习题
101 一工字型钢梁，在跨中作用集中力F ，已知l =6m ，F =20kN ，工字钢的型号为20a ，求梁中的最大正应力。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 kN.m 30max =M
查表知20a 工字钢 3cm 237=z W
则 MPa 6.126Pa 106.12610
237103066
3
max max =?=??==-z W M σ 102 一矩形截面简支梁，受均布荷载作用，梁的长度为l ，截面高度为h ，宽度为b ，材料的弹性模量为E ，试求梁下边缘的总伸长。
解：梁的弯矩方程为 ()22
1
21qx qlx x M -=
则曲率方程为
()()??
? ??-==2212111qx qlx EI EI x M x z z ρ 梁下边缘的线应变 ()()??
?
??-==
2212122qx qlx EI h x h x z ρε 下边缘伸长为 ()2302022121
2Ebh ql dx qx qlx EI h
dx x l l
z
l
=
??
? ??-=
=??
?
ε 103 已知梁在外力作用下发生平面弯曲，当截面为下列形状时，试分别画出正应力沿横截面高度的分布规律。
解：各种截面梁横截面上的正应力都是沿高度线性分布的。中性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。
b
h
104 一对称T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知l =1.5m,q =8KN/m ，求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解：
1、设截面的形心到下边缘距离为y 1
则有 cm 33.74
108410
4104841=?+???+??=
y
则形心到上边缘距离 cm 67.433.7122=-=y
于是截面对中性轴的惯性距为
4
2323cm 0.86467.24101241033.3841284=?
??
? ????+?+???? ????+?=z I 2、作梁的弯矩图
设最大正弯矩所在截面为D ，最大负弯矩所在截面为E ，则在D 截面
MPa 08.15Pa 1008.15100.8641033.710778.16
8
231max t,=?=????==--y I M z D σ MPa 61.9Pa 1061.910
0.8641067.410778.168
2
32max c,=?=????==--y I M z D σ 在E 截面上
MPa 40.5Pa 1040.5100.8641067.4100.16
8
232max t,=?=????==--y I M z E σ MPa 48.8Pa 1048.810
0.8641033.7100.168
2
31max c,=?=????==--y I M z E σ 所以梁内MPa 08.15max t,=σ，MPa 61.9max c,=σ
C
105 一矩形截面简支梁，跨中作用集中力F ，已知l =4m ，b =120mm ，h =180mm ，弯曲时材料的许用应力[σ]=10Mpa ，求梁能承受的最大荷载F max 。
解：梁内的最大弯矩发生在跨中 4
max Fl M =
矩形截面梁 6
2
bh W z =
则由 []σσ≤=z W M max max 得 []6
42
bh Fl σ≤ 即 []N 64804
318.012.021*******
2=?????=≤l bh F σ 106 由两个28a 号槽钢组成的简支梁，如图所示，已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170Mpa ，求梁的许可荷载[F ]。
解：作弯矩图
梁内的最大弯矩发生在跨中 F M 4max =
矩形截面梁 3'max
'
max cm 656.6802====z z z z W y I y I W
则由 []σσ≤=z
W M max
max 得 []z W F σ≤4 即 []N 289274
10656.680101704
66=???=≤
-z
W F σ
b
h
107 圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l =3m ，F =3kN ，q =3kN/m ，弯曲时木材的许用应力[σ]=10MPa ，试选择圆木的直径d 。
解：作弯矩图
则由 []σσ≤=
z W M max max 得 []
σmax M
W z ≥ 即 6
3
3
101010332??≤d π，得145mm m 145.0=≥d 108 起重机连同配重等重P =50kN ，行走于两根工字钢所组成的简支梁上，如图所示。起重机的起重量F =10kN ，梁材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。
解：设起重机左轮距A 端为x ，则有
2650x M C -=，803862
++-=x x M D
从而确定出 kN.m 2.104max =C M ，kN.m 2.140max =D M 即梁内出现的最大弯矩为kN.m 2.140
则由 []σσ≤=z
W M max
max 得 []346
3max m 1025.810170102.140-?=??=≥σM W z 又对于本题 'max
'
max 2z z z z W y I y I W ===
所以3344
'
cm 5.412m 10125.42
1025.82=?=?==--z z
W W 查表选 25b 号工字钢。
109 两个矩形截面的简支木梁，其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁中的最大正应力。
解：
1、第一种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中 8
2
max ql M =
矩形截面梁 3
263
2a bh W z == 则 3
3
32max max 163283a ql a ql W M z =
??==σ 2、第二种情况
梁内的最大弯矩发生在跨中 16
2
max ql M =
矩形截面梁 6
63
2a bh W z == 则 33
3
2max max 83166a
ql a ql W M z =??==σ 1010 直径d =0.6mm 的钢丝绕在直径D =600mm 的圆筒上，已知钢丝的弹性模量E =2×105MPa ，试求钢丝中的最大正应力。
解： 由
z
EI M
=
ρ
1
得 N.m 1024115.4103.03.064
106.010233
12
411
---?=?+????=
=
πρ
z
EI M
200MPa Pa 1020032
106.01024115.43269
33
3max =?=???===--ππσd M W M z 或
200MPa Pa 1020010
3.03.0103.010263
311max
max =?=?+???==
--ρ
σEy 1011 一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知F =5kN ，a =1.5m ，[σ]=10Mpa 。试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比h :b ，以及梁所需木料的最小直径d 。
解：
()
6
62
22b d b bh W z -== 由06322=-=b d db dW z 得 d b 33=，又022<-=b db
W d z
所以 d b 33=时 z W 取极大值，所以弯曲截面系数最大时，d b 33=
，d h 3
6
=，即 1:2:=b h 梁内的最大弯矩 kN.m 5.7max ==Fa M
矩形截面梁 3
22736d bh W z == 则由 []σσ≤=z
W M max max 得 []σmax M
W z ≥
即
[]σmax
327
3M d ≥
[]
227mm m 227.010
10105.7393936
3
3
max
==???=≥σM d 1012 一铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限σb =150Mpa ，压缩强度极限σbc =630Mpa ，试求梁的安全因数。
解：
1、设截面形心距离下边缘为y 1
则有 mm 33.532
16010401602
1201601020401601=??+????+??=
y
则形心到上边缘距离 m m 67.14633.532002=-=y
于是截面对中性轴的惯性距为
4
2323mm 4.29013333267.6616010121601033.33401601240160=??
??
? ????+?+???? ????+?=z I 2、作梁的弯矩图
C 截面
MPa 057.22Pa 10057.22104.290133331033.5310126
12
331max t,=?=????==--y I M z C σ MPa 663.60Pa 10663.6010
4.290133331067.1461012612
3
32max c,=?=????==--y I M z C σ B 截面上
MPa 442.40Pa 10442.40104.290133331067.146108612
3
32max t,=?=????==--y I M z B σ MPa 705.14Pa 10705.1410
4.290133331033.531086
12
331max c,=?=????==--y I M z B σ 所以有 709.3442.40150t ==
n ， t c 385.10663
.60630
n n >== ，取安全系数为。
1013 一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a ，梁上荷载如图所示，已知l =6m ，F 1=60kN ，F 2=40kN ，q =8kN/m ，钢材的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa ，试校核梁的强度。
解：作内力图
则有 MPa 8.170Pa 108.17010
15.508108.8666
3
max max =?=??==-z W M σ 而
[][]%5%47.0170
170
8.170max <=-=-σσσ ][MPa 56.38Pa 1056.380085
.01062.24107.8062
3
max
,max S,max ττ<=?=???==
-b
I S F z z 1014 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l =6m ，q =6kN/m ，F =20kN ，钢材的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa ，试选择工字钢的型号。
解：作内力图
由 []σσ≤=z
W M max max 得 []3346
3
max cm 3.335m 10353.3101701057=?=??=≥-σM W z 查表选25a （考虑5%误差可以选则22b ） 。
28kN
28kN
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 ][MPa 21.16Pa 1021.16008
.01058.2110286
23max
,max S,max ττ<=?=???==
-b
I S F z z （如为22b ，[]ττ<=MPa 8.15max ） 所以工字钢型号为25a （或22b ）。
1015 由工字钢制成的简支梁受力如图所示。已知材料的许用弯曲应力[σ]=170Mpa ，许用切应力[τ]=100Mpa 。试选择工字钢型号。
解：作内力图
由 []σσ≤=z W M max max 得 []3346
3max cm 6.488m 10886.410
1701005625.83=?=??=≥-σM W z 查表选28a 。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 ][MPa 06.54Pa 1006.540085
.01062.2410125.1136
23max
,max S,max ττ<=?=???==
-b
I S F z z 所以工字钢型号为28a 。
1016 外伸梁AC 承受荷载如图所示，M e =，q =20KN/m 。材料的许用应力[σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa 。试选择工字钢的型号。
解：作内力图
由 []σσ≤=z
W M max max 得 []3346
3
max cm 3.235m 10353.2101701040=?=??=≥-σM W z 查表选20a 。
对于所选型号，梁内出现的最大切应力为 ][MPa 22.33Pa 1022.33007
.0102.1710406
23max
,max S,max ττ<=?=???==
-b
I S F z z 所以工字钢型号为20a 。
1017 图示简支梁是由三块截面为40mm×90mm 的木板胶合而成，已知l =3m ，胶缝的许用切应力[τ]=，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载F 。
解：
梁内的最大剪力值为0.5F 则胶缝处的最大切应力为 ()
F F b
I S F z z
73.6110901012
12090104040905.03
123
9*
max S,max =????????==
---τ 由][max ττ≤ 得 F ≤8100N 。
1018 图示结构中，AB 梁与CD 梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为h 、b 和h 1和b ，已知l =3.6m ，a =1.3m ，h =150mm ，h 1=100mm ，b =100mm ，材料的许用应力[σ]=10Mpa ，[τ]=，试求该结构所能承受的最大荷载F max 。
解：
1、对于上梁 作内力图
由 []σσ≤=
z
W M max
max 得 []z W M σ≤max ，即 []z W Fl σ≤4 所以有 []kN 852.1N 10852.16.361.01.010104432
6
=?=??
??=≤l W F z σ 又由 []τ≤=A
F τ23max S,max 得 []32max S,A F τ≤，即 []322A
F τ≤
所以有 []kN 33.29N 1033.293
1
.01.0102.243436=?=????=≤A F τ
2、对于下梁 作内力图
由 []σσ≤=
1
max
max z W M 得 []1max z W M σ≤，即 []12z W Fa σ≤ 所以有 []kN 77.5N 1077.53.1615.01.010102232
6
1=?=??
??=≤
a W F z σ 又由 []τ≤=1
max S,max 23A F τ 得 []321max S,A F τ≤，即 []3221
A F τ≤
F 2
1 Fl 4
F 2
所以有 []kN 0.44N 100.443
15
.01.0102.2434361=?=????=≤A F τ
综上，取 kN 852.1=F
1019 图示木梁受一可移动的荷载F =40KN 作用。已知[σ]=10Mpa ，[τ]=3Mpa 。木梁的横截面为矩形，其高宽比
2
3
=b h ，试选择梁的截面尺寸。 解：
当F 位于跨中时，梁内出现最大弯矩 kN 10N 10104
1
1040433max =?=??==Fl M
由 []σσ≤=z W M max max 得 []
σmax M
W z ≥ 即
[]336
3
max 32m 100.11010101024
96-?=??=≥=σM b bh 从而有 138.7mm m 1387.0=≥b 又当F 位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力 kN 202
max S,==
F
F 由 []τ≤=
A
F τ23max S,max 得 []
τ23max S,F A ≥
，即
[]236
3
max S,2m 101010
32102032323-?=????=≥=τF b bh 从而有 81.6mm m 0816.0=≥b 综上取138.7mm ≥b ，.0mm 082≥h
1020 图示起重吊车AB 行走于CD 梁之间，CD 梁是由两个同型号的工字钢组成，已知吊车的自重为5KN ，最大起重量为10KN ，钢材的许用应力 [σ]=170Mpa ，[τ]=100Mpa 。CD 梁长l =12m ，试选择工字钢的型号。
解：
1、设吊车A 点距C 端为x ，则有
225.175.13x x M A -=，5.1225.1125.12++-=x x M B
从而确定出 ()5.5m x kN.m 8125.37max ==A M ， ()4.5m x kN.m 8125.37max ==B M 即梁内出现的最大弯矩为kN.m 8125.37
则由 []σσ≤=
z
W M max max 得 []346
3
max m 10224.210170108125.37-?=??=≥σM W z
b
h
又对于本题 'max
'
max 2z z z z W y I y I W ===
所以3344'
cm 2.111m 10112.12
10224.22=?=?==--z z W W 查表选 16号工字钢。
2、设吊A 点距C 端为x ，则支反力 x F C 25.175.13-= ，25.125.1+=x F D
从而确定出 ()0m x kN.m 75.13max ==C F ， ()10m x kN.m 75.13max ==D F 即梁内出现的最大剪力为 kN 75.13 则对于16号工字钢，有 ][MPa 61.16Pa 1061.16006
.0108.131075.1362
3
max
,max S,max ττ<=?=???==
-b
I S F z z 所以选16号工字钢。