第2章 质点动力学
2．1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。
二、牛顿第二定律
物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，
方向与合外力的方向相同。表示为 a m f =
说明:
⑴ 物体同时受几个力n f f f 21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。
∑=+++==n
i n i f f f f f 121 力的叠加原理
⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式
x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式
t t ma f = n n ma f =
⑷ 动量：物体质量m 与运动速度的乘积，用表示。 v m p =
动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dt
d dt d m a m f === 当0=f 时，
0=dt p d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。此结论成为质点动量守恒定律。
三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲
基本量与基本单位
导出量与导出单位
五、常见的力
力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用
用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：
（1）隔离物体，受力分析。
（2）建立坐标，列方程。
（3）求解方程。
（4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题
例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物
体通过滑轮相连，已知31=m kg ，22=m kg ，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求
每一物体的加速度a 及绳子的力T F （重力加速度g 取9.80m ·s 2-）。
解 分别取1m 和2m 为研究对象，受力分析如上图。利用牛顿第二定律列方程：
a m F g m T 22=-
a m g m F o T 1130sin =-'
绳子力T T F F '=
代入数据解方程组得加速度98.0=a m ·s 2-，力64.17=T F N 。
例2-2 如图所示，长度为l 的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一
端拴一个质量为m 的小球。先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。求
小球的速率和绳的力。
l 0 ? m α
T
α
v
mg
解：dt
d l v α= 牛顿方程的切向和法向分量式 dt
dv m ma mg t ==αcos （切向） l v m ma mg T n 2sin ==-α（法向） 把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以dt d l α和v ，即
αcos g ·dt
dv dt d l =α·v 约去dt 得 vdv d gl =ααcos
对上式积分，注意角度从0增大到α的同时，速率从0增大到v ，有
??=v vdv d gl 00cos ααα， 22
1sin v gl =α 得小球的速率为 αsin 2gl v =
代入牛顿方程的法向分量式，得绳的力 ααsin 3sin 2
mg mg l
v m T =+= 可看出,当2πα=时，即小球运动到最低点时绳子的力最大。
例2-3 质量为m 的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与其运动速率成正比，即kv f =τ，其中k 为比例常数，水对小球的浮力为B,求小球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v =0）。
y
解、小球受重力P 、粘滞力τf 及水的浮力B 的作用，取竖直向下为坐标轴正方向。如图所示，根据牛顿第二定律得
ma B f P =--τ
即 dt
dv m
ma B kv mg ==-- 或 m dt B kv mg dv =-- 两边取定积分 ??=--t v m dt B kv mg dv 00 得 m B mg B kv mg k 1)]ln()[ln(1=----- 由此求得：)1(t m k
e k B mg v ---= 当∞→t 时，k
B mg v -→ ------小球的终极速度，匀速下降。 2．2 动量和动量守恒定律
一、质点和质点系的动量定理
1．冲量和质点动量变化定理
● 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的冲量。 ?=2
1t t fdt I ● 质点动量变化定理
根据牛顿第二定律，上式可写为 p d dt f I d ==
表明，在dt 时间质点所受合力的冲量，等于在这段时间质点动量的增量。 将上式从1t 到2t 对时间积分，得 ??-===212
112t t p p p p p d dt f I 表明，质点在一段时间所受合力的冲量，等于在这段时间质点动量的增量。称为质点动量变化定理。
● 应用质点动量变化定理的实例
在一些过程中（如碰撞），作用力随时间急剧变化，引入平均力的概念。 1
212121221t t p p t t I t t dt
f f t t --=-=-=? 例 质量为3000=m k
g 的重锤，从高度5.11=
h m 处自由落下，打击被锻压的工件后弹起的高度1.02=h m 。设作用时间01.0=?t s ，求重锤对工件的平均冲击力。
解：设竖直向上为正方向。 重锤与工件刚接触时的速度，等于从5.11=h m 处自由落下的末速度。 112gh v -=
重锤与工件作用01.0=?t s 后，弹起的速度等于竖直上抛1.02=h m 高度的初速度。
222gh v = 以f '代表在t ?时间工件对重锤的平均反冲力，按动量变化定
理12)(mv mv t mg f -=?-'工件 )12
(21+?+='t
h h g mg f 重锤对工件的平均冲力
63101.2)101
.01.05.18.92(8.9103?-=++????-='-=f f N
2．质点系的动量定理
由若干个相互作用的质点组成的系统，称为质点系。
● 力与外力f