共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。
例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +
=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数
的取值范围。 分析：由DP
DQ 可以得到
1
21
2
3
(3)
x x y y ，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出
点的坐标，用表示出来。 解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),
DP
DQ ，(x 1,y 1
-3)=(x 2,y 2-3)，即12
1
2
3
(3)
x x y y
方法一：方程组消元法，又
P 、Q 是椭圆29x +2
4
y =1上的点
22
22
22
22
1
94
()(33)1
9
4x y x y
消去x 2，可得2222
2
2
(3
3)1
4
y y
，即y 2=
135
6
又
－2
y 2
2，－2
135
6
2解之得：
1
55
λ≤≤ 则实数的取值范围是1,55??
????。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠，
由22
34936
y kx x y =+??
+=?消y 整理后，得22
(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点，2
2
(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2
144800k -≥
即2
95k ≥ ① 由韦达定理得：1212
22
5445
,4949k x x x x k k +=-
=++ 21212
1221
()2x x x x x x x x +=++222254(1)45(49)k k λλ+∴=+即2222
3694415(1)99k k k λλ+==++
② 由①得2
11095k <
≤，代入②，整理得236915(1)5λλ<≤+，解之得155
λ<< 当直线PQ 的斜率不存在，即0x =时，易知5λ=或15
λ=。 总之实数的取值范围是1,55??
????
。
方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。
例题8：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24
1x y =
的焦点，离心率为
5
5
2． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若AF MA 1λ=，
2λ=，求21λλ+的值．
分析：
（07福建理科）如图，已知点F （1，0），直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ?=?
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知
12,MA AF AF BF λλ==，求12λλ+的值。
小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =.
（Ⅱ）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠.
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ?
?-- ???
，
，
联立方程组241y x x my ?=?=+?，，，消去x 得：2440y my --=，2
(4)120m ?=-+>，故
121244y y m y y +=??
=-?，
．
由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：
1112y y m λ+
=-，2222
y y m
λ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ??∴+=--
+ ?
??
121222y y m y y +=--2424m
m =---0= 解法二：
（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，
()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，22
0PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2
4y x =. （Ⅱ）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<.
则：
12MA AF MB
BF
λλ=-
.…………①
过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，
则有：
11
MA AA AF MB
BB BF =
=
.…………②
由①②得：12AF AF BF
BF
λλ-
=
，即120λλ+=.
练习：设椭圆)0(12
:2
22>=+
a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=?F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||3
1
1OF ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若
QP MQ 2=，求直线l 的方程．
山东2006理
双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线。 （I ） 求双曲线C 的方程；
(II)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）。当12PQ QA QB λλ==，且3
8
21-=+λλ时，求Q 点的坐标。 解：
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则4(,0)Q k
-
1PQ QA λ=111
44(,4)(,)x y k k λ∴--=+1111111
14444()44x k k x k k y y λλλλ?=--??-=+??
∴?????-==-??? 11)(,A x y 在双曲线C 上，∴21211
11616
()10k λλλ+--= ∴222211161632160.3k k λλλ++-
-=∴2221116
(16)32160.3
k k λλ-++-= 同理有：22
22216(16)32160.3
k k λλ-++-=
若2
160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2
160,k ∴-≠
12
,λλ∴是二次方程
222
16(16)32160.3
k x x k -++-
=的两
根.122
328163
k λλ∴+=
=--2
4k ∴=， 此时0,2k ?>∴=±.∴所求Q 的坐标为(2,0)±. 解法二：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 1PQ QA λ=，Q ∴分PA 的比为1λ.
由定比分点坐标公式得
111
11
11111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??
-==-+??+??→??
+??=-
=??+??
下同解法一 解法三：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，
则4
(,0)Q k
-
. 12PQ QA QB λλ==，111222444
(,4)(,)(,)x y x y k k k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==，114y λ∴=-
，224y λ=-，又128
3
λλ+=-，121123y y ∴+
= 即12123()2y y y y +=，将4y kx =+代入2
2
13y x -=得222(3)244830k y y k --+-= 2
30k -≠，否则l 与渐近线平行。2
121222
24483,33k y y y y k k
-∴+==--。 2
22
244833233k k k -∴?=?--2k ∴=±(2,0)Q ∴±
解法四：
由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y 则
4(,0)Q k
-
1PQ QA λ=,11144(,4)(,)x y k k λ∴--=+。∴1114
444k kx x k
λ-
=
=-++ 同理
1244kx λ=-
+，1212448
443
kx kx λλ+=-
-=-++. 即 2
121225()80k x x k x x +++=
（*）
又
2
2
4
1
3
y kx y x =+-=，消去y 得22
(3)8190k x kx ---=. 当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，2
30k -≠。
由韦达定理有：122
122
8319
3k x x k x x k +=
-=-
-
代入（*）式得
24,2k k ==±∴所求Q 点的坐标为(2,0)±。
练习：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
4x y =的焦
。 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P 为椭圆上一点，弦PA 、PB 分别过焦点F 1、F 2，（PA 、PB 都不与x 轴垂直，其点
P 的纵坐标不为0），若111222,PF F A PF F B λλ==，求1
2λλ+的值。 解：（1）设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，则b=1，由222411155b e a =-=-=，
得2
5a =，则椭圆的方程为：2
215
x y += （2）由2
215
x y +=得：12(2,0),(2,0)F F -，设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 有
111222,PF F A PF F B
λλ==得：
0011100222(2,)(2,),(2,)(2,)x y x y x y x y λλ---=+--=-
解得：001212
,y y y y λλ=-
=-， 根据PA 、PB 都不与x 轴垂直，且00y ≠，设直线PA 的方程为：0
0(2)2
y y x x =
++，代人2215
x y +=，整理后，得：2222
00000(2)54(2)0x y y y x y y ??++-+-=?? 根据韦达定理，得：2
0122
(2)5y y y x y -=++，则01220(2)5y y x y -=++， 从而，220101(2)5y x y y λ=-
=++，同理可求220202
(2)5y
x y y λ=-=-+ 则222222
12000000(2)5(2)52(5)4x y x y x y λλ+=+++-+=++
由00(,)P x y 为椭圆2
215
x y +=上一点得：220055x y +=，则1218λλ+=，故12λλ+的值为18.