...
新版北师大初中数学九（下）第三章圆分节练习
第 1 节圆
01、【基础题】已知⊙O 的面积为25. （ 1）若 PO＝ 5.5，则点 P 在 _____；（ 2）若 PO＝ 4，则点 P 在 _____；
（3）若 PO＝ _____，则点 P 在⊙ O 上 .
01.1【综合Ⅰ】如左下图，△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，AC ＝ 2 cm，BC ＝ 4 cm，CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心，5 cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有_______，在圆上的有_______，在圆内的有_______.
01.2、【综合Ⅲ】如右上图，菱形ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点O，点 E、 F、 G、 H 分别为 AB 、BC 、 CD、
DA 的中点，那么E、 F、 G、 H 是否在同一个圆上？说明理由.
01.3、【综合Ⅲ】若⊙ A 的半径为5，圆心 A 的坐标是 (3 ，4)，点 P 的坐标是 (5， 8)，则点 P 的位置是（）
A 、在⊙ A 内B、在⊙ A 上C、在⊙ A 外D、不能确定
02、【综合Ⅰ】设AB ＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A和点B的距离都等于 2 cm 的所有点组成
的图形；（ 2）到点 A 和点 B 的距离都小于 2 cm 的所有点组成的图形；（3）到点A的距离小于2 cm，且到点 B 的距离大于 2 cm 的所有点组成的图形.
03、【提高】海军部队在某灯塔 A 的周围进行爆破作业， A 的周围 3 km 的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔A
有 2 km 远的 B 处，为了尽快驶离危险区域，该船应往哪个方向航行？请给予证明.
03.1【提高】已知点P不在⊙ O上，且点P到⊙ O上的点的最小距离是5，最大距离是7，求⊙ O 的半径 .
第 2 节圆的对称性
⌒⌒
04、【基础题】如左下图，在⊙O 中，AC ＝ BD ，∠ 1＝30°，那么∠ 2＝ _____.
04.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，弧 AB 等于弧 AC ，∠ A=30°，则∠ B ＝ _____.
05、【综合Ⅰ】如左下图，点 A 、B 、 C、 D 是⊙ O 上的四点， AB ＝DC，那么△ ABC 与△ DCB 全等吗？为什么？
...
05.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中， AD ＝ BC，试说明AB 与 CD 相等 .
05.2【基础】如左下图，AB 、DE 是⊙ O 的直径， C 是
⌒⌒
那么 BE 和 CE
⊙ O 上的一点，且AD＝CE，的大小有什么关系？为什么？
05.3【综合Ⅰ】
⌒⌒
如右上图， AB 是⊙ O 的直径， OD ∥ AC ，那么CD与BD的大小有什么关系？为什么？
06、【综合Ⅰ】如左下图，
⌒
OACB 的形状 .
A、 B 是⊙ O 上两点，∠ AOB ＝ 120 °， C 是AB的中点，试确定四边形
06.1、【综合Ⅱ】如图，AB 是⊙ O 的直径， BC 、CD、 DA 是⊙ O 的弦，且BC＝ CD ＝ DA ，则∠ BCD ＝ ______.
*第 3 节垂径定理
07、【基础题】如左下图，已知⊙O 中， OC⊥弦 AB 于 C， AB ＝ 8， OC＝ 3，则⊙ O 的半径等于 ______.
07.1、【基础题】如右上图，已知⊙O 的半径为30 mm，弦 AB ＝36 mm ，求点 O 到 AB 的距离及∠ OAB 的余弦值 .
08、【综合Ⅱ】如左下图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16 m ，拱高 CD=4 m ，那么拱形的半径是____m.
C
08.1、【综合Ⅱ】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？” 转化为数学语言就是：如右上图， CD 为⊙ O 的直径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为 E， CE＝1 寸， AB ＝10 寸，求直径 CD 的长 .
09、【综合Ⅰ】如右图，在⊙O 中， AB 、 CD 是两条弦， OE ⊥AB ， OF⊥ CD，垂足分别为E、 F.
（1）如果∠ AOB ＝∠ COD ，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
（2）如果 OE＝ OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？为什么？
10、【综合Ⅰ】已知⊙ O的半径为 5 cm，弦 AB ∥弦 CD， AB ＝6 cm，
CD ＝ 8 cm，试求 AB 与 CD 间的距离 .
10.1、【综合Ⅱ】如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
11、【综合Ⅲ】如右图，在⊙O 中， AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥ AB ，OE⊥ AC ，垂足分别为D、 E，
若AC ＝ 2 cm，则⊙ O 的半径为 ______ cm.
第 4 节圆周角和圆心角的关系（包括圆内接四边形）
12、【基础题】如左下图，在⊙O 中，已知∠ BOC ＝ 100 °，则∠ BAC 的度数是 _____ °
A
O
C
B
12.1、【基础题】如右上图，在⊙O 中，∠ BAC ＝ 25°，则∠ BOC＝ _____ °
12.2、【综合Ⅰ】如图，∠ A是⊙ O的圆周角，∠ A＝40°，求∠ OBC的度数.
13、【基础题】如图，A 、B 、 C、 D 是⊙ O 上的四点，且∠ BCD ＝ 100 °，求∠ BOD （弧 BCD 所对的圆心角）
和∠ BAD 的大小 .
13.1、【基础题】左下图， A 、B 、C 三点都在⊙ O 上，点 D 是 AB 延长线上一点，∠AOC=140°, ∠ CBD的度数是
_____.
O
C
A
B
D
13.2【基础题】如右上图，四边形ABCD 是圆内接四边形， E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD ＝ 105 °，
则∠ DCE 是 _____°.
13.3【综合Ⅰ】在圆内接四边形ABCD 中，对角∠ A 与∠ C 的度数之比是4： 5，求∠ C 的度数 .
13.4、【综合Ⅱ】如左下图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E、 F，且∠ E＝ 40°，∠ F＝ 60°，
求∠ A 的度数 .
14、【基础题】如右上图，⊙O 的直径 AB ＝ 10 cm， C 为⊙ O 上的一点，∠ B＝ 30°，求 AC 的长 .
14.1、【基础题】如左下图，AB 是⊙ O 的直径，∠ C＝ 15°，求∠ BAD 的度数 .
WORD 格式整理
...
14.2、【综合Ⅰ】如右上图，⊙O 的弦 AB ＝ 16，点 C 在⊙ O 上，且 sin C＝4
，求⊙ O 的半径的长 . 5
14.3、【中考题】 A、 B 是⊙ O 上的两个定点，P 是⊙ O 上的动点（ P 不与 A、 B 重合），我们称∠ APB 是⊙ O 上关于
点A 、 B 的滑动角 .
（1）若 AB 是⊙ O 的直径，则∠ APB 是多少度？
（ 2）若⊙ O 的半径是1， AB ＝ 2 ，则∠APB是多少度？
15、【基础题】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）
A 、正方形B、菱形C、矩形 D 、等腰梯形
16、【提高题】如右图，AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 、BC 相交于点P，且 CD 、AB 的长是一元二次方程x2－
7
x＋＝
12 0
的两根，求tan∠DPB.
第 5 节确定圆的条件
17、【基础题】分别作出下面三个三角形的外接圆，并指出它们外心的位置有什么特点
17.1、【基础题】如左下图， MN 所在的直线垂直平分线段 AB ，利用这样的工具，最少使用多少次，就可以找到圆形工件的圆心？为什么？
17.2、【基础题】如右上图， A 、 B、 C 三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，
求作供水站的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
18、【综合Ⅰ】在△ ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝6，求△ ABC外接圆的半径
...
第 6 节直线和圆的位置关系
19、【基础题】如右图，已知Rt△ ABC 的斜边 AB ＝ 8 cm， AC ＝ 4 cm.
（ 1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙ C 相切？
（ 2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与AB 分别有怎样的位置关系？
19.1【基础题】直线l 与半径为r的⊙O相交，且点O到直线 l 的距离为5，求 r
的取值范围.
19.2、【综合Ⅰ】在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 30°， O 是 AB 上一点， OA ＝m，⊙ O 的半径为r，当r与m 满足怎样的关系时，（ 1）AC 与⊙ O 相交？（2）AC与⊙ O相切？（3）AC与⊙ O相离？
20、【基础题】如左下图， AB 是⊙ O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作⊙ O 的切线，切点为 C，若∠ A=25 °，
则∠ D=______ ．
20.1【基础题】如右上图，PA 切⊙ O 于点 A，该圆的半径为3， PO=5，则 PA 的长等于 _____．
20.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA、PB 分别与⊙ O 相切于点A、＝
B，∠ P＝ 70°，则∠ C()
A.70 °
B.55°
C.110°
D.140 °
20.3、【综合Ⅱ】如右上图，已知AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦， CD 切⊙ O 于点 C，交 AB 的延长线于点D，
∠ACD=120 °， BD=10 ．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙ O的半径．
20.4【综合Ⅱ】如右图，AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的切线，切点为点 B ，点 D 是⊙ O 上的一点，且AD ∥OC，
...
求证：AD · BC=OB · BD ．
21、【中考题， 2014 陕西 23 题】（本题满分8 分）
如右下图，⊙ O 的半径为4，B 是⊙ O 外一点，连接OB, 且 OB=6. 过点 B 作⊙ O 的切线 BD ，切点为 D, 延长 BO 交⊙ O 于点 A, 过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为 C.
(1)求证： AD 平分∠ BAC
(2)求 AC 的长
22、【基础题】如左下图，已知直线AB 经过⊙ O 上的点 C，并且 OA ＝OB， CA ＝CB ，那么直线 AB 是⊙ O 的切线吗？为
什么？
22.1、【中考题， 2013 年孝感市23 题， 10 分】
如右上图，△ABC 内接于⊙ O，∠ B=60 °， CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证： PA 是⊙ O 的切线；
（2）若 PD= ，求⊙ O 的直径．
23、【基础题】如图，已知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，分别作出它们的内切圆. 请问，三角形的内心是
否都在三角形的内部？
23.1、【基础题】等边三角形的边长为 a ，求这个三角形内切圆的面积.
...
23.2、【综合Ⅰ】已知在Rt△ABC中，∠ C＝90° ，AC＝6，BC＝8，则△ ABC的内切圆半径r＝ __ _ ．
24、【综合Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，∠ A ＝ 68°，点 I 是内心，求∠I 的度数 .
24.1、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD 中，∠ B ＝ 60°，∠ DCB ＝ 80°，∠ D＝ 100°，若 P、Q 两点分别为三角
形 ABC 和三角形 ACD 的内心，那么∠ PAQ 的度数是多少？
24.2、【综合Ⅲ】在Rt△ ABC中，∠ C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，求其内心和外心之间的距离.
*第 7 节切线长定理
25、【基础题】如图，PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B是切点.求证：PA＝PB
25.1、【基础题】已知⊙O 的半径为 3 cm，点 P 和圆心 O 的距离为 6 cm，过点 P画
⊙ O 的两条切线，求这两条切线的切线长.
25.2、【综合Ⅰ】如左下图，PA 和 PB 是⊙ O
切线，分别交 PA 和 PB 于 D、 E 两点 .的两条切线， A 、B 是切点， C 是弧 AB 上任意一点，过点C 画⊙ O 的已知PA＝PB＝ 5 cm，求△ PDE 的周长 .
25.3、【综合Ⅲ】如右上图，PA 和 PB 是⊙ O 的两条切线， A、 B 为切点，∠ P＝ 40°，点 D 在 AB 上，点 E 和点 F 分别在
PB 和 PA 上，且 AD ＝ BE，BD ＝ AF ，求∠ EDF 的度数 .
26、【综合Ⅰ】如左下图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 10，BC＝ 24，⊙ O 是△ ABC 的内切圆，切点分别为
D、 E、F，求⊙ O 的半径 . （利用切线长定理来解题）
...
26.1、【综合Ⅲ】如右上图，⊙O 是△ ABC 的内切圆， D 、E、 F 为切点，且AB ＝ 9 cm，BC ＝14 cm， CA ＝ 13 cm，
求AF 、BD 、 CE 的长 .
26.2、【综合Ⅲ】如图，在四边形ABCD 中， AB ＝ AD ＝6 cm ， CB＝ CD＝ 8 cm ，且∠ B ＝90°，该四边形存在内切
圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径.
第 8 节圆内接正多边形
27、【基础题】如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径 OC＝ 4， OG⊥ BC，垂足为 G，求这个正六边形的中心
角、边长和边心距 .
27.1、【综合Ⅱ】有一边长为 4 的正n边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为______.
27.2、【综合Ⅱ】如右图，把边长为 6 的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形DFHKGE ，求这个正六边形
的面积 .
27.3、【基础题】请求出半径为 6 的圆内接正三角形的边长和边心距.
28、【基础题】已知正方形的边长是 a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶R∶ a ＝______. 28.1、【基础题】请利用尺规作一个已知圆的内接正四边形.
29、【合Ⅲ】如，点 M 、N 分是⊙ O 的内接正三角形ABC 、内接正方形ABCD 、内接正五形ABCDE 、??、
内接正 n 形的AB、BC上的点，且BM ＝ CN ，接 OM 、 ON.
（ 1）求 1 中的∠ MON 的度数；
（ 2）在 2 中，∠ MON 的大小是 ______，在 3 中，∠ MON 的大小是 ______；
（ 3）根据n，明∠ MON 的度数与正n形的数n 之的关系（直接写出答案）.
第 9弧及扇形的面（含面目）
30、【中考， 2014 年云南省第7 3 分】已知扇形的心角45°，半径12，扇形的弧（）
A、B． 2πC． 3πD． 12π
30.1、【中考， 2014 四川自第8 4 分】一个扇形的半径8cm，弧cm，扇形的心角（）
30.2、【基】已知上一段弧4cm，它所的心角100 °，的半径是_____.
31、【中考，2014 成都，3 分】在心角120 °的扇形 AOB 中，半径 OA ＝ 6 cm，扇形 AOB 的面是 ________ cm2 .
31.1、【中考， 2014 山第5 3 分】
如左下，已知扇形的心角60°，半径 3 ，中弓形（阴影）面是_________.
31.2、【中考题， 2014 ·浙江金华第10 题 4 分】如右上图，一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪
得一个正方形，两个正方形的边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）
A．5: 4 B ．5: 2C． 5 : 2D． 5 : 2
32、【中考题，2014 杭州第 2 题 3 分】左下图，已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面积为______ cm2 .
33、【综合Ⅲ】如右上图，⊙ A 与⊙ B 外切于⊙ O 的圆心 O，⊙ O 的半径为1，则阴影部分的面积是________.
33.1、【中考题， 2014 山东泰安第19 题 3 分】如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形 OAB 中，分别以OA、 OB
为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________ cm2 .
33.2、【中考题， 2014 福建泉州第17 题 4 分】
如右图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB 的长为 _____ 米；
（ 2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为______ 米．
新版北师大初中数学九（下）第三章圆
分节练习答案
第 1 节答案
01、【答案】（1）圆外；（2）圆内；（3）5
01.1、【答案】在圆外的有点 B ，在圆上的有点M ，在圆内的有点 A 和点 C.
01.2【答案】E、F 、G、H 四个点共圆 .
证明 :连接 OE、OF、 OG、OH
∵四边形ABCD 是菱形
∴AB=BC=CD =DA ,DB ⊥ AC
∵ E、F 、G、H 分别是各边的中点
1111
∴ OE AB,OF BC,OG CD, OH AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
2222
∴OE OF OG OH
∴E、F 、G、H 四个点都在以 O 为圆心、 OE 长为半径的圆上 .
01.3【答案】选A
02、【答案】（1）如图1，所求图形即P、 Q 两点；（2）如图2，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）；
（ 3）如图 3，所求图形为阴影部分（不包括阴影的边界）.
03、【答案】往射线 AB 方向航行
【证明】
如图，设航线AB 交⊙ A 于点 C，在⊙ A 上任取一点D
（不包括 C 关于 A 的对称点）
连接 AD 、 BD；
在△ ABD 中，
∵ AB+BD ＞ AD ， AD=AC=AB+BC，
∴ AB+BD ＞ AB+BC ，
∴ BD ＞ BC ．
答：应沿 AB 的方向航行．
03.1【答案】当点P在圆外时，半径是1；当点 P 在圆内时，半径是 6.
第 2 节答案
04、【答案】30°
04.1【答案】75°
05、【答案】全等，可先证AC ＝ DB.
05.1、【提示】证弧CD和弧AB相等.
05.2【答案】相等.
【提示】先证弧 BE 和弧 AD 相等 .
05.3、【答案】相等
【提示】连接 OC
06、【答案】四边形 OACB 是菱形
【证明】
连接 OC
∵C 是弧 AB 的中点，∠ AOB=120 °
∴∠ AOC=60 °
∴△ AOC 是等边三角形
∴OA=AC
同理可得 BC=OB
∴OA=OB=BC=AC
∴四边形 OACB 是菱形
06.1、【答案】120 °
【提示】连接 OC、 OD ，可证△ BOC 和△ COD 都是等边三角形.
*第 3 节答案
07、【答案】半径等于 5.
【提示】如右图，利用垂径定理和勾股定理来算半径.
07.1、【答案】点O到AB的距离是24 mm，∠ OAB 的余弦值是0.6
08、【答案】10 m.
【提示】在如图的圆弧形中， CD是拱高，根据圆的对称性可知CD垂直平分 AB，则 CD所在直线过圆心，延长
CD，作圆心
22
＝ r
2
，解得O，并且连接 OB.设拱形的半径 OB为 r ，则 OD为（ r － 4）, 根据勾股定理可得（r－4）＋8
r ＝ 10 m.
...
出半径 . 有些题目不能直接求出半径则需列方程来解决.
08.1【答案】直径CD是26寸.
【解析】
09、【提示】
（1）用 HL 证明 Rt△ AOE 与 Rt △COF 全等；
（2）用 HL 证明 Rt△ AOE 与 Rt △COF 全等 .
10、【答案】AB 与 CD 间的距离为7 cm 或 1 cm.
【提示】如图，若AB 和 CD 在圆心两侧，则可求出OE＝ 3，OF＝ 4，
则 AB 、CD 距离是 7 cm；若 AB 和 CD 在圆心同侧，则距离是 1 cm.
10.1、【答案】相等.
【解析】
如图示，过圆心O 作垂直于弦的直径EF，
由垂径定理得：弧AF= 弧 BF ，弧 CF=弧 DF，
用等量减等量差相等原理，弧AF- 弧 CF=弧 BF- 弧 DF，
即弧 AC= 弧 BD，
故结论成立．
符合条件的图形有三种情况：(1) 圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3) 在平行弦内，但理由相同．
11、【答案】2
【解析】
第 4 节答案
12、【答案】∠ BAC的度数是50°.
12.1、【答案】∠ BOC＝50°
12.2、【答案】∠ OBC＝50°
13、【答案】∠ BOD＝160°，∠ BAD＝80°
13.1【答案】∠ CBD的度数是70°
13.2【答案】∠ DCE＝105°
13.3【答案】∠ C＝100°
13.4【答案】∠ A＝40°
14、【答案】AC ＝ 5 cm
14.1、【答案】∠BAD的度数是75°
14.2【答案】半径的长为10.
【提示】连接 AO ，延长 AO 交⊙ O 于 D ，连接 BD.
14.3、【答案与解析】
15、【答案】选C
7
16、【答案】tan∠ DPB ＝
3
【解析】
第 5 节答案
17、【答案】锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部.
...
17.1、【答案】最少使用两次
17.2、【提示】连接 AB 、 AC ，分别作线段AB 和 AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为供水站的位置.
18、【答案】△ ABC外接圆的半径是 5.
18.1、【答案】1
a 2 3
第 6 节答案
19、【答案】（1）当半径长为2 3 cm时，AB与⊙C相切.
（ 2）当半径为 2 cm 时，⊙ C 与 AB 相离；当半径为 4 cm 时，⊙ C 与 AB 相交 .
19.1【答案】r ＞5
19.2【答案】（1）r＞
3 m（2）r＝3 m（3）r＜3 m
222
20、【答案】40°
20.1【答案】PA＝4
20.2、【答案】选B
20.3【答案】（1）提示：证∠A ＝∠ D＝ 30°
（2）半径是 10.
20.4【提示】证明Rt△ CBO∽ Rt△ BDA
21、【答案】
证明：（ 1）连接 OD
∵ BD 是⊙ O 的切线， D 为切点
∴OD BC
∵ AC BD
∴OD∥ AC
∴∠ ODA= ∠ CAD
又∵ OD=OA
∴∠ BAD= ∠ CAD
∴ AD 平分∠ ABC
20
(2) 解：∵ OD ∥ AC ，∴BOD∽BAC，∴=，∴=，∴ AC＝
3
...
22.1、【答案与解析】
（1）证明：连接 OA ，∵ ∠ B=60 °，∴ ∠AOC=2 ∠ B=120 °，又∵ OA=OC ，∴∠ OAC= ∠ OCA=30 °，又∵ AP=AC ，
∴ ∠ P=∠ ACP=30 °，∴ ∠OAP= ∠AOC ﹣∠ P=90°，
∴ OA ⊥ PA，∴ PA 是⊙ O 的切线．
（2）在 Rt△OAP 中，∵ ∠ P=30°，∴ PO=2OA=OD+PD ，又∵ OA=OD ，∴ PD=OA ，∵，
∴．∴⊙ O的直径为．
23、【答案】都在内部
23.1、【答案】1
a 2 12
23.2、【答案】r＝ 2.
24、【答案】∠ I＝124°
24.1、【答案】∠PAQ的度数是60°
24.2、【答案】 5 cm
【解析】
...
* 第 7 节答案
25、【解析】
25.1、【答案】 3 3 cm
25.2、【答案】△PDE 的周长是 10 cm.
25.3、【答案】∠ EDF＝ 70°
26、【答案】⊙ O 的半径是 4
26.1、【答案】AF ＝ 4 cm， BD ＝5 cm， CE＝ 9 cm.
【提示】设 AE ＝ AF ＝x， BF ＝ BD ＝y， CE＝ CD＝z
26.2、【答案】
24存在内切圆，内切圆半径是
7
第 8 节答案
27、【答案】中心角是60°，边长是4，边心距是 2 3 .
27.1、【答案】外接圆的半径为4
27.2、【答案】正六边形的面积是63
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
北师大版初三数学复习计 划 Prepared on 21 November 2021
九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路 初三数学总复习，通常分三个阶段。 第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。 第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。 第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。 二、复习的整体策略和方法 整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。
整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。 三、复习课时安排 第一阶段： 按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：
新北师大九年级数学下 册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
新北师大版九年级数学下册知识点总结 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 1.正切： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ， 即的邻边 的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．． ： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边A A ∠=sin ; 3.余弦： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边的邻边 A A ∠=cos ;
图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 二．特殊角的三角函数值 三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．． 。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．． 。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B
2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、 想一想（比值不变） ☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、 如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、 如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、 讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边 A B C
北师大版初三数学上册知识点汇总 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F
初中数学试卷 桑水出品 九年级数学试题 亲爱的同学： 这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获. 请认真审题，看清要求，仔细答题. 预祝你取得好成绩！ 请注意: 1．选择题答案用铅笔涂在答题卡上，如不用答题卡，请将答案填在表格里. 2．填空题、解答题不得用铅笔或红色笔填写. 3．考试时，不允许使用科学计算器. 4 ．试卷分值：120分. 题号一二三总分 19 20 21 22 23 24 25 得分 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题：下面每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选 项选出来填在相应的表格里.每小题3分，共36分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为（）A．3.8×1010m3 B．38×109m3 C．380×108m3 D．3.8×1011m3 2如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（） A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n 3如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）
A ． AE=BE B ．= C ． OE=DE D ． ∠DBC=90° 4（2014?东营）81的平方根是( ) A ． 3± B ． 3 C ． 9± D ． 9 5在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图1所示，若油面的宽 AB =160cm ，则油的最大深度为 ( ) （A ）40cm （B ）60cm （C ）80cm （D ）100cm 6如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C 、D 两点，且经过圆心O ，边AB 与⊙O 相切，切点为B ．已知∠A=30°，则∠C 的大小是（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 40° 7如图，已知扇形的圆心角为60?，半径为3，则图中弓形的面积为（ ） A 433π-3π-233π- D 33π-
九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
北 师 大 版 九 年 级 数 学 , 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 ）
（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高
D C B A 30° 45° E D C B A o 北师大版九年级数学下册检测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边.则有（ ） A.b ＝a tan A B.b ＝c sin A C.a ＝c cos B D.C ＝a sin A 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，?BC ＝?CD ＝?DE ，∠BOC ＝40°， 那么∠AOE ＝（ ） A.40° B. 60° C.60° D.120° 3.如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为 （ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 4.如图4，在直角坐标系中，圆O 的半径为1 2y x =-+与圆O 的位置关系是（ ） Ａ．相离 Ｂ．相交 Ｃ．相切 Ｄ．以上三种情形都有可能 5.二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A.200米 3米 3 3+1)米 7.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是（ ） A. 1 2 B.22 C.32 D. 33 8.已知点A (1，y 1)，B (－2，y 2)，C (－2，y 3)在函数y ＝12x 2－1 2 的图像上.则y 1、y 2、y 3的 大小关系是（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＞y 2＞y 3 C.y 1＞y 3＞y 2 D.y 3＞y 1＞y 9.如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线m x a y +-=2 )(顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( ) A ．－3 B ．1 C ．5 D ．8 E D B C A O C B A O O 1 1 1- 1- y x 图4
北师大版九年级下册数学期末试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列式子错误的是（） A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30° 2．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（） A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10° B．C．AC=1.2tan10°米D．AB=米 3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2 C． D． 4．函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（） A．B．C．D． 5．若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（） A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+4 6．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（） A．x 1=﹣3，x 2 =﹣1 B．x 1 =1，x 2 =3 C．x 1 =﹣1，x 2 =3 D．x 1 =﹣3，x 2 =1 7．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）
A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 8．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB=40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于（ ） A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 9．已知⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，交AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（ ） A ．12 B ．15 C ．16 D ．18 10．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②c ＞0；③a+c ＜b ；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题（共10小题） 11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA 的值是 ． 12．在将Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C ：∠B=1：2，则sinB= ． 13．已知cos α=，则 的值等于 ． 14．已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ． 15．若二次函数y=2x 2﹣4x ﹣1的图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0）两点，则+ 的值为 ． 16．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线 上，点N 在直线y=﹣x+3上， 设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为 ． 17．若⊙O 的直径为2，OP=2，则点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O ．
2.3确定二次函数的表达式(1) 一、选择题： 1．已知抛物线过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，且BC=32，则这条抛物线的解析式为 ( ) A．y=－x2+2x+3 B．y＝x2－2x－3 C．y=x2+2x―3或y＝－x2+2x+3 D．y=－x2+2x+3或y＝x2－2x－3 2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是 ( ) A．x=3 B．x=－3 C．x=3 2 D．x=－ 3 2 3．二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则（） A．y 最大=-4 B．y 最小 =-4 C．y 最大 =-3 D．y 最小 =3 4．（2014?舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（） A ﹣2 B 或 C 2或 D 2或﹣或 5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图2 - 78所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地高均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 m，2．5 m处．绳子在摇到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为 ( ) A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m 二、填空题： 6．将抛物线y=x2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，?则此时抛物线的解析式是________． 7．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你
写出一个满足条件的二次函数的表达式________． 8．（长春市）函数y=x2+bx-c的图象经过点（1，2），则b-c的值为______．9.如图2 - 79所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象与x轴交于点A(m，0)和点B，且点A在点B的左侧，那么线段AB的长是．(用含字母m的代数式表示) 5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该抛物线的解析式为． 三、解答题： 10．用配方法把二次函数y＝l+2x－x2化为y＝a(x－h)2+k的形式，作出它的草图，回答下列问题． (1)求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标； (2)当x取何值时，y随x的增大而增大? (3)当x取何值时，y的值大于0? 11．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，?其图象如图所示．（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象； （3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y>0．
初中数学知识点总结 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：
新北师大版九年级数学下册知识点总结 第一章直角三角形边的关系 一?锐角三角函数 1. 正切： 定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A 的正切，记作 tanA , ① tanA 是一个完整的符号，它表示/A 的正切，记号里习惯省去角的符号“/”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”； ④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A 是锐角的正切； ⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2. 正弦： 定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin A A 的对边 ................................... """■ 斜边 3. 余弦： 定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A 的邻边 .............................. ■■■■■ 斜边 之变化 三?三角函数的计算 1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角 值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。 4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 i tan A l 5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。 6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角.。如图4，OA 、 即 tanA A 的对边 A 的邻边 锐角A 的正弦、余弦和正切都是/A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随 30 o 45 o 60 o sin a 1 亞 矗 2 2 2 cos a 旦 返 1 2 2 2 tan a 迴 3 1 3. 规律：禾U 用特殊角的三角函数值表，可以看岀, （1）当角度在0 °?90°间变化时，正弦值、正切 （或减小）而减小（或增大）。（2）0 （或坡比）。用字母i 表示，即 二?特殊角的三角函数值 图2
乂务教育基础课程初中教学资料 -- 第一章直角三角形的边角关系 § 1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标： 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点：........ .... 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系学习难点： 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法： 引导一探索法. 学习过程： 一、生活中的数学问题： 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子 AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 哪个更陡？你是怎样判断的？ B 2m C F 2.5m D ≡EL-?P 二组第三组二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △ AB I Cl和Rt△ AB2C2有什么关系？ ⑵B I C l和BC L有什么关系？ AC1 AC 2 ⑶如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3）呢？ ⑷由此你得出什么结论？ 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡 A C3C2 C]例2、在△ ABC中，∠ C=90°, BC=12cm AB=20cm 求tanA 和tan B 的值. E'l Sm R
1: 1.5的斜坡AD,求DB 的长.（结果保留根号） 五、课后练习: 1、 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 ,AB=3,BC=1,则 tanA= _______ 2、 在厶 ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,贝U tanA= ________ . 3、在厶 ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则 tanC= ________ 四、随堂练习： 1如图，△ ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B,已知点B 到山脚的垂直距离为 55m 求山的坡度?（结 3、若某人沿坡度i = 3: 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高 ____________ 米. 4、菱形的两条对角线分别是 16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 tan θ = ______ . 5、如图，Rt △ ABC 是 一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为12 m ,它的坡角为45 ,为了提高该堤的 防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 4、在 Rt △ ABC 中，∠C 是直角，∠A ∠ B ∠C 的对边分别是 a 、b 、c,且 a=24,c= 25, 求 tanA 、tanB 的值. 5、若三角形三边的比是 25:24:7,求最小角的正切值 5 6、如图，在菱形ABCc 中,AE ⊥BC 于E,EC=1,tanB= ,求菱形的边长和四 12 边形AECD 勺周长.
初中数学知识点总结 第一章实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“”。 2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 （0） ；注意的双重非负性： -（<0）0 3、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法：把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。考点五、实数大小的比较 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数，
第一章 直角三角形边的关系 ※一. 正切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．．： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边 的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边 的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等 于它的余角的余函数）用等式表 达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?=
图 1 图 3 图4 ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系： 倒数关系：tg α·ctg α=1。 ※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 ◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系： ;cot , tan , cos , sin a b A b a A c b A c a A ==== ;cot , tan , cos , sin b a B a b B c a B c b B ==== (4)面积公式:c ch ab 2 1 21S == ?(h c 为C 边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径2c b a r -+= (6)直角三角形的外接圆半径c R 2 1 = ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下： ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下： 图2 h i=h:l B C
初中数学知识体系D-1 第一章数式与平面直角坐标系 1、数：实数、数轴、相反数、倒数、绝对值、科学记数、近似数、有效数字、平方根、立方根、实数的混合运算 2、整式：列代数式、单项式、多项式、去括号、合并同类项、平方差公式、完全平方公式、因式分解、、非负的三种情况（绝对值、平方、平方根）、整式的混合运算 3、分式：分式的意义、约分和通分、分式的混合运算 4、幂：同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负数指数幂、大小比较 5、二次根式：二次根式的意义、二次根式的的性质、二次根式的混合运算 6、平面直角坐标系：象限、点到坐标轴的距离 第二章方程与不等式
1、一元一次方程：等量关系、解一元一次方程的步骤(去括号、去分母、移项、合并同类项) 2、二元一次方程组：解二元一次方程组的步骤、代入消元法、加减消元法、整体消元法 3、一元二次方程：根的判别式、根与系数关系、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 4、分式方程：解题步骤（提公因式、公式法、十字相乘、分组分解）、增根、验根 5、不等式：不等式的基本性质、不等式组的解集、不等式中字母的取值范围 第三章函数 1、函数：变量关系、函数自变量的取值范围、函数表示方法、分段函数、画函数图像 2、一次函数：一般形式、正比例函数、待定系数法、图像和性质、平移 3、二次函数：一般形式、常见表达式、
顶点坐标及其意义、图像与性质、平移 4、反比例函数：一般形式、图像与性质、k的意义 5、三角函数：正弦、余弦、正切、特殊角的三角函数值、锐角三角函数的性质、等角代换法、参数法、构造法 第四章平面与空间几何 1、几何基础：点、线、面、体、角、展开图、欧拉公式、平移、轴对称、中心对称、三视图、平行投影与中心投影、尺规作图、几何证明 2、三角形：四线、边角关系、等腰三角形、等边三角形、勾股定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定条件、倍长中线法、截长补短法、比例的基本性质、合比与等比性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定 3、平行四边形：平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、中点四边形
第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．． ： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边 的邻边 A A ∠= cos ;
※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即 的对边 的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当 角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系： 倒数关系：tg α·ctg α=1。