) F H G
26．解：（1）如图①，过点G 作GM BC ⊥于M . …………………………………………（1分） 在正方形EFGH 中， 90,HEF EH EF ∠==o . …………………………………………………………（1 分） 90. 90,. AEH BEF AEH AHE AHE BEF ∴∠+∠=∠+∠=∴∠=∠o o Q 又∵90A B ∠=∠=o ， ∴⊿AH E ≌⊿BEF …………………………………………………………（1 分）同理可证：⊿MFG ≌⊿BEF . …………………………………………………………（1分） ∴GM=BF=AE =2. ∴FC=BC-BF =10. …………………………………………………………（1分） （2）如图②，过点 G 作GM BC ⊥于 M .连接 HF . …………………………………………（1分） //,. //,. AD BC AHF MFH EH FG EHF GFH ∴∠=∠∴∠=∠Q Q .AHE MFG ∴∠=∠ …………………………………………………（1分） 又90,,A GMF EH GF ∠=∠==o Q ∴⊿AHE ≌⊿MFG . ………………………………………………………（1 分） ∴GM=AE =2. ……………………………………………………………（1 分） 11 (12)12. 22 GFC S FC GM a a ∴=?=-=-V …………………………………………（1分）
选择： 1．某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y （升）与时间x （分）之间的函数关系对应的图象大致为 （ 9．如图，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到点D 为止，在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图象表示正确的是（ 3．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，将△ABE 绕着顶点 A 逆时针旋转90°，得△ADF ,连接EF ，P 为EF 的中点，则下列结 论正确的是（ ） ①AE =AF ；②EF =2EC ；③∠DAP =∠CFE ；④∠ADP =45° ； ⑤PD //AF （A ）①②③ （B ）①②④ （C ）①③④ （D ）①③⑤ 4．如图，已知正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，AB =1cm ，过B 作BG ∥AC ，过A 作AE ∥CG ，且∠ACG ：∠G =5:1，以下结论：①AE =3cm ；②四边形AEGC 是菱形；③S △BDC =S △AEC ；④ CE =2 1 cm ；⑤△CFE 为等腰三角形，其中正确的有（ ） A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．②④⑤ D ．①②④ 5．如图△ABC 中已知D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点， 且S △ABC ＝2 acm ，则S 阴影的值为： A 、 2acm 61 B 、2acm 51 C 、2acm 41 D 、2acm 3 1 第3题图 B C E F A D
6. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1、1、2、3、5、8、13、…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和. 现以这组数中的各个数据作为正方形的边长长度构造正方形，再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④，按此规律继续作矩形，则序号为⑧的矩形周长是（ ） D. 178 7.按下列方式摆放圆形和三角形，观察图形，第10个图形中圆形的个数有（ ）. …… （1） （2） （3） A ．36 B ．38 C ．40 D ．42 8.张老师把手中一包棒棒糖准备分给幼儿园小班的小朋友，如果每个小朋友分3个棒棒糖，那么还剩59个；如果前面每一个小朋友分5个棒棒糖，则最后一个小朋友得到了棒棒糖，但不足3个.则张老师手中棒棒糖的个数为（ ）． A ．141 B ．142 C ．151 D ．152 填空： 9.某木材加工厂有甲、乙、丙、丁4个小组制造学生桌子和凳子， 甲组每天能制造8张桌子或10条凳子；乙组每天能制造9张桌子或12条凳子；丙组每天能 制造7张桌子或11条凳子；丁组每天能制造6张桌子或7条凳子．现在桌子和凳子要配套制 造（每套为一张桌子和一条凳子）．问：21天中这4个小组最多．． 可制造____________套桌凳． 10. 如图，在梯形ABCD 中，AD =4cm ，BC =8cm ，CD =6cm ， ∠C =∠D = 90，动点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发在 AD 上运动，动点Q 以每秒2cm 的速度从点B 出发在BC 上运动， P 、Q 同时出发 秒后，四边形APQB 的面积达到182 cm . 11. 如图，在直角坐标平面内的△ABC 中，点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标为（5，5），如果要 第15题图 A B C 第10题图 Q P D 155332 2111111113 21
七年级（上）期末数学复习卷 1.如图甲，点O 是线段AB 上一点，C、D 两点分别从O、B 同时出发，以2cm/s、4cm/s 的速度在直线AB 上运动，点C 在线段OA 之间，点D 在线段OB 之间． （1）设C、D 两点同时沿直线AB 向左运动t 秒时，AC：OD=1：2，求的值； （2）在（1）的条件下，若C、D 运动秒后都停止运动，此时恰有OD﹣AC=BD，求CD 的长； （3）在（2）的条件下，将线段CD 在线段AB 上左右滑动如图乙（点C 在OA 之间，点D 在OB 之间），若M、N 分别为AC、BD 的中点，试说明线段MN 的长度总不发生变化． 2.已知线段AB=12，CD=6，线段CD 在直线AB 上运动（C、A 在B 左侧，C 在D 左侧）．（1）M、N 分别是线段AC、BD 的中点，若BC=4，求MN； （2）当CD 运动到D 点与B 点重合时，P 是线段AB 延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
3.如图，已知点A、B、C 是数轴上三点，O 为原点．点C 对应的数为6，BC=4，AB=12．（1）求点A、B 对应的数； （2）动点P、Q 分别同时从A、C 出发，分别以每秒6 个单位和3 个单位的速度沿数轴正方向运动．M 为AP 的中点，N 在CQ 上，且CN=CQ，设运动时间为t（t＞0）． ①求点M、N 对应的数（用含t 的式子表示）；②t 为何值时，OM=2BN． 4.如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C 对应的数是200． （1）若BC=300，求点A 对应的数； （2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q 分别从A、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P、Q、R 的速度分别为10 单位长度每秒、5 单位长度每秒、2 单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）； （3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D 对应的数分别为﹣800、0，动点P、Q 分别从E、D 两点同时出发向左运动，点P、Q 的速度分别为10 单位长度每秒、5 单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，QC﹣AM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由．
2019年八年级下册数学期末压轴题汇编 1.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，点B的坐标为(3,4)一次函数 2 3 y x b =-+ 的图象与边OC AB分别交于点D、E，并且满足OD= BE.点M是线段DE上的一个动点. (1)求b的值；(2)连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M 的坐标； (3)设点N是x轴上方的平面内的一点，当四边形OM DN是菱形时，求点N的坐标； 2.如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q， ⑴求证：PA=PQ；⑵用等式表示PB2、PD2、AQ2之间的数量关系，并证明； ⑶点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为2，则AQ的中点M移动的路径为---------------；（直接写出答案） 3.已知矩形ABCD的一条边AD=8，E是BC边上的一点，将矩形ABCD沿折痕AE折叠，使得顶点B 落在CD边上的点P处，PC= 4（如图1）； (1)求AB的长； (2)擦去折痕AE，连结PB，设M是线段PA的一个动点(点M与点P 、A不重合).N是AB沿长线上的一个动点，并且满足PM=BN.过点M作MH⊥PB，垂足为H，连结MN交PB于点F(如图2). ①若M是PA的中点，求MH的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段FH的长度是否发生变化?若变化，说明理由，若不变，求出线段FH的长度；
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=9，动点P从D点出发沿DA以每秒1个单位的速度向A点运动，动点Q从B点出发沿BC以每秒3个单位的速度向C点运动．两点同时出发，当Q点到达C点时，点P随之停止运动．设点P运动的时间为t秒； （1）求t的取值范围； （2）求t为何值时，PQ与CD相等？ 5.已知：四边形ABCD是正方形，E是AB边上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF． （1）如图1，求证：DE=DF； （2）若点D关于直线EF的对称点为H，连接CH，过点H作PH⊥CH交直线AB于点P； ①在图2中依题意补全图形；②求证：E为AP的中点； （3）如图3，连接AC交EF于点M，求 2AM AB AE 的值；