第24章 圆单元测试（二）
一、选择题（3分*12=36分）
1、下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（ ）。
A 、三角形的外心在三角形外
B 、三角形的外心到三边的距离相等
C 、三角形的外心到三个顶点的距离相等
D 、等腰三角形的外心在三角形内 解析：本题考查三角形外心的意义：（1）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（2）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。 故答案选C 。
2、如果两圆半径分别为3和5，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是（ ）。
A ．内切
B ．相交
C ．外离
D ．外切 解析：本题考查圆与圆的位置关系。因为5-3<6<5+3 故答案选B 。
3、如图，A 、B 、C 、是⊙O 上的三点，∠ACB=45°，则∠AOB 的大小是（ ）。
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．22.5°
解析：本题考查“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，∠AOB=2∠ACB=90° 故答案选A 。
4、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，?一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是（ ） A ．2π B ．
42 C ．43 D ．5
第3题 第4题 第5题 第6题 解析：本题考查“圆锥的侧面展开图”以及“蚂蚁爬行路程最短问题”
把圆锥沿母线PA 剪开得如图所示的侧面展开图，则由“两点之间线段最短”可知线段AA ’即为蚂蚁爬行最短路程。规律：此种题型通常要求出侧面展开图这个扇形的圆心角的度数。 求这个圆心角的度数利用扇形的弧长等于底面圆周长来求。 由题意得，1802l n r ππ=
，∴?=??=??=903604
1
360l r n ∴△PAA ’是等腰直角三角形
∴AA ’=242=PA
故答案选B 。
规律：牢记这个求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数公式： ??=
360l
r
n （注意：本公式只能在选择、填空题直接使用） 5、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB,∠AOC=78°,则∠E 等于（ ）
A ．39°
B ．28°
C ．26°
D ．21°
解析：本题考查“连半径，得等腰三角形”的常用辅助线作法。连结OD ，则由
题意可得△OCD 和△ODB ，利用“等腰三角形两底角相等”和“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得∠OCD=∠ODC=2∠E,∴∠AOC=3∠E=78°，∴∠E=26° 故答案选C 。
6、如图，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（ ）。 A 、
12
1πr 2
B 、61πr 2
C 、41πr 2
D 、241πr
2 解析：本题考查“求阴影部分的面积”的常用作法。连结OD ，OC ，∵C 、D
为半圆的三等分点，∴弧AC=弧BD ，∴∠DAB=∠ADC,∴CD//AB
A ’
∴OCD ACD S S ??=，∴226
136060r πr S S 扇形OCD π===阴影 故答案选B 。
7、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，?则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A ．1：2
B ．2：1
C ．1：4
D ．4：1
解析：本题考查求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数公式： ??=360l
r
n （注意：本公式只能在选择、填空题直接使用） 故答案选C 。
8、一条弦把圆分成1 : 5两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为（ ） A ．60o B ．30o C ．60o或120o D ．30o或150o 解析：本题是易错题：把求“圆心角”习惯性的当做求“圆周角”
∵一条弦把圆分成1 : 5两部分，∴这条弦所对的劣弧、优弧的度数分别为60°，120° ∴这条弦所对的圆心角的度数即为这条弦所对的劣弧的度数60° 故答案选A 。
9、如图，弦AB 和CD 相交于点P ，?=∠30B ，?=∠80APC ，则BAD ∠的度数为（ ） A ．20° B ．50° C ．70° D ．110°
P D
C
B
A
第9题 第10题 D 第12题
解析：本题考查“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”，∴∠D =?=∠30B ，∵?=∠80APC ∴ BAD ∠=?=?-?=∠-∠503080D APC 故答案选B 。
10、如图，过O ⊙上一点C 作O ⊙的切线，交O ⊙直径AB 的延长线于点D . 若∠D =40°，则∠A 的度数为（ ） A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°
解析：本题重点考查“切线的性质——圆的切线垂直于过切点的半径” 连结OC 得，OC ⊥CD ，则∠COD=90°-∠D =50° 又∵∠COD=∠A+∠OC A ，∠A=∠OC A ∴∠A=25° 故答案选B 。
11、正六边形的半径与边心距之比为（ ） A 、3:1 B 、2:3 C 、3:2 D 、
1:3
解析：本题重点考查正六边形的基本图形，如右图，中心角∠AOB=60°，
由等腰三角形的“三线合一”可知∠1=30°，∴Rt △OAC 中，OA:OC=3:2。
故答案选C 。
12、如图，两圆相交于A 、B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，C ，D 分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB=( ) A ．35° B ．40° C ．50° D ．80° 解析：本题考查“圆内接四边形的对角互补”以及“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，辅助线的作法是识图能力的训练与培养。连结OA 、OB,则四边形OADB 是小圆的内接四边形，∴∠AOB=180°—∠ADB=80°，∴在⊙O 中，∠ACB=2
1
∠AOB=40° 故答案选B 。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
1、已知圆锥母线长为4cm ，底面半径为2cm ，则圆锥的侧面积等于_______ 解析：本题考查“圆锥的侧面积公式——S=πrl ”，答案：8πcm 2
2、半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为 解析：本题考查“垂径定理”，答案：6
3、在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽为8m ，那么油的深度是_________ 解析：本题考查“垂径定理”，同时要注意两种情况的讨论，
答案：2m 或8m
4、已知方程0652
=+-x x 的两根分别是两圆的半径，且这两圆相离，则圆心距d 的取值范围是_______ 解析：本题考查“一元二次方程的解法”以及“圆与圆的位置关系”， 同时注意：相离的理解——内含或外离
解方程0652=+-x x 得23230,3,221+>-<≤∴==d d x x 或 答案：510><≤d d 或
5、若 ⊙O 的半径为5，⊙O 内一点P 与圆心的距离为4，则过点P 的整数弦有_____条。
解析：本题考查“圆内过一点最短的弦与最长的弦”的认知：圆内过一点最长的弦是直径，最短的弦是与这条直径垂直的弦，并且有且只有一条，同时要注意过这点的其它的等于某个整数的弦由圆的对称性各有两条。
如图，设过点P 的弦长为x ，则最长的弦长为10，由垂径定理及勾股 定理可求得最短的弦长为6，
∴106≤≤x ，10,9,8,7,6=∴x ，等于6和10的各只有一条，等于7， 8，9的各有两条，所以过点P
的整数弦共有8条。 答案：8
6、两同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点，且AB=4cm,则夹在两圆间的圆环面积是________
解析：本题考查“圆环的面积公式——)(2
2
2
2
r R r R S -=-=πππ”。由垂径定理及勾股定理可求得
答案：4πcm 2
7、若直角三角形的两直角边长分别为5cm ，12cm ，则其内切圆半径为______ 解析：本题考查“直角三角形的内切圆半径公式——2
c
b a r -+=”。 答案：2cm
8、用半径为20厘米，圆心角为108o的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥 的底面半径是 。 解析：本题考查“扇形的弧长公式——180
r
n l π=
”及“圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长”。由题意得，
cm r r 6,180
20
1082=?=
解得ππ
答案：6cm
9、如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，AC 是⊙O 的直径， 35BAC ∠=，则P ∠的度数为_____
解析：本题考查“切线长定理”及“等腰三角形的性质” 答案：70°
10、如图,在条件:①60COA AOD ∠=∠=;②AC=AD=OA;③点E 分别是AO 、CD 的
中点；④OA CD ⊥，且60ACO ∠=中，能推出四边形OCAD 是菱形的条件有_______个. 答案：4
三、解答题
1、如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=5，AD=12，以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 交BD 于C ，求BC 长．（8分）
分析：要求弦长，通常利用垂径定理，构造直角三角形，再利用勾股定理 来解决；也可在直角三角形中利用三角函数来解决。
13
50
213255)13(125)13(122,13,,13
125902
1,22222222222
2
=
=∴=
-=--∴-=-=?--=-=?=-====+=∴==?=∠==⊥x BC x x x x DE AB AE AEB Rt x DE AD AE AED Rt x BC x DE x CE x BE AD AB BD ,AD ,AB A BC CE BE E BC AE A 解得中，中，则设则于作解法一：过点2222 13
50
213
25
1355sin sin 13
5
sin sin 90,90,9013
5
sin 13
125902,22=
=∴=
?=∠?=∴=
∠?=
∠=∠∴∠=∠∴?=∠+∠?∴⊥?=∠+∠∴?=∠==
∠∴=+=
∴==?=∠=⊥BE BC EAB AB BE AB
BE
EAB AEB Rt D EAB D EAB EAB B AEB Rt BC
AE B D BAD DB AB D AD AB BD ,AD ,AB A BE
BC E BC AE A 中，中则于作解法二：过点
2、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB ），点O 是这段弧的圆心。AB=300m ，C 是弧AB 上的一点，OC ⊥AB 于D ，CD=45m ，求这段弯路的半径.（8分）
分析：要求半径，通常利用垂径定理，构造直角三角形，再利用勾股定理来解决。
E
.
5.2725
.272150)45(,150300,)45(,222222m r r r OA AD OD AOD Rt m
AD m AB AB OC m r OD rm OC OA rm 这段弯路的半径为解得中则为解：设这段弯路的半径∴==+-∴=+?=∴=⊥-===
3、（10分）已知：如图，在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30o，D 是AB 边上一点，以AD 为直径作⊙O 恰过点C ．
（1）求证：BC 所在直线是⊙O 的切线； （2）若AD ＝23，求弦AC 的长．
相切。
与上⊙在点又，中）证明：连结（O 30ACB ⊙,9030,30,1BC O C BC OC ACO ACB OCB ACO A OC OA B A ABC OC
∴⊥∴?=∠-∠=∠∴?=∠=∠∴=?=∠∴?=∠=∠?
3
30cos 32cos 32,30902=?=∠?=∴=?=∠?=∠∴A AD AC AD A ACD O AD CD 又直径，⊙是）解：连结（
4、延长⊙O 的半径OA 到B,使OA=AB,DE 是圆的一条切线,E 是切点,过点B 作DE 的垂线,垂足为点C. 求证:∠ACB=
3
1
∠OAC.（8分）
ACB
AFB B AB AF ACB CAF ACB AFB CAF
ACB CF
AF OA OE OA
AB AF AB OA OFB Rt OE
CF OECF CD BC CD OE CE AF F BC OF O ∠=∠=∠∴=∠=∠+∠=∠∴∠=∠∴=∴===∴=?=∴∴⊥⊥∴⊥2,2,,⊙ 中，是矩形四边形又切线，是，连结于点作证明：过点O
OAC
ACB ACB B ACB OAC ∠=∠∴∠=∠+∠=∠∴3
1
3
5、已知：如图，两圆相交于点E 、F ，过点E 、F 的直线分别与两圆相交于点A 、B 、C 、D ， 求证：AD ∥BC （8分）
BC
AD B A CFE B BEFC CFE
A CFE DFE DFE A AEFD EF
//180180,⊙,180180,∴?=∠+∠∴∴?=∠+∠∴∠=∠∴?=∠+∠?=∠+∠∴21O O ⊙内接于四边形内接于四边形证明：连结
6、（12分）已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，外角∠CAE=120°，AD 平分∠CAE ，AD 的反向延长线交⊙O 于点F
（1）判断△FBC 的形状，请说明理由；
（2）线段AF 、AB 、AC 有何数量关系，请证明你的结论。 （1）答：△FBC 是等边三角形
证明：∵∠CAE=120°，AD 平分∠CAE ，
∴ ∠3=60°，∠1=180°-∠CAE=60° ∵ ∠3=∠4，∠1=∠2，∠4=∠FCB
∴ ∠2=∠FCB=60° ∴△FBC 是等边三角形
（2） 答：AB=AF+AC
（①猜想方法：利用较标准的图形，简单的量一量，看看数据之间的关系。②和、差关系的证明多采用
割补法）
方法一、充分利用（1）结论和∠1=60°，在AB 上截取AM=AC ，连接CM 。 证明：在AB 上截取AM=AC ，连接CM
∵ 由（1）知∠1=60° ∴△ACM 是正三角形，∠AMC=60°∴∠BMC=120° ∵由（1）知∠1=∠4=60°， ∴∠FAC =120° ∴∠BMC=∠FAC ， ∵∠CBM=∠CFA ，BC=FC ，∴△CBM ≌△CFA （AAS ） ∴BM ＝AF ， ∴ BM+AM=AF+AC ，即：AB=AF+AC
方法二、充分利用（1）结论，将△ABC 绕着点B 逆时针旋转60°（补的方法）
M
1 4 3 2
3
41
N
证明：将△ABC 绕着点B 逆时针旋转60°得△NBF ， 则△ABC ≌△NBF ，∴ BA=BN ，AC=NF ，∠ACB=∠NFB. ∵四边形AFBC 内接于⊙O ， ∴∠ACB+∠AFB=180°，
∴∠NFB+∠AFB=180°，即：A 、F 、N 三点共线. ∵由（1）知∠4=60° ∴ △ABN 是正三角形， ∴ AB=AN
∵ AN=AF+NF ，即：AN=AF+AC ， ∴AB=AF+AC